Bài giảng TOÁN KINH TẾ 1 (Tài liệu lưu hành nội bộ ) Biên soạn: Nguyễn Đình i-Phạm Gia Hưng-Thái Bảo Khánh Nha trang tháng 02/2014 1 CHƯƠNG I. ÔN TẬP VỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN HÀM MỘT BIẾN 1.1. Hàm một biếntập xác đònh  đồ thò Cho D  R. Một hàm số f xác đònh trên tập D là một qui tắc f cho ứng mỗi x  D với một y = f(x)  R. - Tập D gọi là tập xác đònh của hàm số f, - Tập f(D) ={ f(x) : x  D} gọi là tập giá trò của hàm số f. Ghi chú  Ta thường viết hàm số y = f(x) hay f(x) và x là biến độc lập hay đối số;  Nếu hàm số được cho bởi biểu thức giải tích y = f(x) mà không nói rõ miền xác đònh thì miền xác đònh là tập hợp mọi số thực làm cho biểu thức f(x) có nghóa. Ví dụ Hàm số f(x) = ln( x 2 1) có xác đònh là D f = x | x 2  1 > 0  = (∞ , 1)  ( 1, +∞) .  Cho hàm số f(x) xác đònh trên D. Khi đó tập G f = M(x, f(x)) | xD  gọi là đồ thò hàm số f(x) Nói chung đồ thò hàm f(x) là một đường cong trong mặt phẳng Oxy do điểm M(x, f(x)) vạch nên khi x chạy trên D. Ví dụ. Hàm y = x 2 có đồ thò là đường parabol Hàm y = x 2 , x  [ 0, 2 ] có đồ thò là một cung parabol 2 y y y=x 2 y=x 2 , 4 x 0 0 2 1.2. Hàm sơ cấp. Các hàm sơ cấp cơ bản. 1) Hàm lũy thừa : y = x  ,   R. Miền xác đònh phụ thuộc vào . Ví dụ. Hàm y = x n (n nguyên dương) xác đònh vớimọi x R. Hàm y = x  n = 1/ x n xác đònh với mọi x  0. Hàm y = 1/2 x x  xác đònh với mọi x  0. 2) Hàm mũ : y = a x , a > 0 và a  1. y D f = R và tập giá trò là R + = (0, +). y=log b x y y=b x y=a x y=lo 1 x 1 0 x ( 0< b < 1 < a) ( 0< b < 1 < a)  a x .a y = a x+y ; a x / a y = a x y 3) Hàm logarit: y=log a x, a>0 và a  1, là hàm ngược của hàm mũ a x . D f = R + và tập giá trò là R. 3 y x - 1 0  y  /2 -  /2 x - 1 1 x y=  /2 y= -  /2 Đồ thò y = arctgx y log a (x.y) = log a x + log a y ; log a (x / y) = log a x  log a y 4) Nhóm hàm lượng giác :sinx, cosx, tgx, cotgx + Các hàm y = sinx và y = cosx có D f = R và miền giá trò là [-1, 1]. + Hàm y = tgx có D f = R \        Zkk : 2   . +Hàm y = cotgx có D f = R \   Zkk  :  . 5)Nhóm hàm lượng giác ngược : arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx + Hàm arcsinx là hàm ngược hàm sinx y = arcsin x  x = sin y , y  [ - /2 ,  /2 ]. Đồ thò hàm y=arcsinx + Hàm arccosx là hàm ngược hàm cosx y = arccos x  x = cos y , y  [ 0 ,  ]. Đồ thò hàm y=arccosx +Hàm arctgx là hàm ngược hàm tgx y = arctg x  x = tg y , y  ( -  /2 ,  /2 ). lim / 2 lim / 2 x x arctgx arctgx        4 y x y=  Đồ thò y =arccotgx +Hàm arccotgx là hàm ngược hàm cotgx y = arccotg x  x = cotg y , y  ( 0 ,  ). lim 0 lim x x arccotgx arccotgx      6) Hàm hằng y = C Hàm sơ cấp. Hàm sơ cấp là hàm xác đònh bởi một công thức duy nhất gồm hữu hạn các phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia hay phép hợp các hàm sơ cấp cơ bản. Ví dụ Các hàm y = x 2  3 x + 5; y = x x x ln 2  là hàm sơ cấp. Hàm y =          x 1 x nếu x 0, e nếu x 0. không phải là hàm sơ cấp. 1.3.Các hàm trong phân tích kinh tế 1. Hàm sản xuất Q = Q( L) (Quantity: số lượng; Labor : lao động )Với Q là lượng sản phẩm, L là lao động. 2.Hàm doanh thu R = R(Q) (Revenue : doanh thu) 3.Hàm chi phí C = C(Q) (Costs : chi phí ) 4.Hàm lợi nhuận  = (Q).( Profit : lợi nhuận) Ta có  = R(Q)  C(Q) 5.Hàm cung Q s = S(P) (supply:cung cấp; price : giá 5 Ta biết giá P tăng thì lượng hàng sản xuất tăng (lượng cung tăng) Hàm Q s = S(P) là hàm tăng  có hàm ngược P = S 1 (Q s ). 6.Hàm cầu Q d = D(P). (demand : nhu cầu) Ta biết giá p tăng thì nhu cầu sản phẩm giảm ( lượng cầu giảm) Hàm Q d = D(P) là hàm giảm  có hàm ngược P = D 1 (Q d ). II.DÃY SỐ  MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LÃI SUẤT.  Dãy số x 0 , x 1 , x 2 , …, x n , … được ký hiệu x n . lim n n x a   nếu trò x n gần a đến mức bao nhiêu cũng được,  n đủ lớn. Vài giới hạn quan trọng.   1 2 ) 1 lim 0 1 1 ) 1 lim 1 lim 1 1 1 1 1 1 ) lim 1 lim 1 , 2,71828 1! 2! ! n n n n n n n n n i q q q ii q q q q q q iii e e n n                                          Dãy cấp số cộngcông thức lãi đơn. + Dãy số x n  gọi là dãy cấp số cộng với công sai d nếu x n = x n1 + d,  n Hay x n = x 0 + n.d,  n NX:     1 2 2 2 n o n o n o n n S x x x x x x nd         6 + Giả sử ta cho vay khoản vốn v o với lãi suất mỗi kỳ là r trong vòng n kỳ và cuối mỗi ky,ø lãi được rút ra chỉ để lại vốn v o cho kỳ kề sau. Cách tính lãi như vậy gọi là cách tính lãi đơn. Sau n kỳ của lãi đơn, lợi tức là n(v o .r). Ta có Tổng giá trò đạt được là   . n o o v v n v r   Với cách tính lãi đơn,vốn ban đầu v o , lãi suất r, số kỳ tính lãi n. Dãy tổng giá trị v n  là dãy cấp số cộng với công sai d = v o .r Ví dụ. Cho vay một lượng vốn là 10 triệu đồng với lãi suất là r = 1% trên tháng. Sau một năm 8 tháng ( 20 kỳ), tổng giá trò là bao nhiêu? 20 20.( . ) 10 20 (10 0,01) o o v v v r      = 12 (triệu đồng)  Dãy cấp số nhân  Lãi gộp  Lãi gộp liên tục. + Dãy số  x n  gọi là dãy cấp số nhân với công bội q nếu x n = x n1  q ,  n Hay x n = x o .q n ,  n NX. 1 1 1 . 1 n n o n o q S x x x x q         + Giả sử ta cho vay khoản vốn v o với lãi suất mỗi kỳ là r trong vòng n kỳ và cuối mỗi kỳ lãi được gộp vào vốn để tính lãi cho kỳ sau. Cách tính lãi như vậy gọi là cách tính lãi gộp. Sau n kỳ của lãi gộp, vốn ban đầu v o , lãi suất r, ta có 7 Tổng giá trò đạt được là   1 n n o v v r   Dãy tổng giá trò v n  là dãy cấp số nhân với công bội q= (1+r) Ví dụ 1. Đầu tư 10 triệu với lãi suất gộp 12%/ năm tính theo q tức là 4%/ q. Sau 1 năm 8 tháng ( 6 kỳ), tổng giá trò là bao nhiêu? v 6 = v o (1+r) 6 = 10(1+0,04) 6 =12,653 (triệu đồng). Ví dụ 2. Gửi tiết kiệm 50 triệu sau 2 năm thu được khoảng 63,12 triệu với lãi suất gộp đònh kỳ nữa năm là r. Tìm r. Ta có số kỳ tính lãi n = 4. Và   1 n n o v v r    63,12 = 50(1+r) 4  4 63,12 1 50 r    0,06 KL: Lãi suất gộp là 6% tính theo đònh kỳ nữa năm. Ví dụ 3. Với lãi gộp 1% đònh kỳ tháng, cho vay 50 triệu đồng. Tìm thời gian cho vay để được tổng giá trò khoảng 75 triệu đồng. Ta có   1 n n o v v r    75 = 50(1+0,01) n  lg75 = lg50+ nlg(1+0,01)  n = 75 lg 50 lg(1 0,01)   40,75 KL: Thời gian cho vay khoảng 41 tháng (tức 3 năm 5 tháng). Ví dụ 4. Muốn nhận được tổng giá trò là 100 triệu sau 5 năm với lãi gộp 4% đònh kỳ q 3 tháng thì bây giờ phải gửi một khoản tiền tiết kiệm là bao nhiêu? 8 Số kỳ tính lãi n = 20. Ta có   1 n n o v v r    100 = v o (1+0,04) 20  v o =   20 100 1 0,04   45,64 (triệu) + Bài toán lãi gộp liên tục. Giả sử cho vay khoản vốn là v o trong t năm với lãi suất r / năm theo đònh kỳ là 1 n năm (1 năm tính lãi n kỳ).  lãi suất mỗi kỳ là r n và số kỳ tính lãi sau t năm là nt (kỳ). Theo công thức lãi gộp, ta có tổng giá trò sau t năm là . 1 nt n o r v v n         Đây là tổng giá trò sau t năm đầu tư vốn gốc v o với lãi gộp r / năm (và đònh kỳ là 1 năm tính lãi n kỳ).  Nếu đònh kỳ năm thì   . 1 t n o v v r   (1 năm tính lãi 1 kỳ)  Nếu đònh kỳ nữa năm thì v n = 2 . 1 2 t n o r v v         (1 năm tính lãi 2 kỳ).  Nếu đònh kỳ q thì v n = 4 . 1 4 t n o r v v         (1 năm tính lãi 4 kỳ).  Nếu đònh kỳ tháng thì v n = 12 . 1 12 t n o r v v         (1 năm tính 12 kỳ) 9  Nếu đònh kỳ ngày thì v n = 365 . 1 365 t n o r v v         (1 năm tính lãi 365 kỳ; ở đây xét năm có 365 ngày) Khi số kỳ tính lãi trong năm n   , cách tính lãi gộp này gọi là cách tính lãi gộp liên tục. Khi đó ( ) lim 1 . lim 1 . rt n nt r rt o o o t t r r v t v v v e n n                              KL: Cho vay khoản vốn v o trong t năm với lãi suất gộp liên tục r/năm. Khi đó tổng giá trò sau t năm là ( ) . rt o v t v e  Từ đó suy ra các công thức tính trong tài chính  Giá trò vốn ban đầu là ( ). rt o v v t e    Lãi thực khi đầu tư t năm:   ( ) 1 rt o o v t v v e     Độ lệch ( lãi thực sau 1 năm khi đầu tư ban đầu v o = 1)   1 r e     Lãi suất  = ln(1+ ) Ví dụ. Muốn nhận được 100 triệu sau 20 năm đầu tư với lãi gộp liên tục là 10% / năm thì đầu tư ban đầu là bao nhiêu? Ta có ( ) . rt o v t v e  , thay số liệu vào, ta có 100 = v o .e 0,120  v o = 100e 2  13,534 (triệu). 10 III.GIỚI HẠN HÀM SỐ. 1.Ý nghóa + Lxf o xx   )(lim ( có thể viết: f(x)  L khi x  x o )  giá trò f(x) gần L đến mức bao nhiêu cũng được với mọi x đủ gần x o và x ≠ x o . + lim ( ) o x x f x L    ( có thể viết: f(x)  L khi x  o x  )  giá trò f(x) gần L đến mức bao nhiêu cũng được với mọi x đủ gần x o và x < x o . + lim ( ) o x x f x   = L ( có thể viết: f(x)  L khi x  o x  )  giá trò f(x) gần L đến mức bao nhiêu cũng được với mọi x đủ gần x o và x > x o . Nhận xét . 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x L f x L f x L               . Ví dụ. Cho hàm phần nguyên y = [x] ( = số nguyên lớn nhất ≤ x ). Tìm giới hạn trái và phải tại các điểm x = n, với n  Z. 0 0 lim [ ] lim ; lim [ ] lim ( 1) 1 x n x n x x x n n x n n               . Do đó không tồn tại giới hạn của hàm [ x ] tại mỗi điểm x = n 2. Giới hạn của các hàm sơ cấp Nếu f(x) là hàm sơ cấp và xác đònh được ở lân cận của x 0 thì ).()(lim 0 0 xfxf xx   11 Ví dụ. 2 5 3 7 lim 6 8 x x x     (hàm dưới dấu lim là hàm sơ cấp xác đònh được ở lân cận 2). Nhận xét. Tồn tại hàm sơ cấp f(x) không có giới hạn tại điểm mà f(x) xác đònh được. Chẳng hạn hàm sơ cấp f(x) = x x   có tập xác đònh là D f = {0} không có gới hạn tại x = 0. 3. Các giới hạn cơ bản 1) 1 sin lim 0   x x x (dạng vô đònh 0 0 ) 2) e x x x          1 1lim (dạng vô đònh 1  ) (e là số vô tỷ và giá trò gần đúng là e = 2,7182878) Suy ra các công thức hệ quả : a) 1 0 lim(1 ) u u u e    b) 0 1 lim 1 u u e u    c) 0 ln(1 ) lim 1 u u u    . Ngoài ra dựa vào đồ thò, ta thấy một số giới hạn. 0 3) lim ; lim 0 4) lim ln ; lim ln 5) lim / 2; lim / 2 x x x x x x x x e e x x arctgx arctgx                    12 Ví dụ. a) 0 lim (ln ) /2 x arctg x      . b) lim (ln ) / 2 x arctg x    c) eexx x x x x x x            2 1 2 sin sin 1 0 2 1 0 )sin1(lim)sin1(lim . 4. Vô cùng bé (VCB) tương đương.  Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé khi x a nếu. f(x)  0 khi x  a. Ví dụ. Khi x  0, ta có sinx , ln( 1+x), e x 1 , 1 cosx cùng  0. Do đó các hàm số x, sinx, ln(1+x), (e x 1) , (1cosx) là các VCB.  Cho (x) và (x) là các VCB trong cùng quá trình x  a. Nếu ( ) lim 1 ( ) x a x x     thì nói (x) và (x) là các vô cùng bé tương đương khi x  a. (Ta viết VCB (x) ~ (x) khi x  a) Ví dụ. Có thể dùng đònh nghóa để chứng minh: + Khi u  0, các VCB sau là tương đương: VCB     ~ sin ~ ln 1 ~ 1 u u u u e   + Khi u  0, VCB   2 1 cos 2 u u  13 Nhận xét. + Chẳng hạn, khi u đủ gần 0, các giá trò của     , sin , ln 1 , 1 u u u u e   rất gần 0 và chúng coi như bằng nhau. Tương tự với   2 1 cos va 2 u u . + Khi giới hạn có dạng vô đònh 0 0       , có thể thay tử và mẫu bởi các VCB tương đương. Ví dụ a) 0 0 1 0 sin5( 1) 5( 1) 5 lim lim sin 2( 1) 2( 1) 2 x x x x x x               . b) 2 0 2( 3) 2 0 2 2 3 0 1 2( 3) lim lim 2. ln(1 ( 3) ) ( 3) x x x e x x x                 IV.HÀM LIÊN TỤC  Hàm f(x) gọi là liên tục tại x 0 nếu 0 lim ( ) ( ) o x x f x f x   Hàm f(x) gọi là liên tục phải tại x 0 nếu lim ( ) ( ) o o x x f x f x    Hàm f(x) gọi là liên tục trái tại x 0 nếu lim ( ) ( ) o o x x f x f x    f(x) liên tục tại x o  f(x) liên tục phải và liên tục trái tại x o . 14 Ví dụ. Khảo sát sự liên tục tại x = 1 của hàm số a) 2 x 1 khi x 1 f(x) x 1 2 khi x 1              . b) 2 (x 1) 1 cos(x 1) , khi x > 1 g(x) e 1 x / 2 ,khi x 1               Giải. a) Ta có 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x 1) lim f(x) lim lim lim(x 1) 2 f( 1) x 1 x 1                  . Vậy f(x) liên tục tại x = 1. b) +   2 0/0 2 2 (x 1) 1x 1 0 x 1 x 1 1 cos(x 1) (x 1) / 2 1 lim g(x) lim lim 2 (x 1) e              g(x) liên tục phải tại x= 1. + x 1 0 x 1 0 x 1 lim g(x) lim 2 2         g(x) liên tục trái tại x = 1. KL: g(x) liên tục tại x = 1   Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)  f(x) liên tục tại mỗi x o  (a,b). Hàm số f(x) liên tục trên [a,b]  f(x) liên tục trên (a, b) , f(x) liên tục phải tại a và liên tục trái tại b. Ý nghóa hình học. Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng I nào đó. Khi đó đồ thò hàm số y = f(x), với x  I là một đường liền nét. 15 y y y = f(x) y= g(x) a b x a c b x Đồ thị hàm f(x) liên tục trên [a, b],Hàm y= g(x) gián đoạn tại c.  Hàm sơ cấp liên tục trên khoảng mà hàm xác định. BÀI TẬP CHƯƠNG I 1.Tìm các giới hạn sau : a)   gxxx x cotcossin2lim 2     ; b) x x x    2 2 lim 2 ; 2.Tìm các giới hạn sau : a) x x xxx x 2 3 24 lim 2 23 0    ; b) 20 12 65 lim 2 2 2     x x xx x ; c) 5 2 1 lim 2    x xx x ; d) 3 3 2 1 3 lim    x x x ; e) x 0 x lim 1 cosx    ; f) 3 0 sin lim x xtgx x   . g) x x x         1 1lim ; h) 1 12 32 lim           x x x x ; 16 i) x ee xx x   0 lim ; k) xx ee xx x   sinsin lim 0    (  ). 3. Tìm A để f(x) liên tục trên R a) sin x khi x 1, f(x) x 1 A khi x 1.           b) f(x) = 2 3 2 , khi x 2 2 A , khi x = 2 x x x          d) 2 ( 5) 1 cos( 5) , khi x 5 ( ) 1 A , khi x = 5 x x f x e              e)   2 2 ( 2) 2 ln 1 2( 2) , khi x 2 ( ) 1 A 3A , khi x = 2 x x f x e               f) 2 2 ( 1) ( 1) cos( 1) cos5( 1) , x 1 ( ) A ,khi x = 1 x x x x khi f x e e                 4. Tìm tổng thu nhập sau khi đầu tư vốn ban đầu v o sau t năm với lãi suất gộp r / năm. a) v o = 1000, t= 3, r = 12% , với định kỳ năm. b) v o = 300, t= 6, r = 12%, với định kỳ nữa năm. c) v o = 500, t= 6 , r = 10%, với định kỳ q 4 tháng. d) v o = 500, t = 6, r = 9%, với định kỳ tháng. 17 e) v 0 = 500, t = 6, r = 8%,với định kỳ ngày (1 năm = 365 ngày). 5.Tìm lãi suất gộp r mỗi năm theo đònh kỳ năm biết rằng sau 3 năm vốn đầu tư tăng gấp đôi. 18 Chương II PHÉP TÍNH VI PHÂN I.ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 1 1.1.ĐẠO HÀM CẤP MỘT  Cho hàm số f(x) xác đònh được ở một khoảng mở nào đó chứa x o . Ta đònh nghóa đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x o là f ’(x o ) = x ) x ( f ) x x ( f lim oo 0x    (nếu tồn tại giới hạn VP hữu hạn). Ứng với gia biến x đủ bé, ta gọi f  f(x o +x)  f(x o ) là số gia hàm số f(x) tại x o . Có thể viết       o x 0 f f (x ) lim x = o o xx xx )x(f)x(f lim o    . Nhận xét Đạo hàm f’(x o ) là hệ số góc tiếp tuyến M o T với đường cong y=f(x) tại M o (x o , f(x o )). Phương trình tiếp tuyến M o T : y = f ’(x o )( x  x o ) + f(x o ) Ngoài ra f’(x o ) còn là tốc độ thay đổi của đại lượng y=f(x) theo biến x tại x = x o .  Tương tự như trên, ta có thể đònh nghóa Đạo hàm phải của f(x) tại x o là        o o o x x 0 o f(x) f(x ) f (x ) lim x x ( nếu tồn tại giới hạn phải) 19 Đạo hàm trái của f(x) tại điểm x o là o o o x x 0 o f(x) f(x ) f (x ) lim x x        ( nếu tồn tại giới hạn trái) Mệnh đề Cho hàm số f(x) xác đònh được trong một lân cận của x o . Khi đó (f(x) có đạo hàm tại x 0 ) khi và chỉ khi (f(x) có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại x o và cả hai đạo hàm phải và đạo hàm trái này bằng nhau). Lúc này f   (x o ) = f   (x o ) = f  (x o ). Ví dụ. Cho hàm f(x) x a g(x)   với g(x) là hàm số liên tục tại a. a)Tính )();( afaf    b)Tìm giá trò g(a) để f(x) có đạo hàm tại a. Giải. a) x a o x a o x a o x a g(x) f(x) f (a) f (a) lim lim lim g(x) x a (x a)                = = g(a) + x a o x a o x a o x a g(x) f(x) f (a) f (a) lim lim lim g(x) x a (x a)                 = = g(a) b) f(x) có đạo hàm tại a  f (a) f (a)       g(a) = g(a)  g(a) = 0  [...]... 3,33 3 Tại mức giá P = 3, khi giá tăng 1%, lượng cầu sẽ giảm 3,33% 5.4 LỰA CHỌN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ 1 (100%) = 10% 10 Nhiều bài toán kinh tế đưa đến bài toán tìm cực trò của một Độ thay đổi tương đối không phụ thuộc vào đơn vò tính và nó hàm y=f(x) nào đó cho ta thấy ngay mức độ thay đổi Thường ta giải các bài toán sau  Tìm giá P để sản lượng Q đạt tối đa ( cực đại) 36 37  Tìm giá P hoặc sản lượng... =10000 ( Chi phí lúc chưa xuất phát) Tìm hàm chi phí C   Q  1000  dQ  Do đó tpsr I2 hội tụ   < 1 Giải Ta có C(Q) = IV.ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TRONG KINH Q2  1000Q  C0 2 Thế Q = 0 Ta có C(0) = C0 = 10000 TẾ Nếu hàm y(x) trong kinh tế có giá trò cận biên My(x)  y’(x) thì y(x) là một nguyên hàm nào đó của My(x) Do đó y(x)   My(x).dx , với C nào đó cần xác đònh KL: Hàm chi phí là C(Q) =... TRONG PHÂN TÍCH tuyến của đường cong y = f(x), x (a, b) luôn ở phía trên của KINH TẾ.[1]tr.3538, [2],…) đường cong 5.1.Ý NGHĨA CHUNG CỦA ĐẠO HÀM Hàm số y = f(x) gọi là lõm trên (a, b) nếu mọi tiếp Giả sử hai đại lượng x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) tuyến của đường cong y = f(x), x (a, b) luôn ở phía dưới của Thực tế người ta thường quan tâm tới tốc độ biến thiên của y đường cong tại x=xo trong... y lim  lim  f (x o ) x 0 x x 0 x y Khi |x| khá nhỏ,  f ’(xo) hay y  f ’(xo).x = df(xo) x 5.2 GIÁ TRỊ CẬN BIÊN 2 + y  Lúc đó lượng thay đổi của y là y = f(xo+x)  f(xo) ; Trong kinh tế, đại lượng chỉ ra tốc độ thay đổi của hàm y theo y’’ = 0  x =  1 biến độc lập x trong khi x thay đổi một lượng rất nhỏ gọi là 1   lồi 0 1 + Đ.U lõm 32 0 ĐU +  lồi giá trò cận biên của y đối... dy  xy y    Hay d2f = f xx (dx)2  2f xy dx.dy  f yy (dy) 2 Q  P Q = P1 P1 = 20 Q  P Q = P2 2P2 = 40 Q  P Q = 0,8P3 = 8 P3 1 2 3.4 SỬ DỤNG ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG PHÂN TÍCH 3 KINH TẾ Cho đại lượng z  z(x1 , x2 , , x n ), với x1 ,x 2 , , x n là các KL: Tại mức giá (P1, P2 , P3 )= ( 20, 20, 10), biến độc lập +Tốc độ thay đổi (tức thời) của Q theo P1 là 20 đv / (đv giá),  Giả... 0,1], ta có Khai triễn Mac Laurin một số hàm sơ cấp + ex  1 x x2 xn ec     x n 1 ,  x  (, +) và c 1! 2! n! (n  1)! cos x  1  x2 , với sai số bé hơn 0,00001 2 III.ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN HỌC 3.1.QUI TẮC L’HOSPITAL (khử dạng vô đònh (0/0),( / ) nào đó giữa0 và x x3 x5 x 2 n1 sin x  x     (1) n  3! 5! (2 n  1)!  sin(c  (2n  1) ) 2 x 2n 1 (2n  1)! lim x 0   0 . giảm 3,33%. 5.4. LỰA CHỌN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ Nhiều bài toán kinh tế đưa đến bài toán tìm cực trò của một hàm y=f(x) nào đó. Thường ta giải các bài toán sau  Tìm giá P để sản lượng Q đạt. Bài giảng TOÁN KINH TẾ 1 (Tài liệu lưu hành nội bộ ) Biên soạn: Nguyễn Đình i-Phạm Gia Hưng-Thái Bảo. DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ.[1]tr.35  38, [2],…) 5.1.Ý NGHĨA CHUNG CỦA ĐẠO HÀM Giả sử hai đại lượng x và y có mối quan hệ hàm y = f(x). Thực tế người ta thường quan tâm tới tốc