Đang tải... (xem toàn văn)
ôn tập tổng hợp chương 1, 2 hình không gian 12 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về t...
L p LTĐH & B i Dư ng Ki n Th c Ph Thông 45 H ng Lĩnh Nha Trang ĐT : 0932528949 - ›š & ›š BÀI TẬP HÌNH HỌC 12 TẬP ( Dành Cho H c Sinh Ôn Thi T t Nghi p Và ĐH ) Biên So n : Th.s Nguy n Dương g Nha Trang 2010 Lưu hành n i b Th.s Nguy n Dương Khối đa diện CHƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 I QUAN HỆ SONG SONG Hai đường thẳng song song a) Định nghóa: ìa, b Ì ( P ) aP b ợa ầ b = ặ b) Tính chất ì( P ) ¹ (Q) ¹ ( R ) ï( P ) Ç (Q) = a é a, b, c ủong qui à ịờ ( P) ầ ( R) = b ëa P b P c ï ù(Q) ầ ( R ) = c ợ ỡa b Ãớ ị aP b ợa P c, b P c ì( P ) Ç (Q) = d ï éd P a P b · í( P ) É a,(Q) É b Þ ê ë d º a ( d º b) ïa P b ỵ Đường thẳng mặt phẳng song song a) Định nghóa: d // (P) d ầ (P) = ặ b) Tớnh chaỏt ỡd Ë ( P ), d ' Ì ( P ) ìd P ( P ) ·í ·í Þ d P ( P) ịd P a ợd P d ' ợ(Q) É d ,(Q ) Ç (P ) = a ì( P ) ầ (Q) = d Ãớ ịd P a î( P ) P a,(Q) P a Hai maët phẳng song song a) Định nghóa: (P) // (Q) Û (P) ầ (Q) = ặ b) Tớnh chaỏt ỡ( P ) É a, b ì( P ) ¹ (Q) ì(Q) P ( R ) ï ï ï · ía Ç b = M Þ ( P ) P (Q) · í( P ) P ( R ) Þ ( P ) P (Q ) · í( P ) Ç (Q) = a Þ a P b ïa P (Q), b P (Q ) ï(Q) P ( R ) ï( P ) ầ ( R ) = b ợ ợ ợ Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau: · Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) · Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba · Áp dụng định lí giao tuyến song song b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d P ( P ) , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d¢ nằm (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng Trang Khối đa diện Th.s Nguy n Dương II QUAN HỆ VUÔNG GÓC Hai đường thẳng vuông góc a) Định nghóa: ¶ a ^ b Û ( a, b ) = 90 b) Tính chất r r rr · Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ^ b u.v = ỡb ÔÔ c Ãớ ịa^b ợa ^ c ẹửụứng thaỳng vaứ mặt phẳng vuông góc a) Định nghóa: b) Tính chất d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P) ìa, b Ì ( P ), a Ç b = O · Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng: ị d ^ ( P) ợd ^ a, d ^ b ìa P b ìa ¹ b · í Ãớ ị (P) ^ b ịaP b ợ( P ) ^ a ỵa ^ ( P ), b ^ ( P ) ì( P ) P (Q) ì( P ) ¹ (Q) · í ·í Þ a ^ (Q) Þ ( P ) P (Q) ỵa ^ ( P ) î( P ) ^ a,(Q) ^ a ìa P ( P ) ìa Ë ( P ) · í ·í Þb^a Þ a P ( P) ỵb ^ ( P ) ỵa ^ b,( P ) ^ b · Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng · Định lí ba đường vuông góc Cho a ^ ( P ), b Ì ( P ) , a¢ hình chiếu a (P) Khi b ^ a Û b ^ a¢ Hai mặt phẳng vuông góc a) Định nghóa: ( ) (P) ^ (Q) Û · ) = 900 ( P ),(Q b) Tính chất ì( P ) É a · Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: í Þ ( P ) ^ (Q) ỵa ^ (Q) ì( P ) ^ (Q) ï ì( P ) ^ (Q),(P ) Ç (Q ) = c · í · í A Ỵ (P ) Þ a Ì (P) Þ a ^ (Q) ỵa Ì ( P ), a ^ c ïa ' A, a ^ (Q) ợ ỡ( P ) ầ (Q) = a ï · í( P ) ^ ( R ) Þ a ^ ( R) ï(Q) ^ ( R ) ỵ Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d ^ a , ta sử dụng cách sau: · Chứng minh góc a d 900 · Chứng minh vectơ phương a d vuông góc với · Chứng minh d ^ b mà b P a Trang Th.s Nguy n Dương Khối đa diện · Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a · Sử dụng định lí ba đường vuông góc · Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …) b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ^ (P), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) · Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P) · Chứng minh d // a a ^ (P) · Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) · Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) (R) ^ (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ^ (Q), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ^ (Q) · · Chứng minh ( P ),(Q) = 900 ( ) III GÓC – KHOẢNG CÁCH Góc a) Góc hai đường thẳng: ¶ Chú ý: 00 £ ( a, b ) Ê 900 ả à a//a', b//b' ị ( a, b ) = ( a ', b ' ) b) Góc đường thẳng với mặt phẳng: · · Nếu d ^ (P) d ,( P ) = 900 ( ( ) ) · · · Neáu d ^ ( P ) d ,( P ) = ( d , d ' ) với d¢ hình chiếu d (P) · Chú ý: 00 £ d ,( P ) £ 900 ( ) ( ) ìa ^ ( P ) · ¶ íb ^ (Q) Þ ( P ),(Q) = ( a, b ) ỵ ìa Ì ( P ), a ^ c · ¶ · Giả sử (P) Ç (Q) = c Từ I Ỵ c, dựng í Þ ( P ),(Q) = ( a, b ) b Ì (Q), b ^ c ỵ · Chú ý: 0 £ ( P ),(Q) £ 90 c) Góc hai mặt phẳng ( ( ) ) d) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S¢ diện tích hình chiếu (H¢) (H) · (Q), j = ( P ),(Q) Khi đó: S¢ = S.cosj ( ) Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Trang Khối đa diện Th.s Nguy n Dương d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo bằng: · Độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng · Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ · Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng IV Nhắc lại số công thức Hình học phẳng Hệ thức lượng tam giác a) Cho DABC vuông A, có đường cao AH 1 = + 2 AH AB AC b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p · Định lí hàm số cosin: · AB + AC = BC · AB = BC.BH , AC = BC.CH · a =b + c – 2bc.cosA; b2 = c + a2 - 2ca.cos B; c2 = a2 + b2 - ab.cos C a b c · Định lí hàm số sin: = = = 2R sin A sin B sin C · Công thức độ dài trung tuyeán: b + c2 a2 c + a2 b a2 + b2 c2 2 - ; mb = - ; mc = 4 Các công thức tính diện tích a) Tam giaùc: 1 1 1 · S = a.ha = b.hb = c.hc · S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc · S= · S = pr · S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) 4R · DABC vuông A: 2S = AB AC = BC AH ma = · DABC đều, cạnh a: b) Hình vuông: c) Hình chữ nhật: S= S = a2 S = a.b a2 (a: cạnh hình vuông) (a, b: hai kích thước) · d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = AB AD.sinBAD · e) Hình thoi: S = AB AD.sinBAD = AC BD f) Hình thang: S = (a + b ).h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC BD Trang Khối đa diện Th.s Nguy n Dương CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật Thể tích khối chóp: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp 3 Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích công thức · Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … · Sử dụng công thức để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích cách bổ sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích d) Tính thể tích công thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có: VOABC OA OB OC = VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC ' * Boå sung · Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên · Diện tích toàn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Góc mặt bên mặt đáy a (450 < a < 900) Tính thể tích hình chóp HD: Tính h = Bài 1 a tan a Þ V = a3 tan a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB vuông góc với mp(SCD) cắt SC SD C¢ D¢ Tính thể tích khối đa diện ADD¢.BCC¢ HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' khối SABCD 5a3 ÞV= Trang Khối đa diện Th.s Nguy n Dương Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, cạnh lại Tính thể tích hình chóp theo x y HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC AIBC (I trung điểm SA) xy ÞV= - x - y2 12 Baøi Cho tứ diện ABCD có cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích tứ diện theo a, b, c HD: Trong mp(BCD) lấy điểm P, Q, R cho B, C, D trung điểm PQ, QR, RP Chú ý: VAPQR = 4VABCD = AP AQ AR ( a2 + b2 - c2 )(b2 + c - a )(c + a - b ) 12 Baøi Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC).Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ÞV= HD: Bài VSAMN VSABC SA SM SN ỉ SA 16 3a3 = =ỗ ị V= ữ = SA SB SC ỗ SB ữ 25 50 ố ứ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông caïnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB = cm Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB = cm, AC = 4cm Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng đáy SA = 5cm Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài Cho hình tứ diện ABCD coù AD ^ (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) b) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có mp(ABC¢) tạo với đáy góc 450 diện tích DABC¢ 49 cm2 Tính thể tích lăng trụ Bài 10 Cho hình vuông ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) phía mặt phẳng Trên Bx Dy lấy điểm M, N gọi BM = x, DN = y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = a , SA ^ (ABCD) Gọi M,N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) Chứng minh mp(SAC) ^ BM b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC) Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Bài 13 (A–08) Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC cosin góc đường thẳng AA’ B’C’ Trang Khối đa dieän Th.s Nguy n Dương HD: V= a3 ; cos j = Bài 14 (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a (SAB) vuông góc mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN cosin góc hai đường thẳng SM vaø DN HD: V= a3 ; cos j = 5 Bài 15 (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điềm BC Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng AM, B¢C HD: a3 ; V= d= a 7 Baøi 16 (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM ^ BP tính thể tích khối CMNP HD: 3a3 96 V= Bài 17 (B–07): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA; M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN ^ BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC HD: d= a Bài 18 (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với · = · = 900 , BC = BA = a, AD = 2a SA^(ABCD), SA = a Gọi H hình ABC BAD chiếu vuông góc A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến (SCD) HD: d= a Bài 19 (A–06): Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O¢, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO¢AB HD: V= 3a3 12 Bài 20 (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA ^ (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC; I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC) ^ (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB HD: a3 V= 36 Bài 21 (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = Trang Khối đa diện Th.s Nguy n Dương 2a SA ^ (ABC) Gọi M, N hình chiếu vuông góc A SB, SC Tính thể tích hình chóp A.BCMN HD: V= 3a3 50 Bài 22 (Dự bị A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a vaø · = 1200 Gọi M trung điểm CC1 Chứng minh MB ^ MA1 tính BAC khoảng cách d từ A đến (A1BM) HD: d= a Bài 23 (Dự bị A–07): Cho hình chóp SABC có góc · ) = 600 , ABC vaø SBC (SBC ),( ABC ( ) tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC) HD: d= 3a 13 Bài 24 (Dự bị B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, SA ^ (ABCD) AB = a, SA = a Gọi H, K hình chiếu vuông góc A SB, SD Chứng minh SC^(AHK) tính thể tích tứ diện OAHK HD: 2a V= 27 Bài 25 (Dự bị B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường tròn cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) A lấy điểm S cho · ) = 600 Gọi H, K hình chiếu A (SAB),(SBC ( ) SB, SC Chứng minh tam giác AHK vuông tính thể tích tứ diện SABC HD: V= R3 12 Bài 26 (Dự bị D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vuông góc chung AA1 BC1 Tính thể tích tứ diện MA1BC1 HD: a3 V= 12 Bài 27 (Dự bị D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ^ B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM vaø B1C HD: d= a 30 10 Baøi 28 (Dự bị A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, a AA' = · = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh A'D' A'B' BAD Chứng minh AC' ^ (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Trang Khối đa diện Th.s Nguy n Dương HD: V= 3a3 16 Bài 29 (Dự bị A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = Tính thể tích khối chóp S.BCMN HD: V= a Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N 10 3 a 27 Bài 30 (Dự bị B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, · = 600 , SA ^ (ABCD), SA = a Goïi C' trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua BAD AC' song song với BD, cắt cạnh SB, SD B', D' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D' HD: V= a3 18 Bài 31 (Dự bị B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b Gọi a góc hai mặt phẳng (ABC) (A'BC) Tính tana thể tích khối chóp A'.BB'C'C HD: a 3b - a2 V= Bài 32 (Dự bị D–06): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cachs từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) b Tính thể tích khối choùp S.ABCD HD: a3b V= a2 - 16b Bài 33 (Dự bị D–06): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC¢ cho CK = a Mặt phẳng (a) qua A, K song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện ñoù HD: a3 V1 = ; 2a3 V2 = Bài 34 (Dự bị 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a SB ^ (ABC) Tam giác ABC có BA = BC = a, góc ABC 1200 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Bài 35 (Dự bị 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a Trang Khối đa diện Th.s Nguy n Dương ÔN TẬP KHỐI ĐA DIỆN Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD, có cạnh đáy a · = a ASB a) Tính diện tích xung quanh hình chóp b) Chứng minh đường cao hình chóp baèng a a cot - 2 c) Tính thể tích khối chóp HD: a) Sxq = a cot a c) V = a a cot - Baøi Cho hình chóp SABC có mặt bên (SAB) (SAC) vuông góc với đáy Đáy ABC tam giác cân đỉnh A Trung tuyến AD = a Cạnh bên SB tạo với đáy góc a tạo với mp(SAD) góc b a) Xác định góc a, b b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2 c) Tính diện tích toàn phần thể tích khối chóp HD: a) · = a ; · = b SBA BSD c) Stp = V= a2 a sin b (sin 2a + sin b ) + cos2 a - sin b cos2 a - sin b a3 sin a sin b 3(cos2 a - sin b ) Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AB M điểm di động đường thẳng BC a) Chứng minh SH ^ (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tìm tập hợp hình chiếu S lên DM c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a x = CM HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK = a a - 4ax + x 2 a2 + x Bài Trên đường thẳng vuông góc A với mặt phẳng hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B¢, D¢ hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (AB¢D¢) cắt SC C¢ Tính thể tích khối chóp SAB¢C¢D¢ HD: VSAB¢C ¢ VSABC 16a3 = Þ VSAB¢C¢D¢ = 15 45 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD A¢, B¢, C¢, D¢ Chứng minh: SA SC SB SD + = + SA¢ SC¢ SB¢ SD¢ HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp Bài Cho tứ diện SABC có cạnh a Dựng đường cao SH a) Chứng minh SA ^ BC Trang 10 Khối đa diện Th.s Nguy n Dương b) Tính thể tích diện tích toàn phần hình chóp SABC c) Gọi O trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đôi vuông góc với a3 ; Stp = a2 12 Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 600 cạnh đáy a a) Tính thể tích khối chóp b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo (P) hình choùp HD: b) V = a3 a2 b) S = Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h góc đáy mặt bên a HD: a) V = a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối chóp theo a h b) Cho điểm M di động cạnh SC Tìm tập hợp hình chiếu S xuống mp(MAB) HD: a) Sxq = 4h tan a tan a - ; V= 4h3 3(tan a - 1) Bài Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 £ x £ a) nửa đường thẳng Ax vuông góc A với mặt phẳng hình vuông, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0) a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) (SBC) vuông góc b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC) c) Tính thể tích khối chóp SABCM d) Với giả thiết x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn thể tích với SABCM e) I trung điểm SC Tìm q tích hình chiếu I xuống MC M di động đoạn AD x 1 c) V = ay( x + a) d) Vmax = a 24 Baøi 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a hợp với mặt bên SAB góc b HD: b) d = a) Chứng minh: SC2 = a2 cos2 a - sin b b) Tính thể tích khối chóp HD: b) V = a3 sin a sin b 3(cos2 a - sin b ) Baøi 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SA =2a vuông góc với mặt phẳng đáy a) Tính diện tích toàn phần hình chóp b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD Chứng minh SC ^ (AEF) Bài 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA = SB = SC = SD = a Tính diện tích toàn phần thể tích khối chóp S.ABCD Trang 11 Khối đa diện Th.s Nguy n Dương Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A vaø D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ^ (ABCD) SD= a a) Chứng minh DSBC vuông Tính diện tích DSBC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD = a Từ trung điểm E DC dựng EK ^ SC (K Ỵ SC) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a chứng minh SC ^ (EBK) Bài 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D Biết AB = 2a, AD = CD = a (a > 0) Cạnh bên SA =3a vuông góc với đáy a) Tính diện tích tam giác SBD b) Tính thể tích tứ diện tứ diện SBCD theo a Bài 16 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B Cạnh SA vuông góc với đáy Từ A kẻ đoạn thẳng AD ^ SB AE ^ SC Bieát AB = a, BC = b, SA = c a) Tính thể tích khối chóp S.ADE b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB) Bài 17 Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy a, đường chéo mặt bên BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ góc a a) Xác định góc a b) Chứng minh thể tích lăng trụ là: a3 sin 3a sin a HD: a) · ¢ với I¢ trung điểm A¢B¢ C ¢BI Bài 18 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h Mặt phẳng (A¢BD) hợp với mặt bên ABB¢A¢ góc a Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ HD: V = h3 tan a - , Sxq = 4h2 tan a - Bài 19 Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông A Khoảng cách từ AA¢ đến mặt bên BCC¢B¢ a, mp(ABC¢) cách C khoảng b hợp với đáy góc a a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢ Chứng minh: AH = a, · ¢ = a, CK = b CAC b) Tính thể tích lăng trụ c) Cho a = b không đổi, a thay đổi Định a để thể tích lăng trụ nhỏ HD: b) V = ab3 c) a = arctan 2 sin 2a b2 - a2 sin a Bài 20 Cho lăng trụ ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy a Góc đường chéo AC¢ đáy 600 Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ V = a3 ; Sxq = 4a2 Bài 21 Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên h Từ đỉnh vẽ đường chéo mặt bên kề Góc đường chéo a Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ HD: HD: Sxq = 4h2 - cos a cos a Trang 12 Khối đa diện Th.s Nguy n Dương Bài 22 Cho lăng trụ tam giác ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC¢) hợp với mp(BCC¢B¢) góc a Gọi I, J hình chiếu A lên BC BC¢ a) Chứng minh · = a AJI b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng truï HD: b) V = 3a3 ; Sxq = 3a2 tan a - tan a - Bài 23 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy tam giác cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b a) Xác định đường cao lăng trụ vẽ từ A¢ Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ hình chữ nhật b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 600 c) Tính thể tích diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm a2 c) Stp = (7 + 21) 12 Bài 24 Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ABB¢A¢ hình thoi cạnh a, nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt bên ACC¢A¢ hợp với đáy góc nhị diện có số đo a (0 < a < 900) a) Chứng minh: · = a A¢AB HD: b) b = a b) Tính thể tích lăng trụ c) Xác định thiết diện thẳng qua A Tính diện tích xung quanh lăng trụ d) Gọi b góc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy Chứng minh: tanb = tana HD: b) V = a3sina c) Sxq = a2(1 + sina + + sin a ) Baøi 25 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A¢ lên mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC) Cho · ¢ = 450 BAA a) Tính thể tích lăng trụ b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ a2 2 b) Sxq = a2(1 + ) Bài 26 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC tam giác nội tiếp đường tròn tâm O Hình chiếu C¢ lên mp(ABC) O Khoảng cách AB CC¢ d số đo nhị diện cạnh CC¢ 2j HD: a) V = a) Tính thể tích lăng trụ b) Gọi a góc mp(ABB¢A¢) (ABC) (0 < a < 900) Tính j biết a + j = 900 HD: a) V = 2d tan3 j tan j - b) tana = tan j - ; j = arctan 2 Bài 27 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Mặt bên ABBA¢ hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt hợp với góc a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC¢B¢) Xác định góc a b) Tính thể tích lăng trụ Trang 13 Khối đa diện HD: Th.s Nguy n Dương a) a Gọi AK đường cao DABC; vẽ KH ^ BB¢ · = a AHK 3a3 cot a Bài 28 Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy hình thoi Biết diện tích mặt chéo ACC¢A¢, BDD¢B¢ S1, S2 b) V = a) Tính diện tích xung quanh hình hộp b) Biết · = 1v Tính thể tích hình hộp BA¢D HD: 2 a) Sxq = S1 + S2 b) V = S1S2 S2 - S2 Bài 29 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD góc a hợp với mặt bên BCC¢B¢ góc b a) Chứng minh: · ¢ = a · = b CAC AC ¢B b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sina.sinb cos(a + b ).cos(a - b ) c) Tìm hệ thức a, b để A¢D¢CB hình vuông Cho d không đổi, a b thay đổi mà A¢D¢CB hình vuông, định a, b để V lớn d3 a = b = 300 (dùng Côsi) 32 Bài 30 Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ có đáy hình thoi ABCD cạnh a, µ = 600 Chân A đường vuông góc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy Cho BB¢ = a HD: c) 2(cos2a – sin2b) = ; Vmax = a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp HD: a) 600 b) V = 3a3 ; Sxq = a2 15 Bài 31 Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD hình thoi cạnh a · = 600; BAD A¢A = A¢B = A¢D cạnh bên hợp với đáy góc a a) Xác định chân đường cao hình hộp vẽ từ A¢ góc a Tính thể tích hình hộp b) Tính diện tích tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢ p ( ABB¢A¢, ABCD c) Đặt b = · ) Tính a biết a + b = HD: a) Chân đường cao tâm tam giác ABD b) SBDD¢B¢ = a2 ; SACC¢A¢ = a2tana sin a c) a = arctan 17 - Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 14 ... =b + c – 2bc.cosA; b2 = c + a2 - 2ca.cos B; c2 = a2 + b2 - ab.cos C a b c · Định lí hàm số sin: = = = 2R sin A sin B sin C · Công thức độ dài trung tuyến: b + c2 a2 c + a2 b a2 + b2 c2 2 - ; mb... b) Hình vuông: c) Hình chữ nhật: S= S = a2 S = a.b a2 (a: cạnh hình vuông) (a, b: hai kích thước) · d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = AB AD.sinBAD · e) Hình thoi: S = AB AD.sinBAD = AC BD f) Hình. .. Chú ý: VAPQR = 4VABCD = AP AQ AR ( a2 + b2 - c2 )(b2 + c - a )(c + a - b ) 12 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC).Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB SC Tính