ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC VÀ SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC (Tiểu luận Triết Học, chương trình Cao Học & Nghiên Cứu Sinh không chuyên Triết) Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS.VŨ TÌNH Học viên thực hiện: TRẦN THỊ ÁNH VY (Học viên cao học K21 2011-2013) TP. HỒ CHÍ MINH Tháng 9/2011 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH  LỜI MỞ ĐẦU Ở trường Đại học, chúng ta đã được học triết học duy vật biện chứng, nhưng việc ứng dụng có hiệu quả ngay vào việc học, dạy và việc nghiên cứu các bộ môn còn yếu. Do vậy, người học coi đây là một môn có tính chất lý luận cao xa, chỉ ứng dụng vào những vấn đề chính trị lớn, những phát minh khoa học lớn, còn việc ứng dụng vào công việc thân thiết hằng ngày của họ là học, dạy và nghiên cứu khoa học về bộ môn chuyên môn của mình thì hầu như chẳng thấy đâu, trừ một vài câu chuyện lịch sử bộ môn liên quan đến những phát minh lớn. Bởi vậy, người học cảm thấy triết học duy vật biện chứng chỉ như là một công cụ để giải thích phần nào đó thế giới, đôi khi giải thích khiên cưỡng, chưa cảm nhận đây là công cụ để cải tạo thế giới mà thiết thực nhất đối với họ là để nâng cao chất lượng dạy, học và ngiên cứu khoa học về bộ môn. Điều này hiển nhiên hạn chế rất nhiều việc hình thành thế giới quan của họ do thiếu một sự tác động qua lại giữa triết học duy vật biện chứng và các môn khoa học. Bài tiểu luận này cho thấy ít nhiều mối liên hệ của triết học với các khoa học cụ thể, đặc biệt là toán học. Mục đích chủ yếu là giúp cho người đọc hiểu được một cách tổng quát cách thức xây dựng và phát triển của toán học. Trong sự phát triển đó có tính kế thừa, phủ định biện chứng và đầy quanh co. Điều đó thấy rõ qua những thăng trầm trong lịch sử phát triển triết học toán học để hoàn thiện dần cho đến ngày nay (tuy vẫn còn nhiều lỗ hổng - và điều đó là tất yếu, phù hợp với quy luật vận động và phát triển của thế giới). Cơ sở lý luận chung để viết tiểu luận này nằm trong chuyên đề logic học - khoa học về tư duy và phép biện chứng duy vật. Trong toán học, khi logic hình thức chủ yếu tập trung vào sự phân tích những lý luận đã được hình thành (như phương pháp tiên đề, những phép toán mới được phát sinh trong buổi sơ khai…) thì logic biện chứng vạch ra những nguyên tắc logic để chuyển lên tri thức mới, nghiên cứu sự hình thành và phát triển của toán học nói riêng, sự vận động đó có tính biện chứng. Kết cấu của tiểu luận gồm ba chương. Chương I chủ yếu tóm lược các kiến thức cơ bản về logic học, về phép biện chứng duy vật . Tuy nhiên có chú thích để hướng dẫn cho việc tiếp cận nội dung các chương sau. Chương II trình bày tổng quát cách thức xây dựng nền toán học theo phương pháp tiên đề, những vấn đề về logic trong lịch sử phát triển của nó (chủ yếu là quá trình đặt nền tảng cho toán học). Chương III nêu hai ví dụ minh họa cho những điều đã đề cập ở hai chương trước. Kết luận chương III cũng là kết luận chung cho bài tiểu luận này. Trong quá trình làm tiểu luận này, tôi đã tham khảo nhiều tài liệu, xin chân thành cảm ơn các tác giả. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự tận tình giảng dạy, hướng dẫn của PGS.TS.Vũ Tình trong suốt thời gian học chuyên đề triết học và quá trình làm tiểu luận. HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 2 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH Chắc chắn tiểu luận này còn nhiều sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô, các bạn và tất cả những người đã quan tâm. Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn MỤC LỤC Trang Lời mở đầu 1 Mục lục 2 Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 3 Khái lược về phép biện chứng duy vật 4 Logic học – Khoa học về tư duy 5 Logic học nói chung 5 Logic hình thức 5 Logic học biện chứng 6 Chương II: PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ 8 VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC TRONG TOÁN HỌC Toán học nói chung 9 Tính trừu tượng và khái quát 9 Trực giác và hình thức 10 Hệ tiên đề và tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề 12 Hệ tiên đề 12 Tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề 13 Cơ sở hay nền tảng của toán học 15 Con cừu một nửa đen trong bầy cừu 16 Hai lối thoát 17 Chương trình của Hilbert về chứng minh tính phi mâu thuẫn 18 Tính không giải được 19 Kết luận chương II 20 Chương III: VÍ DỤ MINH HỌA SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG 21 TRONG LỊCH SỬ CỦA GIẢI TÍCH TOÁN HỌC Lược sử hình thành khái niệm số 22 Lược sử hình thành phép tính vi tích phân 23 Kết luận chương III 26 Tài liệu tham khảo 27 HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 3 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN CHUNG HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 4 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH KHÁI LƯỢC VỀ PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT Phép biện chứng duy vật là phương pháp luận chung nhất cho nhận thức khoa học và thực tiễn cách mạng (hiểu theo nghĩa triết học). Nó là hệ thống tri thức lý luận khoa học, trình bày một cách chặt chẽ và có hệ thống tính chất biện chứng của thế giới thông qua những cặp phạm trù cơ bản và những quy luật chung nhất của thế giới (tự nhiên, xã hội, tư duy). Phổ quát hơn là hai nguyên lý cơ bản - Nguyên lý về các mối liên hệ phổ biến: trong thế giới luôn chằn chịt các mối liên hệ. Sự đa dạng của mọi sự vật hiện tượng cũng được giải thích qua các mối liên hệ tác động qua lại. Ví dụ: Trong tự nhiên có mối liên hệ giữa cơ thể sống sinh vật với môi trường được biểu hiện qua quá trình trao đổi chất. Trong xã hội có các mối liên hệ giữa người với người, các quan hệ sản xuất. Trong tư duy cũng có sự liên hệ, chuyển hóa, vận động …vì theo quan điểm duy vật biện chứng thì biện chứng của tư duy chỉ là phản ánh biện chứng của tự nhiên (sự vật khách quan) một cách năng động - Nguyên lý về sự phát triển: thế giới luôn vận động và biến đổi không ngừng. Bản chất của sự vận động là có khuynh hướng phát triển. Ví dụ: trong tự nhiên, vật chất luôn chuyển hóa từ dạng này sang dạng khác và không mất đi, sinh vật có già chết, phản ứng hóa học xảy ra không ngừng … Trong xã hội, sự vận động phát triển của xã hội luôn xảy ra trong lịch sử đi từ thấp đến cao, đó là sự thay đổi của các hình thái kinh tế xã hội. Cụ thể hóa cho hai nguyên lý trên là sáu cặp phạm trù cơ bản và ba quy luật cơ bản. Sáu cặp phạm trù là cái riêng và cái chung, tất nhiên và ngẫu nhiên, bản chất và hiện tượng. Ba cặp phạm trù này làm cơ sở phương pháp luận trực tiếp cho các phương pháp phân tích và tổng hợp, diễn dịch và quy nạp, khái quát và trừu tượng hóa. Hai cặp phạm trù nguyên nhân - kết quả, khả năng - hiện thực làm cơ sở phương pháp luận để vạch ra trình tự kế tiếp nhau của các mối liên hệ và vạch ra tính chất tự nhiên tất yếu của quá trình phát triển. Cặp phạm trù nội dung - hình thức làm cơ sở phương pháp luận dể xây dựng các hình thức trong sự phụ thuộc vào nội dung. Một nội dung có thể mang nhiều hình thức, vấn đề là phải tuân theo các mối liên hệ nội tại của các yếu tố cấu thành nội dung chứ không được tùy tiện. Ba quy luật cơ bản: - Quy luật đấu tranh và thống nhất giữa các mặt đối lập (gọi tắt là quy luật mâu thuẫn), quy luật này vạch ra nguồn gốc và động lực của sự phát triển. Quá trình đấu tranh giải quyết mâu thuẫn là quá trình tất yếu. - Quy luật chuyển hóa từ những biến đổi về lượng dẫn tới những biến đổi về chất (quy luật lượng - chất), vạch ra cách thức và cơ chế của sự phát triển. - Quy luật phủ định của phủ định vạch ra khuynh hướng của sự phát triển là theo hình thức xoắn ốc thể hiện tính chu kỳ trong sự phát triển. Đây là sự phủ HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 5 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH định biện chứng, cái cũ mất đi thay vào là cái mới dường như lặp lại cái cũ nhưng trên cơ sở cao hơn, hoàn thiện hơn. LOGIC HỌC – KHOA HỌC VỀ TƯ DUY 1. LOGIC HỌC NÓI CHUNG - Logic học là khoa học ngiên cứu các hình thức và quy luật của tư duy theo yêu cầu chuyển chúng thành nguyên tắc, phương pháp chung áp dụng cho mọi quá trình tư duy cụ thể để thực hiện nắm bắt chân lý. - Các hình thức logic của tư tưởng là cấu trúc nhất định của tư tưởng, là cách thức liên hệ kết hợp giữa các thành phần tư tưởng. Nó bao gồm khái niệm, phán đoán và suy luận - Các quy luật logic do logic học nghiên cứu là những mối liên hệ bản chất, có tính tất yếu giữa các tư tưởng. Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng thì những hình thức logic và quy luật logic có nguồn gốc từ thế giới khách quan, chúng là sự phản ánh của cái khách quan vào ý thức chủ quan của con người. Thế giới khách quan tồn tại độc lập với ý thức con người không những được phản ảnh trong nội dung của tư tưởng, mà còn quy định cả những hình thức của tư tưởng và những quy luật liên kết các tư tưởng của con người. Và vì vậy thực tiễn là cơ sở để hình thành những hình thức và quy luật của logic. Có hai khoa học logic - đó là logic hình thức và logic biện chứng. 2. LOGIC HÌNH THỨC Logic hình thức cổ truyền hay truyền thống do Aristote (384-322 TCN) sáng lập, về sau được Baccon, Leibnitz… phát triển và bổ sung. Việc áp dụng các phương pháp hình thức của toán học (xem minh họa chương III) vào logic học, logic toán ra đời là logic hình thức hiện đại. Đây là khoa học nghiên cứu các hình thức và quy luật của tư duy đúng đắn; nó nghiên cứu các hình thức logic của tư duy (khái niệm, phán đoán, suy luận) và quy luật logic đảm bảo tính xác định, chặt chẽ và nhất quán cho tư duy trong suốt quá trình suy luận, logic hình thức chỉ xét chúng về mặt cấu tạo hình thức. Các quy luật cơ bản của tư duy: - Quy luật đồng nhất (A là A): yêu cầu mỗi tư tưởng (khái niệm, phán đoán…) phải có tính xác định, phải luôn luôn đồng nhất với bản thân nó. Nghĩa là mỗi tư tưởng phải có cùng một nội dung xác định trong suốt quá trình tư duy. - Quy luật mâu thuẫn (không thể vừa A vừa không A): yêu cầu phải phi mâu thuẫn về logic (xem chương II, hệ tiên đề và tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề, nghịch lý Russels), không cho phép có phi mâu thuẫn trong tư duy. Nghĩa là có hai phán đoán phủ định nhau thì chúng không thể đồng thời là đúng và do đó không được cùng có trong một lập luận (tổng quát hơn là trong một lý thuyết). HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 6 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH - Quy luật bài trung hay quy luật loại trừ cái thứ ba (hoặc A hoặc không A): không cho phép có phán đoán thứ ba đứng giữa hai phán đoán phủ định nhau. Nghĩa là trong hai phán đoán phủ định nhau, nhất thiết phải có một phán đoán đúng, phán đoán phủ định của nó là sai, ngoài hai khả năng đúng - sai không còn khả năng thứ ba (xem chương II, Tên trộm thông minh). Tính đúng - sai trong đại số mệnh đề gọi là chân trị, cũng phải đảm bảo tính nhất quán trong suốt quá trình suy luận. - Quy luật lý do đầy đủ: yêu cầu suy nghĩ phải có căn cứ, có lý do đầy đủ, một phán đoán muốn khẳng định là đúng phải chứng minh chặt chẽ (xem chương II, Trực giác và hình thức). Như vậy logic hình thức cũng là phương pháp để tư duy, cũng là phương pháp đi tìm tri thức mới. Tuy nhiên nó có những hạn chế. Logic hình thức chỉ mới phán đoán sự vật trong trạng thái đứng im tương đối, sự ổn định tạm thời về chất, chỉ nghiên cứu các hình thức tư duy ở bên ngoài sự vận động, phát triển, sự tác động qua lại, sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng, nó không tính đến nội dung của chúng (xem chương III) . Vì thế logic hình thức mới chỉ là điều kiện cần, chưa là điều kiện đủ để đạt được chân lý khách quan. Song cần chú ý rằng, đừng vì những hạn chế này mà đem đồng nhất logic hình thức với phương pháp siêu hình, không gắn những khuyết điểm của phương pháp siêu hình cho logic hình thức. Để khắc phục những hạn chế của logic hình thức cần có một logic khác hơn về nguyên tắc, đó là logic biện chứng. 3. LOGIC BIỆN CHỨNG Logic biện chứng nghiên cứu những quy luật biện chứng của tư duy nhằm phản ánh đúng đắn biện chứng khách quan của sự vật. Trên cơ sở những quy luật phổ biến nhất của thế giới mà phép biện chứng duy vật nghiên cứu, logic biện chứng vạch ra những đặc điểm, những “thông số” của chúng khi tác động trong lĩnh vực tư duy và vai trò, ý nghĩa của chúng đối với sự vận động của tư duy đi đến chân lý, tức là trở thành khoa học về sự phù hợp của nội dung tri thức đối với khách thể, khoa học và chân lý. Logic biện chứng quan tâm chủ yếu đến nội dung tư duy, xem xét các hình thức gắn chặt với nội dung thực tế sinh động. Nó nghiên cứu các khái niệm, phạm trù không phải trong trạng thái cô lập, tách rời, bất biến (hay nhất quán) mà trong sự vận động, phát triển, mâu thuẫn của chúng, trong sự liên hệ, chuyển hóa lẫn nhau giữa chúng Logic hình thức suy ra từ hình thức này sang hình thức khác, phát triển những hình thức cao từ những hình thức thấp (xem chương III, ta sẽ hình dung nôm na các hình thức, khái niệm đặt cơ sở cho giải tích toán học sẽ vận động như thế nào), xác định mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng, đồng thời quan tâm đến tính lịch sử - cụ thể của tư duy, đến thực tiễn nhằm phản ánh đúng thế giới khách quan. Trên cơ sở các quy luật và phạm trù của mình logic biện chứng đưa ra các nguyên tắc phương pháp luận cơ bản định hướng cho chủ thể nhận thức và hành động: HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 7 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH - Nguyên tắc khách quan: phải xem xét sự vật một cách khách quan, xuất phát từ bản thân sự vật để nhận thức sự vật, phải trung thành trong khi phản ánh sự vật như nó vốn có, phát huy nỗ lực chủ quan của chủ thể nhận thức. - Nguyên tắc toàn diện: xét sự vật trong tất cả các mặt và các mối liên hệ của nó và tìm ra những mặt cơ bản, những mối liên hệ bản chất. - Nguyên tắc phát triển: đòi hỏi phải xem xét sự vật trong “sự tự vận động” và phát triển. - Nguyên tắc lịch sử thể: chân lý luôn luôn là cụ thể nên phải xét sự vật trong điều kiện không gian, thời gian lịch sử cụ thể. - Nguyên tắc thực tiễn: xem xét sự vật phải gắn liền với tình hình thực tiễn. Tóm lại, logic biện chứng đưa ra những nguyên tắc logic để chuyển lên tri thức mới, nghiên cứu sự hình thành và phát triển của các lý thuyết khoa học. Nó là logic phát triển của khoa học hiện đại. HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 8 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC TRONG TOÁN HỌC HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 9 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH TOÁN HỌC NÓI CHUNG Sự chuyển biến đột ngột sang “Toán học hiện đại” trong nhà trường có thể gây nên ấn tượng là toán học đã mất tự chủ, đã vứt bỏ tất cả tư tưởng và khái niệm truyền thống của mình, thay vào đó đã đưa ra những sáng tạo kì quái, lố bịch mà không biết có ai và khi nào cần đến. Đây không phải là một cảnh tượng hoàn toàn đúng. Theo đánh giá khiêm tốn nhất, một phần lớn của “Toán học hiện đại” dạy trong chương trình phổ thông hiện nay đã có từ hơn một thế kỉ. Vấn đề là trong toán học cũng như trong khoa học, tư tưởng mới được phát triển tự nhiên từ những cái cũ và được lĩnh hội dần dần theo thời gian. Hàng loạt khái niệm được đưa ngay vào giáo trình và nói chung chẳng hề có nói đến các mối quan hệ giữa chúng với các khái niệm truyền thống (và chính điều này gây nên khó khăn cho những người mới làm quen với toán học hiện đại). Đây cũng chính là sự vận động biện chứng của quá trình hoạt động nhận thức trong toán học. 1. TÍNH TRỪU TƯỢNG VÀ TÍNH KHÁI QUÁT Một trong những nét đặc trưng của toán học hiện đại là khuynh hướng trừu tượng hóa ngày càng cao. Bất luận khái niệm quan trọng nào đều bao hàm không chỉ một mà nhiều đối tượng khác nhau có chung một tính chất nào đó. Lý thuyết trừu tượng chắt ra những hệ quả từ những tính chất chung đó rồi đem áp dụng vào bất kì một đối tượng nào trong các đối tượng đang xét. Ví dụ khái niệm “mêtric” trong giải tích toán học là khái niệm tổng quát của khái niệm “khoảng cách”. Tính trừu tượng và tính khái quát có quan hệ mật thiết với nhau. Ưu điểm chính của khái quát là tiết kiệm công sức. Thật là vô lý nếu phải bốn lần chứng minh chỉ một định lý trong bốn tình huống, trong khi đó có thể chứng minh nó theo cách: đặt vấn đề chung không phụ thuộc nội dung cụ thể của đối tượng, tách rời nội dung của đối tượng. Phương pháp này được thể hiện rất rõ trong môn Giải tích hàm. (Đây cũng là phương pháp nghiên cứu của logic hình thức, không nên đồng nhất nó với phương pháp siêu hình) Nét đặc trưng thứ hai của toán học hiện đại là sử dụng rộng rãi ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp. Thực ra đó chỉ là “ý nghĩa sáng suốt được phủ kín bằng các ký hiệu hình thức toán học”. Toán học đặc biệt khi nó trở thành tổng quát, không chỉ quan tâm đến các đối tượng cụ thể mà cả các “đám đông” của chúng. Đẳng thức 5=4+1 không quan trọng gì lắm. Song số nguyên tố bất kì có dạng 4n+1 là tổng của hai số chính phương lại mang nội dung phong phú hơn nhiều. HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 10 [...]... rằng sự vận động của tư duy theo các quy luật của logic hình thức có những hạn chế của nó CHƯƠNG III VÍ DỤ MINH HỌA SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG TRONG LỊCH SỬ CỦA GIẢI TÍCH TOÁN HỌC HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 22 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH LƯỢC SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM HÀM SỐ 1.ĐẠI LƯỢNG BIẾN ĐỔI: Khi nghiên cứu các hiện tượng thiên nhiên và trong hoạt động thực tiễn của. .. linh cảm và dự đoán Chúng ta củng cố các kiến thức toán học của mình bằng các suy luận chứng minh, nhưng chúng ta viện trợ các giả thuyết của mình bằng các suy lý Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh, còn kết luận quy nạp của nhà vật lý, những bằng chứng gián tiếp của luật gia, những dẫn chứng tài liệu của nhà sử học, và những kết luận thống kê của nhà kinh tế học đều thuộc về những suy luận. .. dối mình và đánh giá cao sự phát minh mới…(5)” HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 26 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học (5) GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH Xem trong [4], mục tham khảo C.Mác những bản thảo toán học .(Dưới ngọn cờ macxit, 1.1933), trang 6 KẾT LUẬN CHƯƠNG III Xuyên suốt cho kết luận này, tôi xin dẫn lời của Mác “ lịch sử phát triển của tất cả các khoa học chỉ bằng cách trải qua những quãng... thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết của các suy luận chứng minh Trong khi đó những tiêu chuẩn của suy luận có lý thì rất kinh động và không có một thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng và có tính nhất quán như logic chứng minh Chẳng thấy môn nào dạy ta cách suy luận có lý những ai đang học toán, tôi muốn nói rằng: “Tất nhiên chúng ta sẽ học chứng minh, nhưng... Có thể sử dụng hệ HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 14 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH tiên đề đó để suy ra mâu thuẫn trong phép chứng minh phản chứng đối với bất kì loại khẳng định p nào Và xảy ra điều sau: bằng phản chứng, ta chứng minh được phát triển và cũng cách đó ta chứng minh được không-p Ví dụ: để chứng minh “đất nước bị bần cùng hóa”, chúng ta hãy giả sử ngược... về tính tiện dụng của các tiên đề Hiện tượng xảy ra trong thế giới hiện thực có phù hợp với điều mà tiên đề HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 13 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH khẳng định hay không là câu hỏi đúng chỗ khi đề cập tới việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn, nhưng vấn đề này không phải là bộ phận của lý thuyết đang xét Để trả lời vấn đề này chỉ có thể dựa vào... của phạm vi các số thực, và điều này đã được thực hiện trong cuối thế kỷ trước bằng phương pháp tiên đề (đọc thêm chương II, hệ tiên đề và nghịch lý Russels) Như vậy chúng ta có thể hình dung toàn bộ tình hình phát sinh, phát triển biện chứng và quá trình chính xác hóa những khái niệm cơ bản của giải tích toán học, của phép tính vi phân và tích phân HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 27 Logic và sự vận động. .. 11 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH giới chung quanh ta Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với các suy luận có lý là loại suy luận duy nhất mà chúng ta quan tâm trong công việc hằng ngày, suy luận có lý chỉ dựa vào trực giác, kinh nghiệm Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và được giải thích bằng logic. .. diện tích Sự chặt chẽ logic có tác dụng kiềm chế và tác dụng này là vô giá trong những tình huống nguy hiểm và ngay cả khi đề cập đến những điều tế nhị Có những định lý mà phần lớn những nhà toán học đã tin là đúng, thế nhưng khi chưa có một ai chứng minh được chúng thì đấy chỉ là những mệnh đề vô căn cứ Nói một cách nghiêm khắc thì mọi kiến thức của chúng ta ngoài phạm vi của toán học và logic chứng minh... đến-nhưng toán học trực quan đã làm (logic đang đề cập ở đây là logic hình thức) Lúc mà Gauss gọi toán học là “vua của các khoa học , thì người ta đã muốn tặng ngay cho môn học này một cái vương miện Và ngay cho lúc nào đó người ta thấy ông vua này trần truồng thì dù thế nào đi nữa ông cũng sẽ được mặc đẹp hơn các triều thần của mình Qua những vấn đề của chương II về những thăng trầm và bi kịch trong toán học, . ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC VÀ SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC (Tiểu luận Triết Học, chương. dựng và phát triển của toán học. Trong sự phát triển đó có tính kế thừa, phủ định biện chứng và đầy quanh co. Điều đó thấy rõ qua những thăng trầm trong lịch sử phát triển triết học toán học. II PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC TRONG TOÁN HỌC HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 9 Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH TOÁN HỌC NÓI CHUNG Sự chuyển biến