Đang tải... (xem toàn văn)
A. Tóm tắt lý thuyết cần nhớ 1. Các giới hạn đặc biệt Với ta có Nếu chẵn: Nếu lẻ: (1), là hằng số (1) đúng khi , , 2. Định lý về giới hạn hữu hạn Định lý 1: Giả sử và . Khi đó a. b. (Nếu là hằng số thì ) c. Nếu thì Định lý 2: Giả sử . Khi đó a. b. c. Nếu , , là 1 khoảng chứa thì và Định lý 1, 2 vẫn đúng khi thay bởi , ,
A. Tóm tắt lý thuyết cần nhớ 1. Các giới hạn đặc biệt Với k + ∀ ∈Z ta có lim k x x →+∞ = +∞ Nếu k chẵn: lim k x x →−∞ = +∞ Nếu k lẻ: lim k x x →−∞ = −∞ lim 0 k x c x →−∞ = lim 0 k x c x →+∞ = 0 lim x x c c → = (1), c là hằng số (1) đúng khi 0 x x + → , 0 x x − → , x → ±∞ 0 0 lim k k x x x x → = 2. Định lý về giới hạn hữu hạn Định lý 1: Giả sử ( ) 0 lim x x f x L → = và ( ) 0 lim x x g x M → = ( ) ,L M ∈R . Khi đó a. ( ) ( ) 0 lim x x f x g x L M → ± = ± b. ( ) ( ) 0 lim . x x f x g x L M → + = (Nếu c là hằng số thì ( ) 0 lim . . x x c f x c L → = ) c. Nếu 0M ≠ thì ( ) ( ) 0 lim x x f x L g x M → = Định lý 2: Giả sử 0 lim x x L → = . Khi đó a. ( ) 0 lim x x f x L → = b. ( ) 0 3 3 lim x x f x L → = c. Nếu ( ) 0f x ≥ , { } 0 \x K x∀ ∈ , K là 1 khoảng chứa 0 x thì 0L ≥ và ( ) 0 lim x x f x L → = Định lý 1, 2 vẫn đúng khi thay 0 x x→ bởi x → ±∞ , 0 x x + → , 0 x x − → 1 3 Quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1: Nếu ( ) 0 lim x x f x c → = và 0 lim x x→ = ±∞ thì ( ) ( ) 0 lim 0. x x f x g x → = Quy tắc 2: Nếu ( ) 0 lim x x f x → = ±∞ và ( ) 0 lim 0 x x g x L → = ≠ thì ( ) ( ) lim f x g x được cho trong bảng sau: Quy tắc 3: Nếu ( ) ( ) 0 0 lim , lim 0 x x x x f x L g x → → = = và ( ) 0g x > hoặc ( ) 0g x < với { } 0 \x K x∀ ∈ , trong đó K là một khoảng chứa 0 x thì ( ) ( ) 0 lim x x f x g x → được cho trong bảng sau: ( Quy tắc 1, quy tắc 2, quy tắc 3 được áp dụng cho các trường hợp 0 0 , ,x x x x x + − → → → ±∞ ) Các dạng vô định: ( ) 0 lim x x f x → Dấu của L ( ) ( ) 0 lim . x x f x g x → +∞ +∞ −∞ −∞ + - + - +∞ −∞ −∞ +∞ Dấu của L Dấu của ( ) g x ( ) ( ) 0 lim x x f x g x → + + - - + - + - +∞ −∞ −∞ +∞ 2 Khi tìm giới hạn của một biểu thức, ta có thể gặp các trường hợp sau: a) ( ) ( ) lim f x g x với ( ) ( ) 0, 0f x g x→ → hoặc ( ) ( ) ,f x g x→ ±∞ → ±∞ . Ta gọi là dạng vô định 0 0 hoặc ∞ ∞ . b) ( ) ( ) lim f x g x − với ( ) ( ) ,f x g x→ +∞ → +∞ hoặc ( ) ( ) ,f x g x→ −∞ → −∞ . Ta gọi là dạng vô định ∞ − ∞ . c) ( ) ( ) lim f x g x với ( ) ( ) 0,f x g x→ → ±∞ . Ta gọi là dạng vô định 0. . ∞ (2) B. Phân dạng bài tập và giới hạn hàm số I. Tìm giới hạn của dạng vô định 0 . 0 Đây là dạng bài tập quan trọng nhất trong hệ thống các bài tập giới hạn hàm số và cũng là dạng bài tập mà học sinh thường gặp, khi giải quyết dạng toán này các em gặp nhiều khó khăn . Sau đây, tôi xin đưa ra một số phương pháp thường sử dụng khi gặp các dạng này. I.1. Giới hạn 0 0 mà cả tử số và mẫu số là hàm đa thức Phương pháp: 0 ( ) lim ( ) x x f x g x → có dạng 0 0 ta thường phân tích ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 . x x A x x f x g x x x B − = − rồi rút gọn. Khi đó: Tìm ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim x x x x x x A f x g x B → → = ( Ta sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý giới hạn ). I.1.1 Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm 2 2 2 4 lim 5 6 x x x x → − − + Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 lim lim lim 4. 5 6 2 3 3 x x x x x x x x x x x x → → → − + − + = = = − − + − − − Ví dụ 2. Tính 3 2 2 1 3 2 lim 6 5 x x x x x → − + − + Lời giải Ta có 3 2 2 2 1 1 3 2 ( 1)( 2 2) lim lim 6 5 ( 1)( 5) x x x x x x x x x x x → → − + − − − = − + − − = 2 1 2 2 3 lim 5 4 x x x x → − − = − . I.1.2 Bài tập tương tự 3 Tính giới hạn 1) 3 2 1 3 2 lim 1 x x x x → − + − 2) 3 2 2 3 2 lim 3 2 x x x x x → − + − + 3) 5 2 1 5 4 lim 1 x x x x → − + − 5) 2 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x → − + − 5) 2 2 3 4 3 lim 9 x x x x → − + − I.2 Giới hạn 0 0 trong đó có chứa hàm vô tỉ. Tất nhiên nhiệm vụ của chúng ta vẫn là làm sao để khử được nhân tử “gây ra” phép toán vô định này đó là (x – x 0 ). Tuy nhiên, đối với hàm vô tỉ thì không thể phân tích thành nhân tử ngay được mà trước tiên ta phải “trục căn thức” rồi mới phân tích thành nhân tử (x – x 0 ) và rút gọn như trên được. Ở mục này ta luôn phải sử dụng một số hằng đẳng thức quen thuộc sau: 1) 2 2 a b a b a b − − = + 2) 3 3 2 2 a b a b a ab b − − = + + 3) 1 2 1 n n n n n a b a b a a b b − − − − − = + + + 4) 3 3 2 2 a b a b a ab b + + = − + I.2.1 Các hàm chứa một loại căn Ví dụ 1. Tìm 1 2 7 3 lim . 1 x x x → + − − Đặt vấn đề: Ở bài toán trên, ta chưa thể làm xuất hiện nhân tử (x - 1) ở tử số ngay được. Vì vậy cần khử căn thức trên tử. với căn bậc hai thì sử dụng hằng đẳng thức nào? Trả lời: Sử dụng 1) Lời giải Ta có ( ) ( ) 2 2 1 1 2 7 3 ( 2 7) 3 lim lim 1 1 2 7 3 x x x x x x x → → + − + − = − − + + ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 lim lim . 3 2 7 3 1 2 7 3 x x x x x x → → − − − = = = + + − − + + Ví dụ 2. Tính giới hạn sau 4 3 3 2 6 10 lim . 2 x x x x → + − − − Câu hỏi: Với căn bậc ba thì sử dụng hằng đẳng thức nào? Trả lời: Sử dụng 2) Lời giải Ta có 3 3 2 2 2 3 3 3 6 10 ( 6) (10 ) lim lim 2 ( 2)[ ( 6) ( 6)(10 ) (10 )] x x x x x x x x x x x x → → + − − + − − = − − + + + − + − 2 2 2 3 3 3 2 1 lim . 6 ( 6) ( 6)(10 ) (10 ) x x x x x → = + + + − + − Ví dụ 3. Tính giới hạn sau 3 1 7 1 lim . 1 x x x → + − − Lời giải Ta có 3 2 1 1 3 3 7 2 ( 7) 8 lim lim 1 ( 1)[ ( 7) 2 ( 7) 4] x x x x x x x x → → + − + − = − − + + + + = 2 1 3 3 1 1 lim 12 ( 7) 2 ( 7) 4 x x x → = + + + + . Ví dụ 4. Tính giới hạn sau 4 0 1 1 lim . x x x → + − Câu hỏi: Với căn bậc bốn thì ta phải dung hằng đẳng thức nào? Trả lời: Sử dụng 3) Lời giải Ta có 4 4 4 3 2 0 0 4 4 4 1 1 ( 1) 1 lim lim [ ( 1) + ( 1) ( 1) 1] x x x x x x x x x → → + − + − = + + + + + = 3 2 0 4 4 4 1 1 lim 4 ( 1) + ( 1) ( 1) 1 x x x x → = + + + + + . Ví dụ 5. Tính giới hạn sau 0 1 1 lim . n x x x → + − Câu hỏi: Với căn bậc n thì ta phải dung hằng đẳng thức nào? Trả lời: Sử dụng 3) Lời giải Ta có 5 1 2 0 0 1 1 ( 1) 1 lim lim [ ( 1) + ( 1) 1] n n n n n x x n n x x x x x x − − → → + − + − = + + + + = 1 2 0 1 1 lim ( 1) + ( 1) 1 n n x n n n x x − − → = + + + + . Nhận xét: Trên thực tế, ngoài việc lũy thừa để khử căn, người ta còn có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết những bài toán trên. Ví dụ 1. Tính giới hạn sau L = 3 1 7 1 lim . 1 x x x → + − − Lời giải 2 (Lời giải 1 đã có ở ví dụ 3) Đặt 3 7x t+ = ⇔ x = t 3 - 7 Khi x dần tới 1 thì t dần tới 2 Vậy L = 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 lim lim lim . 7 1 ( 2)( 2 4) 2 4 12 t t t t t t t t t t t → → → − − = = = − − − + + + + Ví dụ 2. Tính giới hạn sau 0 1 1 lim . n x x x → + − Lời giải 2 Đặt 1 n x t+ = ⇔ x = t n - 1 Khi x dần tới 0 thì t dần tới 1 Vậy L = 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 lim lim lim . 1 ( 2)( 1) 1 n n n n n t t t t t t t t t t t n − − − − → → → − − = = = − − + + + + + + I.2.1 Các hàm chứa nhiều loại căn I.2.1.1. Chứa hai loại căn a) Phương pháp 1. Nếu chứa căn bậc n và căn bậc m, ta có thể nâng lên lũy thừa bậc [m,n] – bội số chung nhỏ nhất của m và n. Ví dụ 1. Tìm 3 0 1 1 lim x x x x → + − + . Câu hỏi: Biểu thức trên chứa những loại căn nào? Ta nên nâng lên lũy thừa bậc mấy? Trả lời: bậc 6 Lời giải Ta có 6 6 3 3 5 4 5 0 0 3 3 (1 ) (1 ) 1 1 lim lim [ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ] x x x x x x x x x x x x → → + − + + − + = + + + + + + + = 3 2 5 4 5 0 3 3 (1 ) (1 ) lim [ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ] x x x x x x x x → + − + + + + + + + + 6 = 2 5 4 5 0 3 3 (1 ) 1 lim 6 [ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ] x x x x x x → + = + + + + + + + Ví dụ 2. Tìm 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x → + − + . Câu hỏi: Biểu thức trên chứa những loại căn nào? Ta nên nâng lên lũy thừa bậc mấy? Trả lời: bậc 6 Lời giải Ta có 6 6 3 3 2 2 5 4 5 0 0 3 3 (1 2 ) (1 3 ) 1 2 1 3 lim lim [ (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ] x x x x x x x x x x x x → → + − + + − + = + + + + + + + = 3 2 2 5 4 5 0 3 3 (1 2 ) (1 3 ) lim [ (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ] x x x x x x x x → + − + + + + + + + + = 5 4 5 0 3 3 3 8 1 lim 2 [ (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ] x x x x x x → + = + + + + + + + Ví dụ 3. Tính giới hạn 4 0 1 2 1 lim x x x x → + − + Câu hỏi: Biểu thức trên chứa những loại căn nào? Ta nên nâng lên lũy thừa bậc mấy? Trả lời: bậc 4 Lời giải Ta có 4 4 4 4 3 2 2 3 0 0 4 4 4 (1 2 ) (1 ) 1 2 1 lim lim [ (1 2 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) (1 ) ] x x x x x x x x x x x x x x → → + − + + − + = + + + + + + + + + = 2 3 2 2 3 0 4 4 4 (1 2 ) (1 ) lim [ (1 2 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) (1 ) ] x x x x x x x x x x → + − + + + + + + + + + + = 3 2 2 3 0 4 4 4 3 4 3 lim 4 [ (1 2 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) (1 ) ] x x x x x x x x → + = + + + + + + + + + b) Phương pháp 2. Đặt ẩn phụ Ta cũng có thể dung phương pháp đặt ẩn phụ để dưa về dạng giới hạn hàm số chỉ chứa một loại căn. Ví dụ 1. Tìm 3 0 1 1 lim x x x x → + − + . Lời giải Đặt 3 1 x t+ = ⇔ x = t 3 – 1 Khi x dần tới 0 thì t dần tới 1 Khi đó 7 3 3 3 2 0 1 1 1 1 ( 1) lim lim lim 1 ( 1)( 1) x t t x x t t t t x t t t t → → → + − + − − = = − − + + = 2 1 1 lim 6 ( 1)( 1) t t t t t → = + + + Ví dụ 3. Tính giới hạn 4 0 1 2 1 lim x x x x → + − + Lời giải Đặt 4 1 x t+ = ⇔ x = t 4 – 1 Khi x dần tới 0 thì t dần tới 1 Ta có 4 0 1 2 1 lim x x x x → + − + = 4 4 4 4 1 1 1 2( 1) 2 1 lim lim 1 1 t t t t t t t t → → + − − − − = − − = 4 2 2 2 2 4 2 4 1 1 2 1 2 1 3 lim lim 4 ( 1)( 1)( 2 1 ) ( 1)( 2 1 ) t t t t t t t t t t t t → → − − + = = − + − + + − + . c) Phương pháp 3. Phương pháp gọi số hạng vắng Với hai kĩ thuật trên có thể giải quyết được hầu hết các bài toán giới hạn dạng này. Tuy nhiên, học sinh cũng thường gặp rất nhiều khó khăn với phương pháp trên vì biểu thức liên hợp thường khá cồng kềnh, phức tạp. Vì vậy, chúng ta còn một lựa chọn thứ ba, đó là phương pháp gọi số hạng vắng ! Đặc biệt, với những bài chứa nhiều hơn hai loại hàm khác nhau thì phương pháp này là lựa chọn tốt nhất ! Thông thường, khi gặp bài toán tính giới hạn hàm số chứa tổng nhiều loại hàm khác nhau, ta thường thêm ‘‘số hạng vắng’’ để tách ra nhiều giới hạn khác nhau. Trong mỗi giới hạn đó chỉ chứa một loại hàm. Vấn đề ở chỗ là thêm số nào, hằng số hay hàm số. Nếu là thêm hằng số, ta chỉ việc thay giá trị x 0 vào biểu thức đầu, được bao nhiêu ta trừ đi chính số đó. Nếu là thêm hàm số, ta thường phải sử dụng tham số để tính. Ví dụ 1: Tính giới hạn 3 0 1 1 lim x x x x → + − + . Câu hỏi : Thêm số nào ? Trả lời : Thay x = 0 vào biểu thức 1 x+ được số 1, vậy số cần thêm là số 1. Lời giải Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x + − + + − − + = + = − + + + + + + 8 = 2 3 3 1 1 1 1 1 1 (1 ) x x x − + + + + + + Vậy 3 0 1 1 lim x x x x → + − + = 0 lim x→ ( 2 3 3 1 1 1 1 1 1 (1 ) x x x − + + + + + + ) = 1 6 . Ví dụ 2. Tính giới hạn 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x → + − + . Sai lầm thường gặp = 3 2 2 0 0 1 2 1 1 1 3 lim lim x x x x x x → → + − − + + = 2 0 0 3 3 2 3 lim lim (1 1 2 ) (1 1 3 (1 3 ) ) x x x x x x x → → − + = ∞ + + + + + + Phần nguyên nhân sai lầm, xin dành cho bạn đọc! Như vậy, việc thêm hằng số ở đây không đạt được mục đích! Lời giải Ta cần thêm hàm số 1 + ax, với a phải là số thỏa mãn (1 + 2x) – (1 + ax) 2 có nhân tử x 2 Hay (2 – 2a)x – a 2 x 2 phải có nhân tử x 2 hay a = 1. Ta có 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x → + − + = 3 2 0 1 2 (1 ) (1 ) 1 3 lim x x x x x x → + − + + + − + = 3 2 2 0 1 2 (1 ) (1 ) 1 3 lim( ) x x x x x x x → + − + + − + + = 2 0 3 3 1 3 1 lim( ) 2 1 2 1 1 1 3 (1 3 ) x x x x x x → − + + = + + + + + + + Đặc biệt, với những bài giới hạn chứa tổng nhiều hơn hai loại hàm khác nhau thì sử dụng phương pháp này sẽ đem lại hiệu quả hơn cả! Ví dụ 3. Tính giới hạn sau 3 4 0 4 1 2 1 lim x x x x x → + − + − + Lời giải Tách 3 3 4 4 4 1 2 1 4 2 1 1 2 1 1x x x x x x x x x x + − + − + + − − + − + = + + Công việc còn lại xin nhường cho bạn đọc. Ví dụ 4. Tính giới hạn sau 3 0 1 . 1 2 1 lim x x x x → + + − 9 Vấn đề ở đây là: làm sao để tách hai căn thức trên ra, đưa về giới hạn quen thuộc? Lời giải Ta có 3 3 3 3 0 0 1 . 1 2 1 1 . 1 2 1 2 1 2 1 lim lim x x x x x x x x x x → → + + − + + − + + + − = = 3 3 0 1 2 ( 1 1) 1 2 1 lim( ) x x x x x x → + + − + − + Công việc còn lại, xin nhường cho bạn đọc. I.2.3. Bài tập tương tự Tính các giới hạn sau 1) 3 0 4 2 1 2 lim x x x x → + − + 2) 3 1 4 3 2 1 lim 1 x x x x → − − − − 3) 3 0 4 1 2 1 lim x x x x → + − + − 4) 3 0 4 1 2 2 lim x x x x → − + − 5) 3 2 2 6 lim 2 x x x x → + − + − 5) 3 4 0 4 1 1 2 lim x x x x x → + − − − + 7) 3 0 1 . 8 2 lim x x x x → + + − 8) 0 9 2 3 lim x x x → + − 9) 3 2 4 2 2 lim 2 x x x → + − − 10) 2 1 3 2 lim 1 x x x x x → + − + + − 11) 3 3 2 2 5 lim 3 x x x x → − − − − 12) 3 1 4 3 2 1 lim 1 x x x x → − − − − 13) 2 3 0 4 2 1 1 lim x x x x x → + − + − + 14) 3 1 4 3 2 1 1 lim 1 x x x x → − − − − 15) 3 2 3 2 6 lim 2 x x x x → − − + − 15) 3 4 1 5 2 2 1 lim 1 x x x x x → − − − − − − 17) 3 3 4 . 5 2 lim 3 x x x x → − + − − 18) 5 2 1 3 lim 5 x x x → − − − 19) 3 2 3 2 2 lim 2 x x x → + − − 20) 2 2 1 3 3 1 lim 1 x x x x x x → + − − − + − II. Giới hạn tại vô cực II.1. Tìm giới hạn dạng ∞ ∞ Phương pháp: Chia tử số và mẫu số cho n x , với n là số mũ cao nhất có mặt ở mẫu số hoặc đưa x n ra ngoài. 10 [...]... →+∞ 2 3 3 2 12) xlim ( 4 x + 2 x − 8 x + 3 x ) →+∞ 2 2 13) xlim ( x + x + 1 − x − x ) →+∞ 2 3 3 2 14) xlim ( x + 3 x + 1 − x + 5 x ) →+∞ 2 3 3 2 15) xlim ( x + 3 x − x + 2 x ) →+∞ 2 3 3 2 16) xlim ( x + x − 1 − x + 3x ) →+∞ I.3 Các giới hạn của hàm số lượng giác Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổ hàm số lượng giác thành dạng có sin x = 1 và các định lí cơ bản về giới hạn x →0 x... đưa về 2 dạng quen thuộc I, II ở trên II.2 Tìm giới hạn dạng ∞ ± ∞;0.∞ Phương pháp 1 Dùng một số phép biến đổi: đưa biến cao nhất ra ngoài, nhân biểu thức liên hợp để đưa về dạng xác định Ví dụ 1 Tính giới hạn sau lim ( x 2 + 2 x − 1 − x ) x →−∞ Lời giải Ta có lim ( x 2 + 2 x − 1 − x ) = lim [ − x ( 1 + x →−∞ x →−∞ 2 1 − + 1)] = +∞ x x2 Ví dụ 2 Tính giới hạn sau lim ( x 2 + 2 x − 1 − x ) x →+∞ Lời giải... 3 [ (1 + )5 + (1 + ) 4 3 (1 + ) + + 3 (1 + )5 ] x x x x Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ Khi x dần tới vô cùng, ta có thể đặt t = 1 với t dần tới 0 Đưa về dạng I (Có thể áp x dụng cho hầu hết các bài toán về giới hạn tại vô cực) 3x − 5 x →+∞ 2 − 7 x Ví dụ 1 Tìm lim Lời giải Đặt t = 1 , t dần tới 0+ x 3 −5 3x − 5 3 − 5x 3 x lim = lim = lim =− + + x →+∞ 2 − 7 x 7 x →0 x →0 −7 + 2 x 7 − +2 x 2 3x + 2 x Ví dụ... Tính giới hạn sau lim ( 3 x3 + 8 x 2 − 3 8 x 2 − x3 ) x →+∞ Lời giải Đặt t = 1 , khi x dần tới dương vô cực thì t dần tới 0+ x Ta có 1 + 8t − 3 1 − 8t lim ( x + 8 x − x − 8 x ) = lim x →+∞ t →0+ t 1 + 8t + 8t − 1 = tlim 3 →0+ t[ (1 + 8t ) 2 + 3 (1 + 8t )(1 − 8t ) + 3 (1 − 8t ) 2 16 16 = lim = t →0 + 3 3 (1 + 8t ) 2 + 3 (1 + 8t )(1 − 8t ) + 3 (1 − 8t ) 2 3 3 2 3 3 2 3 II.3 Bài tập tương tự Tính các giới. .. + ) = lim x x →+∞ x →+∞ x x 1 1 1 1 [ (1 + )5 + (1 + )4 3 (1 + ) + + 3 (1 + )5 ] x x x x 12 1 1 x[(1 + )3 − (1 + ) 2 ] x x = xlim →+∞ 1 1 1 1 [ (1 + )5 + (1 + ) 4 3 (1 + ) + + 3 (1 + ) 5 ] x x x x 1 (1 + ) 2 1 x = = xlim →+∞ 6 1 1 1 1 [ (1 + )5 + (1 + ) 4 3 (1 + ) + + 3 (1 + )5 ] x x x x Ví dụ 4 Tính giới hạn sau lim ( 3 x3 + 8 x 2 − 3 8 x 2 − x3 ) x →+∞ Lời giải Ta có lim ( 3 x3 + 8 x 2 − 3 x 3... 8 3 8 − 1− ) x x 8 8 + − 1) x x = xlim →+∞ 8 8 8 8 3 (1 + ) 2 + 3 (1 + )(1 − ) + 3 (1 − ) 2 x x x x 16 16 = lim = x →+∞ 3 8 2 3 8 8 8 3 (1 + ) + (1 + )(1 − ) + 3 (1 − ) 2 x x x x x(1 + Ví dụ 5 Tính giới hạn sau lim ( 4 x 4 + x 3 − x) x →+∞ Lời giải Ta có lim ( 4 x 4 + x 3 − x) = lim x( 4 1 + x →+∞ x→+∞ 1 − 1) x 1 1 1 − 1) lim = x 4 = xlim = x→+∞ 4 1 1 1 →+∞ 1 3 4 1 2 4 1 (1 + )3 + 4 (1 + ) 2 + 4 (1... Lời giải Đặt t = 1 , khi x dần tới âm vô cực thì t dần tới 0x 3 2 + 2 3 3x + 2 x t 2 t = lim 3t + 2t = 0 lim = lim 3 4 x →−∞ − x 4 + 5 x + 1 1 5 t →0 − t →0− −1 + 5t + t − 4 + +1 t t 2 Ví dụ 3 Tính giới hạn sau lim ( x 2 + 2 x − 1 − x ) x →−∞ Lời giải 14 Đặt t = 1 , khi x dần tới âm vô cực thì t dần tới 0x Ta có lim ( x 2 + 2 x − 1 − x ) = lim [( − x →−∞ t →0 1 2 1 1 + 2t − t 2 + 1 + − 1 − )] = lim... 3x ) →+∞ I.3 Các giới hạn của hàm số lượng giác Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổ hàm số lượng giác thành dạng có sin x = 1 và các định lí cơ bản về giới hạn x →0 x thể sử dụng giới hạn: lim I.3.1 Các ví dụ 1 − cos x x →0 x2 Ví dụ 1: Tìm lim Lời giải 2 x 2 x sin 2 ÷ 1 1 − cos x 1 2sin lim Ta có lim = 2 = ÷= 2 lim x →0 x 2 x →0 x ÷ 2 2 x →0 x 2 x sin 2 =1 Do lim x →0... x 1 π t 2 − cos x ÷ 2 cos − cos x ÷ −4sin − ÷sin 3 2 3 2 2 Đặt x = 16 (−1) sin 3t 1 6 x →0 4 3t sin t π sin − t ÷ = 2 3 − 3 t 2 ⇒ I = lim I.3.2 Bài tập Tính các giới hạn sau : 3 1 1 − 1) lim ÷ x →0 sin sin 3x x t anx − sinx x →0 x3 1 − cos x 3) lim x →0 tan 2 x 2) lim 1 − cos6x 4) lim x →0 x2 1 − cos3x 5) lim x →0 1 − cos5x cosx 6) x → π 2 x− 2 7) lim (... 8t − 1 = tlim 3 →0+ t[ (1 + 8t ) 2 + 3 (1 + 8t )(1 − 8t ) + 3 (1 − 8t ) 2 16 16 = lim = t →0 + 3 3 (1 + 8t ) 2 + 3 (1 + 8t )(1 − 8t ) + 3 (1 − 8t ) 2 3 3 2 3 3 2 3 II.3 Bài tập tương tự Tính các giới hạn sau: 1) xlim →±∞ 1 − 3x 1 − 2x 2x2 + 3 x →±∞ x 3 + 2 x 2 + 1 2) lim 15 3x3 − 2 x 2 + 5 x →±∞ 1 − 2 x + x 3 1 − 3 x 2 + x3 5) lim x →±∞ 1 − 2x2 3) lim 1 − 3x − x 2 x →±∞ 1 − 2 x + x 4 4) lim 2 2 6) . biểu thức đầu, được bao nhiêu ta trừ đi chính số đó. Nếu là thêm hàm số, ta thường phải sử dụng tham số để tính. Ví dụ 1: Tính giới hạn 3 0 1 1 lim x x x x → + − + . Câu hỏi : Thêm số nào ? Trả