chuyên đề cực trị của hàm số bậc 3 phần 2 luyện thi đại học-đặng việt hùng

13 641 0
  • Loading ...
1/13 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 21/02/2015, 15:02

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ t Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Xét hàm số bậc ba : 3 3 2 3 3 ′ = + + + ⇒ = + + y ax bx cx d y ax bx c DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  N ế u a = 0 thì 3 0 3 ′ ′ = + → = ⇔ = − c y bx c y x b Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.  Nếu a ≠ 0 : + Hàm s ố không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0. + Hàm s ố có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt. T ừ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0. Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị. Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số ( ) = + − − − 3 2 1 1 1 3 y x m x mx tùy theo giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Ta có ( ) 2 2 1 . ′ = + − + y x m x m  Hàm s ố không có c ự c tr ị khi y′ không đổ i d ấ u trên mi ề n xác đị nh (hay hàm s ố luôn đồ ng bi ế n ho ặ c ngh ị ch bi ế n trên mi ề n xác đị nh), đ i ề u đ ó x ả y ra khi y′ = 0 vô nghi ệ m ho ặ c có nghi ệ m kép. T ừ đ ó ta có đ i ề u ki ệ n ( ) 2 2 3 5 3 5 0 1 0 3 1 0 . 2 2 − + ′ ∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m  Hàm s ố có hai c ự c tr ị khi y′ đổ i d ấ u trên mi ề n xác đị nh, đ i ề u đ ó x ả y ra khi y′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t. 2 3 5 2 0 3 1 0 3 5 2  + >   ⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔  − <   m m m m K ết luận : - Hàm s ố không có cực trị khi 3 5 3 5 2 2 − + ≤ ≤m - Hàm s ố có hai cực trị khi 3 5 3 5 ; . 2 2 + − ≥ ≤m m Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số ( ) = + − + + − 3 2 2 2 3 y mx m x mx m tùy theo giá tr ị c ủ a tham s ố m. Hướng dẫn giải: Ta có ( ) 2 3 2 2 2 . ′ = + − + y mx m x m TH1 : m = 0. Khi đó 4 ; 0 0 ′ ′ = − = ⇔ = y x y x , trong trường hợp này hàm số có một cực trị. TH2 : m ≠ 0.  Hàm số không có cực trị khi 2 0 2 2 6 2 2 6 0 0 5 5 0 5 4 4 0 2 2 6 2 2 6 5 5 ≠    − +  ≥ − +   ≠  ≠    ≥   ⇔ ⇔ ⇔     ′ ∆ ≤  + − ≥  − −     ≤ − −   ≤      m m m m m m m m m Tài liệu tham khảo: 02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA Thầy Đặng Việt Hùng VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ t Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831  Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 6 2 2 6 0 0 5 5 0 5 4 4 0 0  − − − + ≠  ≠  < <   ⇔ ⇔ ⇔    ′ ∆ > + − <     ≠  m m m m m m K ết luận : - Hàm s ố không có cực trị khi 2 2 6 2 2 6 ; . 5 5 − + − − ≥ ≤m m - Hàm s ố có m ộ t c ự c tr ị khi m = 0. - Hàm s ố có hai c ự c tr ị khi 2 2 6 2 2 6 5 5 0  − − − + < <    ≠  m m BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1. Tìm m để các hàm s ố sau đ ây có c ự c đạ i và c ự c ti ể u: a) ( ) 3 2 2 2 1 2 = − + − + y x mx m x b) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 3 2 1 = − − + − + − − y x m x m m x m m Bài 2. Tìm m để hàm s ố ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 = + − + − + + y x m x m x m không có c ự c tr ị . Bài 3. Bi ệ n lu ậ n theo m s ố c ự c tr ị c ủ a hàm s ố ( ) ( ) 3 2 1 1 3 2 1 3 = + + + − + y m x mx m x DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại và cực tiểu). G ọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x 1 ; x 2 . Khi đó x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. Theo định lí Vi-ét ta được 1 2 1 2  + = −     =   B x x A C x x A Ph ương pháp thực hiện : + Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0, (*) + Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn. + Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng. Ta xét một số dạng tính chất điển hình. Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x o  Cách 1 (sử dụng điều kiện cần và đủ): + Hàm s ố đạt cực đại hoặc cực tiểu tại ( ) 0 . ′ = ⇔ = → o o x x y x m + V ớ i m tìm đượ c, thay vào hàm s ố r ồ i kh ả o sát, t ừ b ả ng bi ế n thiên ta có k ế t lu ậ n v ề hàm s ố đạ t c ự c đạ i, hay c ự c ti ể u t ạ i đ i ể m x o hay không.  Cách 2 (s ử d ụ ng y’’) : + Hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i ( ) ( ) 0 . 0 ′  =  = ⇔ →  ′′ <   o o o y x x x m y x + Hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i ( ) ( ) 0 . 0 ′  =  = ⇔ →  ′′ >   o o o y x x x m y x Chú ý: Hàm s ố đạ t c ự c tr ị t ạ i ( ) ( ) 0 0 ′  =  = ⇔  ′′ ≠   o o o y x x x y x Ví dụ mẫu: Cho hàm số = − + − + 3 2 1 ( 2) 1. 3 y x m x mx a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0. VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ t Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Hướng dẫn giải : Ta có ( ) 2 2( 2) 2 2 2 . ′ ′′ = − + − ⇒ = − +y x m x m y x m a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 1 0 5 4 0 4 > −  ′ ⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔  < −  m m m m b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.    Cách 1: + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì ( ) 0 0 0. ′ = ⇔ = y m + V ới m = 0 thì ta có 2 0 4 0 4 =  ′ = − = ⇔  =  x y x x x Ta có bảng biến thiên: x −∞ 0 4 +∞ y’ + 0 − 0 + y C Đ +∞ −∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.    Cách 2: Hàm số đạt cực đại tại ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2( 2) 0 0 0 ′  = =   = ⇔ ⇔ ⇔ =   − + < ′′ <    y m x m m y V ậ y m = 0 thì hàm s ố đ ã cho đạ t c ự c đạ i t ạ i x = 0. c) Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i t ạ i x = 2.    Cách 1: + Hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i x = 2 thì ( ) 4 2 0 4 4( 2) 0 5 4 . 5 ′ = ⇔ − + − = ⇔ = − ⇔ = − y m m m m + V ớ i 2 2 2 4 4 4 12 4 2 2 0 2 5 5 5 5 5 5 =     ′ ′ = − → = − − + ⇔ = − + = ⇔    =     x m y x x y x x x Ta có b ả ng bi ế n thiên: x −∞ 2 5 2 +∞ y’ + 0 − 0 + y CĐ + ∞ −∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2. V ậy 4 5 = − m là giá trị cần tìm.    Cách 2: Hàm số đạt cực tiểu tại ( ) ( ) 4 2 0 5 4 0 4 2 . 5 2 0 5 2 0 0  ′  = + = = −    = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −    − > ′′ >     <  y m m x m m y m V ậ y 4 5 = − m thì hàm s ố đ ã cho đạ t c ự c ti ể u t ạ i x = 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Cho hàm s ố 3 2 (2 1) 2 3. = − + − + − y x m x mx a) Tìm m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u. b) Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i t ạ i x = −1. c) Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i x = 3. VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ t Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.  Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương. Khi đó ta có 1 2 2 1 1 2 0 0 0 0 0 B S x x A x x P x x C A −  >  = + >   > > → ⇔   = >   >    Hai đ i ể m c ự c tr ị cùng có hoành độ âm. Khi đ ó ta có 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 B S x x A x x P x x C A −  <  = + <   < < → ⇔   = >   >    Hai đ i ể m c ự c tr ị có hoành độ trái d ấ u. Khi đ ó ta có 1 2 1 2 0 0 0 C x x P x x A < < ⇔ = < ⇔ <  Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α. Khi đó ta có ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 α α 0 α α 0 α α 0 α 2 α 2 α 2 α C B x x x x x x A A x x B x x B A A  −    − + > − + + >     − − >      > > ⇔ ⇔ ⇔    − + > − >     >     Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α. Khi đ ó ta có ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 α α 0 α α 0 α α 0 α 2 α 2 α 2 α C B x x x x x x A A x x B x x B A A  −    − + > − + + >     − − >      < < ⇔ ⇔ ⇔    − + < − <     <     Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x 1 < α < x 2 . Khi đ ó ta có ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 α α α 0 α α 0 α α 0 −   < < ⇔ − − < ⇔ − + + < ⇔ − + <     C B x x x x x x x x A A Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 . Khi đó x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. Theo định lí Vi-ét ta được 1 2 1 2  + = −     =   B x x A C x x A Ví dụ 1: Cho hàm số = + − − + 3 2 ( 1) 3 . y x m x mx m a) Tìm m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u. b) Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ i x 1 ; x 2 th ỏ a mãn + = 1 2 1 2 1 1 2 . x x x x c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2. d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1. Hướng dẫn giải: Ta có 2 3 2( 1) 3 ′ = + − − y x m x m a) Hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u khi ph ươ ng trình y′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t ( ) 2 2 7 3 5 2 0 ( 1) 9 0 7 1 0 * 7 3 5 2  − + >   ′ ⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ + + > ⇔  − − <   m m m m m m VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ t Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Vậy với 7 3 5 2 7 3 5 2  − + >    − − <   m m thì hàm s ố đã cho có cực đại, cực tiểu. b) Gọi x 1 ; x 2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x 1 ; x 2 là hai nghi ệm của phương trình y′ = 0. Theo định lí Vi-ét ta được 1 2 1 2 2(1 ) 3 −  + =    = −  m x x x x m Ta có 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2(1 ) 1 13 2 2 2 3 1 0 . 3 6 + − − ± + = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ = x x m x x x x m m m m x x x x Đố i chiếu với điều kiện (*) ta được 1 13 6 m − + = là giá tr ị c ầ n tìm. c) G ọ i x 1 ; x 2 là hoành độ đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u. Khi đ ó x 1 ; x 2 là hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình y′ = 0. Theo đị nh lí Vi-ét ta đượ c 1 2 1 2 2(1 ) 3 −  + =    = −  m x x x x m Theo bài ta có ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 4 0 4(1 ) 2 2 0 4 0 2 3 2(1 ) 4 4 1 6 3  − + + > −   − − > − − + >    > > ⇔ ⇔ ⇔    − + > >     − >   x x x x m x x m x x m x x m 8 8 0 8 5. 3 5 5 +  > − >   ⇔ ⇔ ⇔ − < < −   < −   < −  m m m m m Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta đượ c 7 3 5 8 2 m − − − < < là giá tr ị c ầ n tìm. d) Ta có 1 2 1 2 2 1 6 0 3 2( 1) 3 0 1 6  ′ − − ∆ = =   ′ = ⇔ + − − = ⇔ → <  ′ − + ∆ = =   m x x y x m x x x m x x B ả ng bi ế n thiên x −∞ x 1 x 2 +∞ y’ + 0 − 0 + y C Đ +∞ −∞ CT Ta th ấ y hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i đ i ể m có hoành độ 1 1 6 ′ − − ∆ = m x Theo bài ta có ( ) 1 2 5 0 1 1 1 6 5 6 5 − − ≥  ′ − − ∆  ′ ′ = > ⇔ − − ∆ > ⇔ ∆ < − − ⇔  ′ ∆ < − −   m m x m m m 2 2 5 5 8 5. 3 24 7 1 10 25 ≤ −  ≤ −   ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −   > − + + < + +    m m m m m m m m Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta đượ c 7 3 5 8 2 m − − − < < là giá tr ị c ầ n tìm. // Ví d ụ này th ầ y tính nh ầ m nhé, hê hê // Ví dụ 2: Cho hàm số = − + + − 3 2 3( 1) 9 . y x m x x m Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ i x 1 ; x 2 th ỏ a mãn − ≤ 1 2 2. x x H ướ ng d ẫ n gi ả i: VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ t Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Ta có 2 3 6( 1) 9. ′ = − + + y x m x  Hàm s ố đạ t c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ i x 1 ; x 2 khi y ′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t 1 2 ; 0 ′ ⇔ ∆ > x x ( ) 2 1 3 ( 1) 3 0 * 1 3  > − + ⇔ + − > ⇔  < − −   m m m  Theo đị nh lý Vi-et ta có 1 2 1 2 2( 1) 3 + = +   =  x x m x x Khi đ ó: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 1 12 4 ( 1) 4 3 1 − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ x x x x x x m m m Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta đượ c 3 1 3 1 3 1  − ≤ < − −  − + < ≤   m m là các giá tr ị c ầ n tìm. Ví dụ 3: Cho hàm số = + − + − + + 3 2 (1 2 ) (2 . ) 2 y x m x m x m Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ i x 1 ; x 2 th ỏ a mãn − > 1 2 1 . 3 x x H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ta có 2 3 (1 2 . )2 2= − + ′ + − x m x m y  Hàm s ố đạ t c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ i x 1 ; x 2 khi y′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t x 1 ; x 2 ( ) 2 2 5 (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 * 4 1  >  ′ ⇔ ∆ = − − − = − − > ⇔  < −  m m m m m m  Theo đị nh lý Vi-et ta có 1 2 1 2 (1 2 ) 3 2 2 . 3 −  + = −    −  =   m x x m x x Khi đ ó ( ) ( ) 2 2 2 1 21 2 2 1 21 1 4 4(1 2 ) 4(2 1 1 9 3 ) ⇔− = + − > ⇔ − − − > > − x x x x mx mx x x 2 3 29 8 16 12 5 0 3 29 8  + >   ⇔ − − > ⇔  − <   m m m m Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 3 29 8 1  + >   < −   m m là các giá tr ị cần tìm. Ví d ụ 4: Cho hàm s ố = − − + − + 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) . 3 3 y x m x m x Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ i x 1 ; x 2 th ỏ a mãn + = 1 2 2 1. x x Hướng dẫn giải: Ta có 2 2( 1) 3( 2). ′ = − − + − y x m x m  Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 2 5 7 0, ′ ⇔ ∆ = − + > ∀ m m m  Khi đ ó ta có ( )( ) 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2( 1) 1 2 2( 1) 3 2 3( 2) 3( 2) 1 2(2 2 ) 4 3 2 1 2 1 3( 2) 3 2 4 3 3 6  + = − − + = − = −      = − ⇔ = − ⇔ = − − = −       + = + = = − ⇒ − − = −    x x m x x m x m x x m x x m x m m x x x x x x m m m m 2 4 34 8 16 9 0 . 4 − ± ⇔ + − = ⇔ =m m m V ậ y 4 34 4 − ± =m là các giá tr ị c ầ n tìm. Ví d ụ 5: Cho hàm s ố = + + + + 3 2 (1– 2 ) (2 – ) 2. y x m x m x m Tìm m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u đồ ng th ờ i hoành độ đ i ể m c ự c ti ể u nh ỏ h ơ n 1. H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ta có 2 3 2(1 2 ) 2 ( ). ′ = + − + − = y x m x m g x Do h ệ s ố a = 3 > 0 nên yêu c ầ u bài toán tr ở thành y′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t x 1 ; x 2 th ỏ a mãn VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ t Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 1 2 4 5 0 5 7 1 (1) 5 7 0 4 5 2 1 1 2 3  ′ ∆ = − − >   < < ⇔ = − + > ⇔ < <  −  = <   m m x x g m m S m Ví dụ 6: Cho hàm số = + 3 2 4 – 3 . y x mx x Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ i x 1 ; x 2 th ỏ a mãn = − 1 2 4 . x x H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ta có 2 2 12 2 3 36 0. ′ ′ = + − ⇒ ∆ = + > y x mx m Khi đ ó 1 2 1 2 1 2 4 9 . 6 2 1 4   = −   + = − → = ±    = −   x x m x x m x x BÀI T Ậ P LUY Ệ N T Ậ P: Bài 1: Cho hàm số 3 2 ( 2) ( 1) 2. = + + − − + y x m x m x a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3. c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 ; x 2 thỏa mãn 2 2 1 2 10. + <x x d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1. Bài 2: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 6 5 1 4 1. = − + + + − − y x m x m x m a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2. Bài 3: Tìm m để hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 = + − + − + + y x m x m x m có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 2. Bài 4: Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 1 4 3 2. 3 = + + + + + + + y x m x m m x m Gọi x 1 , x 2 là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm số. a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1. b) Tìm m sao cho biểu thức ( ) 1 2 1 2 2= − + P x x x x đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Bài 5: Cho hàm s ố 3 2 1 ( 6) 1. 3 = + + + − y x mx m x Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực trị. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 , x 2 thỏa mãn 1 1 1 2 1 1 . 3 + + = x x x x c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1. d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0. Tính ch ấ t 4: Các c ự c tr ị n ằ m cùng phía, khác phía v ớ i các tr ụ c t ọ a độ . + Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. + Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu. + Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị với y CĐ .y CT < 0. + Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với y CĐ .y CT > 0. Ví d ụ 1: Cho hàm s ố = + + + 3 2 3 – 2 y x x mx m , v ớ i m là tham s ố . Tìm m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u và các đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u n ằ m v ề hai phía c ủ a tr ụ c hoành. Hướng dẫn giải: Ta có 2 3 6 ′ = + + y x x m , hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Tức là 9 3 0 3. ′ ∆ = − > ⇔ < m m VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ t Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và Ox: ( ) 3 2 2 1 3 – 2 0 ( ) 2 2 0, 1 = −  + + + = ⇔  = + + − =  x x x mx m g x x x m Hàm s ố có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Ta có điều kiện 3 0 3 ( 1) 3 0  ′ ∆ = − > ⇔ <  − = − ≠  m m g m V ậy m < 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho hàm số = − + + − − + − 3 2 2 (2 1) ( 3 2) 4 y x m x m m x , v ớ i m là tham s ố . Tìm m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u và các đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u n ằ m v ề hai phía c ủ a tr ụ c tung. Hướng dẫn giải: Ta có 2 2 3 2(2 1) ( 3 2) ′ = − + + − − + y x m x m m Hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u khi y ′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t ( ) ( ) 2 2 0 2 1 3 3 2 0 ′ ⇔ ∆ > ⇔ + − − + > m m m 2 13 3 21 2 13 5 0 13 3 21 2  − + >   ⇔ + − > ⇔  − − <   m m m m Hàm s ố có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu ( ) 2 3 3 2 0 1 2. − + < ⇔ < < m m m K ế t h ợ p đ i ề u ki ệ n ta đượ c 1 < m < 2 th ỏ a mãn yêu c ầ u bài toán. Ví d ụ 3: Cho hàm s ố = − + − − 3 2 1 (2 1) 3 3 y x mx m x , v ớ i m là tham s ố . Tìm m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u và các đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u n ằ m v ề cùng m ộ t phía c ủ a tr ụ c tung. H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ta có 2 2 2 1 ′ = − + − y x mx m Hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u khi y′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t 2 0 2 1 0 1 ′ ⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ ≠ m m m Hàm s ố có các đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u n ằ m v ề cùng m ộ t phía c ủ a tr ụ c tung khi ph ươ ng trình y′ = 0 có hai nghi ệ m cùng d ấ u 1 0 2 1 0 . 2 ⇔ > ⇔ − > ⇔ > ac m m K ết hợp điều kiện ta được 1 1 2 < ≠ m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tính ch ấ t 5: Các bài toán c ự c tr ị khi y ′ ′′ ′ = 0 gi ả i đượ c nghi ệ m ‘ đẹ p’ Khi phương trình y′ = 0 có ( ) 2 ax b ∆ = + thì điều kiện để hàm số có cực trị là ( ) 2 0 0 . b ax b x a ∆ > ⇔ + > ⇔ ≠ − Khi đó, 1 2 0 x x y x x =  ′ = ⇒  =  và s ử d ụ ng yêu c ầ u c ủ a đề bài để gi ả i ra tham s ố . Ví d ụ 1: Cho hàm s ố = − + − − + 3 2 2 3 3 3( 1) . y x mx m x m m Tìm giá tr ị c ủ a m để hàm s ố có c ự c tr ị . Khi đ ó, tìm m để kho ả ng cách t ừ đ i ể m c ự c đạ i đế n g ố c t ọ a độ b ằ ng 2 l ần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O . H ướ ng d ẫ n gi ả i : Ta có 2 2 2 2 3 6 3( 1) 0 2 1 0 ′ ′ = − + − ⇒ = ⇔ − + − = y x mx m y x mx m Hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u khi y′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t 1 0, ′ ⇔ ∆ = > ∀ m Khi đ ó ( ) ( ) 1 1;2 2 0 1 1; 2 2  = − ⇒ − − ′ = ⇔  = + ⇒ + − −   x m A m m y x m B m m Do h ệ s ố a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là đ i ể m c ự c đạ i và B là đ i ể m c ự c ti ể u c ủ a hàm s ố . Theo bài ta có 2 3 2 2 2 6 1 0 3 2 2  = − + = ⇔ + + = ⇔  = − −   m OA OB m m m V ậ y 3 2 2 = − ±m là các giá tr ị c ầ n tìm. VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ t Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Ví dụ 2: Cho hàm số ( ) − = − + − + − 2 3 3 1 1 (3 2) 1. 3 2 m x y x m x m Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2. c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x 1 ; x 2 thỏa mãn + > 3 3 1 2 28 x x d) hàm s ố đạ t c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ i các đ i ể m có hoành độ x 1 ; x 2 th ỏ a mãn + = 2 2 1 2 2 12 x x Hướng dẫn giải : Ta có ( ) ( ) 2 2 3 1 3 2 0 3 1 3 2 0. y x m x m y x m x m ′ ′ = − − + − ⇒ = ⇔ − − + − = a) Hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u khi y ′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t. Ta có đ i ề u ki ệ n ( ) ( ) 2 2 0 3 1 4. 3 2 0 9 18 9 0 1 m m m m m ∆ > ⇔ − − − > ⇔ − + > ⇔ ≠ b) V ớ i ( ) ( ) 3 1 3 1 1 2 1 0 3 1 3 1 3 1 2 m m x m y m m x m  − − − = =   ′ ≠ ⇒ = ⇔  − + − = = −   Hoành độ các đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u l ớ n h ơ n 2 khi 3 1 2 1. m m − > ⇔ > V ậ y v ớ i m > 1 thì hàm s ố đ ã cho có c ự c đạ i, c ự c ti ể u và hoành độ c ự c đạ i, c ự c ti ể u l ớ n h ơ n 2. c) Ta có ( ) 3 3 3 1 2 4 28 1 3 1 28 3 1 3 . 3 x x m m m + > ⇔ + − > ⇔ − > ⇔ > d) Do vai trò bình đẳ ng c ủ a x 1 ; x 2 nên ta có hai tr ườ ng h ợ p x ả y ra  V ớ i ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 10 1; 3 1 2 12 2 3 1 12 3 1 10 3 x x m x x m m m ± = = − ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − = ± → = K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n t ồ n t ạ i c ự c tr ị ta đượ c 1 10 . 3 m ± =  V ớ i ( ) 2 2 2 1 2 1 2 22 2 22 3 1; 1 2 12 2 3 1 1 12 3 1 2 6 x m x x x m m m ± = − = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ − = ± → = K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n t ồ n t ạ i c ự c tr ị ta đượ c 2 22 . 6 m ± = Ví d ụ 3: Cho hàm s ố += + 3 2 3y x x m Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c đạ i, c ự c ti ể u t ạ i các đ i ể m A, B sao cho  . = 0 120 AOB H ướ ng d ẫ n gi ả i : Ta có 2 0 3 6 0 2 4 = ⇒ =  ′ ′ = + ⇒ = ⇔  = − ⇒ = +  x y m y x x y x y m V ậ y hàm s ố có hai đ i ể m c ự c tr ị A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4). Ta có (0; ), ( 2; 4). = = − + OA m OB m   Để   0 1 120 cos 2 = ⇒ = − AOB AOB ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 0 ( 4) 1 4 ( 4) 2 ( 4) 3 24 44 0 2 4 ( 4) 4 0 12 2 3 2 4 12 2 3 3 3 3 − < < +  ⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔  + + =  + + − < <  − +  ⇔ ⇔ = = − + − ±  =   m m m m m m m m m m m m m m V ậ y 2 4 3 = − +m là giá tr ị c ầ n tìm. Ví d ụ 4: Cho hàm s ố = − + − − 3 2 3 3 1 y x mx m Tìm m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u và các đ i ể m này đố i x ứ ng nhau qua (d): x + 8y − −− − 74 = 0. H ướ ng d ẫ n gi ả i : Ta có ( ) 2 0 3 6 3 2 0 2 =  ′ ′ = − + = − − ⇒ = ⇔  =  x y x mx x x m y x m Hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u khi y′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t ⇒ m ≠ 0 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việ t Hùng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là 3 3 (0; 3 1), (2 ;4 3 1) (2 ;4 ) − − − − ⇒ A m B m m m AB m m  Trung đ i ể m I c ủ a AB có to ạ độ 3 ( ;2 3 1) − − I m m m Đườ ng th ẳ ng d: ( ) : 8 74 0 + − = d x y có m ộ t véc t ơ ch ỉ ph ươ ng (8; 1) = −  u . A và B đố i x ứ ng v ớ i nhau qua d ⇔ ( ) 3 8(2 3 1) 74 0 2 . 0  + − − − = ∈   ⇔ ⇔ ⇔ =   ⊥ =      m m m I d d m AB d AB u V ậ y m = 2 là giá tr ị c ầ n tìm. Ví dụ 5: Cho hàm số ( ) = − + − + 3 2 3 3 1 1 2 m y x x m x Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2. c) hàm số đạt cực đại tại x = 0. d) hàm số không có cực đại, cực tiểu. e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1 H ướ ng d ẫ n gi ả i : a) Ta có ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 1 1 3 3 3 1 3 1 2 m y x x m x y x mx m x mx m ′ = − + − + ⇒ = − + − = − + − Hàm s ố có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Ta có điều kiện ( ) 2 0 2 0 2. m m ∆ > ⇔ − > ⇔ ≠ V ậ y v ớ i m ≠ 2 thì hàm s ố đ ã cho có c ự c đạ i, c ự c ti ể u. b) Hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i đ i ể m x = 2 khi h ệ sau có nghi ệ m (2) 0 , ( ) (2) 0 ′ =   ′′ >  y I y Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó 4 2 1 0 3 ( ) 3 12 3 0 4 m m m I m m m − + − = =   ⇔ ⇔ ⇒ =   − > <   Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm. c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm (0) 0 , ( ) (0) 0 ′ =   ′′ >  y I y Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó hệ 1 0 1 ( ) 1 3 0 0 m m I m m m − = =   ⇔ ⇔ ⇒ =   − < >   Giá tr ị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm. d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2) 2 ≤ 0 Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2. V ậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị. e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x 2 – mx + m – 1 = 0 ( ) 1 1 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 3 5 4 1 2 2 m m m y x m m m m m m x y −  + −  = = = −    ∆ = − ⇒ ⇒  − + − +   = = =     G ọ i A(x 1 , y 1 ) và B(x 2 , y 2 ) là các đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u. Khi đ ó 2 3 8 6 2 ; 2 m m AB m   − + = −      Đườ ng th ẳ ng qua các đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u song song v ớ i d : y = 9x + 1 khi ( ) 2 2 2 3 8 6 2 2 / / 2 4 9 3 8 6 27 74 58 0 9 1 d o m m m AB u m m m m m vn − + − ⇔ = ⇔ − = − + ⇔ − + = → −   BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm s ố ( ) 2 3 2 1 1 2(2 1) 3. 3 2 m x y x m x − = − − + + Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành âm. VINAMATH.COM VINAMATH.COM [...]...VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 20 12 – 20 13 Thầy Đặng Việt Hùng 4 4 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 > 17 2 2 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 x1 + x2 = 12 ( 3m + 1) x 1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − − (2m 2 + m) x − 2 3 2 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực đại tại... VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 20 12 – 20 13 Thầy Đặng Việt Hùng   2m  −  3 + 2  = −4   Theo bài ta có d / / ∆ : y = −4 x + 3 ⇒⇔   ⇔m =3 m 2 − ≠ 3  3  Đối chiếu với (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều đường thẳng (d): y = x − 1 Hướng dẫn giải : 2 Ta có y ′ = 3x − 6 x − m Hàm số. .. x2 ) 3   y = 2 x1 − m 2 + m Do y(′x1 ) = y(′x2 ) = 0 ⇒  1 ⇔ A, B ∈ ( d ) : y = 2 x − m 2 + m 2  y2 = 2 x2 − m + m Vậy, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là y = 2 x − m 2 + m Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = −4x + 3 Hướng dẫn giải : 2 Ta có... 2mx + m 2 − 1 = 0 Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 1 > 0, ∀m Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi giá trị của m m 1 Chia y cho y′ ta được y =  x −  y ′ + 2 x − m 2 + m 3 3  m 1 2   y1 =  3 x1 − 3  y(′x1 ) + 2 x1 − m + m   Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị, khi đó    y2 =  1 x2 − m  y ′ + 2 x2 − m 2 + m   3  ( x2... 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (d) 3  2m  ⇔ − + 2  = 1 ⇔ m = − , (thỏa mãn) 2  3  y + y2 x1 + x2 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng ( d ) ⇔ yI = xI − 1 ⇔ 1 = −1 2 2 m 2m  2m    2m  ⇔ − + 2  ( x1 + x2 ) + 2  2 −  = ( x1 + x2 ) − 2 ⇔  + 3  2 = 6 − ⇔m=0 3 3   3    3 3 Vậy m = 0; m = − là các giá trị cần tìm 2. .. = 3 2 2 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 = 40 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía của trục Oy Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 2 a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị. .. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x − 2y − 5 = 0 Hướng dẫn giải : Ta có y ′ = 3x 2 − 6 x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3, (*) 1 1 1 2  Chia y cho y′ ta được y =  x −  y ′ +  m − 2  x + m 3 3 3 3  1 2 2  Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực. .. độ của chúng Thật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì M ( x1 ; ax1 + b ) , N ( x2 ; ax2 + b ) , trong đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được Ví dụ 1: Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 + 3( 1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khi đó, hãy viết phương trình đường thẳng qua các điểm đó Hướng dẫn giải : 2 2 2 Ta có y ′ = 3 x + 6mx + 3( 1... TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3( m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng ( d ) : y = 1 x 2 Đ/s: m = 1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và đường thẳng qua các điểm đó tạo với đường thẳng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074. 831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện. .. = 3x − 6 x − m Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > 3, (*) 1 m 1  2m   Chia y cho y′ ta được y =  x −  y′ −  + 2 x +  2 −  3 3 3  3   Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là (∆) : y = −  2m m  + 2 x + 2 − 3  3  Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074. 831 .  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm s ố ( ) 2 3 2 1 1 2( 2 1) 3. 3 2 m x y x m x − = − − + + Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại. 2 là giá tr ị c ầ n tìm. Ví dụ 5: Cho hàm số ( ) = − + − + 3 2 3 3 1 1 2 m y x x m x Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2. c) hàm số đạt cực đại. − + OA m OB m   Để   0 1 120 cos 2 = ⇒ = − AOB AOB ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 0 ( 4) 1 4 ( 4) 2 ( 4) 3 24 44 0 2 4 ( 4) 4 0 12 2 3 2 4 12 2 3 3 3 3 − < < +  ⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔  +
- Xem thêm -

Xem thêm: chuyên đề cực trị của hàm số bậc 3 phần 2 luyện thi đại học-đặng việt hùng, chuyên đề cực trị của hàm số bậc 3 phần 2 luyện thi đại học-đặng việt hùng, chuyên đề cực trị của hàm số bậc 3 phần 2 luyện thi đại học-đặng việt hùng

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay