M CL C Trang PH N – PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH - A – Phương trình & B t phương trình b n - I – Ki n th c b n II – Các thí d - Bài t p tương t B – ưa v tích s (bi n i 12 ng th c, liên h p) - 23 I – Ki n th c b n 23 II – Các thí d S bi n - 24 i ng th c - 24 Bài t p tương t 31 T ng hai s không âm - 33 Bài t p tương t 34 Nhân liên h p 35 Bài t p tương t 47 t n s ph khơng hồn tồn 56 Bài t p tương t C– t n s ph 57 59 I – Ki n th c b n 59 II – Các thí d - 60 t m t n ph - 60 t hai n ph 70 Bài t p tương t D – S d ng b t 77 ng th c hình h c - 91 I – Ki n th c b n 91 II – Các thí d - 93 Bài t p tương t 101 E – Lư ng giác hóa 105 I – Ki n th c b n 105 II – Các thí d - 106 Bài t p tương t 114 F – S d ng tính ơn i u c a hàm s 118 I – Ki n th c b n 118 II – Các thí d - 119 Bài t p tương t 127 G – Bài toán ch a tham s 131 I – Ki n th c b n 131 II – Các thí d - 133 Bài t p tương t 142 PH N – H PHƯƠNG TRÌNH - 149 A – H phương trình b n 149 I – Ki n th c b n 149 II – Các thí d 151 Bài t p tương t B – Bi n 166 i phương trình thành tích s k t h p phương trình l i - 176 I – Ki n th c b n 176 II – Các thí d 176 Bài t p tương t C– t n ph ưa v h b n - 185 Các thí d - 185 Bài t p tương t D – Dùng b t 181 191 ng th c - 203 Các thí d - 203 Bài t p tương t 205 E – Lư ng giác hóa S ph c hóa - 208 Các thí d - 208 Bài t p tương t 213 F – S d ng tính ơn i u c a hàm s 217 Các thí d - 217 Bài t p tương t 222 G – Bài toán ch a tham s h phương trình - 227 Các thí d - 227 Bài t p tương t 239 Tài li u tham kh o - 248 Phương trình – B t phương trình – H phương trình is Ths Lê Văn ồn PH N – PHƯƠNG TRÌNH & B T PHƯƠNG TRÌNH A – PHƯƠNG TRÌNH – B T PHƯƠNG TRÌNH CƠ B N I – KI N TH C CƠ B N 1/ Phương trình – B t phương trình th c b n B ≥  A =B⇔  A = B2    B ≥  A = B ⇔  A = B   A ≥   B <   A > B ⇔    B ≥  A > B2    B >    A < B ⇔ A ≥   A < B2    B ≥  A> B ⇔  A > B   Lưu ý i v i nh ng phương trình, b t phương trình th c khơng có d ng chu n trên, ta th c hi n theo bư c: Bư c t i u ki n cho th c có nghĩa Bư c Chuy n v cho hai v Bư c Bình phương c hai v u không âm kh th c 2/ Phương trình – B t phương trình ch a d u giá tr t i B ≥     A = B ⇔ A = B   A = −B   A = B A = B ⇔   A = −B A > B ⇔ (A − B)(A + B) > B >    A < B ⇔ A < B   A > −B    B <   A có nghĩa     A > B ⇔ B ≥     A < −B   A > B    Lưu ý i v i nh ng phương trình, b t phương trình ch a d u giá tr t i khơng có d ng chu n trên, ta thư ng s d ng nh nghĩa ho c phương pháp chia kho ng gi i 3/ M t s phương trình – B t phương trình b n thư ng g p khác Page - - Phương trình – B t phương trình – H phương trình D ng ● Thay ( A+3B Ths Lê Văn oàn (1) A+3B = 3C ● Ta có: (1) ⇔ is ) = C ⇔ A + B + 3 AB ( ) A+3B =C (2) A + B = C vào (2) ta c: A + B + 3 ABC = C  f (x ) + h ( x ) = g ( x ) + k (x ) f (x ) + g (x ) = h (x ) + k (x ) v i  f (x ).h (x ) = g (x ).k (x ) D ng ● Bi n i v d ng: f (x ) − h (x ) = g (x ) − k ( x ) ● Bình phương, gi i phương trình h qu Lưu ý Phương pháp bi n i c hai d ng ưa v phương trình h qu Do ó, mb o r ng khơng xu t hi n nghi m ngo i lai c a phương trình, ta nên thay th k t qu vào phương trình u nh m nh n, lo i nghi m xác II – CÁC VÍ D MINH H A Thí d Gi i phương trình: −x + 4x − = 2x − Trích thi Cao (∗) ng sư ph m Nhà Tr – M u Giáo TW1 năm 2004 Bài gi i tham kh o   x ≥     x ≥  14  ⇔ ⇔  x = ⇔ x =    5x − 24x + 28 =       x = 14     2x − ≥   (∗) ⇔    2 −x + 4x − = (2x − 5)   V y nghi m c a phương trình x = Thí d Gi i phương trình: 14 − x2 + x x + = − 2x − x thi th (∗) i h c năm 2010 – THPT Thu n Thành – B c Ninh Bài gi i tham kh o     −3 ≤ x ≤ 3 − 2x − x ≥   (∗) ⇔ 7 − x2 + x x + = − 2x − x2 ⇔    x +5 =−x+2      x     −3 ≤ x ≤ −3 ≤ x ≤ −2 ≤ x <       x +2     ⇔ − ≥0 ⇔ −2 ≤ x < ⇔  x = −1 ⇔ x = −1      x  x + x − 16x − 16 =  x = ±4         x ( x + ) = ( x + )   V y nghi m c a phương trình x = − Page - - Phương trình – B t phương trình – H phương trình Thí d Gi i phương trình: is 3x − − x + = Trích Ths Lê Văn oàn (∗) thi Cao ng sư ph m Ninh Bình kh i M năm 2004 Bài gi i tham kh o ● 3x − ≥  i u ki n:  ⇔x≥  x + ≥   (∗) ⇔ 3x − = x + + ⇔ 3x − = x + + x + ⇔ x +7 = x −5 x − ≥ x ≥    ⇔ ⇔ ⇔ x =  x + = x − 10x + 25 x = ∨ x =      ● K t h p i u ki n, nghi m c a phương trình x = Thí d Gi i phương trình: (∗) x+8− x = x+3 Trích thi Cao ng Hóa ch t năm 2004 Bài gi i tham kh o ● i u ki n: x ≥ (∗) ⇔ x + = x + + x ⇔ x + = 2x + + x (x + 3) x ≤     5 − x ≥   x = x =    ⇔ x ( x + 3) = − x ⇔  ⇔ ⇔   x = − 25 4x (x + 3) = (5 − x )  25     x=−     ● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình x = Thí d Gi i b t phương trình: ( ) x2 − ≤ x + Trích (∗) thi Cao ng Kinh t K Thu t Thái Bình năm 2004 Bài gi i tham kh o      x ≤ −1 ∨ x ≥ 2 x − ≥ x = −1 ∨ x ≥    x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ (∗) ⇔ x + ≥     −1 ≤ x ≤  x − 2x − ≤   2 x − ≤ (x + 1)       ( ) ( )  x = −1      x ∈ 1; 3 ● V y t p nghi m c a phương trình x ∈ 1; 3 x = −   Thí d Gi i b t phương trình: Trích x2 − 4x > x − thi Cao (∗) ng bán công Hoa Sen kh i D năm 2006 ( i h c Hoa Sen) Bài gi i tham kh o        x ≤ ∨ x ≥ x ≥ x − 4x ≥ x − ≥  x ≤     ∨ ⇔ (∗) ⇔ x − < ∨  2 ⇔  x >  x − 4x > (x − 3) x < x >           2    Page - - Phương trình – B t phương trình – H phương trình ● Thí d is Ths Lê Văn oàn 9    V y t p nghi m c a h S = (−∞; 0 ∪  ; +∞    2  Gi i b t phương trình: x − 4x + + 2x ≥ (∗) Trích thi Cao ng K thu t Y t I năm 2006 Bài gi i tham kh o (∗) ⇔  x − 4x + ≥   3 − 2x ≥ x2 − 4x + ≥ − 2x ⇔  ∨      3 − 2x < x − 4x + ≥ (3 − 2x )           x ∈ » x ≤ x ≤     ⇔ ∨  ⇔x> ∨  ⇔x≥ x >  2  3x − 8x + ≤  ≤x≤2        3   ● Thí d 2   V y t p nghi m c a h S =  ; +∞  3    Gi i b t phương trình: Trích x − 4x + < x + thi Cao (∗) ng Kinh t cơng ngh Tp H Chí Minh kh i A năm 2006 Bài gi i tham kh o       x − 4x + ≥ 1 x ≤ ∨ x ≥ −    < x ≤1  x > − x + > ⇔ ⇔ 3 (∗) ⇔       x≥3  x − 4x + < (x + 1)   x >      ● Thí d 1  V y t p nghi m c a b t phương trình S =  ;1 ∪  3; +∞)     Gi i b t phương trình: Trích x + 11 ≥ x − + 2x − thi Cao (∗) ng i u dư ng qui ( i h c i u dư ng) năm 2004 Bài gi i tham kh o ●     x + 11 ≥ x ≥ −11   i u ki n: x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥     2x − ≥ x ≥ 0,       (∗) ⇔ x + 11 ≥ 3x − + (x − 4)(2x − 1) ⇔ (x − 4)(2x − 1) ≤ − x x − ≥     x ≤  ⇔ ⇔ −12 ≤ x ≤ ⇔    (x − 4)(2x − 1) ≤ (8 − x ) x + 7x − 60 ≤     ● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là: S =  4;    Page - - Phương trình – B t phương trình – H phương trình Thí d 10 Gi i b t phương trình: is Ths Lê Văn ồn (∗) x + − x − ≥ 2x − Trích thi i h c Th y s n năm 1999 Bài gi i tham kh o ● i u ki n: x ≥ (∗) ⇔ x + ≥ 2x − + x − ⇔ x + ≥ 3x − + (x − 1)(2x − 3)   x ≥  3      ≤x≤3 3 − x ≥ ⇔ 2x − 5x + ≤ − x ⇔  ⇔ 2    x + x − 2x − 5x + = (3 − x )2        3   ≤x≤3 3  ⇔ 2 ⇔  ≤ x ≤   −3 ≤ x ≤ 2       ● 3  T p nghi m c a b t phương trình x ∈  ;2 2    Thí d 11 Gi i b t phương trình: (∗) 5x + − 4x − ≤ x Trích thi i h c An Ninh Hà N i kh i D năm 1999 Bài gi i tham kh o ●   5x + ≥  4x − ≥ ⇔ x ≥ i u ki n:   x ≥    (∗) ⇔ 5x + ≤ 4x − + x ⇔ 5x + ≤ 9x + 4x − + 4x − x ⇔ 4x − x ≥ − 8x (∗ ∗) ⇒ − 8x ≤ ⇒ (∗ ∗) th a ● Do x ≥ ● 1   V y t p nghi m c a b t phương trình x ∈  ; +∞  4    Thí d 12 Gi i b t phương trình: x + − − x < − 2x Trích thi i h c Th y L i Hà N i h chưa phân ban năm 2000 Bài gi i tham kh o ● (∗) x + ≥     i u ki n: 3 − x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤  5 − 2x ≥    Page - - Phương trình – B t phương trình – H phương trình (∗) ⇔ is Ths Lê Văn oàn x + < − 2x + − x ⇔ x + < − 3x + (5 − 2x )(3 − x )   2x − <  − 2x − x ≥ )( ) (    ⇔ (5 − 2x )(3 − x ) > 2x − ⇔  2x − ≥    − 2x − x > 2x − )( ) ( )  (      x <  ⇔   x ≤      3    x ≥ x ≥   2 ∨  ⇔x< ∨  ⇔ x < 2   2x − x − < − < x < ∨x≥3      2   ● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình x ∈ −2;2)  Thí d 13 Gi i b t phương trình: 12 + x − x2 12 + x − x2 ≥ x − 11 2x − (∗) i h c Hu kh i D – R – T năm 1999 – H chuyên ban Bài gi i tham kh o   12 + x − x =       (∗) ⇔ 12 + x − x2  x − 11 − 2x −  ≥ ⇔  12 + x − x >         1   x − 11 − 2x − ≥     x = −3 ∨ x =   x = −3  ⇔ −3 < x < ⇔   x ≥ −2 −2 ≤ x ≤    Lưu ý: Thơng thư ng ta qn i trư ng h p c a h c sinh Thí d 14 Gi i phương trình: 12 + x − x2 = 0, ây sai l m thư ng g p x (x − 1) + x (x + 2) = x (∗) i h c sư ph m Hà N i kh i D năm 2000 – Cao ng sư ph m Hà N i năm 2005 Bài gi i tham kh o ● x (x − 1) ≥     x ≤ ∨ x ≥   i u ki n: x (x + 2) ≥ ⇔ x ≤ −2 ∨ x ≥ ⇔         x ≥ x ≥    x = x ≥  ● V i x = (∗) ⇔ = ⇒ x = m t nghi m c a (∗) ● V i x ≥ (∗) ⇔ x ⇔ x −1+ x + + ( ) x − + x + = x2 ⇔ x − + x + = x (x − 1)(x + 2) = 4x ⇔ (x − 1)(x + 2) = x − Page - - Phương trình – B t phương trình – H phương trình is Ths Lê Văn oàn     x ≥ x ≥   2 ⇔x=9 ⇔ ⇔     x + x − = x − x + x =         ● V y phương trình có hai nghi m x = ∨ x = Thí d 15 Gi i b t phương trình: (N ) x2 − 8x + 15 + x + 2x − 15 ≤ 4x − 18x + 18 (∗) i h c Dư c Hà N i năm 2000 Bài gi i tham kh o    x2 − 8x + 15 ≥    x ≥ ∨ x ≤  x + 2x − 15 ≥ ⇔ x ≥ ∨ x ≤ −5 ⇔  i u ki n:     4x − 18x + 18 ≥       x ≥ ∨ x ≤   ● ●  x ≥  x ≤ −5    x = V i x = (∗) c th a ⇒ x = m t nghi m c a b t phương trình (∗) ⇔ (x − 5)(x − 3) + (x + 5)(x − 3) ≤ (x − 3)(4x − 6) ● (2) V i x ≥ ⇒ x − ≥ > hay x − > (2) ⇔ x − + x + ≤ 4x − ⇔ 2x + x − 25 ≤ 4x − ⇔ x − 25 ≤ x − ⇔ x − 25 ≤ x − 6x + ⇔ x ≤ ⇒5≤x≤ ● (1) 17 17 (3) V i x ≤ −5 ⇔ −x ≥ ⇔ − x ≥ > hay − x > (2) ⇔ (5 − x)(3 − x) + (−x − 5)(3 − x) ≤ (3 − x)(6 − 4x) ⇔ − x + −x − ≤ − 4x ⇔ −2x + (5 − x )(−x − 5) ≤ − 4x ⇔ x − 25 ≤ − x ⇔ x − 25 ≤ x − 6x + ⇔ x ≤ ⇒ x ≤ −5 ● T (4 ) (1), (3), (4) ⇒ t  17  p nghi m c a b t phương trình x ∈ (−∞; −5 ∪ {3} ∪ 5;    3   Thí d 16 Gi i phương trình: x − x + 2x − = Trích thi Cao (∗) ng H i quan – H không phân ban năm 1999 Bài gi i tham kh o ● 17 B ng xét d u Page - - Phương trình – B t phương trình – H phương trình x2 − x + 2x − ● Ths Lê Văn oàn −∞ x is − + − − + + − Trư ng h p x ∈ (−∞; 0 ∪ (1;2    x = −  (∗) ⇔ x2 − x − (2x − 4) = ⇔ x2 − 3x + = ⇔  x = +  ( ● +∞ ) (L ) (L ) Trư ng h p x ∈ (0; −1    x = −1 −  (∗) ⇔ − x2 − x − (2x − 4) = ⇔ x2 + x − = ⇔   x = −1 +  ● Trư ng h p x ∈ (2; +∞) ( )   x = −1 − 29  2 (∗) ⇔ x − x + (2x − 4) = ⇔ x + x − = ⇔  −1 + 29 x =  ( ● ) V y phương trình có hai nghi m: x = Thí d 17 Gi i phương trình: thi Cao (N ) (L ) (N ) −1 + −1 + 29 ∨ x= 2 x + x −1 + x −2 x −1 = Trích (L ) x+3 (∗) ng sư ph m Tp H Chí Minh kh i A năm 2004 Bài gi i tham kh o ● i u ki n: x ≥ (∗) ⇔ ( x −1 + x −1 +1 + ) ⇔ ( x −1 +1 + ⇔ x −1 + + ) ( ( ) x − − x − + = ) x −1 −1 x −1 −1 = = x+3 x+3 x+3 (1) x+3 ⇔ x = x+3 ⇔ x −1 = x + ● V i x > 2, ta có: (1) ⇔ x − + + x − − = ● V i ≤ x ≤ 2, ta có: (1) ⇔ x −1 +1 + 1− x −1 = x ≥ −3  x ≥ −3 x ≥ −3     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x =   16x − 16 = x + 6x + x − 10x + 25 x =         Page - - Phương trình – B t phương trình – H phương trình ⇔ x + 4xy + 4y2 ≤ is Ths Lê Văn oàn 3m − ⇔ (x + 2y) ≤ ⇔ m > m −1 m −1 m > nên n u h phương trình sau có nghi m m −1 phương trình (∗) s có nghi m: i u ki n ● : V i m >  5x + 2xy − y2 = −5x − 2xy + y2 = −3 +  x + 2y =    ( )   ⇔ ⇔   2    2x + 2xy + y = 6x + 6xy + 3y = 2x + 2xy + y =       x = −2y  Rõ ràng h có nghi m ⇔  5y =    ● V y h có nghi m m > Thí d 218 Xác nh tham s a   x +1 = y + a ( ) h sau ây có nghi m nh t:    y +1 = x + a ( )   i h c Sư Ph m (1) ∗ () (2) i h c Lu t Tp H Chí Minh kh i A năm 2001 Bài gi i tham kh o ● Do vai trò c a x y h hai phương trình Vì v y, n u (x; y ) nghi m h (y; x ) nghi m h ● h có nghi m nh t Thay x = y vào (1) Nói cách khác: x = y i u ki n c n ta c: (1) ⇔ x + x + − a = (3 ) (3) có nghi ● m nh t ⇔ ∆ = 4a − = ⇔ a = i u ki n   (x + 1)2 = y +  : v i a = (∗) ⇔    (y + 1) = x +           (x + 1) = y + (x + 1) = y +  ⇔ ⇔ 2   (x + 1) − (y + 1) = y − x (x − y )(x + y + 3) =       x = y x + y + =      ⇔ ∨   2 ⇔ x = y = − nghi m nh t (x + 1) = x + (x + 1) = −x −     4     ● V ya= h phương trình có nghi m nh t  2   x + y −1 − k Thí d 219 Cho h phương trình:   x + y = xy +    ( ) x + y −1 = Page - 234 - (∗) Phương trình – B t phương trình – H phương trình 1/ Tìm t t c giá tr c a k Ths Lê Văn ồn Gi i h phương trình k = 2/ is h có nghi m nh t i h c H ng c kh i A năm 2001 Bài gi i tham kh o ● x + y ≥  i u ki n:   x + y ≥      x + y2 − − k x + y − =  x + y2 − − k x + y − =    ∗) ⇔  ⇔ (   x − + y (1 − x ) = (x − 1)(y − 1) =       (  2   x + y − − k   x =   ⇔     x + y2 − − k     y =  a/ b/ ( ( ) ( x =      y − k   ⇔    y = x + y −1 =    x − k    ) ) x + y −1 = )    x =   y =   Khi k = (I) ⇔  ⇔  y =      x =   ) (1) ) (2) ( y +1 −1 = ( x +1 −1 =   x =  y =           x = ∨ x = ∨ x = −1  ⇔    y = y = − y =  y =         x =    h có nghi m nh t (1) có nghi m nh t, cịn (2) vơ nghi m ho c ngư c (1) h (2) gi ng T c (1) có nghi m nh t m nh t, h (1) vơ nghi m h (2) vơ nghi m,… Do l i Nhưng b n ch t c a h (2) có nghi ó, khơng t n t i giá tr k th a yêu c u tốn Cách khác: ● ý vài trị c a x y c hai phương trình h (∗) Vì v y, n u (x; y) nghi m (∗) (y; x ) nghi m ● Hay nói cách khác, i u ki n c n ●    2x − − k Thay x = y vào (∗) ta c:    2x = x +   ● i u ki n : thay k = vào h , h có nghi m nh t Thí d 220 Tìm t t c giá tr c a tham s a h có nghi m nh t x = y ( ) 2x − = x =  ⇔   k =  câu a/ ta gi i c nghi m Do ó, khơng t n t i k h phương trình sau có nghi m   x − 2xy − 3y =   2x + 4xy + 5y2 = a − 4a + 4a − 12 + 105    (∗) i h c An Ninh kh i A năm 2000 Page - 235 - Phương trình – B t phương trình – H phương trình is Ths Lê Văn ồn Bài gi i tham kh o x − 2xy − 3y =   t m = a − 4a + 4a − 12 + 105 (∗) ⇔  2x + 4xy + 5y2 = m    ● ● x − 2t − 3t2 =   ⇔   x + 4t + 5t = m   ( ( ) ) ( (1) (2) ) + 4t + 5t2 m ⇔ = = f (t) − 2t − 3t2 ● T ● t y = tx , (x ≠ 0) h tương ương Do x = không nghi m c a h nên (2) ⇒ − 2t − 3t Xét hàm s f (t) = f ' (t) = ⇔ − 2t − 3t2 = m + 4t + 5t (3), ∀t ≠ −1; t ≠  1  > ⇔ t ∈ −1;     3     5t2 + 4t + 1   kho ng −1;   3 −3t − 2t +   2t2 + 22t + (−3t (1) : (2) ) − 2t + Cho f ' (t) = ⇔ t1 = −11 − 105 −11 + 105 ∨ t2 = 2 B ng bi n thiên t t1 −∞ f ' (t) + − t2 −1 − + +∞ +∞ + +∞ f (t) 105 − ● D a vào b ng bi n thiên, ⇔ h có nghi m ⇔ phương trình (3) có nghi m m 105 − ≥ f (t) = ⇔ m ≥ 105 −   1  8 −   1;    3  ⇔ a − 4a + 4a − 12 + 105 ≥ 105 − ⇔ a − 4a + 4a − ≥ ( ) ⇔ (a + 1)(a − 3) a − 2a + ≥ ⇔ a ≤ −1 ∨ a ≥ ● V y h phương trình có nghi m a ∈ (−∞; −1 ∪  3; +∞)   Thí d 221 Tìm tham s m x + (y + 2) x + 2xy = −2m −   h phương trình:  (∗) có ngh m ? x + 3x + y = m    Page - 236 - Phương trình – B t phương trình – H phương trình is Ths Lê Văn oàn HSG T nh Long An (b ng A) – ngày 06/10/2011 Bài gi i tham kh o 2 2     x x + 2x + y x + 2x = −2m −  x + 2x + x y + 2xy = −2m −  ∗) ⇔  ⇔ ( x + 3x + y = m  x + 2x + (x + y ) = m       ( ( ) ( ) ( ) )       x + 2x (x + y ) = −2m −  uv = −2m − v i u = x + 2x ≥ −1  ⇔ ⇔  v = x + y    x + 2x + (x + y ) = m u + v = m       ( ( ) )     v = m − u    v = m − u v = m − u ⇔ ⇔ ⇔ u (m − u) = −2m − u − = m (u + 2) m = u −         u+2   ● Xét hàm s f (u) = f ' (u ) = u2 − −1; +∞) :  u +2 u2 + 4u + (u + ) ≥ 0, ∀u ≥ −1 ⇒ Hàm s f (u ) ng bi n −1; +∞)  B ng bi n thiên −1 −∞ u f ' (u ) +∞ + +∞ f (u ) −2 ● D a vào b ng bi n thiên, h có nghi m ⇔ m ≥ −2 Thí d 222 Tìm t t c giá tr c a tham s a  x+ y=3      x+5 + y+3 ≤a    h sau có nghi m (x; y ) th a mãn i u ki n x ≥ : (∗) i h c Sư ph m Hà N i kh i A năm 2001 Bài gi i tham kh o ●      u = x Do x ≥ ⇒ u ≥ u = x t ⇒ v = y ≥ v = y           u = − v u + v =   (∗) ⇔  u2 + + v2 + ≤ a ⇔  2     (3 − v ) + + v + ≤ a     Page - 237 - Phương trình – B t phương trình – H phương trình is Ths Lê Văn ồn u = − v ≥ 0 ≤ v ≤     ⇔ ⇔   (1) 2  14 − 6v + v + v + ≤ a  v − 6v + 14 + v + ≤ a       ● Xét hàm s f (v) = v − 6v + 14 + v2 + o n  0;1   f ' (v) = v−3 v2 − 6v + 14 v + v2 + = (v − 3) (v v2 + + v v2 − 6v + 14 )( ) − 6v + 14 v2 + Cho f ' (v ) = ⇔ (v − 3) v + + v v2 − 6v + 14 = ( ) ( ⇔ (3 − v) v2 + = v v2 − 6v + 14 ⇔ (3 − v) v2 + = v2 v2 − 6v + 14 ⇔ 5v2 = (v − 3) )   v = −9 + 135 ∉  0;1    ⇔ 2v2 + 18v − 27 = ⇔   −9 − 135   v = ∉  0;1  2 B ng bi n thiên v f ' (v) v2 −∞ + 0 v1 − − − +∞ + 14 + f ( v) ● h (∗) có nghi m th a x ≥ h (1) ph i có nghi (1) có nghi m ⇔ a ≥ f (v) ⇔ a ≥ 0;1   Page - 238 - m D a vào b ng bi n thiên, Phương trình – B t phương trình – H phương trình is Ths Lê Văn ồn BÀI T P TƯƠNG T Bài t p 779 Tìm m    x+2 + y+3 = m h phương trình:  có nghi m ? x + y = 2m −    S: m = ∨ m ∈ 2; 4   Bài t p 780 Tìm m 2x − y − m =   h phương trình:  có nghi m nh t ? x + xy =    thi th i h c l n kh i B năm 2010 – THPT Phan Châu Trinh – N ng S: m ∈ (2; +∞) Bài t p 781 Tìm m    x+ y=3 h phương trình:  th a mãn ∀x ≥ ?   x+5 + y+3 ≤m    S: m ∈ 5; +∞)  Bài t p 782 Tìm m x − 5x + ≤   h phương trình:  có nghi m ?   3x − mx x + 16 =   S: m ∈ 8;19   Bài t p 783 Tìm m   x + 2xy − 7y2 ≥ − m  h b t phương trình:  + m có nghi m ?  3x + 10xy − 5y2 ≤ −2    HSG l p 12 – T nh Thái Bình năm 2005 – 2006 S: m ∈ (−∞; −1) Bài t p 784 Tìm m 2   3x − 4xy + y < m h b t phương trình:  có nghi m ? x + xy − 4y2 ≥ m +    S: m ∈ (−∞; −2 ∪  4; +∞)   Bài t p 785 Tìm m   3y − m x + =   h phương trình:  có nghi m nh t ? x + y + = m2   x + x2 +   S: m = −1 ∨ m = Bài t p 786 Tìm m  x + y + ≤ m  ( ) h b t phương trình:  có nghi m nh t ?   x + + y2 ≤ m ( )   Page - 239 - Phương trình – B t phương trình – H phương trình S: m = Bài t p 787 Tìm m is Ths Lê Văn ồn 4x − 3xy + 4y2 ≤   h b t phương trình:  có nghi m ? x + xy − 2y2 = m     54  S: m ∈ − ;2  13    Bài t p 788 Tìm m xy (x + 2)(y + 2) = 5m −   h phương trình:  có nghi m ? x + y2 + 2x + 2y = 2m      5  u = x + x ≥ −1 ⇒ m ∈  ;2 ∪  3; +∞) HD:      v = y + y ≥ −1 7    Bài t p 789 Tìm m  x − + y −1 =   h phương trình:  có nghi m ? x + y = 3m       13  u = x − ≥  ⇒ m ∈  ; 7 HD:  7  v = y − ≥      Bài t p 790 Tìm m    x +1 − y +2 = m h phương trình:  có nghi m ? x + y = 3m     − 21 + 21   ; S: m ∈   2   Bài t p 791 Tìm m    x +1 + y −2 = m  h phương trình:  có nghi m ?  x −2 + y +1 = m    HD: T h , ch ng minh c x = y, ưa v xét m = x + + x − ⇒ m ≥ Bài t p 792 Tìm m 5x − 4xy + 2y2 ≥    h b t phương trình:  có nghi m ? 7x + 4xy + 2y2 ≤ 2m −   2m +    5  S: m ∈ −∞;      2  Bài t p 793 Tìm m   m x + x + x + = x y  h phương trình:  có nghi m ? m x + x + x + + (m − 1) x = 2x y    ( (   1   S: m ∈ −∞; −  ∪ (0; +∞)  3   Page - 240 - ) ) Phương trình – B t phương trình – H phương trình Bài t p 794 Tìm m is Ths Lê Văn oàn 2 xy − y + x + y =   h phương trình:  có nghi m ?   5− x + 1− y = m    S: m ∈ 1;    Bài t p 795 Tìm m x y − x + y =   h phương trình:  có ba nghi m phân bi t ?  2  m x + y − x y =   ( HD: T PT (1) ⇒ y = Bài t p 796 Tìm m x2 + x2 + ) ⇒ m = 2   x + 2mxy + (m + 1) y = m h phương trình:  có b n nghi m phân bi t ? x + (m + 1) xy + 2y2 = 2m −     + 13    S: m ∈  ;2         Bài t p 797 Tìm m   1 − x − = y  h phương trình:  có b n nghi m phân bi t ? x + y2 + 4m + = 2x    S: m = − 1 ∨ m=− 32   x + (m + 1) xy + (m + 2) y = m − h phương trình:  có b n nghi m th c x + (m − 1) xy + (2m + 5) y2 = m +    phân bi t ? Bài t p 798 Tìm m  21    ; +∞ S: m ∈          x + y + xy = m  Bài t p 799 Cho h phương trình:   x y + xy2 = 3m −    1/ Gi i h phương trình m = (∗) 2/ V i giá tr c a tham s m h phương trình (∗) có nghi m         S: 1/ S = 2, ,  ,2              2/ m ≤ 13 + 33 ∨ m ≥ 8 i h c Bách Khoa Tp H Chí Minh năm 1994 – 1995 x + xy + y = m +  Bài t p 800 Cho h phương :   x y + y x = m +    1/ Gi i h phương trình m = −3 Page - 241 - Phương trình – B t phương trình – H phương trình 2/ Xác nh m is Ths Lê Văn ồn h có nghi m nh t i h c C nh Sát Nhân Dân kh i A năm 2000 S: 1/ x = y = −1 2/ m ≤ − x + y2 = m  Bài t p 801 Cho h phương trình:   x + y − xy =    ∨ m ≥ (∗) 1/ Gi i h phương trình m = 2/ V i giá tr c a m h có nghi m i h c Dân l p Văn Lang kh i A – H không phân ban năm 1999 S: 1/ (x; y) = {(1; −1), (−1;1), (1;1)} 2/ m ≥ x + y = m +  Bài t p 802 Cho h phương trình:   x y + y2 x = 2m2 − m −    1/ Gi i h v i m = 2/ Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m, h phương trình có nghi m i h c sư ph m Quy Nhơn năm 1999 x = x =   S: 1/  ∨    y = y =     Bài t p 803 Tìm tham s m h 2/ (m − 3) + > 0, ∀ ∈ »   5x + 2xy − y ≥   (∗) có nghi m ? 2x + 2xy + y2 ≤ m   m −1   i h c Qu c Gia Hà N i kh i A S: m > x + y = a  Bài t p 804 Cho h phương trình:   x + y = − a    (a tham s ) 1/ Gi i h phương trình v i a = 2/ Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c F = xy + (x + y ) ó (x; y ) nghi m c a h phương trình i h c Thái Nguyên kh i D năm 2001    x +1 + y −2 = m  Bài t p 805 Cho h phương trình:  , (m ≥ 0)  y +1 + x −2 = m    1/ Gi i h phương trình m = 2/ Xác nh m h có nghi m i h c Sư Ph m Tp H Chí Minh kh i D – M – T năm 2001 Page - 242 - Phương trình – B t phương trình – H phương trình is Ths Lê Văn ồn   x + y = m h phương trình:  có nghi m ? x + y = 3m −    Bài t p 806 Tìm m Cao (x; y) nghi Bài t p 807 Gi s s xy nh nh t ? ng Sư Ph m Quãng Nam năm 2001 x + y = 2a −  m c a h phương trình:  Xác  x + y2 = a + 2a −    nh a tích i h c Kinh T năm 1995 Bài t p 808 Xác y2 = x − 4x + ax  h sau có nghi m:   x = y − 4y2 + ay    nh a i h c Qu c Gia Tp H Chí Minh năm 1996 25 S: a >    x+ y =a Bài t p 809 Cho h phương trình:  (v i a tham s )  x + y − xy = a    1/ Gi i h phương trình a = 2/ Tìm a h có nghi m ? Cao ng Sư Ph m năm 1998 3x + 2xy + y2 = 11  Bài t p 810 Cho h phương trình:    x + 2xy + 3y = 17 + m   1/ Gi i h phương trình v i m = 2/ Tìm a h phương trình có nghi m ? i h c Kinh T Tp H Chí Minh kh i A năm 1998    x + y =1 h phương trình  có nghi m  x x + y y = − 3m    Bài t p 811 Tìm tham s m i h c kh i D năm 2004 S: ≤ m ≤ Bài t p 812 Tìm m 2x − (y + 2) x + xy = m   h phương trình   x + x − y = − 2m   (∗) (x, y ∈ » ) có nghi m? i h c kh i D năm 2011 Page - 243 - Phương trình – B t phương trình – H phương trình Bài t p 813 Tìm giá tr c a tham s m nghi m th c ? is Ths Lê Văn oàn   x + + y + =   x y h phương trình  có   x + + y3 + = 15m − 10   x3 y3   i h c kh i D năm 2007 HD: ≤ m ≤ ∨ m ≥ 22 hàm s t v=y+ 1 ,u = x + , y x ( u ≥ 2, ) v ≥ Dùng PP    x + y =1  h phương trình  có nghi m ? x x + y y = − 3m    Bài t p 814 Tìm tham s m i h c kh i D năm 2004 S: ≤ m ≤ 3x + 2xy + y2 = 11  Bài t p 815 Cho h phương trình:  Tìm a   x + 2xy + 3y = 17 + m   h phương trình có nghi m ? i h c Kinh T Tp H Chí Minh kh i A năm 1998 Bài t p 816 Tìm giá tr c a a   x + y = (1 + a )  h phương trình  có úng nghi m ? (x + y)2 =    i h c Y Dư c Tp H Chí Minh năm 1998    x+ y =a Bài t p 817 Cho h phương trình:  (v i a tham s ) Tìm a  x + y − xy = a    Cao Bài t p 818 Xác nh a h có nghi m ? ng Sư Ph m năm 1998   y = x − 4x + ax h sau có nghi m:  ? x = y − 4y2 + ay    i h c Qu c Gia Tp H Chí Minh năm 1996 x + y = 2a −  x; y ) nghi m c a h phương trình:  Xác (  x + y2 = a + 2a −    s xy nh nh t ? Bài t p 819 Gi s nh a tích i h c Kinh T năm 1995 Bài t p 820 Tìm giá tr nh nh t c a a   x + 4xy + 12y ≥ 72 h : có nghi m ? 3x + 20xy2 + 80y = a    HSG l p 12 – T nh Thái Bình – năm h c 2006 – 2007 Page - 244 - Phương trình – B t phương trình – H phương trình Bài t p 821 Tìm giá tr c a a is Ths Lê Văn oàn  x − 5x + − 9x − 5x + + 10x x =   h : có nghi m ? x − (a − 1) x + a (a − 2) =    i h c Kinh T Tp H Chí Minh năm 1993 Bài t p 822 Tìm m   x + y = m h phương trình:  có nghi m ? x + y = 3m −    Cao ng Sư Ph m Quãng Nam năm 2001    x +1 + y −2 = m  , (m ≥ 0) Xác Bài t p 823 Cho h phương trình:   y +1 + x −2 = m    nh m h có nghi m ? i h c Sư Ph m Tp H Chí Minh kh i D – M – T năm 2001 x + y = a  Bài t p 824 Cho h phương trình:  (a tham s ) Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u  x + y = − a    th c F = xy + (x + y) ó (x; y ) nghi m c a h phương trình ? i h c Thái Nguyên kh i D năm 2001 x − y = m ( x − y )  Bài t p 825 Cho h phương trình:  Tìm m h có ba nghi m phân bi t    x + y = −1   (x1; y1 ), (x2 ; y2 ), (x ; y3 ) v i x1, x2, x3 l p thành m t c p s c ng ba s ó có hai s có tr t Cao i l n ? ng Sư Ph m K Thu t Vinh năm 2001 – Bài t p 826 Tìm t t c giá tr c a a úng m t nghi m ? i h c Y Dư c Sài Gòn năm 1994    x +3 + y =a h phương trình  có   y + + x = x2 + + − a    i h c C n Thơ kh i A năm 2001    x +1 + y +1 =  Bài t p 827 Cho h phương trình:  x y + + y x + + y + + x + = m    1/ Gi i h phương trình v i m = 2/ Tìm t t c giá tr c a tham s m h phương trình có nghi m i h c Th y S n – t II năm 2000   x − 8x + ≤ Bài t p 828 V i giá tr c a m h b t phương trình  có nghi m x − (2m + 1) x + m2 + m ≤    ? Xác nh m h b t phương trình có m t nghi m nh t ? i h c Ngo i Thương Cơ S năm 1999 Bài t p 829 Tìm m x2 − (m + 2) x + 2m <   h  có nghi m ? x + (m + 7) x + 7m <    Page - 245 - Phương trình – B t phương trình – H phương trình is Ths Lê Văn ồn H c Vi n Quan H Qu c T năm 1997 S: m < Bài t p 830 Tìm m   x − 2x + − m ≤ h  có nghi m ? x − (2m + 1) x + m2 + m ≤    i h c Thương M i năm 1997 Bài t p 831 Tìm m   x − 2mx < h  có nghi m ?  x − + m ≤ 2m    i h c Th y L i năm 1998 Bài t p 832 Tìm m   x − 3x + ≤ h  có nghi m ? x − 3x x − m2 − 15m ≥    i h c Thương M i năm 1998 Bài t p 833 Tìm m 2x − y − m =   h phương trình sau có nghi m nh t:  ? x + xy =    D b i h c kh i D năm 2007 x ≤  S: m > PT ⇔  Dùng tam th c b c hai  x + (2 − m ) x − =    x + y + xy = m  Bài t p 834 Cho h phương trình:   x + y = m    (∗) 1/ Gi i h phương trình m = 2/ V i giá tr c a tham s m h phương trình (∗) có nghi m i h c T ng H p năm 1991 – 1992 S: 1/ S = {(2,1), (1,2)} / m ∈ 0; 8 x + y + x + y =   Bài t p 835 Cho h phương trình:  xy (x + 1)(y + 1) = m    (∗) 1/ Gi i h phương trình (∗) v i m = 12 2/ V i giá tr c a tham s m h phương trình (∗) ã cho có nghi m i h c Ngo i Thương Hà N i năm 1997 – 1998 S: 1/ S = {(1,2), (2,1), (1, −3), (−3,1), ( } 2, ±2), (−2, −3), (−3, −2) x + y = m  Bài t p 836 Cho h phương trình:   (x + 1) y2 + xy = m (y + 2)    Page - 246 - (∗)  33  / m ∈ − ,16  16    Phương trình – B t phương trình – H phương trình is Ths Lê Văn oàn 1/ Gi i h phương trình (∗) m = h phương trình (∗) có nhi u nghi m 2/ Tìm t t c giá tr c a tham s m i h c Qu c Gia Tp H Chí Minh năm 1997 – 1998 S: 1/ S = {(2, 2), (3 5,1 ± )} 2/ m > 3x + 2xy + y2 = 11   Bài t p 837 Cho h phương trình:  x + 2xy + 3y2 = 17 + m    (∗) 1/ Gi i h phương trình (∗) v i m = 2/ V i giá tr c a tham s m h phương trình (∗) có nghi m i h c Qu c gia Tp H Chí Minh      , S: 1/ S = (±1, ±2), ±       Bài t p 838 Tìm tham s m         t năm 1998 – 1999 2/ − 11 ≤ m ≤ + 11 2   x = y + 7x − mx h  có nghi m nh t ? y = x + 7y2 − my    i h c Sư Ph m Vinh năm 1999 – 2000 S: m > 16 x + xy + y2 = m +  Bài t p 839 Cho h phương trình:   2x + xy + 2y = m    (∗) v i m tham s ? 1/ Gi i h phương trình (∗) m = −3 2/ Xác h phương trình (∗) có nghi m nh t nh t t c giá tr c a tham s m Trư ng Sĩ Quan L c Quân – C p phân S: a / S = {( )( } ) 3, − , − 3, , (−1, −1)   xy − y = 12 Bài t p 840 Cho h phương trình:  x − xy = 26 + m    i năm 1999 – 2000 b / m = 21 (∗) 1/ Gi i h phương trình (∗) m = 2/ V i nh ng giá tr c a tham s m h phương trình ã cho có nghi m i h c Kinh T Tp H Chí Minh năm 2001   x = 2y + x + m Bài t p 841 Cho h phương trình:  y = 2x + y + m    (∗) 1/ Gi i h phương trình (∗) m = Page - 247 - v i m tham s Phương trình – B t phương trình – H phương trình 2/ Xác nh giá tr c a tham s m is h Ths Lê Văn ồn (∗) có nghi m nh t Trung Tâm B i Dư ng Cán B Y T Tp H Chí Minh năm 2001 Bài t p 842 Tìm giá tr c a a    x +3 + y =a  h  có úng m t nghi m  y2 + + x = x + + − a    i h c C n Thơ kh i A năm 2001 Bài t p 843 Xác   x + (m + 2) x = my h phương trình:  có úng hai nghi m phân y + (m + 2) y = mx    nh tham s m bi t ? Cao Bài t p 844 Tìm a ng Sư Ph m Tp H Chí Minh năm 2001 xy + x2 = a (y − 1)   h phương trình sau có nghi m nh t:  xy + y2 = a (x − 1)    Cao Bài t p 845 Tìm giá tr c a m < S: m < ∨ m > S: m ≥ S: − x y + m = y  h  có nghi m nh t ?  xy + m = x    27   2x − y + =3  2x − y h phương trình:  có nghi m ?   2 x − y = 3m    Bài t p 846 Tìm m Bài t p 847 Tìm m ng Sư Ph m K Thu t Vinh năm 2002   x + y + x + y = h phương trình:  có nh t m t nghi m ? xy (x + 1)(x + 1) = m    33 ≤ m ≤ 16 16 Tài li u tham kh o Nguy n Văn M u Phương pháp gi i phương trình b t phương trình NXB Giáo D c 2010 T p chí Tốn h c Tu i Tr Tuy n T p 10 năm thi Olympic 30/04 NXB Giáo D c 2006 Các trang wed: Di n àn http: // mathscope.org Di n àn http: // mathvn.com Page - 248 - ... 222 G – Bài toán ch a tham s h phương trình - 227 Các thí d - 227 Bài t p tương t 239 Tài li u tham... lai c a phương trình, ta nên thay th k t qu vào phương trình u nh m nh n, lo i nghi m xác II – CÁC VÍ D MINH H A Thí d Gi i phương trình: −x + 4x − = 2x − Trích thi Cao (∗) ng sư ph m Nhà Tr... (2) V i x ≥ ⇒ x − ≥ > hay x − > (2) ⇔ x − + x + ≤ 4x − ⇔ 2x + x − 25 ≤ 4x − ⇔ x − 25 ≤ x − ⇔ x − 25 ≤ x − 6x + ⇔ x ≤ ⇒5≤x≤ ● (1) 17 17 (3) V i x ≤ −5 ⇔ −x ≥ ⇔ − x ≥ > hay − x > (2) ⇔ (5 − x)(3