GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 1 O y z x j k i CHỦ ĐỀ : TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN A. PHẦN LÍ THUYẾT : I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM 1. Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian Hệ 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz đôi một vuông góc, trên đó lần lượt có các vectơ đơn vò k,j,i , gọi là hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc trong không gian. +. 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung , trục cao . +. Điểm O gọi là gốc tọa độ +. Không gian chứa hệ trục tọa độ như thế gọi là không gian tọa độ, kí hiệu là kg Oxyz +. Các mặt phẳng : Oxy, Oyz, Oxz gọi là các mặt phẳng tọa độ 2. Toạ độ của vectơ: a. Đònh nghóa : kajaiaa 321 ++= ⇔ )a,a,a(a 321 = Chú ý: Tọa độ của các vectơ đơn vò: i (1, 0, 0) =  ; j (0, 1, 0) =  ; )1 ,0 ,0(k = và 0 (0, 0, 0) =  b. Tính chất : Cho )a,a,a(a 321 = ; )b,b,b(b 321 = và số thực k thì : )bba,aba(ba 322311 ±±±±=± ; )ka,ka,ka(a.k 321 = ;      = = = ⇔= 33 22 11 ba ba ba ba Chú ý : +. a cùng phương b nếu cùng nằm trên một đường thẳng hoặc giá của chúng song song nhau +. Biểu thức tọa độ : a cùng phương b ⇔ tồn tại số k để cho: a = b.k ⇔ 3 3 2 2 1 1 b a b a b a == 3. Tọa độ của điểm : a. Đònh nghóa : kzjyixOM MMM ++= ⇔ M ( x M , y M , z M ) b. Đònh lí : Cho A(x A ,y A , z A ) và B(x B ,y B ,z B ) thì : )zz,yy,xx(AB ABABAB −−−= c. Chú ý : +. Điểm M ∈ Ox → M(x,0,0 ) ; Điểm M ∈ Oy → M(0,y,0) Điểm M ∈ Oz → M(0,0,z) ; Gốc tọa độ O(0,0,0) +. M là trung điểm của đoạn AB thì : A B A B A B M M M x x y y z z x ; y ; z 2 2 2 + + + = = = + G là trọng tâm của đoạn ∆ ABC thì : A B C A B C A B C M M M x x x y y y z z z x ; y ; z 3 3 3 + + + + + + = = = 4. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng : Đ/lí : Cho hai vectơ )a,a,a(a 321 = ; )b,b,b(b 321 = thì : 332211 bababab.a ++= Các hệ quả: +. 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 2 3 a a a a a a a a = + + ⇒ = + +   +. 0babababa 332211 =++⇔⊥ +. 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1 2 3 a b a b a b cos (a,b) a a a b b b + + = + + + +   +. 2 2 2 B A B A B A AB (x x ) (y y ) (z z ) = − + − + − GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 2 5. Chú ý : +. Điểm M(x, y ,z) có hình chiếu vuông góc lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz lần lượt là : (x, y , o) ; (x, o, z) ; (o, y ,z). +. Điểm M(x, y ,z) có hình chiếu vuông góc lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là : (x, o , o) ; (o, y,o) ; (o, o ,z). +. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz lần lượt là : (x, y, -z) ; (x, -y, z) ; (-x, y ,z). +. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là : (x, -y,-z) ; (-x, y, z) ; (-x, -y ,z). +. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua gốc tọa độ O là (-x, -y,-z) 6. Tích có hướng hai vectơ : a. Đònh nghó a : Cho 2 vectơ )a,a,a(a 321 = ; )b,b,b(b 321 = . Tích có hướng của hai vectơ đó là một vectơ , kí hiệu là [ ] b,a với [ ] b,a = 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a ; ; b b b b b b       = ( a 2 b 3 – b 2 a 3 , a 3 b 1 – b 3 a 1 , a 1 b 2 – b 1 a 2 ) b. Tính chất : c a⊥ và c b⊥ thì c = [ ] b,a c. Các ứng dụng của TCH của 2 vectơ : +. 3 điểm A,B, C là 3 đỉnh của tam giác ⇔ AB, AC       ≠ 0 3 điểm A,B, C là thẳng hàng ⇔ AB, AC       = 0 +. 4 điểm A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện ⇔ AB,AC . AD 0   ≠      4 điểm A, B, C , D đồng phẳng ⇔ AB,AC . AD 0   =      +. Diện tích tam giác ABC là: S = 1 AB, AC 2       = 1 BA, BC 2       = 1 CA, CB 2       Nói là : Diện tích tam giác bằng một phần hai độ dài TCH của hai vectơ chung gốc. +. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là : V = AB, AD . AA'        Nói là : Thêû tích khối hộp bằng giá trò tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ chung gốc +. Thể tích khối tứ diện ABCD là : V = 1 AB, AC . AD 6        Nói là : Thêû tích khối tứ diện bằng một phần sáu giá trò tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ chung gốc Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1,1,1) , B(1,- 6, 0) , C(0,-2,2) , D(-2,0,0). a. Chứng minh 3 điểm B, C, D là 3 đỉnh của tam giác, Tính diện tích của BCD ∆ , Từ đó tính độ dài đường cao của BCD ∆ kẻ từ D. b. Chứng minh 4 điểm A,B,C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính thể tích của tứ diện này, Từ đó tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A. c. Tìm tọa độ điểm E để BCDE là hình bình hành . Tính diện tích hình bình hành nàyvà tính thể tích khối chóp A.BCDE. d. Tính góc  ACD và góc giữa các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD Bài 2 : Trong kg cho 2 điểm A(6,-2,3) ; D(4,1,0) và OC 2i j = −    ; ; OB j 6k = +    1. Tính : a. ( ) 2 AB.BC .CA CD .AB +      ; b. 2 AB,DC .CB AD   −       2. Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện 3. Tính d/ tích ∆ ABC, thể tích tứ diện ABCD. Từ đó tính độ dài c/cao của t/ diệnABCD kẻ từ D. 4. Tính cosin của góc A của ∆ ABC GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 3 n α M 5. Tìm toạ độ điểm E để cho ABCD là hình bình hành . Tính diện tích hình bình hành này. Bài 3: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D' Víi A(2,0,2), B(4,2,4), D(2,-2, 2) vµ C'(8,10,-10). a. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cßn l¹i cđa h×nh hép ABCD.A'B'C'D'. b. TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh hép nãi trªn. II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. LÍ THUYẾT: 1. M/phẳng ( α )đi qua điểm M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) và có PVT )C,B,A(n = thì phương trình ( α ) : ( ) ( ) ( ) 0zz.Cyy.Bxx.A 000 = − + − + − 2. Mặt phẳng ( α ) đi qua ( ) A a,0,0 Ox ∈ ; ( ) B 0,b,0 Oy ∈ ; ( ) C 0,0,c Ox ∈ thì p/trình mặt phẳng ( α ) : x y z 1 a b c + + = ( Gọi là mặt phẳng phương trình theo đoạn chắn) Chú ý : +. Hai vectơ a , b là cặp VTCP của ( α ) trong các trường hợp sau: * a , b không cùng phương và cùng nằm trên ( α ) * a , b không cùng phương. a nằm trên ( α ) còn a nằm trên đường thẳng // ( α ) * a , b không cùng phương , cả a và b đều nằm trên 2 đường thẳng // với ( α ) +. Hai mặt phẳng // nhau thì PVT của mặt phẳng này cũng là PVT của mặt phẳng kia. +. Hai mặt phẳng v/ góc nhau thì PVT của mặt phẳng này là một trong hai VTCP của mặt phẳng kia 3. Các p/pháp xác đònh PVT : C 1 : Tìm VT vuông góc với mặt phẳng ( α ). C 2 : Tìm cặp VTCP a , b ⇒ [ ] b,a n = . C 3 : Mặt phẳng ( α ) đi qua ba điểm A,B,C thì PVT [ ] AC,AB n = . B. BÀI TẬP : Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho điểm A(1,0,1) ; B(3,4,-1) và k2jOC += ; AD = (1,2,-4) a. Tìm tọa độ các điểm C và D b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó c/m 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. c. Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song mặt phẳng (ABC) d. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với AB tại B. e. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn BC. f. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD g. Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với các đường thẳng AD và CB h. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BD i. Viết phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu vuông góc của B lên các trục tọa độ j. Viết phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu vuông góc của A lên các mp tọa độ k. Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm đối xứng với A, B, C qua gốc toạ độä l. Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm đối xứng với A, B, C qua các mặt phẳng tọa độ Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau : A B C a b a a b b α n α n α n α n GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 4 a. Qua điểm M(2,-1,2) và // mp Oxy b. Qua điểm N(5,1,-2) ; // Oz ; vuông góc với mặt phẳng 3x + 2y + z + 2013 = 0 c. Qua điểm P(-4,0,1) ; // đường thẳng AB với A(2,0,0), B(3,2,-6) và v.góc với mp(P): 5x-z-2 = 0 d. Qua 2 điểm H(3,-2,0), K(2, 5,1) và vuông góc với mặt phẳng –3x + 2z – 7 = 0 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Các dạng phương trình đường thẳng : a. Đường thẳng d đi qua M(x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP )a,a,a(a 321 = thì : 0 1 0 2 0 3 x x a t Ptts d : y y a t z z a t = +   = +   = +  ( t )R ∈ và 0 0 0 1 2 3 x x y y z z Ptct d : a a a − − − = = b. Đường thẳng d đi qua 2 điểm ( ) ( ) A A A B B B A x , y ,z và A x , y ,z có phương trình : A A A B A B A B A x x y y z z AB: x x y y z z − − − = = − − − ( với B A x x ≠ , B A y y ≠ , B A z z ≠ ) 2. Các chú ý : * Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng cho bởi ptts ta cho t một giá trò tuỳ ý thay vào ptts tìm x, y, z . Đó là tọa độ của điểm thuộc d * Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng, ta cho x một giá trò tuỳ ý thay vào hệ tìm y, z ( hoặc cho y tìm x, z ; hoặc cho z tìm x, y ) * Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng, có VTCP là         = 22 11 22 11 22 11 BA BA , AC AC , CB CB a Trong đó 1 1 1 1 n (A ,B ,C ) =  và 2 2 2 2 n (A ,B ,C ) =  lần lượt là VTPT của 2 mặt phẳng . BÀI TẬP : 1. Cho đường thẳng d có ptts là x 2 t y 1 2t z 3t = +   = − +   =  . a. Tìm 2 điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết pttq và ptct của d . 2. Cho đường thẳng d có ptct là x 2 3 y z 1 2 3 − − = = − a. Tìm hai điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết ptts và pttq của d 3. Cho đường thẳng d có pttq là : 2x y z 2 0 y z 4 0 + + − =   − + + =  . a. Tìm 2 điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết ptts và ptct của d 4. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau : a. Đi qua điểm M(2,-1,5) và có VTCP là a ( 2,1, 1) = − −  . b. Là giao tuyến của 2 mặt phẳng : x + y + 2z – 5 = 0 và 3x – y + 3z + 3 = 0 c. Đi qua điểm M(2,3,-1) và vuông góc với mặt phẳng : x + 2y –3z + 1 = 0 . d. Đi qua 2 điểm A(-2,1,2) và B(0,3,-4) . GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 5 e. Đi qua điểm M(0,-2,1) và song song với đường thẳng x y z 3 0 y z 0 + + − =   − =  f. Đi qua điểm N(3,0,0) và song song với đường thẳng : x 2 3t y t z 3 = +   =   = −  5. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau : a. Đi qua điểm M(4,1,2) và vuông góc với đường thẳng d : x 1 y 1 3 z 2 1 3 − + − = = − b. Chứa điểm A(-4,0,-2) và đường thẳng d : x 2y z 3 0 2y z 1 0 + + − =   − − − =  c. Đi qua điểm B(1,1,1) và song song với các đường thẳng: d 1 : 2x y z 3 0 x y z 1 0 + + − =   − + − + =  ; d 2 : x 1 y 2 z 3 1 3 + + = = − − IV. MẶT CẦU 1. Phương trình mặt cầu : * Mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R ⇒ phương trình mặt cầu là : (S) : (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = R 2 * Phương trình (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 ( với a 2 + b 2 + c 2 – d > 0 ) là phương trình mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R = d -c b a 222 ++ * Mặt cầu có tâm O(o,o,o) ; bán kính R có phương trình (S) : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 2. Tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho m/cầu (S) có tâm I b/kính R và m/phẳng ) ( α . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ) ( α , thì IH = d(I, ) ( α ) . * d(I, )( α ) > R ⇔ (S) và ) ( α không có điểm chung * d(I, )( α ) = R ⇔ (S) và ) ( α tiếp xúc nhau tại H. ( H gọi là tiếp điểm ; ) ( α gọi là tiếp diện ) * d(I, )( α ) < R ⇔ (S) và ) ( α cắt nhau theo giao tuyên là đường tròn (C). tâm là H; bk R’= 22 IHR − ) BÀI TẬP : 1. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a. Có tâm I(1,2,-3) và bán kính R = 4. b. Có tâm I(2,-2,0) và đi qua điểm M(1,4,-4) c. Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy. d. Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc mp )( α : x - y - 4z - 5 = 0 . Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và )( α . e. Có tâm trên trục Oz, đi qua A(2,3,4) và tiếp xúc mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0 f. Có tâm trên trục Oy và tiếp xúc với 2 mp : x + y - z + 1 = 0 ; x - y + z - 5 = 0 2. Cho 3 điểm A(2,0,0); B(0,1,0); C(0,0,-3) a. Viết phương trình mặt cầu(S) ngoại tiếp tứ diện OABC với O là gốc tọa độ. Khi đó tìm tâm H H I H I I α α α )S( )S( )S( ) C ( GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 6 và b. kính của (S) b. Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A. c. Viết phương trình đường tròn (C 1 ) ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính của (C 1 ) d. Viết phương trình đường tròn (C 2 ) ngoại tiếp tam giác OAB. Tìm tâm và bán kính của (C 2 ) 3. Cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4z = 0 a. Tìm tâm và bán kính của (S) . b. Chứng minh điểm A(3,1,-2) thuộc (S). Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A. c. Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó // với mặt phẳng x+ y + 2z – 1 = 0 d. Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó v/góc với đường thẳng :    =+− =−+ 03zy2 02yx e. Tìm giao điểm của (S) với đường thẳng x = 1+ 2t ; y = 1 ; z = - 2t . f. Viết phương trình đường kính qua A . Tìm giao điểm còn lại của đường kính này với (S). g. Biện luận theo k vò trí tương đối của (S) và mặt phẳng ) ( α : 2x + y – 2z + k = 0 4. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a. Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6,-2,3) ; B(0,1,6) ; C(2,0,-1) ; D(4,1,0) . Khi đó viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp ∆ ABC, tìm tâm và bán kính đường tròn này b. Ngoại tiếp tứ diện OABC với A(1,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,-3) . Tìm tâm và b/kính . c. Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc m/ hẳng )( α : x – y - 4z - 5 = 0 . Tìm toạ độ t/điểm của (S) và )( α . d. Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy. 5. Cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 12x + 4y – 6z + 24 = 0 . a. Tìm tâm và bán kính của (S). b. Chứng minh mặt cầu (S) cắt mặt phẳng )( α : 2x + 2y + z +1= 0 . Hãy viết phương trình đường tròn giao tuyến của (S) và )( α , tìm tâm và bán kính đường tròn này. c. Chứng minh điểm A(2,1,3) thuộc mặt cầu (S) .Viết phương trình tiếp diện của (S) tại A. d. Tìm các giao điểm của của (S) và đường thẳng d:      += −= += t43z t2y t33x e. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó s.song với m/p )( β : 2x – 2y + z + 7 = 0 f. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó v/góc với đg/thẳng d’: 2 1z 2 1y 1 x − = − = − g. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó song song với trục Ox và đường thẳng d: 2 1z 2 1y 1 x − = − = − h. Biện luận theo k vò trí tương đối của (S) và mặt phẳng )( γ : 2x + y – 2z + k = 0 V. GÓC: +. 2 đường thẳng d 1 , d 2 có VTCP lần lượt là 1 2 3 a (a ,a ,a ) =  , 1 2 3 b (b ,b ,b ) =  . Gọi ϕ là góc giữa d 1 và d 2 thì : 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 3 3 1 3 3 a b a b a b cos a a a . b b b + + φ = + + + + +. 2 mặt phẳng ( α 1 ), ( α 2 ) có VTPT lần lượt là )C,B,A(n);C,B,A(n 222 2 111 1 == Gọi ϕ là góc giữa 2 mặt phẳng thì: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 CBA.CBA CCBBAA cos ++++ ++ =ϕ GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 7 a a  a a b b b b d d d ' d d ' d ' d ' d M M' M M' M M' M' M +. Đườ ng th ẳ ng d có VTCP )a,a,a(a 321 = , M ặ t ph ẳ ng (P) có VTPT )C,B,A(n = . Gọi ϕ là góc giữa d và (P) thì : 2 3 2 2 2 1 222 321 aaa.CBA a.Ca.Ba.A sin ++++ ++ =ϕ Hệ quả: * d 1 ⊥ d 2 ⇔ 332211 bababa + + = 0 * ( α 1 ) ⊥ ( α 2 ) ⇔ 212121 CCBBAA + + = 0 * d ⊥ ( α ) ⇔ a  cùng phương n VI. KHOẢNG CÁCH + . Kh.cách từ M(x 0 ,y 0 , z 0 ) đến mp ( α ): Ax + By + Cz + D = 0 là : ( ) .CBA Dz.Cy.Bx.A )(,Md 222 000 ++ +++ =α +. Kh.cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (đi qua điểm A, VTCP a ) là: ( ) [ ] [ ] a AM,a ,Md =∆ +. Kh.cách giữa 2 đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ là: ( ) [ ] [ ] b,a AB.b,a ,d 21 =∆∆ ( 1 ∆ đi qua A, có VTCP là a . 2 ∆ đi qua B, có VTCP b ) VII. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Vị trí tương đối 2 mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng : ( 1 α ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 có VTVT là =  1 1 1 1 n A B C ( , , ) ( 2 α ) : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 có VTVT là )C,B,A(n 2222 = TH1: 21 nvàn không cùng phương ⇔ ) ( 1 α cắt ) ( 2 α TH2:    ∈ α ∉ α     1 2 1 2 n n cùng phương Điểm M ( ) và M ( ) ; ⇔ ( 1 α ) // ( 2 α ) TH3:    ∈ α ∈ α     1 2 1 2 n n cùng phương Điểm M ( ) và M ( ) ; ⇔ ( 1 α ) ≡ ( 2 α ) 2. Vị trí tương đối 2 đường thẳng: Cách 1 : 1 α 2 n  2 α  1 n  2 n 2 α  1 n 2 α 1 α  2 n 2 α  1 n M M GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 8 TH1:          a và b cùng phương MM không cùng phương a ' ⇔ d // d’ ; TH2:          a và b cùng phương MM cùng phương a ' ⇔ d ≡ d’ TH3:               a b . MM' = 0 a và b không cùng phương , ⇔ d cắt d’ ; TH4:   ≠      a b . MM' 0 , ⇔ d chéo d’ Cách 2: Cho 2 đường thẳng d:      += += += tazz tayy taxx 30 20 10 có vtcp )a,a,a(a 321 = và qua điểm M(x 0 , y 0 , z 0 ) và d’:      += += += 'tbzz 'tbyy 'tbxx 3 ' 0 2 ' 0 1 ' 0 có vtcp )b,b,b(b 321 = TH1: 'd//d d'M phươngcùngb,a ⇔      ∉ ; TH2:   ⇔ ≡  ∈     a b cùng phương d d M d' , ' TH3:  + = +   + = + ⇔   + = +   0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 x a t x b t HệPT y a t y b t cónghiệm duy nhất d cắt d z a t z b t ' ' ' ' : ' ' ' Chú ý : Giả sử (t 0 , ' 0 t ) là nghiệm của HPT. Để tìm giao điểm M 0 của 2 đường thẳng thì thay t 0 vào phương trình d. Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm TH4:  + = +   + = + ⇔   + = +     0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 x a t x b t a b không cùng phương và HPT y a t y b t vôngh iệm d chéo d z a t z b t ' ' ' ' , : ' ' ' 3. Vò trí tương đối của của đường thẳng và mp : ) //( d α ) ( cắt d α ) ( d α ⊂ Cách 1: TH1:  ⊥ ⇔ α  ∈ ∉ α     n a cùng phương d ( ) M d , M ( ) / / ; TH2:  ⊥ ⇔ ⊂ α  ∈ ∈ α     n a cùng phương d ( ) M d , M ( ) TH3: ⇔ ≠ ⇔ α     n không vuông góc a n a 0 d cắt ( ) . Cách 2: Cho đường thẳng d :      += += += tazz tayy taxx 30 20 10 và mp ) ( α : Ax + By + Cz + D = 0. Để xét vò trí tương đối của d và ) ( α , ta thay x, y, z từ phương trình d vào phương trình ) ( α , được phương trình: A(x 0 + a 1 t ) +B(y 0 + a 2 t ) + C(z 0 + a 3 t ) + D = 0 (1) ( có ẩn t ) α M α α d d d n a n a M M n a GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 9 TH1: Phương trình (1) vô nghiệm ⇒ d // ) ( α TH2: Phương trình (1) có vô số nghiệm ⇒ d ⊂ ) ( α TH3: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇒ d cắt ) ( α Nếu t = t 0 là nghiệm, để tìm giao điểm của d và ) ( α ta thay t 0 vào phương trình d. Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm B. BÀI TẬP LUYỆN THI Viết phương trình đường thẳng , mặt phẳng . 1. LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d qua ®iĨm M(- 4,-5, 3) vµ c¾t hai ®−êng th¼ng: (d 1 ): 1 2z 2 3y 3 1x − − = − + = + (d 2 ): 5 1z 3 1y 2 2x − − = + = − . 2. LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua ®iĨm A(0; 1; 1) vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng: (d 1 ): 1 z 1 2y 3 1x = + = − vµ c¾t ®−êng th¼ng (d 2 ): x 1 y t z 1 t = −   =   = +  3. Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh: (P): 2x + y + z - 1 = 0, (d): 3 2z 1 y 2 1x − + == − . ViÕt ph−¬ng tr×nh cđa ®−êng th¼ng qua giao ®iĨm cđa (P) vµ (d), vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong (P). 4. Cho ®iĨm A(- 4,-2, 4) vµ ®.th¼ng d: x 3 2t y 1 t z 1 4t = − +   = −   = − +  (t ∈ R). ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ ®i qua ®iĨm A, c¾t vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng d. 5. Cho hai ®iĨm A(1, 4, 2 ), B(-1, 2,4) vµ ®−êng th¼ng ∆: 2 z 1 2y 1 1x = + = − − . ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ®i qua träng t©m G cđa tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (OAB), v ớ i O là g ố c t ọ a đ ơ 6. Cho hai đườ ng th ẳ ng d 1 : 1 1z 1 1y 2 1x − = − − = + , d 2 : 2 1z 1 2y 1 1x + = − = − và mp(P): x - y - 2z + 3 = 0. Vi ế t ph ươ ng trình chính t ắ c c ủ a đườ ng th ẳ ng ∆ , bi ế t ∆ n ằ m trên m ặ t ph ẳ ng (P) và ∆ c ắ t hai đườ ng th ẳ ng d 1 , d 2 . 7. A2007. Cho hai đườ ng th ẳ ng d 1 : x y 1 z 2 2 1 1 − + = = − d 2 : x 1 2t y 1 t z 3 = − +   = +   =  . Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng d vng góc v ớ i (P): 7x + y – 4z = 0 và c ắ t hai đườ ng th ẳ ng d 1 và d 2 . 8. Cho b ố n đ i ể m A(4,5,6); B(0,0,1); C(0,2,0); D(3,0,0). Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng d vng góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (Oxy) và c ắ t đượ c các đườ ng th ẳ ng AB, CD. 9. Cho ba m ặ t ph ẳ ng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 và đườ ng th ẳ ng 1 ∆ : 2 2x − − = 1 1y + = 3 z . G ọ i 2 ∆ là giao tuy ế n c ủ a (P) và (Q). Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng (d) vng góc v ớ i (R) và c ắ t c ả hai đườ ng th ẳ ng 1 ∆ , 2 ∆ . 10. Cho hai đườ ng th ẳ ng d 1 :      = = −= tz 3y t22x d 2 : 2 z 1 y1 1 2x = − = − . Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng d song song v ớ i Oz c ắ t c ả d 1 và d 2 . GV: Trần Điện Hoàng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chuyên dạy LTĐH môn TOÁN – Nhận HS đầu tháng . 10 11. Vi ế t p.trình đườ ng vuông góc chung c ủ a 2 đườ ng th ẳ ng sau: 1 2z 1 1y 2 x :d 1 + = − − =      = += +−= 3z t1y t21x :d 2 12. Cho đườ ng th ẳ ng d 1:      += += += t21z t21y t1x , đườ ng th ẳ ng d 2 là giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng (P): 2x – y – 1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0. Gọ i I là giao đ i ể m củ a d 1 và d 2 . Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng d 3 qua A(2, 3, 1), đồ ng th ờ i c ắ t hai đườ ng th ẳ ng d 1 và d 2 l ầ n l ượ t tạ i B và C sao cho tam giác BIC cân đỉ nh I. 13. Cho tam giác ABC có A(1,-,2, 3), B(2,1, 0), C(0, -1, -2). Vi ế t ph ươ ng trình tham s ố đườ ng cao t ươ ng ứ ng v ớ i đỉ nh A c ủ a tam giác ABC. 14. Cho các đ i ể m A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đườ ng th ẳ ng d: 6x 3y 2z 0 6x 3y 2z 24 0 − + =   + + − =  . Vi ế t ph ươ ng trình đ .th ẳ ng ∆ // (d) và c ắ t các đườ ng th ẳ ng AB, OC. 15. Cho đ i ể m M(0,1,1) và 2 đườ ng th ẳ ng (d 1 ), (d 2 ) v ớ i (d 1 ): x 1 y 2 z 3 2 1 − + = = ; (d 2 ) là giao tuy ế n c ủ a 2 m ặ t ph ẳ ng (P): x 1 0 + = và (Q): x y z 2 0 + − + = . Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng (d) qua M vuông góc (d 1 ) và c ắ t (d 2 ). 16. Cho hình chóp A.OBC, trong đ ó A(1,2,4), B thu ộ c tr ụ c Ox và có hoành độ d ươ ng, C thu ộ c Oy và có tung độ d ươ ng. M ặ t ph ẳ ng (ABC) vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (OBC), 2OBCtan = . Vi ế t ph ươ ng trình tham s ố c ủ a đườ ng th ẳ ng BC. 17. Cho đườ ng th ẳ ng x 1 y 2 z 2 : 3 2 2 + − − ∆ = = − và m ặ t ph ẳ ng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. L ậ p ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P), đ i qua M(2,2,4) và c ắ t đườ ng th ẳ ng ( ∆ ). 18. Cho hai m ặ t ph ẳ ng và hai đườ ng th ẳ ng có ph ươ ng trình (P): 3x 12y 3z 5 0 + − − = và (Q): 3x 4y 9z 7 0 − + + = (d 1 ): x 5 y 3 z 1 2 4 3 + − + = = − , (d 2 ): x 3 y 1 z 2 2 3 4 − + − = = − . Vi ế t ph.trình đườ ng th ẳ ng ( ∆ ) song song v ớ i hai m ặ t ph ẳ ng (P), (Q) và c ắ t (d 1 ), (d 2 ). 19. Cho đườ ng th ẳ ng x y 1 z 2 d : 1 2 1 − − = = và m ặ t ph ẳ ng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. L ậ p ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng d ′ đ i qua đ i ể m M(2,2,4), song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P) và c ắ t đườ ng th ẳ ng d. 20. Cho hai đ i ể m A(0,0,–3), B(2,0,–1) và m ặ t ph ẳ ng (P) có ph ươ ng trình: 3x 8y 7z 1 0 − + + = . Vi ế t ph ươ ng trình chính t ắ c đườ ng th ẳ ng d n ằ m trên m ặ t ph ẳ ng (P) và d vuông góc v ớ i AB t ạ i giao đ i ể m c ủ a đườ ng th ẳ ng AB v ớ i (P). 21. Cho mp(P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai đườ ng th ẳ ng : d: x 1 3 y z 2 1 1 2 + − + = = − và d’: x 1 2t y 2 t z 1 t = +   = +   = +  Vi ế t ph ươ ng trình tham s ố c ủ a đườ ng th ẳ ng ( ∆ ) n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng (P) và c ắ t c ả hai đườ ng th ẳ ng (d) và (d’). CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính kho ả ng cách gi ữ a chúng . 22. Cho đ i ể m A(1,0,1), B(2,1,2) và m ặ t ph ẳ ng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. L ậ p ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) đ i qua A, B và vuông góc v ớ i (Q). 23. A.2012. NC. Cho đườ ng th ẳ ng d: x 1 y z 2 2 1 1 + − = = và m ặ t ph ẳ ng (P): x y 2z 5 0 + − + = và đ i ể m A(1,-1,2). Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ∆ c ắ t d và (P) l ầ n l ượ t tạ i M và N sao cho A là trung đ i ể m củ a đoạ n th ẳ ng MN. [...]... 81 82 x = 1+ t Cho đờng thẳng và : y = 1 t v điểm M( 2,1,4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng z=2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất x = 1+ t x 1 y + 3 z 3 = = Cho 2 đờng thẳng 1: và 2: y = 2 + t Xác định tọa độ các điểm A, B lần 1 2 1 z = 1 + 2t lợt thuộc đờng thẳng 1 , 2 sao cho đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất Cho hai điểm A(1, 2,-1), B(7, -2, 3) và đờng thẳng (d) có phơng trình:... vuông góc chung của (d1) và (d2) 99 Cho ba điểm A(1,1,0), B(0,2,0), C(0,0,2) a Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với BC Tìm tọa độ giao điểm của AC với (P) b Chứng minh tam giác ABC vuông Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 100 Cho hai điểm A(0,0,4), B(2,0,0) và mặt phẳng (P): 2x + y - z + 5 = 0 Lập phơng trình mặt cầu đi qua O,A.B và tiếp xúc với (P) 97 16... a Lập phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A.B , C, D b Tìm tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2,0,0), B(0,4,0), O1(0,0,4) Tìm tọa độ A1, B1 và viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A, B , O1 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1 C1 với A(0, -3,0), B(4,0,0), C(0, 3,0) , B1(4, 0,4) a Tìm tọa độ A1, C1 và viết phơng trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BC... = 16 Cho tứ diện OABC có O là gốc tọa độ, A Ox, B Oy, C Oz và mặt phẳng (ABC) có phơng trình: 6x + 3y + 2z - 6 = 0 a Tính thể tích khối tứ diện OABC b Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC x = 3t ' x = 1 98 Cho các đờng thẳng: (d1 ) : y = 4 + 2t và (d2): y = 3 + 2t ' (t, t' R) z = 2 z = 3 + t a Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau b Viết phơng trình... M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt A C1 tại N Tính độ dài MN Cho 3 điểm A(4,0,3), B(-1,-1, 3), C(3, 2,6), mặt phẳng (P): 2x + 3y - 3 z + 1 = 0 và đờng thẳng x 3 y z +5 = = d: 2 9 1 a Viết phơng trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) b Viết phơng trình mp(Q) chứa đờng thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn có bán kính lớn nhất x = 1 t Cho điểm I(1,1,1) và. .. 2y 9 = 0 và hai đờng thẳng: (d1): (d2): x +1 y z = = 1 2 1 x y +1 z 1 và = = 1 1 2 a Lập phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với hai đờng thẳng(d1) và (d2) b Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng d đi qua tâm mặt cầu (S) và cắt (d1) và (d2) 132 Cho cac im A(2,0,0); M(0,- 3,6) a Chng minh rng mt phng (P): x + 2y - 9 = 0 tip xúc vi mt cu tâm M, bán kính MO Tìm ta độ tip im... (P) và (Q) song song với nhau và lần lợt đi qua (D1) và (D2) b Viết phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả hai đờng thẳng (D1), (D2) 37 38 39 40 41 42 Cho im M(1,2,3) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua 3 im A, B, C vi A l hỡnh chiu vuụng gúc ca M lờn mt phng Oyz, B l hỡnh chiu vuụng gúc ca M lờn trc Ox, C l im i xng ca M qua gc ta O x 1 y + 2 z +1 = = Cho hai đờng thẳng d1: và d2:... SA, BM b Gi s mt phng (ABM ) ct SD ti im N Tớnh th tớch khi chúp S.ABMN Cho hai im A (4,0,0), B (0,4,0) v mt phng (P): 3x + 2y - z + 4 = 0 Gọi I là trung điểm AB a Tìm tọa độ giao điểm của AB với (P) b Xác định tọa độ điểm K, biết KI (P) và OK = d(K, (P)) x 3 y 1 z 5 = = Cho đờng thẳng d: , mặt phẳng (P): x + y - z - 1 = 0 v im A(2,1,-3) 2 1 2 a Viết ph.trình đờng thẳng đi qua A song song vi mt phng... (P): 2x + 2y + z - m2 - 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu (S): 2 2 2 ( x 1) + ( y + 1) + ( z 1) = 9 Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m tìm đợc, hãy xác định toạ độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) 2 2 2 130 Cho A(1, 1, 1), B(1, 2, 0) và mặt cầu (S): x + y + z - 6x - 4y - 4z + 13 = 0 Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng AB và tiếp xúc với (S) 129 18 GV: Trn in Hong... phng (Q) cha trc Oz v to vi mt phng (P) mt gúc 600 Cho đờng thẳng d : x 1 y 4 z +1 = = và mặt phẳng (P) : 2x 4y z + 4 = 0 Tìm tọa độ điểm M 2 1 1 trên đờng thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến O bằng khoảng cách từ M đến giao điểm A của d và (P) Viết phơng trình đờng thẳng nằm trong mặt phẳng (P), đi qua A và tạo với d một góc 600 A2006 Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú A(0,0,0) B(1,0,0), D(0,1,0), . 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 1 O y z x j k i CHỦ ĐỀ : TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN A. PHẦN LÍ THUYẾT : I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM 1. Hệ trục tọa độ Đêcac vuông. gọi là gốc tọa độ +. Không gian chứa hệ trục tọa độ như thế gọi là không gian tọa độ, kí hiệu là kg Oxyz +. Các mặt phẳng : Oxy, Oyz, Oxz gọi là các mặt phẳng tọa độ 2. Toạ độ của vectơ:. thì PVT [ ] AC,AB n = . B. BÀI TẬP : Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho điểm A(1,0,1) ; B(3,4,-1) và k2jOC += ; AD = (1,2,-4) a. Tìm tọa độ các điểm C và D b. Viết phương trình mặt