1 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI Đ󰖡I HỌC CÓ HƯ󰗛NG D󰖫N GIẢI Bài 1. 1/ Giải phương trình 2 1 3 4 1 1x x x x       . 2/ Giải phương trình với ẩn số thực 1 6 5 2 x x x       Bài 2. Giải phương trình 5 4 3 2 11 25 14 0x x x x x      Bài 3. Giải hệ phương trình 2 2 4 2 5 2 5 6 x y x y            Bài 4. Giải hệ phương trình sau 1 3 3 1 2 8 x x y y x y y                Bài 5. Giải hệ phương trình 2 4 3 2 2 4 4 1 4 2 4 2 x y xy x y xy            Bài 6. Giải hệ phương trình trên tập số thực 4 2 2 5 6 5 6 x y x y x           `  Ì i ` Ê Ü  Ì  Ê Ì  i Ê ` i   Ê Û i À Ã    Ê  v Ê   v  Ý Ê * À  Ê *   Ê  `  Ì  À Ê /  Ê Ài   Û i Ê Ì   Ã Ê   Ì  V i ] Ê Û  Ã  Ì \ Ê Ü Ü Ü °  V i   ° V   É Õ    V  °  Ì  2 Bài 7. Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 3 2 1 1 2 4 y x y x x x y y              Bài 8. Giải phương trìn h 2 3 6 7 1 x x x      Bài 9. Giải h ệ phương trìn h 2 2 1 1 2 0 x x y y x y x y x              Bài 10. 1/ Giải b ất phương trì n h 2 2 ( 4 ) 2 3 2 0x x x x    . 2/ Giải h ệ phương trì n h s a u 2 2 7 12 xy y x y x x y           Bài 11. Giải h ệ bất phương trì n h 6 8 10 2007 2009 2011 1 1 x y z x y z            . Bài 12. 1/ Giải phương trì n h 1 1 2 1 3 x x x x       2/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 x x y y y x           `  Ì i ` Ê Ü  Ì  Ê Ì  i Ê ` i   Ê Û i À Ã    Ê  v Ê   v  Ý Ê * À  Ê *   Ê  `  Ì  À Ê /  Ê Ài   Û i Ê Ì   Ã Ê   Ì  V i ] Ê Û  Ã  Ì \ Ê Ü Ü Ü °  V i   ° V   É Õ    V  °  Ì  3 Bài 13. 1/ Giải phương trì n h 2 4 3 5x x x    . 2/ Giải phương trì n h 3 2 3 1 2 2x x x x     trên [ 2,2] Bài 14. Giải h ệ phương trì n h s a u 2 2 1 2 2 1 1 3 3( ) y x x y x y x x             Bài 15. Giải h ệ phương trì n h s a u 2 2 2 2 3 4 9 7 6 2 9 x y xy x y y x x            Bài 16. 1/ Giải phương trì n h 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x         2/ Giải h ệ phương trì n h 3 2 2 3 2 6 1 4 x y x y x y              Bài 17. Giải phương trì n h s a u 2 4 3 2 3 1 2 2 2 1 ( ) x x x x x x x x        Bài 18. Giải phương trì n h 2 2 3 2 2 5 0sin sin cosx x x    . Bài 19. 1/ Giải phương trì n h 2 2 4 2 4 x x x x      . `Ìi`ÊÜÌÊÌiÊ`iÊÛiÀÃÊvÊ vÝÊ*ÀÊ*Ê`ÌÀÊ /ÊÀiÛiÊÌÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV°Ì 4 2/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) 10 y x y x x x y y          Bài 20. Giải phương trình 2 3 6 7 1 x x x      . Bài 21. Giải h ệ phương trì n h 5 ( ) 6( ) 4 6 5 6( ) 4( ) 5 4 6 4( ) 5 ( ) 6 5 4 x y x z x y x y x z xz z y x y z y zy x y xy x z y z x z xz y z yz                                  Bài 22. 1/ Giải phương trì n h 1 2 1 3 2 ( 11) 2 x y z x y z        2/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 121 2 27 9 3 4 4 0 x x x x y xy x y               Bài 23. 1/ Tìm tất cả các giá trị c ủa ,a b để phương trì n h 2 2 2 2 1 x ax b m bx ax      có hai nghiệm p h â n b i ệt với m ọi t h a m s ố m. 2/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 3 3 3 6 1 19 y xy x x y x           Bài 24. `Ìi`ÊÜÌÊÌiÊ`iÊÛiÀÃÊvÊ vÝÊ*ÀÊ*Ê`ÌÀÊ /ÊÀiÛiÊÌÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV°Ì 5 1/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 3 3 3 3 2010 2010 x y z x y z            2/ Giải phương trì n h 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 0 x x x x x x         Bài 25. 1/ Giải b ất phương trì n h s a u 2 2 2 1 2( 1 ) 2 ( 2 ) 4 1 17 0 x y x x x y y x x                 2/ Với n l à s ố n g u y ê n d ư ơ n g , g i ả i p h ư ơ n g t r ì n h 1 1 1 1 0 sin 2 sin 4 sin8 sin 2 n x x x x      . Bài 26. 1/ Giải phương trì n h s a u 3 sin 2 cos2 5sin (2 3)cos 3 3 1 2cos 3 x x x x x         . 2/ Giải phương trì n h 2 3 2 2 1 l o g 3 8 5 ( 1 ) x x x x      Bài 27. 1/ Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 1 2 1 x y x y y y x y x              2/ Giải phương trì n h l ượn g g i á c 2 2 2 2sin 2 tan cot 2 x x x     Bài 28. Giải phương trì n h 2 1 1 24 60 36 0 5 7 1 x x x x        `Ìi`ÊÜÌÊÌiÊ`iÊÛiÀÃÊvÊ vÝÊ*ÀÊ*Ê`ÌÀÊ /ÊÀiÛiÊÌÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV°Ì 6 Bài 29. Giải phương trì n h 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2 x x x x x x x           Bài 30. Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 18 7 6 14 0 ( )( )x x y y x y xy x y                 Bài 31. Giải h ệ phương trình 3 2 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 4 6 ( ) ( )x x y y x y                Bài 32. Giải h ệ phương trì n h 4 3 3 2 2 3 3 9 9 7( ) x x y y y x x y x x y x             Bài 33. Giải h ệ phương trì n h 3 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 y x x x y y x xy x               Bài 34. Giải hệ phương trì n h 3 3 2 2 35 2 3 4 9 x y x y x y           Bài 35. Giải phương trì n h 3 2 3 2 2 1 27 27 13 2x x x x     Bài 36. Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 1 1 2( ) 2 1 1 2 x y x y y x x y                `  Ì i ` Ê Ü  Ì  Ê Ì  i Ê ` i   Ê Û i À Ã    Ê  v Ê   v  Ý Ê * À  Ê *   Ê  `  Ì  À Ê /  Ê Ài   Û i Ê Ì   Ã Ê   Ì  V i ] Ê Û  Ã  Ì \ Ê Ü Ü Ü °  V i   ° V   É Õ    V  °  Ì  7 Bài 37. Giải h ệ phương trì n h 3 3 3 3 12 50 12 3 2 27 27 x x y y y z z x z              Bài 38. Giải phương trì n h 9 2 3 9 1 2 1 3 x x x     Bài 39. 1/ Giải phương trì n h s a u 2 1 1 2 2x x x x       2/ Giải h ệ phương trì n h s a u 3 3 2 2 3 4 2 1 2 1 y y x x x x y y                Bài 40. 1/ Giải h ệ phương trì n h 3 3 2 4 4 8 4 1 2 8 2 0 x y xy x y x y             2/ Chứng minh phương trì n h s a u c ó đúng một nghiệm 2011 3 3 2 ( 1) 2( 1) 3 3 2x x x x x       . Bài 41. Giải h ệ phương trì n h s a u 3 3 3 3 12 4 6 9 2 32 x y x y z y z x z                Bài 42. Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 6 2 2 1log ( ) log ( ) y x x e y x y x y                `Ìi`ÊÜÌÊÌiÊ`iÊÛiÀÃÊvÊ vÝÊ*ÀÊ*Ê`ÌÀÊ /ÊÀiÛiÊÌÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV°Ì 8 Bài 43. Giải phương trì n h s a u 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 4 x x x x x x x x x               Bài 44. 1/ Giải phương trì n h 3 2 3 3 4 3 2x x x x     2/ Tìm số nghiệm c ủa phương trì n h 201 1 2009 4 201 1 2009 2 2 (4022 4018 2 ) 2(4022 4018 2 ) cos 2 0x x x x x x x       Bài 45. Giải h ệ phương trì n h s a u 2 2 2 2 2 (2 )(1 2 )(2 )(1 2 ) 4 10 1 2 2 1 0 x x y y z x y z xz yz x y                   Bài 46. 1/ Giải phương trì n h s a u 2 2010 ( 1 ) 1 x x x   . 2/ Giải h ệ phương trì n h 4 2 4 3 3 4 2 5 2 2 xy x x y y x x y              Bài 47. Giải h ệ phươn g t r ì n h 11 10 22 12 4 4 2 2 3 7 13 8 2 (3 3 1 ) x xy y y y x y x x y              Bài 48. Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2009 2010 ( ) 2010 2011 ( ) 2011 2009 ( ) x y x y y z y z z x z x               `Ìi`ÊÜÌÊÌiÊ`iÊÛiÀÃÊvÊ vÝÊ*ÀÊ*Ê`ÌÀÊ /ÊÀiÛiÊÌÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV°Ì 9 Bài 49. Giải h ệ phương trì n h s a u 2 2 2 1 5 57 4 3 ( 3 1 ) 25 x y x x y x              Bài 50. Cho các tham số dương , ,a b c . Tìm nghiệm dương của hệ phương trì n h s a u : 2 2 2 4 x y z a b c xyz a x b y c z abc             Bài 51. Giải h ệ phương trì n h s a u t r ê n t ập hợp số thực 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y x y y x y               Bài 52. Giải h ệ phương trì n h 4 4 2 2 3 2 3( ) x x y y x y           Bài 53. Giải phương trì n h 2 3 5 3 2 .sin .cos 2 1 1 x x x x x x x x        Bài 54. Giải h ệ phương trì n h 2 2 2 2 2 ( 2) ( 3 ) ( 3 ) ( 2) 5 9 7 15 3 8 18 18 18 84 72 24 176 x y y x z x x z y yz x y xy y z x y z                            Bài 55. Tìm , , x y z thỏa mãn hệ 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 2 2 2 ( 3 1 ) 2 ( 1 ) z x y x y y z xy zx yz y x x x                   `Ìi`ÊÜÌÊÌiÊ`iÊÛiÀÃÊvÊ vÝÊ*ÀÊ*Ê`ÌÀÊ /ÊÀiÛiÊÌÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV°Ì 10 LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT Bài 1. 1/ Giải phương trì n h 2 1 3 4 1 1x x x x       . 2/ Giải phương trìn h v ới ẩn s ố thực 1 6 5 2 x x x       Lời giải. 1/Điều kiện 1 x  . Phương trì n h đã cho tương đương với 2 2 ( 1 1) ( 1 2) 1 1 1 1 2 1x x x x             (*) -Nếu 1 1x   thì ( * ) ( 1 1) ( 1 2) 1 3 2 1 1 1 1x x x x               , loại . -Nếu 1 1 2 2 5x x      thì ( * ) ( 1 1) ( 1 2) 1 1 1x x         , luôn đúng. -Nếu 1 2x   thì ( * ) ( 1 1) ( 1 2) 1 2 1 3 1 1 2x x x x              , loại . Vậy phương trì n h đã cho có nghiệm l à m ọi x t h u ộc   2 ; 5 . 2/ Điều kiện 5 2 x   . Phương trì n h đã cho tương đương với 2 2 1 5 2 6 ( 1 ) ( 5 2 ) 2 (1 )( 5 2 ) 6 ( 1 ) ( 5 2 ) 5 ( 1 )( 5 2 ) 10 25 7 30 0 3 10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                        Thử lại, t a t h ấy c h ỉ c ó 3x   là thỏa mãn. Vậy p h ư ơ n g t r ì n h đã cho có nghiệm d u y n h ất là 3 x=- `Ìi`ÊÜÌÊÌiÊ`iÊÛiÀÃÊvÊ vÝÊ*ÀÊ*Ê`ÌÀÊ /ÊÀiÛiÊÌÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV°Ì [...]... 0 Do ( x  1)2 ( x 2  3 x  6)  1  0, x nên phương trình này vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  2  2x  2 y  4  Bài 3 Giải hệ phương trình   2x  5  2y  5  6  Lời giải Điều kiện: x, y  0 Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta có: ( 2 x  5  2 x )  ( 2 y  5  2 y )  10 Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, vế theo vế, ta được: 11 ( 2x  5... 2  2ax  1 nếu m  1 thì phương trình này vô nghiệm, nếu m  1 thì phương trình này có vô số nghiệm, không thỏa mãn đề bài -Nếu b  1 thì phương trình đã cho trở thành 29 -Nếu b  1 thì x0  1 , tương ứng với 1  2a  b  0 hoặc 1  2a  b  0 Do đó, khi 1  2a  b  0 hoặc 1  2a  b  0 thì tương ứng hai phương trình đã cho có nghiệm chung là x0  1 và x0  1 Phương trình ban đầu tương đương... nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 25 Bài 19 1/ Giải phương trình x  4  x 2  2  x 4  x 2  2 y ( x 2  y 2 )  3x  2/ Giải hệ phương trình  2 2  x( x  y )  10 y  Lời giải 1/ Điều kiện 2  x  2 Phương trình đã cho tương đương với ( x  2)  ( x  1) 4  x 2  ( x  2) 2  ( x  1) 2 (4  x 2 )  x( x  2)( x 2  2)  0  x  0 x  2 x   2 Thử lại ta thấy thỏa Vậy phương trình đã... y )  (2, 3) Bài 17 Giải phương trình sau x 4  2 x 3  2 x 2  2 x  1  ( x 3  x) 1  x2 x Lời giải Điều kiện x  (, 1]  (0,1] Nếu x  1 thì x 4  2 x 3  2 x 2  2 x  1  ( x 2  x) 2  ( x  1) 2  0, x 3  x  x( x 2  1)  0 nên phương trình trên không có nghiệm thỏa x  1 Đồng thời x  1 không là nghiệm của phương trình nên ta chỉ xét x  (0,1) Phương trình đã cho tương đương với... bx 2  2ax  1 hay (1  bm) x 2  2(a  am) x  b  m  0 (*) và bx 2  2ax  1  0 Ta thấy rằng phương trình (*) có không quá hai nghiệm nên muốn phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m thì hai phương trình x 2  2ax  b  0 và bx 2  2ax  1  0 không có nghiệm chung, đồng thời phương trình (*) phải có đúng hai nghiệm phân biệt, tức là 1  2a  b  0,1  2a  b  0  1  bm  0,... ln 3 Phương trình trên chính là f (2 x  1)  f (3( x  1)2 )  2 x  1  3( x  1) 2  3 x 2  8 x  4  0  x  2 x2 3 2 Ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn nên phương trình đã cho có hai nghiệm là x  , x  2 3 Bài 27  x 2  1  y 2  xy  y  1/ Giải hệ phương trình  y x y2  1  x2  2/ Giải phương trình lượng giác 2 2  2  2 sin 2 x tan x  cot 2 x Lời giải 1/ Ta thấy hệ phương trình. .. 2)( x  1) 2  0  x  2  x  1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  2, x  1 Bài 25 2 x  y  x  1  2( x  1)  2(2 x  y ) 2  1/ Giải bất phương trình sau  2  y  4 x x  1  17  0  2/ Với n là số nguyên dương, giải phương trình 1 1 1 1      0 sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin 2 n x Lời giải 1/ Điều kiện x  1 Bình phương hai vế của bất phương trình thứ nhất của hệ, ta có (2 x ...  2 thì x 1  2  x  3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  3 2/ Điều kiện 2 x  y  0, y  1 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với (2 x  y )  2 2 x  y  3  0  2 x  y  1  2 x  y  3  2 x  y  1  y  1  2 x Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 3 x  6  2x  4 Dễ thấy vế trái tăng theo biến x nên phương trình trên có không quá một nghiệm Ta thấy x ... x  27 thì y   3 4 7 Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là ( x, y )  (2, 16 1 1 9  3 33 ), ( , ), ( ,3) 7 2 7 4 Bài 16 1/ Giải phương trình x  2 7  x  2 x 1  x2  8x  7 1 2 2 x  y  3  2 x  y  2/ Giải hệ phương trình  3  x  6  1 y  4  Lời giải 1/ Điều kiện 1  x  7 Đặt a  7  x , b  x  1, a, b  0  ab   x 2  8 x  7 23 Phương trình đã cho trở thành b 2 ...  7    x  4  10, y  3  10 y  7 x  Thử lại, ta thấy tất cả đều thỏa Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là ( x, y )  (3,1), (5, 1), (4  10, 3  10), (4  10,3  10) Bài 5 Giải hệ phương trình 4 x 2  y 4  4 xy 3  1   2 2 4 x  2 y  4 xy  2  Lời giải Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai, vế theo vế, ta được: y 4  2 y 2  4 xy 3  4 xy  1  0  ( y 2  1) 2 . CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI Đ