Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 1 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CÁ NHÂN: 1. H Đậu Thế Tâm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG Đậu Thế Tâm  -   -   -  Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN      nh    2013 - 2014 Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 2 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CÁ NHÂN: H Đậu Thế Tâm - 03  1974 Chc v: P. Hing   Vinh II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : Th Tt nghip: 2003 III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC Ging d  trong nh 1. Bng thc   2. ng d-  3. ng dng s phc   4. ng d Ptoleme -  5. ng dng -  6.    Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 3 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI    II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận                        HSGQG. III. NỘI DUNG A. Tóm tắt lý thuyết 1. Hàng điểm và tý số kép:   : CA DA CB DB   : CA DA CB DB .  ( D) : a c a d ABC b c b d    2. Các tính chất  (ABCD) = (CDAB) = (BADC) = (DCAB)  11 ( D) ( D) ( D ) ABC BAC AB C   (ABCD) = 1 - (ACBD) = 1- (DBCA)     3. Hàng điểm điều hòa:  Định nghĩa 1: (ABCD) = - , , ,A B C D .  ( D) 1 CA DA ABC CB DB      (1) A DBC  Biểu thức tọa độ: A(a), B(b), C(c), D(d) - ( D) 1 2( d) ( )( ) a c a d ABC ab c a b c d b c b d             -  OA  2 1 1 2 1 1 ( D) 1ABC b d c AB AD AC         (Descartes) -  OI : 2 2 ( D) 1 d . DABC a c IA IC I      (Newton) Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 4 Hệ thức này và định nghĩa là hai dấu hiệu phổ biến nhất để chứng minh 4 điểm là một hàng điểm điều hòa. - (Descartes)  .AC AD ABAJ (Maclaurin)    Định lí 3.1: Cho ( ) 1ABCD   AOB   AOB . D A O B C *Nhận xét: Từ đó suy ra 0 90COD do đó định lí này có ý nghĩa thực sự quan trọng trong những bài chứng minh vuông góc. Mặt khác cũng có điều ngược lại tức nếu 0 90COD thì OC là phân giác trong và OD là phân giác ngoài của AOB điều này có ý nghĩa quan trọng cho những bài chứng minh yếu tố phân giác. Định lí 3.2:   ( ) 1TEBC  Chứng minh: F A K B C T E   . . 1 EB FC KA EC FA KB  (1)   . . 1 TC KB FA TB KA FC  (2) Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 5  TB EB TC EC   ( ) 1TEBC  . Định lí 3.3:   -1 Định lí 3.4: Cho ( ) 1ABCD     *Nhận xét: Định lí này rất có ý nghĩa đối với các bài toán chứng minh trung điểm và song song. I F E B C O D A 4. Chùm điều hòa: Định nghĩa:  ( ) 1ABCD    ( , , , ) 1OA OB OC OD  . A D O B C Định lí 4.1: . d   c Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 6 Chứng minh. -  - -  Định lí 4.2: Cho ( , , , ) 1OA OB OC OD    ( ) 1EFGK  K F G A D O BC E 5. Phép chiếu xuyên tâm Định nghĩa 1:     Định lí 5.1.  Chứng minh.  Bổ đề .   CA' (ABCD) CB'   CA DA AC DB CA' DS CA' (ABCD) : : : CB DB AD CB DS CB' CB'     Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 7 : 1 1 1 1 1 1 C A'' CA' (ABCD) (A B C D ) CB' C B''    (d.p.c.m)      Hệ quả 5.1.    Hệ quả 5.2 1  , 2   1 A,B,C , 2 A',B',C' . Khi  (OABC) (OA'B'C') AA',BB',CC'  Chứng minh.  BO CO B'O C'O :: BA CA B'A C'A (OABC) (OA'B'C')    AA' BB' S,SC C"    .  (OA'B'C') (OABC) (OA'B'C") (OA'B'C') (OA'B'C") C' C''     Định nghĩa 2:    sin(OA,OC) sin(OB,OC) (abcd) (ABCD) : sin(OA,OD) sin(OB,OD)    Tính chất   a' a A,b b' B,c c' C           abcd a’b’c’d II. BÀI TẬP: Bài 1: Cho A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC trong đó B,C là hai tiếp điểm . AO cắt đường trong tại hai điểm E,F và cắt cạnh BC tại K. Chứng minh rằng ( ) 1AKEF  Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 8 EK O A C B F Giải:  2 .OB OK OA   2 2 2 OB OE OF (2)  22 .OE OF OK OA  suy ra đpcm Bài 2: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là các tiếp điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn; khi đó ta có MP,NQ,AC,BD đồng quy tại một điểm. Giải: P A I D C O N B M Q E  //CE AB  MOP OPM BMP CPM CE CP         IA AM AM IC EC PC  (1)  'I  ' ' I A AQ I C NC  (2)  'II suy ra MP, NQ,  (3)  NQ,   Bài 3: Cho đường tròn (O). Lấy một điểm A ngoài đường tròn (O), từ A ta kẻ hai tiếp tuyến AK,AN và một cát tuyến ACD bất kì đối với đường tròn trên. Hai tiếp tuyến qua C và D đối với đường tròn cắt nhau tại M. Khi đó ta có K, M, N thẳng hàng. Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 9 O N A K M D C Giải:  KC NC k KD ND  (1)  ' ' NC k ND  (2)  DNC   .      'NN đpcm Bài 4: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là các tiếp điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn. Chứng minh rằng MQ,NP và DB đồng quy tại một điểm. Giải: P D C O N B A K Q M DB   . . 1 MA KB QD QA MB KD  (1) Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 10  MA NC MB NB   QD PD QA PC   . . 1 NC KB PD PC NB KD   đpcm Bài 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là các tiếp điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn. Gọi K là giao điểm của MQ với NP. Chứng minh rằng OK AC . Giải: P F E D C O N B A K Q M      'KK . y ra KO EF hay KO AC (đpcm) Bài 6: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là các tiếp điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn. Gọi K là giao điểm của MQ với NP và I là giao điểm của MP với QN. Chứng minh rằng ( ) 1DBIK  . Giải: [...]... Q Giả sử và Chứng minh rằng X, Y, Z, T thẳng hàng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 24 Hàng điểm điều hòa và ứng dụng S B X F A N R P M O G E C D K Cách 1 Gọi T chứng minh Gọi gi o đi m của XO v i AD BC là R và ; gi o đi m của KO v i AD và BC là E và F T c Do nên thẳng hàng Cách 2 S dụng phép chiếu tâm A lên CD và phép chiếu tâm B lên AD t suy r uy r EA CM đ ng quy Vậy Cách 3 S dụng t số... AM MQ T c điều phải chứng minh Bài 17: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác Các tia BO, CO lần lượt cắt AC, AB tại E, F Gọi là giao điểm của AO, EF Gọi là hình chiếu của I trên BC Chứng minh rằng Giải: A E I F O B H Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh J C Page 18 Hàng điểm điều hòa và ứng dụng ọi J là gi o đi m củ ti AO v i BC S là gi o đi m củ EF v i BC T c (BCJS) = -1 (hàng điều h tứ... đi u O cắt các đường thẳng AB, BC, CD, DA tại P, N, Q, M Chứng minh rằng: (MNPO)=(MNOQ) Bài 8: Cho t m giác ABC và các đi m M N trên cạnh BC sao cho M nằm giữ B và N Gọi O1, O3 là tâm các đường tr n nội tiếp và bàng tiếp g c A củ t m giác ABM; O2 , O4 Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 26 Hàng điểm điều hòa và ứng dụng là tâm đường tr n bàng tiếp và nội tiếp g c A củ t m giác CAN Chứng minh... Thế Vinh Page 23 Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Bài 25: Cho tứ giác ABCD, Trên cạnh AB lấy điểm P, trên cạnh BC lấy điểm M Giả sử AM cắt CD tại N, CP cắt AD tại Q, MP cắt QN tại E Chứng minh rằng S, K, E thẳng hàng S E Q R A B P M K D C F Giải S dụng phép chiếu xuyên tâm C t được Suy ra Do MA  NA, MB  NS  S , MK  ND  K , MP  NQ  E nên thẳng hàng Cách 2 Chiếu xuyên tâm Suy ra và t c đ ng ui Bài... THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 19 Hàng điểm điều hòa và ứng dụng A I F K N E H M C B D ọi N là gi o đi m củ AD và EF Do các tứ giác FECB và FHDB nội tiếp nên t c Nên FH là phân giác trong củ t m giác FND mà nên FA là phân giác ngoài củ t m giác FND Từ đ (AHND) = -1 (hàng điều h ti phân giác)  K(AHND) = -1 Lại c KA// ID (cùng vuông g c v i ) Do đ theo định l về chùm điều h t c KH đi u trung đi m củ... -1 (hàng điều h về đường tr n) => (ML,MD,MB,MC0)= -1 (1) M t khác dễ thấy AD, BE, CF đ ng uy tại đi m Gergonne củ t m giác ABC nên (LDBC1)= - 1 (hàng điều h tứ giác toàn phần) do đ (ML,MD,MB,MC1)= - 1 (2) Từ (1) và (2)suy ra (ML,MD,MB,MC0)= (ML,MD,MB,MC1) => MC0  MC1 Mà C0  ( I ), C1  ( I )  C0  C1 tức là B1C1 đi u L Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 20 Hàng điểm điều hòa và ứng dụng. . .Hàng điểm điều hòa và ứng dụng K A M B Q O D I P N C *Áp dụng định l Menel us cho t m giác ABD v i 3 đi m thẳng hàng MQt c : KB QD MA KB MB (vì QA=MA) (1)  1 hay  KD QA MB KD QD MB IB *M t khác theo lời giải bài 2 thì t đã biết: (2)  QD ID KB IB Từ (1) và (2) suy r  KD ID Vì I nằm trong đoạn BD và nằm ngoài đoạn BD nên: KB IB  KD ID Vậy ( DBIK... A’B’C’ Bổ đề: Cho t m giác ABC và đi m I nằm trong t m giác AI BI CI theo thứ tự cắt CA AB tại H E F hi đ AHF  AHE  AI  BC Chứng minh bổ đề: A E F B I H Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh C Page 12 Hàng điểm điều hòa và ứng dụng ết uả là hi n nhiên khi t m giác ABC cân iả s ABC không cân t c th giả s AC>AB.Dựng t m giác ABP cân tại A và AP cắt HE tại Q ọi F’ là đi m đối xứng củ Q u QA F ' A AH hi... giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AC, AB tại E, F Gọi K là giao điểm của BI và EF CMR góc BKC  900 Giải: A F K I E L B D C Trường hợp EF// BC: Dễ dàng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 13 Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Trường hợp EF không song song v i BC ọi L là gi o đi m củ EF và BC D là tiếp đi m củ (I) và BC T c : DB EC FA DB EC FA FA DB EC  ( )( )( )  1 DC EA FB... (2) Và LMQ  KMC  QMP (3) Lại c PCK CKM (chứng minh trên) nên KMC  KCP (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ta suy ra QMP  QCP nên tứ giác MQPC nội tiếp Vậy M, P, C, Q đ ng viên Bài 23 (Balkan MO 2007) Cho tam giác ABC vuông tại và đối xứng với qua , là giao điểm của đường thẳng qua vuông góc với và đường Chứng minh rằng AF, DE, BC đồng quy Giải Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 22 Hàng điểm điều . (Newton) Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 4 Hệ thức này và định nghĩa là hai dấu hiệu phổ biến nhất để chứng minh 4 điểm là một hàng điểm điều hòa. . lượt là các tiếp điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn. Gọi K là giao điểm của MQ với NP và I là giao điểm của MP với QN. Chứng minh rằng ( ) 1DBIK  . Giải: Hàng điểm điều hòa và ứng dụng . tuyến AB,AC trong đó B,C là hai tiếp điểm . AO cắt đường trong tại hai điểm E,F và cắt cạnh BC tại K. Chứng minh rằng ( ) 1AKEF  Hàng điểm điều hòa và ứng dụng Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương