BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Chun Lương Thế Vinh Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH LÝ RAMSEY VÀ BÀI TỐN TƠ MÀU Người thực hiện: TRẦN TIẾN ĐẠT Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ mơn:  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mơ hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THƠNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: TRẦN TIẾN ĐẠT 2. Ngày tháng năm sinh: 11.07.1964 3. Nam, nữ: NAM 4. Địa chỉ: 82 Đặng Đức Thuật, P. Tam Hiệp Biên Hòa 5. Điện thoại: 3828107 (CQ) /3813378 (NR); ĐTDĐ: 0913.963444 6. Fax: E-mail: datlinhkn@gmail.com 7. Chức vụ: TỔ TRƯỞNG 8. Đơn vị cơng tác: Trường THPT Chun Lương Thế Vinh II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị : CỬ NHÂN - Năm nhận bằng: 1986 III. Chun ngành đào tạo: TỐN IV. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: giảng dạy TỐN Số năm có kinh nghiệm: 28 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: • ĐỊNH LÝ TURAN • CÁC VẤN ĐỀ CỦA TỔ HỢP • CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GRAPH 2 BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT Tên sáng kiến kinh nghiệm : ĐỊNH LÝ RAMSEY VÀ BÀI TỐN TƠ MÀU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia và các kỳ thi Tốn quốc tế , các bài tốn về Lý thuyết Rời rạc , đóng vai trò rất quan trọng . Đây là các bài tốn u cầu kiến thức tổng hợp , tư duy sâu sắc của học sinh. Một trong các cơng cụ hữu hiệu để giải quyết các dạng bài tập này là lý thuyết Graph ( Graph theory) mà trong đó định lý Ramsey là mơt định lý có tâm quan trọng trong các bài tốn về Tơ màu . Hiện nay , các tài liệu chun Tốn về vấn đề này tương đối còn thiếu và chưa chun sâu, có lẻ do ít giáo viên đầu tư nghiên cứu vấn đề khó này . Nhằm mục đích cung cấp cho học sinh các lớp Chun Tốn một số kiến thức chun sâu về lý thuyết TỔ HỢP , nhằm ứng dụng vào việc giải các bài tập thi học sinh giỏi Tốn tồn quốc , tơi giới thiệu một số tìm tòi về một vấn đề của lý thuyết này . Đây là một phần trong bộ tài liệu bồi dưỡng đội tuyển HSG Tốn các lớp 12 về Tổ hợp. Phần lý thuyết của tài liệu này là biên dịch từ tài liệu nước ngồi và phần Bài tập được tập hợp từ đề thi các nước và quốc tế II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuận lợi - Có thời gian nghiên cứu về các vấn đề về lý thuyết Graph. - Có tài liệu tham khảo của nước ngồi về các vấn đề chun sâu. 2. Khó khăn - Tài liệu trong nước , cho học sinh giỏi Tốn rất ít đề cập đến vấn đề này. - Lý thuyết rất trừu tượng , tư duy cao nên học sinh rất khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức và giải bài tập. 3 BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận - Dựa trên kiến thức về lý thuyết Graph và các bài tốn tổ hợp rời rạc. 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài - Chuẩn bị tốt các kiến thức về Graph cho học sinh trước khi giảng dạy . - Liên hệ với các đề thi học sinh giỏi trong nước và quốc tế . IV. KẾT QUẢ Tài liệu này đã được sử dụng giảng dạy trong các lớp 11,12 Chun Tốn của trường chun Lương Thế Vinh trong năm học 2012-2014 và trong các đợt bồi dưỡng đội tuyển HSG Tốn của Tỉnh Đồng Nai tham gia kỳ thi tồn quốc. V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Mạnh dạn đi vào tìm tòi các vấn đề mới để tạo sự hứng thú trong học sinh VI. KẾT LUẬN Từ tài liệu này cần mở rộng sang các vấn đề khác trong tổ hợp để nâng cao kiến thức cho học sinh, VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO XIONG BIN – ZHENG ZHONGYI (2010) –GRAPH THEORY . XIONG BIN- LEE PENG YEE (2009) – MATHEMATICAL OLYMPIAD IN CHINA 2007-2008 , 2009-2010. TITU ANDREESCU AND ZUMING FENG(2004) –MATHEMATICAL OLYMPIADS 1998-1999-2000. TAY TIONG SENG (2013) – SINGAPORE MATHEMATICAL OLYMPIADS 1995-2013. NGƯỜI THỰC HIỆN 4 BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT (Ký tên và ghi rõ họ tên) TRẦN TIẾN ĐẠT SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị:Trường THPT Chun CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc 5 BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT Lương Thế Vinh Biên Hòa, ngày 22 tháng 04 năm 2014 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2013-2014 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: ĐỊNH LÝ RAMSEY VÀ BÀI TỐN TƠ MÀU. Họ và tên tác giả:TRẦN TIẾN ĐẠT Đơn vị (Tổ): TỐN Lĩnh vực: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ mơn:  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác:  1. Tính mới - Có giải pháp hồn tồn mới  - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có  2. Hiệu quả - Hồn tồn mới và đã triển khai áp dụng trong tồn ngành có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong tồn ngành có hiệu quả cao  - Hồn tồn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả  3. Khả năng áp dụng - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUN MƠN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) 6 BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT                  7 BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM).  Thơng thường , bài tốn Ramsey là vấn đề liên quan đến bài tốn tơ màu . Trước hết , ta bắt đầu bằng bài tốn Olympic được đề nghị tại Kỳ thi Tốn học của Hungary năm 1947. BÀI TỐN 1: Chứng minh rằng trong 6 người bất kỳ , ta ln tìm được ba người quen nhau hay khơng quen nhau đơi một. GIẢI: Ta xác định 6 người là 6 đỉnh . Nếu có 2 người quen nhau , ta nối 2 đỉnh tương ứng và tơ màu đỏ. Nếu có 2 người khơng quen nhau , ta nối 2 đỉnh tương ứng và tơ màu xanh.Ta phải chứng minh rằng phải có một tam giác cùng màu (monochromatic triangle). Có nghĩa là , tam giác đó có các cạnh cùng là màu đỏ hay cùng là màu xanh. Bài tốn tương tự xuất hiện trong kỳ thi Putnam Mathematics Competition: Trong KG , cho 6 điểm , trong đó bất kỳ 3 điểm nào là khơng thẳng hàng và bất kỳ 4 điểm nào là khơng đồng phẳng. Ta nối 6 điểm trong chúng bằng 15 đoạn thẳng . Ta sử dụng màu xanh và đỏ để tơ màu các đoạn thẳng đó.( Mỗi đoạn thẳng chỉ được tơ bởi một màu trong đó ).Chứng minh rằng với mọi cách tơ màu , đều phải có một tam giác cùng màu. Tiếp theo , ta bắt đầu chứng minh bài tốn trên , có thể xem như là mẫu . Gọi 1 2 6 ; ; ;A A A là 6 đỉnh đã cho.Xét 5 đoạn thẳng 1 2 1 3 1 6 ; ; ;A A A A A A kề với đỉnh 1 .A Vì chỉ có 2 màu tơ 5 đoạn thẳng nên phải có 3 đoạn thẳng được tơ cùng một màu .Khơng mất tính tổng qt (Without loss of generality), ta có thể giả sử ba đoạn thẳng 1 2 1 3 1 4 ; ; ;A A A A A A được tơ màu đỏ( ta xác định màu đỏ bởi đường liền nét và màu xanh bởi đường rời) (Hình 8.1) 8 BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT HÌNH 8.1 Nếu trong tam giác 2 3 4 A A A có ít nhất một cạnh, VD : 2 3 A A là đỏ (Hình 8.2)thì tam giác 1 2 3 A A A cùng màu . HÌNH 8.2. Hay nói cách khác, trường hợp này có một tam giác cùng màu. Từ Bài tốn trên , ta có thể dễ dàng thấy rằng khi n≥6, ta có thể dùng 2 màu để tơ màu tất cả các cạnh của n K ( Graph đầy đủ n đỉnh) ( gọi tắt là two-color 9 BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY’S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT complete graph n K ). Khi đó phải tồn tại một tam giác cùng màu. HÌNH 8.3. Tóm lại , ta có kết luận sau đây: ĐỊNH LÝ 1: Nếu trong một Graph đầy đủ n K được tơ bởi 2 màu Graph đó chứa mơt tam giác cùng màu thì giá trị nhỏ nhất của n là 6. BÀI TỐN 2: Chứng minh rằng khơng thể tơ màu 10 K bằng 4 màu sao cho bất kỳ Graph con 4 K của 10 K có đủ 4 màu. GIẢI: Ta chứng minh bằng qui nạp, giả sử rằng tồn tại một cách tơ màu thỏa điều kiện.Nếu có 1 đỉnh kề với 4 cạnh là cùng màu , giả sử là màu xanh , VD: AB,AC,AD,AE là tơ màu xanh.Trong các cạnh nối các đỉnh B,C,D,E có ít nhất một cạnh màu xanh ( theo giả thiết ). Gọi là cạnh BC. Thế thì đã có 4 cạnh xanh nối các đỉnh A,B,C,D , còn 2 cạnh trong đó tơ bởi 3 màu ( trái với giả thiết phản chứng ).Như thế A phải kề với nhiều nhất 3 cạnh cùng màu và phải có một màu tơ ba cạnh đó.Có 6 cạnh nối các đỉnh A,B,C,D như thế còn 3 cạnh được tơ bởi các màu khác. Tức là khơng có cạnh màu xanh trong BC,CD,BD. 10 [...]... khác GIẢI: Ta tơ màu cạnh nhỏ nhất của mỗi tam giác bởi màu đỏ và các cạnh 28 Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY S PROBLEM) r2 = 6 khác là màu xanh Vì nên phải có một tam giác cùng màu , cho là màu đỏ và cạnh lớn nhất trong tam giác này sẽ là cạnh nhỏ nhất trong tam giác khác 4/ Nối 9 điểm phân biệt trên một đường tròn ta được 36 đường thẳng và tơ màu chúng bởi màu xanh và đỏ.Giả sử bất... trong đó cũng quen nhau POLISH MC 1966 GIẢI: A1 ; A2 ; ; A100 Ta xác định các người khách bởi 100 điểm Nối bất kỳ 2 đỉnh và tơ màu chúng bởi 2 màu xanh và đỏ Cạnh nối đỏ khi và chỉ khi Ai và Aj Ai và Aj được tơ màu quen nhau.Ta sử dụng ngơn ngữ Graph để giải quyết 22 Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY S PROBLEM) K100 bài tốn này: Trong một đỏ xanh 2-color complete Graph , nếu số cạnh... Graph phải chứa một 12 Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY S PROBLEM) rk tam giác cùng màu Ta xác định n nhỏ nhất là r1 = 3 r2 = 6 rk Thế thì ; (theo địnhlý 1) Sự tồn tại của được chứng minh rk đầu tiên bởi nhà tốn học và logic người Anh Ramsey Ta gọi là số Ramsey rk Liên quan đến ta có kết luận sau đây: ĐỊNH LÝ 2: (1) Với mỗi số ngun dương k, số Ramsey rk ≤ k ( rk −1 − 1) + 2 (2)Với mỗi... Đường bay giữa A và B; và A được phục vụ bởi Y Đường bay giữa và A được phục vụ bởi X 26 Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY S PROBLEM) BÀI TẬP ÁP DỤNG : 1/Trong KG, có 6 điểm , kết nối mỗi 2 điểm trong chúng và tơ màu bởi màu xanh và đỏ.Chứng minh rằng phải có 2 tam giác cùng màu GIẢI: Theo bài tập 1, thì phải có một tam giác cùng màu. Khơng mất tính tổng A1 A2 A3 A4 A5 A6 qt , giả sử rằng... màu Khơng mất tính tổng qt A1 A2 A1 A5 A1 , giả sử rằng là màu đỏ và là màu xanh.Trong các cạnh nối với các đỉnh B1 ; B2 ; B3 ; B4 ; B5 có ít nhất 3 cạnh cùng màu. Giả sử rằng 23 A1 Bi ; A1 B j ; A1 Bk ; là Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY S PROBLEM) cùng màu đỏ ( i;j;k là phân biệt) Theo gt , tam giác nên Bi B j rằng thiết là màu xanh.Tương tự A2 B j A2 Bi A1 Bi B j là khơng cùng màu. .. chứng minh bất đẳng thức thứ nhất và để lại để chứng minh bất đẳng thức hai K3 Xét Graph trong hình dưới đây, G khơng chứa một nào và phần bù của nó K5 G khơng chưá một nào Nhue thế r(3;5) > 13 Ấp dụng định lý 3, ta có thể có một cận trên của r(p;q) nhu chỉ ra trong định lý 4 19 Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY S PROBLEM) 13 2 1 12 3 11 4 10 5 9 6 8 7 ĐỊNH LÝ 4: Khi p;q≥2 ta có r(p;q)≤... Ta K9 K6 xóa 3 đỉnh này từ và còn 6 đỉnh tạo thành Graph Như thế nếu ta tơ màu Graph này bởi màu xanh và đỏ , thì Graph phải chứa một tam giác cùng màu. Như thế n=33 Để tổng qt hóa định lý 1, trước hết , ta cần tăng số lượng màu Ta sử c1 ; c2 ; ; ck Kn dụng k màu để tơ màu một Graph đầy đủ Ta gọi một Graph đầy Kn Kn đủ là k-color complete Graph nếu mỗi cạnh được tơ bởi 1 màu trong đó Kn Ta có thể hình... BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY S PROBLEM) GIẢI: Theo định lý 3, r ( 4;4 ) ≤ r ( 4;3) + r ( 3;4 ) = 9 + 9 = 18 7/ Ta chia các số 1,2,3….,N thành n nhóm.Với N đủ lớn ,thì phải có một x− y nhóm chứa x,y và hiệu của chúng ( SCHUR THEOREM) GIẢI: Xét n-color complete Graph Kr n Cách tơ màu cho cạnh (x;y) bằng màu Kr n thứ I khi và chỉ khi /x-y/ thuộc nhóm thứ i Theo định lý 2, phải chứa một tam giác cùng màu. Giả... bởi 2 màu bất kỳ thì phải có hai tam giác cùng màu được tơ bởi cùng một màu nhưng khơng chứa cạnh chung GIẢI: K7 Như hình 16 chỉ ra, ta tơ màu bởi 2 màu và xác định đường liền nét là cạnh đỏ và đường rởi là cạnh xanh Ta có 4 tam giác đỏ A1 A4 A6 ; A2 A4 A6 ; A3 A4 A6 ; A7 A4 A6 ; và 4 tam giác xanh là A1 A2 A3 ; A2 A3 A7 ; A1 A3 A7 ; A1 A2 A7 ; Dễ dàng thấy rằng bất kỳ 2 tam giác đồng màu với cùng màu. .. 1 C pp+−q −2 CHỨNG MINH : Chú ý rằng : l=p+q và ta áp dụng phương pháp qui nạp theo l 1 C4 − 2 = 2 Lji l=4 m p=q=2 Thì VT= r(2;2)= 2 và VP= Giả sử định lý đúng khi l=k(k≥4) Khi l= k+1 , xét trường hợp khi p= k-1 ; q=2 , hay p=2 và q= k-1 Ckk−−12 = Ck1−1 r(k-1;2) = r(2;k-1) = k-1 = Định lý đúng Khi p≥3 ; q≥3, ta có p+q=k+1, áp dụng (3) trong định lý 3 và theo qui nạp , ta có : r(p;q) ≤r (p-1;q) + . đây: • ĐỊNH LÝ TURAN • CÁC VẤN ĐỀ CỦA TỔ HỢP • CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GRAPH 2 BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT Tên sáng kiến kinh nghiệm : ĐỊNH LÝ RAMSEY VÀ BÀI TỐN. BÀI TỐN RAMSEY ( RAMSEY S PROBLEM). Giáo viên: TRẦN TIẾN ĐẠT 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Chun Lương Thế Vinh Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH LÝ RAMSEY VÀ BÀI. hữu hiệu để giải quyết các dạng bài tập này là lý thuyết Graph ( Graph theory) mà trong đó định lý Ramsey là mơt định lý có tâm quan trọng trong các bài tốn về Tơ màu . Hiện nay , các tài liệu