BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HỒ CHÍ MINH ……………….o0o………………. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Khoa: Khoa Học Cơ Bản Lớp: 211301219 GVHD: Nguyễn Ngọc Chương TP.HCM 11/2014 1 TIỂU LUẬN BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HỒ CHÍ MINH ……………….o0o………………. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Khoa: Khoa Học Cơ Bản Lớp: 211301219 GVHD: Nguyễn Ngọc Chương Danh Sách Nhóm Võ Ngân Hà 13008641 Nguyễn Mạnh Khương 13010131 Lê Thị Kim Luyến 13022461 Nguyễn Thị Tuyết Nhung 13015781 Trần Thị Thanh Trang 13037681 Đoàn Thị Trinh 13022461 2 TIỂU LUẬN LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số những quyết định quan trọng để đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sản xuất kinh doanh hay trong một trò chơi mà đối thủ là một kẻ thông minh và nguy hiểm…Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính để có được phương án tối ưu cần thiết. Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm 1947 cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sự có hiệu quả để giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế mà ta thường gặp, như để vận chuyển hàng hóa đầy đủ nhưng có tổng chi phí là nhỏ nhất – đây chính là bài toán vận tải. Hoặc trong kinh doanh phải lập kế hoạch sản xuất đối với các nguyên liệu và sản phẩm để thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất… Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến thức rất quan trọng để xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳ bài toán phức tạp nào trong thực tế, chỉ cần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữ nhờ việc lập trình trên máy tính ta có thể giải quy hoạch tuyến tính một cách dể dàng nhanh chóng và chính xác. Như vậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại những hiệu quả kinh tế rất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán đúng quy cách. 2. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu là vấn đề được quan tâm nhất và các ràng buộc là các yêu cầu ,điều kiện của kế hoạch đặt ra, đều là hàm và các phương trình, bất phương trình tuyến tính. Các bước để nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là:  Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu .  Lập mô hình toán học thật chính xác.  Xây dựng các thuật toán để giải bài toán trên các lập trình máy tính.  Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần . Áp dụng để giải các bài toán thực tế . QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU A. Lý Thuyết  Đối ngẫu là một phương pháp mà ứng dụng với mỗi bài toán QHTT đã cho (gọi là bài toán gốc), ta có thể thiết lập một bài toán QHTT khác (gọi là bài toán đối ngẫu) sao cho từ lời giải của bài toán này ta có thể thu được thông tin về lời giải của bài toán kia.  Khi phân tích đồng thời cả hai bài toán gốc và dối ngẫu ta có thể rút ra các kết luận sâu sắc cả về mặt toán học lẫn về ý nghĩa thực tiễn. 1. CÁCH LẬP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 1.1. Xét quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc: f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n min    =≥ =≥+++ ,n, ,2,1j,0x m ,,2,1i,bxa xaxa j inin22i11i (P) [Bài toán gốc] Trong đó a ij , b i , c j là các hệ số cho trước; x= (x 1 , x 2 , … ,x n ) ∈ R n l vecto biến cần tìm. Ta gọi đối ngẫu của (P) là QHTT, ký hiệu (Q), có dạng: g(y) = b 1 y 1 +b 2 y 2 + … + b m y m max    =≥ =≤+++ ,n,,2,1i,0y ,n,,2,1j,cyayaya jmmj2j21j1   (Q) [Bài toán đối ngẫu] Ở đây y = (y 1 , y 2 , … ,y m )∈ R m là vectơ biến cần tìm.  Nhận xét: - Các ràng buộc chính của (P) ↔ các biến của (Q). Các biến của (P) ↔ các ràng buộc chính của (Q). - Các hệ số vế phải ràng buộc chính của (P) trở thành các hệ số mục tiêu của (Q), còn các hệ số mục tiêu của (P) lại trở thành các hệ số vế phải ràng buộc chính của (Q). - Bài toán gốc tìm min thì bài toán đối ngẫu tìm max (và ngược lại). - Cả hai bài toán (P) và(Q) đều có dạng chuẩn.  Ví dụ: tìm bài toán đối ngẫu của bài toán QHTT dạng chuẩn. f(x) = 20x 1 + 15x 2 → min        ≥≥ ≥+ ≥+ ≥+ 0,0 602 40 603 21 21 21 21 xx xx xx xx Bài toán đối ngẫu là: g(y) = 60y 1 + 40y 2 + 60y 3 → max      ≥≥≥ ≤++ ≤++ 0;0;0 15 203 321 321 321 yyy yyy yyy  Dùng ký hiệu vectơ và ma trận, ta có thể viết: Bài toán gốc: Bài toán đối ngẫu:      ≥ ≥ →= 0 min,)( x bAx xcxf        ≥ ≤ →= 0 max,)( y cyA ybyg T A T là ma trận chuyển vị của A, <a, b> là tích vô hướng của hai vectơ a và b. 1.2. Định nghĩa đối ngẫu của bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc:      =≥ ==+++ →+++= ,,,2,1,0 ,,,2,1, min)( 2211 2211 njx mibxaxaxa xcxcxcxf j ininii nn    Là bài toán:    =≤+++ →+++= ,,,2,1, max)( 2211 2211 njcyayaya ybybybyg jmmjjj m    Dưới dạng vectơ – ma trận, ta có thể viết: Bài toán gốc: Bài toán đối ngẫu:      ≥ = →= 0 min,)( x bAx xcxf      ≤ →= cyA ybyg T max,)( 1.3 Tổng quát, xét bài toán QHTT có dạng          ∈≤∈∈≥ ∈ ∈ ∈           ≤ = ≥ +++ →+++= )(0),(),(0 , , , min)( 321 3 2 1 2211 2211 JjxJjýtùyxJjx Iib Iib Iib xaxaxa xcxcxcxf jjj i i i ninii nn   Trong đó I 1 ∪I 2 ∪I 3 = {1,…,m}, I i ∩I k = ∅, i, k = 1, 2, 3 (i≠k); J 1 ∪J 2 ∪J 3 = {1,…,n}, J i ∩J k = ∅, j, k = 1, 2, 3(j≠k). Ta gọi đối ngẫu của bài toán trên là bài toán:          ∈≤∈∈≥ ∈ ∈ ∈           ≥ = ≤ +++ →+++= ).(0),(),(0 , , , max)( 321 3 2 1 2211 2211 IiyIiýtùyyIiy Jjc Jjc Jjc yayaya ybybybyg iii j j j mmjjj mm   SƠ ĐỒ ĐỐI NGẪU TỔNG QUÁT Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu Các biến gốc: x 1 , x 2 ,…, x n Các biến đối ngẫu: y 1 , y 2 ,…,y m Hàm mục tiêu f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+ c n x n → min g(y) = b 1 y 1 + b 2 y 2 +…+ b m y m → max Các ràng buộc a i1 x 1 +a i2 x 2 +…+a in x n           ≤ = ≥ 3 2 1 , , Iib Iib Iib i i i ∈ ∈ ∈ y i           ≤ ≥ 0 0 ýtùydâu 3 2 1 Ii Ii Ii ≤ ∈ ≥ x j           ≤ ≥ 0 0 ýtùydâu 3 2 1 Jj Jj Jj ∈ ∈ ∈ a 1j y 1 +a 2j y 2 +…+a mj y m           ≥ = ≤ 3j 2j 1j Jj,c Jj,c Jj,c ∈ ∈ ∈  Nhận xét: Nếu lấy đối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì ta sẽ nhận được bài toán gốc.  Ví dụ: tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau          ≤≥ ≤−+ =+−− ≥−+ →+−= ýtùyxxx xxx xxx xxx xxxxf 321 321 321 321 321 ,0,0 343 642 832 min234)( Bài toán đối ngẫu là:          ≤≥ =−+− −≥+− ≤+− →++= 0y,ýtùyy,0y 2yy4y3 3y4y2y 4y3yy2 maxy3y6y8)y(g 321 321 321 321 321 2. CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU. 2.1. Cặp bài toán đối ngẫu dạng chuẩn: (P)      ≥ ≥ →= 0 min,)( x bAx xcxf (Q)        ≥ ≤ →= 0 max,)( y cyA ybyg T Để tiện nghiên cứu lý thuyế đối ngẫu, ta xét cặp bài toán đối ngẫu (P) và (Q) cho ở dạng chuẩn. Tuy nhiên các kết quả nhận được cũng đúng cho một cặp bài toán đối ngẫu bất kỳ.  Định lý 1: (Đối ngẫu yếu). Nếu x là 1 phương án bất kỳ của bài toán gốc (P) và y là 1 phương án bất kỳ của bài toán đối ngẫu (Q) thì: f(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+ c n x n ≥ g(y) = b 1 y 1 + b 2 y 2 +…+ b m y m Hệ quả: - Giá trị mục tiêu của 1 phương án đối ngẫu bất kỳ là 1 cận dưới cho giá trị mục tiêu đối với mọi phương án của bài toán gốc. - Nếu hàm mục tiêu của bài toán gốc không bị chặn dưới trong miền ràng buộc của nó thì bài toán đối ngẫu không có bất kỳ mộ phương án nào. - Nếu hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu không bị chặn trên trong miền ràng buộc của nó thì bài toán gốc không có bất kỳ một phương án nào. - Nếu x* là 1 phương án của bài toán gốc, y* là 1 phương án của bài toán đối ngẫu và f(x*) = g(y*) thì x* là phương án tối ưu của bài toán gốc và y* là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.  Định lý 2: (Đối ngẫu mạnh). Nếu một quy hoạch có phương án tối ưu thì quy hoạch đối ngẫu của nó cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng là bằng nhau.  Định lý 3: (Định lý tồn tại). Đối với mỗi cặp quy hoạch đối ngẫu nhau thì có thể xảy ra một trong ba khả năng loại trừ nhau sau đây. - Cả hai bài toán đều không có phương án. - Cả hai bài toán đều có phương án. Khi đó, cả hai bài toán đều có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của các hàm mục tiêu là bằng nhau. - Một bài toán có phương án và bài toán kia không có phương án. Khi đó, bài toán có phương án sẽ không có phương án tối ưu và hàm mục tiêu của nó không giới nội trong miền ràng buộc.  Định lý 4: (Định lý về độ lệch bù). Một cặp phương án x, y của hai bài toán (P), (Q) là những phương án tối ưu khi và chỉ khi chúng nghiệm đúng các hệ thức:  )1(,m,,2,1i,0bxay n 1j ijiji =∀=         − ∑ =  njyacx m i iijjj ,,2,1,0 1 =∀=       − ∑ = (2) Nhận xét:         − ∑ = n j ijij bxa 1 : độ lệch ở ràng buộc I của (P).       − ∑ = m i iijj yac 1 : độ lệch ở ràng buộc j của(Q). Ghi chú: Các hệ thức (1), (2) nói rằng: với mỗi ràng buộc gốc hay đối ngẫu thì tích của độ lệch ở ràng buộc này và biến đối ngẫu (hay biến gốc) tương ứng với ràng buộc đó phải bằng không. [...]... y2*, y3* >0, nên theo định lí về độ lệch bù, x*là nghiệm đúng hệ phương trình:  x1 + x 2 = 2  3 x1 + 4 x 2 = 7 Giải hệ phương trình, ta được: x* = (1, 1) Với fmin = gmax = 34 4 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính: f(x) = 4x1 –x2 -3x3 → min  x1 + 3x 2 − 4 x 3 ≥ −2,  x 2 − x 3 ≤ 4,   2 x 1 − 4 x 2 + 3x 3 ≥ − 3   ≥ −6,  x1 − 3x 2 − x1 + 2 x 3 ≤ 3  x1 , x 2 , x 3 tùy ý  (*) Viết bài toán đối... tối ưu của bài toán gốc ⇒ y0 = (1, 0, 1, 0, -1) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu 5 Xét qui hoạch tuyến tính:  f ( x) = x1 − 2 x 2 + x3 − x 4 + x5 → min,   x1 − 2 x 2 + x3 + 3 x 4 − 2 x5 = 6,  − 2 x1 − 3x 2 + 2 x3 + x 4 − x5 ≥ −4, x + 3x3 − 4 x5 ≥ 8,  1  x j ≥ 0, j = 1,3,5  a Kiểm tra tính tối ưu của phương án x0 = (5, -6, 1, -4, 0) b c Phát biểu bài toán đối ngẫu của bài toán trên... phương án) ⇒ bài toán gốc không có phương án tối ưu (theo định lí tồn tại) 6 Xét qui hoạch tuyến tính:  f ( x ) = −4 x1 + 9 x 2 + 16 x3 − 8 x 4 − 20 x5 → min,  5 x1 + 4 x 2 − x3 + 3 x 4 + x5 ≥ 5,  − x1 + 2 x 2 + 4 x3 − 2 x 4 − 5 x5 ≥ −9, − x − 2 x − x + 2 x + 3x = 2, 2 3 4 5  1  x j ≥ 0, j = 1,2,3  a (*) Kiểm tra tính tối ưu của phương án x0 = (2, 0, 1, -2, 3) b Phát biểu bài toán đối ngẫu của... 3 ≥ −1,  y1 − y + y ≥ −1, 2  1  y1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0  Bài toán tương đương của bài toán đối ngẫu trùng với bài toán gốc ⇒ bài toán tự đối ngẫu ⇒ điều phải chứng minh 2 Cho bài toán qui hoạch tuyến tính:  f = x1 − 2 x 2 + 2 x3 → min, x + x + 4 x 4 = 6,  1 2   2 x 2 + x3 + 5 x 4 = 8,  x j ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4  Có phương án tối ưu x* = (2, 4, 0, 0) và giá trị tối ưu là -6 Hãy tìm phương... x2* > 0 nên theo định lí về độ lệch bù, y* là nghiệm đúng hệ phương trình =1  y1   y1 + 2 y 2 = −2 3 2 Giải hệ phương trình, ta được y* = (1, - ) Với gmax = 6.1 + 8.(3 3 2 ) = -6 = fmin Xét qui hoạch tuyến tính:  f = 15 x1 + 19 x 2 → min 3x + x ≥ 3, 2  1  ,  x1 + x 2 ≥ 2, 3x + 4 x ≥ 7, 2  1  x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0  a b Phát biểu bài toán đối ngẫu của bài toán trên Hãy giải một trong hai bài rồi suy... bài toán đối ngẫu Nếu biết phương án tối ưu của bài toán gốc, vận dụng lý thuyết đối ngẫu ta có thể suy ra phương án tối ưu của bài tối đối ngẫu tương ứng mà không cần giải nó, Ví dụ: Bài toán qui hoạch tuyến tính  f ( x) = x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 → min  =1 3 x1 + x 2 + x3  =3 5 x1 + x 2 + x3 + x 4 2 x + 5 x + x + x5 = 8 2 3  1  x j ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, 5  Có phương án tối ưu x* = (0, 1, 0,... y1 * = ∆1 + c1 = 5 + 1 = 5   y 2 * = ∆ 2 + c 2 = 0 − 1 = −1  −3 −3  y 3 * = ∆ 3 + c3 = +0= 5 5  1 5 Vậy y* =( , -1, B −3 5 ) và gmax = -17 = fmin BÀI TẬP 1 Viết bài toán đối ngẫu của các qui hoạch tuyến tính sau: a f = 2x1 + 3x2 - 4x3 + 5x4+→ min Điều kiện  x1 + x 2 − 2 x 3 + 2x 4 ≥ 10, − x + 2x + x − x = 8,  1 2 3 4   x1 − x 2 − 2 x 3 + x 4 ≤ 9, x1 tùy ý, x 2 ≥ 0, x 3 ≤ 0, x 4 ≥ 0  Giải... toán gốc: g = -y1 + 8y2 - 4y3 → max Điều kiện 1  y1 + 2 y 2 − y 3 ≤ 1, − 2 y + y − 5 y = −4, 1 2 3    y1 + 3 y 2 − y 3 ≤ −3,  y − y + 3 y ≥ −2, 2 3  1  y1 tùy ý , y 2 ≥ 0, y 3 ≤ 0  Xét qui hoạch tuyến tính: f = x1 + x 2 + x 2 → min,  − x 2 + x 3 ≥ −1,   − x 3 ≥ −1,  x1 − x + x ≥ −1, 2  1 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0  Chứng tỏ rằng bài toán này trùng với bài toán đối ngẫu của nó (bài toán...  y1 = 0 4 y − y = 0  2  3 ⇔  y2 = 4  − 2 y 2 + 2 y 3 = −8 y = 0  3 − 5 y 2 + 3 y 3 = −20  Vậy phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là y0 = (0, 4, 0) Với gmax = fmin = -36 7 Xét qui hoạch tuyến tính:  f ( x) = 2 x1 + x 2 + x3 + 3 x 4 → max,   x1 − 2 x 2 + x3 = 16,   x 2 + 4 x3 + x 4 ≤ 8,  x − 2 x + 3 x ≤ 20, 3 4  2  x j ≥ 0, j = 1,2,3,4  a Phát biểu bài toán đối ngẫu của bài toán...   y3 = 1  Giải hệ phương trình ta có:  y1 = −5   y2 = 1  y =1  3 Vậy y* (-5, 1, 1) là phương án tối ưu của g(y) với gmax = -5 +(3*1) + (8*1) = 6 = fmin Ví dụ: dùng phương pháp đơn hình giải quy hoạch gốc (P) sau đây, từ đó suy ra lời giải của bài toán đối ngẫu tương ứng với nó  f ( x) = x1 − x 2 − 2 x4 + 2 x5 − 3 x6 → min  + x 4 + x5 − x 6 = 2  x1  + x6 = 12  x2 + x4  x3 + 2 x 4 + 4 x5 . ngôn ngữ nhờ việc lập trình trên máy tính ta có thể giải quy hoạch tuyến tính một cách dể dàng nhanh chóng và chính xác. Như vậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại những hiệu. học quy hoạch tuyến tính để có được phương án tối ưu cần thiết. Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm 1947 cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, . MINH ……………….o0o………………. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Khoa: Khoa Học Cơ Bản Lớp: 211301219 GVHD: Nguyễn Ngọc Chương TP.HCM 11/2014 1 TIỂU LUẬN BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HỒ CHÍ MINH ……………….o0o………………. QUY HOẠCH