Tài liệu giải tích hàm số ôn thi đại học môn toán cực hay

149 783 0
Tài liệu giải tích hàm số ôn thi đại học môn toán cực hay

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu em thu n ti n vi c ôn luy n thi i h c Cao ng năm 2009 Chúng g i t ng em vi t nh mang tính t ng quát gi i tích hàm s l p 12 , m t s ng d ng c áo gi i quy t tri t nh ng d ng toán t ng c p l p h c dư i mà em b ngõ Tài li u c c p nhi u ch chuyên phù h p vi c ôn luy n thi c p t c chu n b kỳ thi i h c tháng 7/2009 Trong trình biên so n ch c h n cịn nhi u ch thi u sót khách quan, chúng tơi r t mong óng góp q báu c a b n c gi g n xa , thư góp ý g i v email: phukhanh1009@gmail.com Tài li u c lưu tr t i hai website : http://www.mathsvn.violet.vn http://www.maths.vn Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Bài 1: TÍNH ƠN I U C A HÀM S 1.1 TÓM T T LÝ THUY T nh nghĩa : Gi s K m t kho ng , m t o n ho c m t n a kho ng Hàm s f xác • nh K c g i ( ) ( ) ⇒ f (x ) > f (x ) ng bi n K n u v i m i x 1, x ∈ K , x < x ⇒ f x < f x ; • Ngh ch bi n K n u v i m i x 1, x ∈ K , x < x 2 i u ki n c n hàm s Gi s hàm s f có ơn i u : o hàm kho ng I • N u hàm s f ( ) I f ' ( x ) ≤ v ng bi n kho ng I f ' x ≥ v i m i x ∈ I • N u hàm s f ngh ch bi n kho ng i u ki n hàm s i m i x ∈I ơn i u : nh lý : nh lý v giá tr trung bình c a phép vi phân ( nh lý Lagrange): N u hàm s f liên t c a;b  có o hàm kho ng a;b t n t i nh t m t i m c ∈ a;b   ( ) () () ( )( ( ) ) cho f b − f a = f ' c b − a nh lý : Gi s I m t kho ng ho c n a kho ng ho c m t o n , f hàm s liên t c I có i m c a I ( t c i m thu c I không ph i u mút c a I ) Khi ó : • N u f ' x > v i m i x ∈ I hàm s f ng bi n kho ng I ; • • ( ) N u f ' (x ) < v N u f ' (x ) = v o hàm t i m i i m i x ∈ I hàm s f ngh ch bi n kho ng I ; i m i x ∈ I hàm s f khơng Chú ý : • N u hàm s f liên t c a;b  có   a;b    • N u hàm s f liên t c a;b  có   a;b    i kho ng I ( ) ( ) ( ) ( ) o hàm f ' x > kho ng a;b hàm s f ng bi n o hàm f ' x < kho ng a;b hàm s f ngh ch bi n • Ta có th m r ng nh lí sau : Gi s hàm s f có o hàm kho ng I N u f '(x ) ≥ v i ∀x ∈ I ( ho c f '(x ) ≤ v i ∀x ∈ I ) f '(x ) = t i m t s h u h n i m c a I hàm s f ngh ch bi n) I ng bi n (ho c Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1.2 D NG TOÁN THƯ NG G P D ng : Xét chi u bi n thiên c a hàm s ( ) Xét chi u bi n thiên c a hàm s y = f x ta th c hi n bư c sau: • Tìm t p xác nh D c a hàm s • Tính o hàm y ' = f ' x ( ) ( ) • Tìm giá tr c a x thu c D ( ) f ' x = ho c f ' x khơng xác nh ( ta g i ó i m t i h n hàm s ) • Xét d u y ' = f ' x t ng kho ng x thu c D ( ) • D a vào b ng xét d u i u ki n suy kho ng ơn i u c a hàm s Ví d :Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: y = − x − 3x + 24x + 26 y = x − 3x + y = x + 3x + 3x + Gi i: y = − x − 3x + 24x + 26 Hàm s ã cho xác nh » Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔  x =  B ng xét d u c a y ' x −∞ −4 y' − + +∞ − ng bi n kho ng ( −4;2 ) , ( ) y ' > 0, x ∈ ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) ⇒ y ngh ch bi n kho ng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) y ' > 0, x ∈ −4;2 ⇒ y Ho c ta có th trình bày : Hàm s ã cho xác nh » Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔  x =  B ng bi n thiên x −∞ −4 y' − + +∞ y V y, hàm s ( ) +∞ − −∞ ( ) ( ) ng bi n kho ng −4;2 , ngh ch bi n kho ng −∞; −4 2; +∞ Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y = x − 3x + Hàm s ã cho xác nh » Ta có : y ' = 3x − 6x = 3x (x − 2) x = y ' = ⇔ 3x (x − 2) = ⇔  x =  B ng bi n thiên x −∞ + − y' +∞ + y ng bi n m i kho ng (−∞; 0) (2; +∞) , ngh ch bi n (0;2) V y hàm y = x + 3x + 3x + Hàm s ã cho xác nh » ( ) ( ) Ta có: f ' x = 3x = 6x + = x + ( ) ( ) f ' x = ⇔ x = −1 f ' x > v i m i x ≠ −1 Vì hàm s ( ) ng bi n m i n a kho ng −∞; −1  −1; +∞ nên hàm s   ng bi n » Ho c ta có th trình bày : x y' −∞ + +∞ y −∞ Vì hàm s +∞ −1 + ( ) ng bi n m i n a kho ng −∞; −1  −1; +∞ nên hàm s   Ví d :Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: 1 y = − x + 2x − 4 y = x + 2x − 3 y = x − 6x + 8x + Gi i: y = − x + 2x − ã cho xác nh » Hàm s Ta có: y ' = − x + 4x = −x x − ( ) ng bi n » Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x = y ' = ⇔ −x x − = ⇔  x = ±2  B ng bi n thiên x −∞ −2 y' + − + ( ) +∞ − y −∞ +∞ ( ) ( ) ng bi n kho ng −∞; −2 , 0;2 ngh ch bi n V y, hàm s ( )( ) kho ng −2; , 2; +∞ y = x + 2x − Hàm s ã cho xác nh » Ta có: y ' = 4x + 4x = 4x x + ( ) Vì x + > 0, ∀x ∈ » nên y ' = ⇔ x = B ng bi n thiên x −∞ y' − +∞ y +∞ + +∞ ( ) ( ) ng bi n kho ng 0; +∞ ngh ch bi n kho ng −∞; V y, hàm s y = x − 6x + 8x + Hàm s ã cho xác nh » Ta có: y ' = 4x − 12x + = 4(x − 1)2 (x + 2) x = −2 y ' = ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = ⇔  x =  B ng bi n thiên: x y' −∞ − −2 + +∞ + y V y,hàm ng bi n kho ng (−2; +∞) ngh ch bi n kho ng (−∞; −2) Nh n xét: * Ta th y t i x = y = , qua ó y ' không i d u * i v i hàm b c b n y = ax + bx + cx + dx + e ln có nh t m t kho ng ngh ch bi n Do v y v i hàm b c b n ng bi n m t kho ng Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu khơng th ơn i u » Ví d :Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: 2x − 1 y = x +1 x +2 y = x −1 −x + 2x − y = x +2 x + 4x + y = x +2 Gi i: 2x − x +1 Hàm s ã cho xác y = Ta có: y ' = ( ( x + 1) ) ( ) nh kho ng −∞; −1 ∪ −1; +∞ > 0, ∀x ≠ −1 ( ) ( ) ng bi n m i kho ng −∞; −1 −1; +∞ V y hàm s x +2 x −1 Hàm s ã cho xác y = Ta có: y ' = V y hàm s ( ) ( ) nh kho ng −∞;1 ∪ 1; +∞ < 0, ∀x ≠ ( x − 1) ( ) ( ) ng bi n m i kho ng −∞;1 1; +∞ −x + 2x − y = x +2 Hàm s ã cho xác nh kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ ( Ta có: y ' = −x − 4x + (x + 2) x = −5 y' = ⇔  x =  B ng bi n thiên : x −∞ −5 y' − +∞ y ) ( ) , ∀x ≠ −2 −2 + + +∞ −∞ +∞ − −∞ Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu V y, hàm s ( ) ( ) ng bi n kho ng −5; −2 −2;1 , ngh ch bi n ( ) ( ) kho ng −∞; −5 1; +∞ x + 4x + x +2 Hàm s ã cho xác nh kho ng −∞; −2 ∪ −2; +∞ y = ( Ta có: y ' = x + 4x + (x + ) B ng bi n thiên : x −∞ y' + y −∞ V y , hàm s ) ( ) > 0, ∀x ≠ −2 +∞ −2 + +∞ +∞ −∞ ng bi n m i kho ng −∞; −2 −2; +∞ ( ) ( ) Nh n xét: ax + b (a.c ≠ 0) cx + d bi n t ng kho ng xác nh c a * i v i hàm s y = ng bi n ho c ngh ch ax + bx + c ln có nh t hai kho ng ơn i u a 'x + b ' * C hai d ng hàm s không th ơn i u » * i v i hàm s y = Ví d :Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: y =| x − 2x − | y = 3x − x Gi i: y =| x − 2x − | Hàm s ã cho xác nh » x − 2x − x ≤ −1 ∪ x ≥  Ta có: y =  −x + 2x + − < x <  2x − x < −1 ∪ x >  ⇒y'= ⇒y'=0 ⇔x =1  −2x + − < x <   Hàm s khơng có o hàm t i x = −1 x = B ng bi n thiên: x −∞ −1 y' − + y − +∞ + Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Hàm ng bi n m i kho ng (−1;1) (3; +∞) , ngh ch bi n (−∞; −1) (1; 3) y = 3x − x Hàm s ã cho xác Ta có: y ' = nh n a kho ng (−∞; 3] 3(2x − x ) , ∀x < 3, x ≠ 3x − x ∀x < 3, x ≠ : y ' = ⇔ x = Hàm s o hàm t i i m x = 0, x = B ng bi n thiên: −∞ x y' − || + − +∞ || y Hàm ng bi n kho ng (0;2) , ngh ch bi n (−∞; 0) (2; 3) Ví d : Tìm kho ng ơn i u c a hàm s f x = sin x kho ng 0;2π ( ) Hàm s ( ( ) ) Gi i: nh kho ng 0;2π ã cho xác ( ) ( ) Ta có : f ' x = cos x , x ∈ 0;2π ( ) ( ) f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = Chi u bi n thiên c a hàm s x ( ) f (x ) + f' x 3π 2 c nêu b ng sau : ,x = 3π − + 2π Hàm s π π −1  π   3π   π 3π  ng bi n m i kho ng  0;   ;2π  , ngh ch bi n kho ng  ;   2   2  BÀI T P T LUY N Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: 1 y = x − 3x + 8x − y = x − 2x x −1 Xét chi u bi n thiên c a hàm s sau: y = 2x + 3x + y = − x + 6x − 9x − 3 y = x − 2x − y = 2x − x Ch ng minh r ng hàm s : y = − x ngh ch bi n o n 0;2    y = x + x − cos x − ng bi n » y = cos 2x − 2x + ngh ch bi n » Cho hàm s y = sin2 x + cos x  π π  ng bi n o n 0;  ngh ch bi t o n  ; π   3 3  a ) Ch ng minh r ng hàm s ( ) b) Ch ng minh r ng v i m i m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghi m nh t thu c o n 0; π    Hư ng d n 1 y = x − 3x + 8x − Hàm s ã cho xác nh » Ta có f ' x = x − 6x + ( ) ( ) f ' x = ⇔ x = 2, x = Chi u bi n thiên c a hàm s x f' x ( ) f (x ) −∞ − + c nêu b ng sau : +∞ + +∞ −∞ V y hàm s ( ) ( ) ( ) ng bi n m i kho ng −∞;2 4; +∞ , ngh ch bi n kho ng 2; x − 2x x −1 Hàm s ã cho xác y = {} nh t p h p » \ Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) Ta có f ' x = (x − 1) + > 0, x ≠ = ( x − 1) ( x − 1) x − 2x + 2 Chi u bi n thiên c a hàm s c nêu b ng sau : x −∞ +∞ + + f' x ( ) +∞ ( ) +∞ f x −∞ V y hàm s −∞ ng bi n m i kho ng −∞;1 1; +∞ ( ) ( ) y = 2x + 3x + Hàm s ã cho xác nh » Ta có f ' x = 6x + 6x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ng bi n m i kho ng ( −∞; −1) ( 0; +∞ ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; ) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n kho ng ( −1; ) f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x ( ) Ngoài : H c sinh có th gi i f ' x = , tìm hai nghi m x = −1, x = , k b ng bi n thiên r i k t lu n y = x − 2x − Hàm s ã cho xác nh » ( ) Ta có f ' x = 4x − 4x ( ) ( ) ( ) ( ) ng bi n m i kho ng ( −1; ) (1; +∞ ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) ngh ch bi n m i kho ng ( −∞; −1) ( 0;1) f ' x > 0, x ∈ −1; , 1; +∞ ⇒ f x ( ) Ngoài : H c sinh có th gi i f ' x = , tìm hai nghi m x = −1, x = 0, x = , k b ng bi n thiên r i k t lu n y = − x + 6x − 9x − 3 Hàm s ã cho xác nh » ( ) ( Ta có f ' x = −4x + 12x − = − 2x − ) 3 f ' x < v i m i x ≠ 2  3  3 Vì hàm s ngh ch bi n m i n a kho ng  −∞;   ; +∞  nên hàm s ngh ch bi n » 2  2  ( ) f' x =0⇔x = ( ) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y Giao i m c a th v i tr c Oy A 0; −3 ( f(x)=x^4-2x^2-3 ) Giao i m c a tr c ( th v i ) ( Ox B − 3; ,C 3; ) x -8 -6 -4 -2 th hàm s ch n nên nh n tr c Oy làm tr c i x ng -5 Ví d 2: ( ) 2 Ch ng minh r ng phương trình: x − m + x + m + = ln có nghi m phân bi t x 1, x , x , x v i m i giá tr c a m Tìm giá tr m cho x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 11 ( 2 Gi i: ) x − m + x + m + = ( 1) 2 ( ) ( ) (t ≥ ) t : t = x , ta có : t − m + t + m + = (2 ) ln có hai nghi m : < t Ta ch ng t ( ∆ ' = m2 + ) − (m < t2 ) + = 4m + > v i m i m ( () ) V y ln có hai nghi m phân bi t t1, t2 t1 ⋅ t2 = m + > t1 + t2 = m + > () Do ó phương trình có nghi m : − t1 , t1 , − t2 , t2 2 2 x1 + x + x + x + x1 ⋅ x ⋅ x ⋅ x ( ) + ( t ) + ( − t ) + ( t ) + ( − t ) ⋅ ( t ) ⋅ ( − t ) ⋅ ( t ) = (t + t ) + t ⋅ t x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = (m + ) + m + = m + 4m + 11 = − t1 2 2 2 2 1 2 4 2 x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 11 ⇔ m + 4m + 11 = 11 ⇔ m + 4m = ⇔ m = 2 2 Hàm s h u t ( ) f x = ax + b cx + d Dáng i u y= ax + b cx + d ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) ⇒ f ' (x ) = ( ) th c a hàm s f x = ax + b cx + d ad − bc (cx + d ) ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y y I a c ã cho xác a c d − c ( ) th c a hàm s f x = Ví d : Kh o sát s bi n thiên v • Hàm s O x Gi i : {} nh D = » \ • Gi i h n : lim− y = −∞ lim+ y = +∞ ⇒ x = ti m c n x →1 2x − x −1 ng x →1 lim y = lim y = ⇒ y = ti m c n ngang x →−∞ x →+∞ ( ) • o hàm : f ' x = −1 < 0, x ≠ (x − 1)2 ( ) ( ) th c a hàm s ngh ch bi n kho ng −∞;1 1; +∞ • B ng bi n thiên : −∞ x f' x ( ) − − +∞ ( ) +∞ f x −∞ • th : Giao i m c a Oy A 0;1 ( ) th v i tr c Giao i m c a th v i tr c 1  Ox B  ;  2  th c a hàm s nh n I 1;2 giao i m hai ng ( ) ti m c n làm tâm i x ng − x d c I Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y= Hàm s h u t ax + bx + c aa ' x + 2ab ' x + bb '− ca ' ⇒y' = a 'x + b ' a 'x + b ' ( ax + bx + c a 'x + b ' th c a hàm s y = Dáng i u ) y y 15 10 I x I x -10 -5 10 -5 Dáng i u hàm s ch a giá tr t i x2 x2 f x = C f x = C1 x −1 x −1 ( ) ( ) ( ) ( ) y y 6 5 4 y=x+1 y=x+1 2 y=-x-1 1 x -4 -4 -3 -2 -1 -3 -2 -1 -1 x=1 -1 -2 x=1 -2 -3 -3 ( ) f x = x2 C2 x −1 ( ) ( ) f x = x2 C3 x −1 ( ) y y 6 y=-x+1 y=x+1 y=x+1 y=-x+1 -4 -3 -2 -1 x=-1 x x=1 -2 -4 -3 -2 -1 x=-1 -2 x=1 Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) f x = x2 C4 x −1 ( ) ( ) f x = x2 C5 x −1 ( ) y y 6 4 y=x+1 y=-x-1 y=x+1 x -8 y=-x-1 -6 -4 -2 2 -2 -3 -2 -1 x=-1 x=1 -4 x -4 4 -6 x=1 -8 -2 -10 ( ) th c a hàm s f x = Ví d 1: Kh o sát s bi n thiên v • Hàm s Gi i : {} nh D = » \ ã cho xác • Gi i h n : lim− y = −∞ lim+ y = +∞ x →1 x − 3x + x −1 x →1 lim y = −∞ lim y = +∞ ⇒ x = ti m c n x →−∞ x →+∞ ng 4 lim y − x −  = lim = 0, lim y − x −  = lim = ⇒ y = x − ti m c n xiên   x →−∞ x −   x →+∞ x − x →−∞ x →+∞ x − 2x − • o hàm : f ' x = ,x ≠ (x − 1)2 ( ) ( ) ( ) x = −1, f f' x =0⇔  x = 3, f  • B ng bi n thiên : x −∞ −1 + − f' x ( ) ( −1) = −5 (3) = ( ) ( ) −5 +∞ +∞ − + +∞ f x −∞ −∞ Hàm s ng bi n kho ng −∞; −1 3; +∞ , ngh ch bi n kho ng −1;1 1; ( Hàm s có i m c c • ) ( ( ) ( ) () i t i x = −1, f −1 = −5 có i m c c ti u t i x = 3, f = th : Dành cho b n Ví d 2: Cho hàm s y = c mx + (2m − 1)x − có x +2 ( ) th C m , m tham ) ( ) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu s 1.Ch ng minh r ng v i m i m > hàm s ln có c c i , c c ti u ( ) th C c a hàm s v i m = 2.Kh o sát s bi n thiên v ( ) th C c a hàm s bi t ti p n i 3.Vi t phương trình ti p n v i ( ) qua A 1; Gi i : y = mx − + y ' = m − Hàm s cho xác x +2 = (x + ) { } nh D = » \ −2 ( ) −1 (x + ) m x +2 V i m > phương trình y ' = có hai nghi m phân bi t khác −2 V y hàm s ln có c c m > 2.V i m = 1, y = x − + x +2 *) Hàm s cho xác nh D = » \ −2 i c c ti u { } *) lim y = −∞ lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ lim − y = −∞ lim + y = +∞ nên ng th ng x = −2 ti m c n ng c a th hàm s x → ( −2 ) ( ) 1 = lim y − x −  = lim = nên ng y = x − ti m Vì lim y − x −  = lim  x →+∞ x +  x →−∞ x + x →+∞  x →−∞  c n xiên c a th hàm s Vì x → −2 ( ) ( ) ( x + ) − , x ≠ −2 = *) y ' = − (x + ) ( x + )  x = −1, y ( −1) = −1 y ' = ⇔ (x + 2) − = ⇔  x = −3, y ( −3 ) = −5  2 2 B ng bi n thiên x −∞ y' −3 + −5 −2 - - +∞ −∞ + +∞ y −∞ +∞ −1 −1 Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( )( ) ng bi n kho ng : −∞; −3 , −1; +∞ ngh ch bi n kho ng th c a hàm s ( −3; −2 ) , ( −2; −1) th c a hàm s ( ) i t i x = −3, y −3 = −5 t i mc c th : H c sinh t v 3.Xét d i qua A 1; có h s góc k Nên d : y = k x − () ( ) (d ) ti p xúc v i th (C ) c () ( ) t i m c c ti u t i x = −1, y −1 = −1 ( ) a hàm s h sau có nghi m:  = k (x − 1) x − + x +2 5  ⇒ k = V y ti p n là: d : y = (x − 1)  9 =k  1− x +2   () ( ) Ví d 3: Cho hàm s Kh o sát v x2 + x −1 th c a hàm s y= (1 ) ( 1) Tìm ng th ng y = i m mà t n th hàm s c úng ti p n ók Gi i : th c a hàm s y = Kh o sát v {} x2 + x −1 (1 ) •D = » \ ( ) () ( x − 1) Hàm s ngh ch bi n kho ng ( −1;1) , (1; ) th c a hàm s t i m c c i t i ( −1; −2 ) t •y , = x − 2x − x = −1, y −1 = −2 , x ≠ ⇒ y, = ⇔  x = 3, y =  • lim y = −∞, lim y = +∞ ⇒ x = ti m c n − + x →1 x →1 ( ) ( ( ( ) i m c c ti u t i 3; ng ) • lim y − x +  = 0, lim y − x +  = ⇒ y = x + ti m c n xiên   x →−∞  x →+∞  • B ng bi n thiên x y' −∞ + −1 − −2 y −∞ th y − +∞ +∞ + +∞ −1 −3 −∞ ) ng bi n kho ng −∞; −1 ,(3; +∞) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) th : Nh n I 1;2 Tìm ng th ng y = i m mà t làm tâm c úng ti p n ók n i x ng th hàm s ( ) () G i M a; ∈ d : y = i m c n tìm ( ) ( ) ( ) Khi ó ti p n v i C k t M có phương trình : ∆ : y = k x − a + x + = k x −a +   x2 − ∆ ti p xúc v i C ⇔  x − 2x − =k   x −1  ( ( ) ( ) ( T (1 ) , ( ) ⇒ ( − a ) x t M k ( ) (1 ) (2 ) ) ) có nghi m x ≠ () + a − x + 3a + = c úng ti p n n () th hàm s Khi phương trình có nghi m phân bi t x ≠1 3 − a ≠ a ≠     a ≠ ⇔ ∆ = a − − 3a + − a > ⇔ a − 4a + > ⇔  a ≠ 3 − a + a − + 3a + ≠ a ≠     ( ) ( ( ) )( ) () V y t p h p i m c n tìm ng th ng d : y = b ( )( ) i i m 1; , 3; Bài 7: GIAO I M C A HAI TH x −3 có th C Tìm t t c tham s th c x −2 ng th ng d : y = mx + c t th c a hàm s t i i m phân ( ) Ví d : Cho hàm s y = () m bi t Gi i : ( ) () th C c t d t i i m phân bi t ch phương trình : x −3 = mx + có nghi m x −2 phân bi t ó phương trình g(x ) = mx − 2mx + = có nghi m phân bi t x ≠ hay m ≠ m ≠  m <   ∆′ = m − m > ⇔ m < ∨ m > ⇔ m >  g(1) ≠ m − 2m + ≠    2x − có th C x +1 Kh o sát s bi n thiên v th c a hàm s V i giá tr c a m ng th ng dm i qua i m A −2;2 có h ( ) ( ) Ví d :Cho hàm s f x = ( ) s góc m c t th ã cho • T i hai i m phân bi t? • T i hai i m thu c hai nhánh c a th ? ( ) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Gi i : (d ) : y = mx + (m + 1) (d ) ∩ (C ) : g (x ) = mx + 3mx + 2m + = 0, x ≠ −1 (*) • (d ) ∩ (C ) t i hai i m phân bi t phương trình (*) có hai nghi m phân bi t khác −1 Khi m m m m ≠ m <   có h : ∆ > ⇔ m > 12 g −1 ≠    ( ) • (d ) ∩ (C ) t i hai i m thu ⇔ mg ( −1) < ⇔ m < Cách khác : (d ) ∩ (C ) t i hai m m ó ta () c hai nhánh phương trình * có hai nghi m phân bi t x < −1 < x () i m thu c hai nhánh phương trình * có hai nghi m phân bi t () t x = t − ó phương trình * tr thành mt + mt + = có hai nghi m trái d u x < −1 < x ax + b x −1 th hàm s c t tr c tung t i A 0; −1 ti p n c a Ví d :Cho hàm s y = ( Tìm a, b ) ( ) th t i A có h s góc b ng −3 Kh o sát s bi n thiên v th C c a hàm s v i a, b v a tìm c () ( ) Cho ng th ng d có h s góc m i qua i m B −2;2 Tìm m (d ) c t (C ) t i hai i m phân bi t M 1, M Các ng th ng i qua M 1, M song song v i tr c to t o thành hình ch nh t Tính c nh c a hình ch nh t ó theo m , hình ch nh t tr thành hình vng Gi i :  ax + b A 0; −1 ∈ y =  x −1 2x +  a =  ⇔ ⇒y = −a − x −1 = −3 b = y ' =  x −1   ( ) ( (d ) ) ( ) ( ) i qua i m B −2;2 có phương trình y = m x + + 2x + có hai nghi m khác x −1 , hay phương trình mx + mx − 2m − = có hai nghi m phân bi t khác , t c m ≠ m ≠     ⇔ m < − ∆ = m + 4m 2m + > ⇔  m < − *   m12 + m1 − 2m − ≠  m >    m >  (d ) c t (C ) t i hai ( ( ) i m phân bi t M 1, M phương trình m x + + = ) () Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) ( ) Gi s M x 1; y1 , M x ; y2 , hai c nh hình ch nh t M 1PM 2Q có 9m + 12m M 1P = x − x = m dài , M 1Q = y2 − y1 = 9m + 12m Hình ch nh t M 1PM 2Q tr thành hình vng ch M 1P = M 1Q ⇔ 9m + 12m m ( ( )) = 9m + 12m ⇔ m = ⇔ m = * ( ) Cho hàm s f x = 2x + 3x + có a) BÀI T P T LUY N th C parabol P : g x = 2x + ( ) ( ) th c a hàm s Tùy theo giá tr c a m , gi i bi n lu n phương trình Kh o sát s bi n thiên v 2x + 3x − m = b) Ch ng t r ng s ti p n c a ( ) ( ) th C thi p n t i i m u n I có h s góc nh nh t Vi t phương trình ti p n ó Ch ng t I tâm c) G i A, B giao i m c a (P ) t i giao ( ) i x ng c a ( ) ( ) th C parabol P Vi t phương trình ti p n c a C parabol i m c a chúng ( ) d ) Xác ( ) th C ( ) nh kho ng ó C n m phía ho c phía dư i P Hư ng d n :  3 3 c) A  − ;  , B 0;1 Ti p n C t i A, B y = − x + , y = Ti p n P t i A, B  2 ( ) ( ) ( ) y = −2x + , y =  1 d ) Xét h x = f x − g x = 2x + x L p b ng xét d u : h x < 0, x ∈  −∞; −  ⇒ C n m phía dư i 2    P h x > 0, x ∈  − ;  , 0; +∞ ⇒ C n m phía P   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cho hàm s f x = x − 3x + a ) Kh o sát s bi n thiên v th c a hàm s Vi t phương trình ti p n c a th t i i m u n I c a Ch ng minh r ng s ti p n c a th ti p n t i I có h s góc nh nh t b) G i dm ng th ng i qua i m I có h s góc m Tìm giá tr m cho ng th ng dm ( ) ( ) c t th ã cho t i ba i m phân bi t Hư ng d n : a ) y = −3x + ( ) ( ) b) m > −3 Cho hàm s f x = x − m + x + m a ) Kh o sát s bi n thiên v c a th th c a hàm s v i m = Vi t phương trình ti p n t i i m u n Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu b) Tìm giá tr c a m cho th c a hàm s c t tr c hoành t i b n i m , t o thành ba o n th ng có dài b ng Hư ng d n : b) x − m + x + m = ⇔ x − x − m = th c a hàm s c t tr c hoành t i i m phân ( ( ) bi t , t o thành ba o n th ng có ( ) )( ) dài b ng < m ≠ • m > 1, m − = − −1 ⇔ m = ) ( Ngoài cách gi i b n có th dùng c p s c ng ( l p 11) gi i a ) V i giá tr c a m , ng th ng y = m c t ng cong y = x − 2x − t i i m phân bi t? • < m < 1,1 − m = m − − m ⇔ m = ( ) b) Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ng th ng dm : y = x − m c t ng cong y = −x + 2x t i x −1 hai i m phân bi t ng th ng y = kx + c t c) Tìm k th hàm s y = x + 4x + t i i m phân bi t A, B Tìm x +2 qu tích trung i m I c a AB x − 2x + Cho hàm s y = ,C x −1 a ) Kh o sát v th ( ) hàm s (C ) phương trình sau có nghi m phân bi t : x − 2x = m x − − b) Tìm m () ( ) ng th ng d : y = −x + m c t c) Tìm m th C t i i m A, B i x ng v i qua ng th ng y = x + ( ) d ) Ch ng minh r ng qua i m E 1; ta khơng th k x +2 có 2x + a ) Kh o sát s bi n thiên v ( ) Cho hàm s f x = c m t ti p n n th hàm s ( ) th G th c a hàm s ( ) ( ) b) Ch ng minh r ng ng th ng dm : y = mx + m − i qua i m c nh c a ng cong G m thay i c) Tìm giá tr c a m cho ng th ng ã cho c t ng cong G t i hai i m thu c m t ( ) ( ) nhánh c a G Hư ng d n: b) M −1; −1 i m c ( ) ( ) nh mà dm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i qua m bi n thiên M −1; −1 ∈ G ( ) c) Cách : dm ∩ G : g x = 2mx + m − x + m − = 0, x ≠ − ∆ >  ⇔ −3 ≠ m < thu c m t nhánh n u ch n u    g  −  >    * () (d ) ∩ (G ) t i hai m i m Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x +2 ,x ≠ − 2x + ⇔ x + 2mx + m − = 0, x ≠ −  x = −1 < − ⇔  k x = 2mx + m − =   ( ) ( ) ( )( ) ) Cách : dm ∩ G : m x + − = ( ( ) ng x = − ng th ng dm ∩ G t i hai i m thu c m t nhánh c a th phương trình k x = 2mx + m − = có nghi m x < − x ≠ −1 , ó m ≠ m ≠    −3 < m < 3−m   ta có x =  9(x 1x ) + 18x 1x (x + x ) + 36x 1x = −1  Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu a < −3 ∨ a > − vaø a ≠  a < −3 ∨ a > − vaø a ≠    ⇔ 81a − 81a(a − 1) − 108a + = ⇔  -27a + =  ( x x = - 3a ; x + x = 3(a -1) ) 2   V y M ( , 0) ∈ Ox th a tốn 27 Ví d : Tìm tr c hồnh nh ng i m mà t ó có th k n th c a x hàm s : y = hai ti p n t o v i góc 450 x −1 ⇔a = 27 Gi i : G i M ∈ Ox ⇒ M x ; , ng th ng i qua M có h s góc k , phương trình có d ng : ( ) (d ) : y = k (x − x ) (d ) ti p n c  x2 = k x − x0   x 2− th h sau có nghi m :  x − 2x =k   x −1  ( a ( ) ) x2 x − 2x = x − x ⇔ x  x + x − 2x  =   x −1 x −1 ( ) ( ) ( ) x =  ⇔ 2x x = , x ≠ −1  x0 +  x − 2x • x =0⇒k = = x −1 ( • x = 2x x0 + ) ⇒k = −4x (x ) +1 • Ti p n qua M t o v i tan 450 = ( k1 − k2 + k1k2 ⇒ )( th c a hàm s : y = 4x (x +1 V y M − 2; , + 2; ) ) x2 hai ti p n t o v i góc 450 ch x −1 = ⇒ x0 = ± 2 2x π Tìm α ∈  0;  cho i m   x −1  2 M (1 + sin α ; ) n m th (C ) Ch ng minh r ng, ti p n c a (C ) t i i m M c t hai ti m c n c a (C ) t i hai i m A, B i x ng qua Ví d : Cho hàm s y = Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu i mM Gi i : Vì M (1 + sin α ; ) n m th (C ) nên:  (1 + sin α )2 sin α = = ⇔ sin α − sin α + = ⇔ sin α = + sin α −   π π Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;       2 2  Ti p n c a 3 th (C) t i i m M là: y = y '    x −  +    2   hay (d ) : y = −6x + 18 Ti p n (d ) c t ti m c n ng x = t i: A (1;12 ) Ti p n (d ) c t ti m c n xiên tai i m B có t a y = −6x + 18  ( x ; y ) h phương trình:  y = 2x +  xA  D th y:  y  A  x =  ⇔ ⇒ B ( 2;6 ) y =  + xB = = xM 2 + yB = = yM Suy ra, A, B i x ng qua i m M ( pcm) x4 − 3x + có Cho hàm s : y = 2 hồnh nghi m th (C ) Gi s M ∈ (C ) có a V i giá tr c a a ti p n c a (C ) t i M c t (C ) t i i m phân bi t khác M Gi i :  a 5 Vì M ∈ (C ) nên M  a; yM = − 3a +  2  ' Ti p n t i M có h s góc yM = 2a − 6a a4 Ti p n t i M có d ng : y = y (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + 2 Ti p n d c a (C ) t i M c t (C ) t i i m phân bi t khác M phương trình sau có nghi m ' xM () () phân bi t : x4 a4 − 3x + = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + hay phương trình 2 2 Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu (x − a )2 (x + 2ax + 3a − 6) = có nghi m phân bi t , nghĩa phương trình ( ) g x = x + 2ax + 3a − = có hai nghi m phân bi t khác a   ' = a − (3a − 6) >  ∆ a − < a < ⇔  g (x ) ⇔ ⇔ g(a ) = 6a − ≠ a ≠ a ≠ ±1    a <  V y giá tr a c n tìm  a ≠ ±1  BÀI T P T LUY N  ax − bx 5 i qua i m A  −1;  ti p n t i O 0; có x −1 2  h s góc b ng −3 Kh o sát s bi n thiên v th ng v i giá tr a, b v a tìm c ( ) ( ) a ) Tìm a, b bi t r ng th c a hàm s f x = b) Tìm a, b bi t r ng th c a hàm s f x = 2x + ax + b ti p xúc v i hypebol a ) Tìm a, b bi t r ng th c a hàm s y = ( ) 1  t i i m M  ;2  x 2  a ) Vi t phương trình c a ng th ng i qua i m A 1; −2 ti p xúc v i parabol y = x − 2x ( b) Ch ng minh hai ng cong y = x + ) x − 2, y = x + x − ti p xúc t i M , vi t phương trình ti p n chung c a hai ng cong ó c) Ch ng minh r g th c a ba hàm s f x = −x + 3x + 6, g x = x − x + 4, ( ) h x = x + 7x + ti p xúc t i ( ) i m A ( −1;2 ) ( ) x2 3x + x, g x = ti p xúc Xác nh ti p 2 x +2 i m vi t phương trình ti p n chung c a hai ng cong t i i m ó e) Ch ng minh r ng th c a hàm s f x = x − x , g x = x − ti p xúc Xác nh ti p d ) Ch ng minh r ng ( ) th c a hàm s f x = ( ) ( ) ( ) i m vi t phương trình ti p n chung c a hai ng cong t i i m ó Hư ng d n :  a −1 − −1   = ⇔ a = −2 a)   −1 − b = −3  f ' = −3   b) a = −6, b = 2 a ) d : y = m x − − ⇒ m = y = 2x − , m = −2 y = −2x ( ) ( ) () () ( ) 1 5 b) M  ; −  , y = 2x − 2 4 ( ) ( ) Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = , ch ng t t i A −1;2 s có ti p n chung , nói khác ( ) d ) O 0; , y = ( th c a ba hàm ) th c a ba hàm s ti p xúc t i i m A −1;2 x Chúc em thi t k t qu cao nh t Tác gi : Nguy n Phú Khánh – L t Nguy n T t Thu – ng Nai ... 2 i u ki n c n hàm s Gi s hàm s f có ơn i u : o hàm kho ng I • N u hàm s f ( ) I f '' ( x ) ≤ v ng bi n kho ng I f '' x ≥ v i m i x ∈ I • N u hàm s f ngh ch bi n kho ng i u ki n hàm s i m i x ∈I... h n i m c a I hàm s f ngh ch bi n) I ng bi n (ho c Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1.2 D NG TOÁN THƯ NG G P D ng : Xét chi u bi n thi? ?n c a hàm s ( ) Xét chi u bi n thi? ?n c a hàm s y = f x... c a * i v i hàm s y = ng bi n ho c ngh ch ax + bx + c ln có nh t hai kho ng ơn i u a ''x + b '' * C hai d ng hàm s không th ơn i u » * i v i hàm s y = Ví d :Xét chi u bi n thi? ?n c a hàm s sau:

Ngày đăng: 11/02/2015, 20:29

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan