T T À À I I L L I I   U U T T H H A A M M K K H H   O O T T O O Á Á N N H H   C C P P H H   T T H H Ô Ô N N G G _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ xyz  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - C C H H U U Y Y Ê Ê N N     P P H H     N N G G T T R R Ì Ì N N H H V V À À B B   T T P P H H     N N G G T T R R Ì Ì N N H H L L Ý Ý T T H H U U Y Y   T T S S   D D   N N G G   N N P P H H   C C   N N T T H H   C C ( ( P P H H   N N 4 4 ) ) 4 3 6 D E F  Q Q U U Â Â N N   O O À À N N B B   B B I I N N H H C C H H       O O : : S S   D D   N N G G H H A A I I   N N P P H H       A A V V   P P H H     N N G G T T R R Ì Ì N N H H     N N G G B B   C C – –     N N G G C C   P P       T T H H A A I I   N N P P H H   – – P P H H     N N G G T T R R Ì Ì N N H H     N N G G B B   C C B B   C C H H A A I I . .       T T H H A A I I   N N P P H H   – – P P H H Â Â N N T T Í Í C C H H N N H H Â Â N N T T   . .   B B À À I I T T O O Á Á N N N N H H I I   U U C C Á Á C C H H G G I I   I I . . C C R R E E A A T T E E D D B B Y Y G G I I A A N N G G S S   N N ( ( F F A A C C E E B B O O O O K K ) ) ; ; X X Y Y Z Z 1 1 4 4 3 3 1 1 9 9 8 8 8 8 @ @ G G M M A A I I L L . . C C O O M M ( ( G G M M A A I I L L ) ) T T H H     Ô Ô H H À À N N   I I – – M M Ù Ù A A T T H H U U 2 2 0 0 1 1 3 3 VINAMATH.COM VINAMATH.COM LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CREATED BY GIANG SN; XYZ1431988@GMAIL.COM 4 3 6 D E F  QUÂN OÀN B BINH 2 C C H H U U Y Y Ê Ê N N     P P H H     N N G G T T R R Ì Ì N N H H V V À À B B   T T P P H H     N N G G T T R R Ì Ì N N H H L L Ý Ý T T H H U U Y Y   T T S S   D D   N N G G   N N P P H H   C C   N N T T H H   C C ( ( P P H H   N N 4 4 ) ) Trong chng trình Toán hc ph thông nc ta, c th là chng trình i s, phng trình và bt phng trình là mt ni dung quan trng, ph bin trên nhiu dng toán xuyên sut các cp hc, cng là b phn thng thy trong các k thi kim tra cht lng hc k, thi tuyn sinh lp 10 THPT, thi hc sinh gii môn Toán các cp và k thi tuyn sinh i hc – Cao đng vi hình thc ht sc phong phú, đa dng. Mc dù đây là mt đ tài quen thuc, chính thng nhng không vì th mà gim đi phn thú v, nhiu bài toán c bn tng dn đn mc khó thm chí rt khó, vi các bin đi đp kt hp nhiu kin thc, k nng vn làm khó nhiu bn hc sinh THCS, THPT. Ngoài phng trình đi s bc cao, phng trình phân thc hu t thì phng trình cha cn (còn gi là phng trình vô t) đang đc đông đo các bn hc sinh, các thy cô giáo và các chuyên gia Toán ph thông quan tâm sâu sc. Chng trình Toán i s lp 9 THCS bc đu gii thiu các phép toán vi cn thc, k t đó cn thc xut hin hu ht trong các vn đ đi s, hình hc, lng giác và xuyên sut chng trình Toán THPT. S đa dng v hình thc ca lp bài toán cn thc đt ra yêu cu cp thit là làm th nào đ đn gin hóa, thc t các phng pháp gii, k nng, mo mc đã hình thành, đi vào h thng. V c bn đ làm vic vi lp phng trình, bt phng trình vô t chúng ta u tiên kh hoc gim các cn thc phc tp ca bài toán. Phép s dng n ph là mt trong nhng phng pháp c bn nhm mc đích đó, ngoài ra bài toán còn tr nên gn gàng, sáng sa và giúp chúng ta đnh hình hng đi mt cách n đnh nht. ôi khi đây cng là phng pháp ti u cho nhiu bài toán cng knh. Tip theo lý thuyt s dng n ph cn thc (các phn 1 đn 3), kt thúc ý tng s dng mt cn thc duy nht, tác gi xin trình bày ti quý đc gi lý thuyt s dng n ph cn thc (phn 4), ch yu xoay quanh mt lp các bài toán cha cn thc đc gii thông ý tng s dng hai n ph đa v phng trình đng bc – đng cp bc hai c bn kt hp phân tích nhân t – phng trình tích. K nng này đng hành cùng vic gii h phng trình hu t đng bc – đng cp, h phng trình cha cn quy v đng cp, ngày mt nâng cao k nng gii phng trình – h phng trình cho các bn hc sinh. Mc đ các bài toán đã nâng cao mt chút, do đó đ khó đã tng dn so vi các phn 1 đn 3, đng ngha đòi hi s t duy logic, nhy bén kt hp vi vn kin thc nht đnh ca đc gi. Tài liu nh phù hp vi các bn hc sinh lp 9 THCS ôn thi vào lp 10 THPT đi trà, lp 10 h THPT Chuyên, các bn chun b bc vào các k thi hc sinh gii Toán các cp và d thi k thi tuyn sinh i hc – Cao đng môn Toán trên toàn quc, cao hn là tài liu tham kho dành cho các thy cô giáo và các bn tr yêu Toán khác. I I . . K K I I   N N T T H H   C C – – K K   N N   N N G G C C H H U U   N N B B   1. Nm vng các phép bin đi đi s c bn (nhân, chia đa thc, phân tích đa thc thành nhân t, bin đi phân thc đi s và cn thc). 2. K nng bin đi tng đng, nâng ly tha, phân tích hng đng thc, thêm bt. 3. Nm vng lý thuyt bt phng trình, du nh thc bc nht, du tam thc bc hai. 4. Nm vng kin thc v đa thc đng bc, các thao tác c bn vi phng trình mt n ph. 5. Bc đu thc hành gii và bin lun các bài toán phng trình bc hai, bc cao vi tham s. 6. S dng thành tho các ký hiu logic trong phm vi toán ph thông. VINAMATH.COM VINAMATH.COM LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CREATED BY GIANG SN; XYZ1431988@GMAIL.COM 4 3 6 D E F  QUÂN OÀN B BINH 3 I I I I . . M M   T T S S   B B À À I I T T O O Á Á N N   I I   N N H H Ì Ì N N H H V V À À K K I I N N H H N N G G H H I I   M M T T H H A A O O T T Á Á C C B B à à i i t t o o á á n n 1 1 . . G G i i   i i p p h h     n n g g t t r r ì ì n n h h   2 6 3 4 2 1x x x x x     ฀ . Li gii 1. iu kin 1 2 x  . Nhn xét   2 1 6 3 0, 2 x x x x      . Phng trình đã cho tng đng vi               4 2 3 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 30 12 36 9 16 2 1 20 46 36 9 0 1 18 1 9 1 0 18 9 1 0 9 6 2;1;9 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                             i chiu điu kin thu đc nghim   9 6 2;1;9 6 2 S    . Li gii 2. iu kin 1 2 x  . Phng trình đã cho tng đng vi             2 2 2 2 4 1 4 2 1 3 6 3 3 1 2 1 1 1 3 2 1 0 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x                          Ta có     2 0 9 6 2;9 6 2 18 9 0 x x x x              . i chiu điu kin ta thu đc ba nghim. Li gii 3. iu kin 1 2 x  . Phng trình đã cho tng đng vi   2 4 2 1 3 2 1 0 x x x x      . t   2 1 0 x y y    thu đc         2 2 4 3 0 3 0 3 0 x xy y x x y y x y x y x y                2 2 0 0 0 2 1 1 2 1 0 1 0 x x x y x x x x x x                         .    2 0 3 0 3 2 1 9 6 2;9 6 2 18 9 0 x x y x x x x x                  i chiu vi điu kin 1 2 x  , kt lun tp nghim   9 6 2;1;9 6 2 S    . Li gii 4. iu kin 1 2 x  . Phng trình đã cho tng đng vi       2 2 2 3 2 1 4 2 1 4 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x                      Vi   2 0 3 2 1 9 6 2;9 6 2 18 9 0 x x x x x x               . VINAMATH.COM VINAMATH.COM LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CREATED BY GIANG SN; XYZ1431988@GMAIL.COM 4 3 6 D E F  QUÂN OÀN B BINH 4  Vi   2 2 0 0 2 1 1 2 1 0 1 0 x x x x x x x x                      . i chiu vi điu kin 1 2 x  , kt lun tp nghim   9 6 2;1;9 6 2 S    . Nhn xét.  Li gii 1 và 4 s dng phép bin đi tng đng thun túy, trong đó li gii 1 nâng ly tha trc tip có kèm theo điu kin hai v không âm thông qua nhn xét da trên điu kin. Li gii 4 thêm bt hng t đa v hiu hai bình phng cng cho kt qu nhanh chóng.  Li gii 2 da trên phép nhm nghim, s dng đng thc liên hp đa phng trình đã cho v dng tích, tác gi đã trình bày ti Lý thuyt s dng đi lng liên hp – trc cn thc – h tm thi.  Li gii 3 là hng trng tâm ca tài liu, mc dù ch s dng mt n ph y nhng thc t đa phng trình đã cho v phng trình hai n x và y. Các bn có th thy đa thc hai n 2 2 4 3 x xy y   d dàng phân tích thành hai nhân t, c th là     3 x y x y   .  S d nh vy vì đây là dng phng trình hai n đng bc hai 2 2 4 3 0 x xy y    . Ngoài cách gii trên, các bn có th tham kho thêm cách trình bày cùng bn cht sau Bin đi v 2 2 4 3 0 x xy y    . Xét 1 0 2 y x    , không nghim đúng phng trình ban đu. Xét trng hp 0 y  thì ta có 2 2 2 4 3 0 4 3 0 x x x xy y y y                    t x t y  ta có    2 1 2 1 4 3 0 1 3 0 3 3 2 1 t x x t t t t t x x                       B B à à i i t t o o á á n n 2 2 . . G G i i   i i p p h h     n n g g t t r r ì ì n n h h     2 3 1 4 4 4 3x x x x x     ฀ . Li gii 1. iu kin 3 4 x  . Phng trình đã cho tng đng vi 2 3 4 3 4 4 3 x x x x     . t   4 3 0 x y y    thu đc    2 2 3 4 0 3 0 3 x y x xy y x y x y x y                 2 0 4 3 1;3 4 3 0 x x y x x x x x               .  2 0 3 3 4 3 9 4 3 0 x x y x x x x             (H vô nghim). So sánh điu kin 3 4 x  ta thu đc tp nghim   1;3 S  . Li gii 2. iu kin 3 4 x  . Phng trình đã cho tng đng vi   2 2 2 2 2 4 3 3 4 3 4 4 3 4 4 4 3 4 3 2 4 3 3 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x                        VINAMATH.COM VINAMATH.COM LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CREATED BY GIANG SN; XYZ1431988@GMAIL.COM 4 3 6 D E F  QUÂN OÀN B BINH 5    2 0 4 3 1;3 4 3 0 x x x x x x             .  2 0 3 4 3 9 4 3 0 x x x x x           (H vô nghim). So sánh điu kin ta thu đc tp nghim   1;3 S  . Li gii 3. iu kin 3 4 x  . Nhn xét   2 3 3 4 3 0 4 x x x x      . Phng trình đã cho tng đng vi        4 3 2 2 4 3 2 2 9 24 2 24 9 16 4 3 9 40 46 24 9 0 1 1 3 9 4 3 0 3 x x x x x x x x x x x x x x x x                         Kt hp điu kin thu đc hai nghim,   1;3 S  . Li gii 4. iu kin 3 4 x  . Phng trình đã cho tng đng vi         2 2 2 2 4 4 3 4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 0 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x                    .  2 1 4 3 0 3 x x x x           2 0 3 4 3 9 4 3 0 x x x x x           (H vô nghim). i chiu điu kin ta thu đc tp nghim   1;3 S  . B B à à i i t t o o á á n n 3 3 . . G G i i   i i b b   t t p p h h     n n g g t t r r ì ì n n h h   2 2 3 2 3 2x x x x x     ฀ . Li gii 1. iu kin 2 3 x  . t   3 2 0 x t t    , ta thu đc         2 2 2 2 0 2 0 x t xt x x t t x t x t x t            (*). Ta có 2 ; 0 2 0 3 x t x t      . Do đó   2 2 0 3 2 1 2 3 3 2 0 x x t x x x x x                     . Vy bt phng trình đã cho có tp nghim   1;2 S  . Li gii 2. iu kin 2 3 x  . Bt phng trình đã cho tng đng vi          2 2 2 2 2 2 8 12 8 4 3 2 9 4 3 2 4 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 0 3 2 3 2 0 1 2 3 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                    VINAMATH.COM VINAMATH.COM LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CREATED BY GIANG SN; XYZ1431988@GMAIL.COM 4 3 6 D E F  QUÂN OÀN B BINH 6 Vy bt phng trình đã cho có tp nghim   1;2 S  . Li gii 3. iu kin 2 3 x  . Nhn xét   2 2 2 3 2 0 3 x x x x      . Bt phng trình đã cho tng đng vi                2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 3 2 4 3 2 3 2 4 5 3 2 3 2 0 3 2 4 3 2 0 1 x x x x x x x x x x x x x x                   Ta có 2 2 3 23 4 3 2 4 0, 8 16 x x x x               ฀ nên   2 1 3 2 0 1 2 x x x        . Vy bt phng trình đã cho có tp nghim   1;2 S  . Li gii 4. iu kin 2 3 x  . Bt phng trình đã cho tng đng vi           2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 0 3 2 0 3 2 3 2 2 3 2 0 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                        Nhn xét 2 2 3 2 0; 3 2 0 3 x x x x x         . Do đó   2 2 3 2 0 1 2 x x x        . Vy bt phng trình đã cho có tp nghim   1;2 S  . B B à à i i t t o o á á n n 4 4 . . G G i i   i i b b   t t p p h h     n n g g t t r r ì ì n n h h   2 4 3 3 8 1x x x x x     ฀ . Li gii 1. iu kin 1 x   . Bt phng trình đã cho tng đng vi   2 4 8 1 3 1 0 x x x x      . t   1 0 x y y    thu đc         2 2 4 8 3 0 2 2 3 2 3 0 2 2 3 0 x xy y x x y y x y x y x y              2 2 0 2 0 2 1 4 1 0 2 3 0 2 3 1 4 9 9 0 x x y x x x x x y x x x x                               (H vô nghim).  2 2 0 2 0 2 1 1 17 4 1 0 3 2 3 0 8 2 3 1 4 9 9 0 x x y x x x x x x y x x x x                                   . Kt lun tp nghim 1 17 ;3 8 S         . Li gii 2. iu kin 1 x   . Bt phng trình đã cho tng đng vi VINAMATH.COM VINAMATH.COM LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CREATED BY GIANG SN; XYZ1431988@GMAIL.COM 4 3 6 D E F  QUÂN OÀN B BINH 7           2 2 2 4 8 1 4 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 1 0 x x x x x x x x x x x x                  Xét hai trng hp  2 2 0 2 1 4 1 0 2 3 1 4 9 9 0 x x x x x x x x x                       (H vô nghim).  2 2 0 2 1 1 17 4 1 0 3 8 2 3 1 4 9 9 0 x x x x x x x x x x                           . Kt lun tp nghim 1 17 ;3 8 S         . Li gii 3. iu kin 1 x   . Nhn xét rng 2 4 3 3 0,x x x      ฀ . Bt phng trình đã cho tng đng vi              2 2 4 2 2 4 2 2 2 0 0 16 9 1 24 1 64 1 16 40 1 9 1 0 0 3 1 17 0 1 17 3 4 8 4 1 4 9 9 0 8 1 17 3 8 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                                 So sánh điu kin, kt lun tp nghim cn tìm 1 17 ;3 8 S         . B B à à i i t t o o á á n n 5 5 . . G G i i   i i b b   t t p p h h     n n g g t t r r ì ì n n h h   4 2 2 x x x x x      ฀ . Li gii. iu kin 0 2 x   . Bt phng trình đã cho tng đng vi         2 2 2 2 2 2 2 0 0 x x x x x x x x x x             Xét hai trng hp  0 2 2 2 0 x x x       . Khi đó   2 0 2 2 0 1 2 2 0 x x x x x x                  .  0 2 0 x x x      ;   2 0 2 2 0 2 2 2 2 3 0 4 8 0 x x x x x x x x                       . Kt lun nghim    2 2 3;0 1;2 S       . B B à à i i t t o o á á n n 6 6 . . G G i i   i i b b   t t p p h h     n n g g t t r r ì ì n n h h     2 2 3 2 7 3 1 3x x x x x      ฀ . Li gii 1. VINAMATH.COM VINAMATH.COM LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CREATED BY GIANG SN; XYZ1431988@GMAIL.COM 4 3 6 D E F  QUÂN OÀN B BINH 8 iu kin x  ฀ . Phng trình đã cho tng đng vi       2 2 2 1 3 1 3 2 3 0 x x x x        . t   2 1 ; 3 0 x a x b b      . Phng trình trên tr thành        2 2 3 2 0 2 0 2 0 2 a b a ab b a a b b a b a b a b a b                    2 2 2 1 1 3 1 2 1 3 x a b x x x x x x                  .  2 2 2 2 1 1 2 1 2 3 2 1 4 12 3 2 11 0 x x a b x x x x x x x                         (H vô nghim). Vy phng trình đã cho có nghim duy nht 1 x  . Li gii 2. iu kin x  ฀ . Phng trình đã cho tng đng vi                    2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 4 4 3 1 1 3 4 1 1 6 1 1 4 1 1 2 3 1 0 1 2 3 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                     Vi 2 2 2 2 1 1 1 2 3 2 1 4 12 3 2 11 0 x x x x x x x x x                       (H vô nghim). Vy phng trình đã cho có nghim duy nht 1 x  . Li gii 3. iu kin x  ฀ . Phng trình đã cho tng đng vi             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 8 28 12 1 3 4 2 1 12 1 3 9 3 3 1 2 3 2 2 3 3 3 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x                                  2 2 2 2 1 1 1 2 3 2 1 4 12 3 2 11 0 x x x x x x x x x                       (H vô nghim).  2 2 2 1 1 3 1 2 1 3 x x x x x x x                . Vy phng trình đã cho có nghim duy nht 1 x  . Li gii 4. iu kin x  ฀ . Nhn xét   2 2 2 3 2 7 2 1 6 0,x x x x x          ฀ . Phng trình đã cho tng đng vi         2 4 3 2 2 2 3 2 1 0 9 12 46 28 49 9 1 3 1 1 1 1 3 2 11 0 3 5 13 11 0 x x x x x x x x x x x x x x x x                                       . Vy phng trình đã cho có nghim duy nht 1 x  . VINAMATH.COM VINAMATH.COM LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CREATED BY GIANG SN; XYZ1431988@GMAIL.COM 4 3 6 D E F  QUÂN OÀN B BINH 9 B B à à i i t t o o á á n n 7 7 . . G G i i   i i p p h h     n n g g t t r r ì ì n n h h   2 2 7 1 7 2x x x x x       ฀ . Li gii 1. iu kin 0 x  . Phng trình đã cho tng đng vi 2 2 2 2 2 7 2 7 2 2 7 2 6 0 x x x x x x x x x x x              (1). t   2 2 0 x x t t     , phng trình (1) tr thành         2 2 2 2 2 2 2 2 7 6 0 6 0 6 0 0 2 2 1 281 70 0 2 6 2 36 t xt x t t x x t x t x t x x x x x x x x x x x x x x x x                                                 Kt lun phng trình đã cho có tp nghim 1 281 70 S             . Li gii 2. iu kin 0 x  . Phng trình đã cho tng đng vi       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 7 2 28 4 8 28 2 4 2 28 2 49 25 2 2 7 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                         2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 281 70 0 2 6 2 36 x x x x x x x x x x x x x x x                                     . Vy phng trình đã cho có nghim duy nht, hay 1 281 70 S             . Li gii 3. iu kin 0 x  . Phng trình đã cho tng đng vi 2 2 7 2 7 2 x x x x x      (*). Nhn xét 2 7 2 0x x x      ฀ nên         4 3 2 2 2 2 3 2 0 49 14 29 4 4 49 2 0 0 1 281 2 35 2 0 70 35 69 4 4 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x                                       Kt lun phng trình đã cho có tp nghim 1 281 70 S             . Li gii 4. iu kin 0 x  . Phng trình đã cho tng đng vi VINAMATH.COM VINAMATH.COM LÝ THUYT S DNG N PH CN THC (PHN 4) _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ CREATED BY GIANG SN; XYZ1431988@GMAIL.COM 4 3 6 D E F  QUÂN OÀN B BINH 10     2 2 2 2 2 2 2 2 7 7 2 7 2 2 2 2 7 2 2 0 1 281 2 6 2 35 2 0 70 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                     Th li nghim, kt lun 1 281 70 S             . B B à à i i t t o o á á n n 8 8 . . G G i i   i i p p h h     n n g g t t r r ì ì n n h h   2 2 6 4 8 5 2 3 1 x x x x x       ฀ . Li gii. iu kin 1 x   . Phng trình đã cho tng đng vi               2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 8 5 1 2 3 2 2 1 5 1 2 3 2 2 3 0 2 1 5 1 2 3 2 2 3 0 x x x x x x x x x x x x x                       t   2 1 ; 2 3 0 x u x v v      thu đc    2 2 2 2 5 2 0 2 2 0 2 u v u uv v u v u v v u              Xét các trng hp  2 2 2 1 1 2 2 1 8 12 7 2 11 0 x x u v x x x x x                     (H vô nghim).    2 2 2 1 1 4 14 2 2 3 4 2 1 2 2 8 1 0 x x v u x x x x x x                           . i chiu điu kin kt lun phng trình đ bài có duy nht nghim 4 14 2 x    . B B à à i i t t o o á á n n 9 9 . . G G i i   i i p p h h     n n g g t t r r ì ì n n h h     2 5 2 3 4 2 3 0x x x x x      ฀ . Li gii. iu kin 3 2 x  . t   2 3 0 x y y    thì phng trình đã cho tr thành    2 2 5 4 0 4 0 4 x y x xy y x y x y x y                 2 2 0 0 2 3 2 3 0 1 2 x x x y x x x x x                       (Vô nghim).    2 0 4 4 2 3 16 4 13;16 4 13 32 48 0 x x y x x x x x                 . i chiu điu kin ta thu đc hai nghim k trên. VINAMATH.COM VINAMATH.COM [...]... 2 20 x 19 Bài toán 21 Gi i ph ng trình x 2 5 x 2 4 x 3 8 L x 2 o Xét x 2 không th ãn ph ình ban g trình ã cho t o Xét x 2 x2 2x 4 3 x 2 V V V 2x 4 x 2 t t 0; 10 3 43 10 ; 43 3 4 x2 x ฀ 2 x 4 x 2 t 2 4t 3 0 0 x2 2x 4 x2 2x 4 3 4 x 2 x 2 t 1 t 1 t 3 0 t 3 t 1 x2 2x 4 x 2 x 2 x 6 0 (Vô nghi t 3 x 2 2 x 4 9 x 18 x 2 7 x 22 0 (Vô nghi trình ã cho vô nghi Bài toán 22 Gi i b t ph L x 1 ng trình 2 x 2 5 x... 1 0 x x 1 (3) 2 D ình ã cho vô nghi Nh Các bài toán t hai) bi nh à không th M ù cùng m ài toán 43) Ngoài ra các b ình tích, v ài toán d ình bày ph – hàm s – b ình l gi ình th sky, tuy nhiên l mang tính ch ìl (b phép ý (hai l Hai bài toán 43 và 44 tác gi có cách nhìn toàn di c ài 43 và 44 có cùng b có l lu theo h Bài toán 45 Gi i ph ình ên ph mà 3 x ng trình 2 x 1 x 2 ày ài 40 x ฀ 1 3x 4 L x ình ã... _ Bài toán 23 Gi i ph 2x 1 2 2 x ng trình 22 x ฀ 3 4 2x 1 2 x L 1 x 2 2 ình ã cho t 4 2x 1 2 2 x 2 x 1 u; 4 2 x u v u 2v v 0; v 0 ta có u 2 2v 2 u 24 2 x 2x 1 1 2 x 3uv u v u 2v u u 0 v 2v x 1 2x 1 2 x 4 3 4 2 x 1 4 2 x 2 x 1 16 2 x S 2 11 6 11 ;1 6 x ฀ Bài toán 24 Gi i ph ng trình 3 3x 2 4 4 x 3 7 4 12 x 2 17 x 6 L 3 x 4 ình ã cho t 3 3x... ình ã cho tr b a 2 3b 2 a b x 2 a 3b K 3 4ab a a b 0x 33 x 2 x 2 Bài toán 29 Gi i ph 27 x 2 0 a 3b a b 0 b 3b 28 13 x 28 13 S ình có t 3b a b a a 4 (Vô nghi x 2 x 2 ành ng trình 4 3 2 x 1 2 33 1 2x 2 8 3 4 x2 1 x ฀ L 3 x ฀ 2 x 1 u; 3 2 x 1 4u 2 3v 2 2u v 2u 3v g trình ã cho tr v 8uv 2 3 2x 1 3 2u 2u 3v 2x 1 ình ã cho có hai nghi Bài toán 30 Gi i b t ph L x ฀ B x 3 u; 3 x 3 3 x 3 1 x 3 u 4v 0 3 5uv... _ Bài toán 31 Gi i ph ng trình x 2 7 x 3 3 x 3 4 x 2 5 L x3 4 x 2 5 0 x 1 x2 5x 5 0 x 1 x 2 5x 5 2 x 1 ình ã cho t x 1 u; x 2 5 x 5 v u 0; v u v 2u v V x2 3 x 1 x 2 5 x 5 u v 2u v (1) x 1 x 2 u v v 2u 0 (H 4x 5 0 x 2 5x 5 2 x 1 3uv x 1 x 2 5x 5 x 1 x ฀ 0 ta có 2u 2 v 2 1 26 x 1 x2 5x 5 4 x 4 x 9 0 (H ình ã cho vô nghi Bài toán 32 Gi i ph L ng trình x 2 3x 4 3 x 3 6 x 2 11x... _ 28 Nh Các bài toán 31 33 t ình b ài ra các b k ho l ,b Quan sát và th ành các thí d thu m hai bài toán 32 và 33 v ình th m khó có th ành các nhân t (n C ài toán 32 và 33 ình ày có th ìm à tìm ã tr ên quen ên có ) x 1 x3 6 x 2 11x 6 x 1 x 2 5x 6 x 2 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x2 4 x 3 x 1 x 2 Xin nh ABC s à x3 6 x 2 11x 6 x 1 x 1 x 2 x 3 D s à A 0 B 0 A B C ài toán 32 ta có quan sát... 2 7t 5 0 x 2 3x 4 x 4 4x 8 x2 7 0 x 3 31x 30 0 (1) ình vô nghi 1007 0 4;1 ng trình 4 x 2 25 x 14 3 x 3 31x 30 Bài toán 36 Gi i b t ph L x ฀ x 5 6 x 1 x 1 x 5 x 6 0 4 x2 6x 5 x 6 ình ã cho t 4 x2 6x 5 x2 6 x 5 a; x 6 b 4a b a b 0 a b 4a 2 b 2 S Bài toán 37 Gi i b t ph L n x3 3ab a b 4a b x 53 2 ;1 6 7 53 2 7 53 5; 2 ng trình 3 x 2 14 x 14 2 x 3 x 2 26 x 24 0 ình ã cho t 0 5 (H x x2 7 x 1 0 7 4a b... v 0 2 x2 9x S Bài toán 38 Gi i ph L 6; 934 9 14 x 14 0 (H 4x 2 0 2 22 x 44 x 50 0 934 9 4x 2 0 3u v 0 V 22 x 31 44 x 50 0 22 934 4; 9 ng trình 3 x 2 5 x 5 2 x3 2 x 2 11x 12 x 1 x 3 x 4 x 0 x ฀ 4 3 x 1 ình ã cho t 3 x2 2x 3 x2 V x 4 x2 2 x 3 x 4 2 2x 3 t t 0 ta có x 4 1 3t 2 1 2t t 1 3t 1 ình ã cho vô nghi Bài toán 39 Gi i ph L x x2 4 0 3 2x 3 x2 2 x 3 1 2 x 4 x 4 x2 2x 3 t 1 ng trình 5 x 2 11x 2... _ Bài toán 40 Gi i ph ng trình x 1 L 2x 1 0 33 3x2 8 x 4 2x 1 x ฀ 3x2 8x 4 0 ình ã cho t x 1 x 1 a; 2 x 1 b a x 1 K L a 2 2ab b 2 x 1 x2 2x 1 2x 1 2x 1 x 0 u ki 3a 2 b 2 2x 1 x 1 ình ã cho t x 1 u; 2 x 3 u v 1 u v K L 2x 1 2 x 1 x x 1 0 x x 1 2x2 2x 1 1 4x 2 x 1 2 x 1 x2 5 x 2 12 x 8 2x 3 x 1 v u 0 ) 1 x 0 2x 1 0 x Bài toán 41 Gi i ph ng trình x 1 L 1 3 x 2 2 5 x 12 x 8... x3 1 x 1 2 x 1 1 1 x 1 x 2 x 1 1 x 1 0 x 1 x 1 x2 x 1 6 3 x 1 x 1 x x 2 8 x 10 0 4 6; 4 6 Nh Bài toán 12 thu b ình gi ình ình, các b (ho à làm cho l gi L L trình ch ã tr ), nên súc tích (sau khi nh x 3 a a; x 1 b 2 a 2 0 3ab 10b x2 V x2 ình ã cho t x2 ) ên h ên, s ành th ên h Bài toán 13 Gi i b t ph ng trình x 2 13 3 x 3 2 x 3 9 x L x3 2 x 3 0 x 1 x2 x 3 0 x 1 B b x 3 x 3 3 x 1 x 2 êm m x ฀ x 3 10 . lp 9 THCS ôn thi vào lp 10 THPT đi trà, lp 10 h THPT Chuyên, các bn chun b bc vào các k thi hc sinh gii Toán các cp và d thi k thi tuyn sinh i hc – Cao đng môn Toán trên toàn. hc, cng là b phn thng thy trong các k thi kim tra cht lng hc k, thi tuyn sinh lp 10 THPT, thi hc sinh gii môn Toán các cp và k thi tuyn sinh i hc – Cao đng vi hình thc. Chng trình Toán i s lp 9 THCS bc đu gii thi u các phép toán vi cn thc, k t đó cn thc xut hin hu ht trong các vn đ đi s, hình hc, lng giác và xuyên sut chng trình Toán