Tài liệu hệ phương trình -thầy nguyễn sĩ tùng

69 628 1
  • Loading ...
1/69 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 09/02/2015, 21:41

TRAÀN SÓ TUØNG ›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2012 Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 1 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn axbyc abab axbyc 2222 111 1122 222 (0,0) ì += +¹+¹ í += î Giải và biện luận: – Tính các định thức: ab D ab 11 22 = , x cb D cb 11 22 = , y ac D ac 11 22 = . Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) xy xy 543 798 ì -= í -= î b) xy xy 211 548 ì += í -= î c) xy xy 31 625 ì -= í -= î d) ( ) ( ) xy xy 2121 22122 ì ï ++=- í = ï î e) xy xy 32 16 43 53 11 25 ì += ï í ï -= î f) xy y 31 5x23 ì ï -= í += ï î ĐS: Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) xy xy 18 18 54 51 ì -= ï ï í ï += ï î b) xy xy 65 3 910 1 ì += ï ï í ï -= ï î c) xy xy 101 1 12 253 2 12 ì += ï ï -+ í ï += ï-+ î d) xyxy xyxy 2732 7 23 4548 1 23 ì += ï ï -+ í ï -=- ï-+ î e) xyxy xyxy 62 3 22 34 1 22 ì += ï ï -+ í ï +=- -+ ï î f) xy xy 41 3 1 22 4 1 ì += ï ï - í ï -= - ï î ĐS: a) b) c) d) e) 387 ; 70140 æö - ç÷ èø f) Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) xy yx xy yx 632 5 11 424 2 11 ì - -= ï ï -+ í - ï -= -+ ï î b) xx yy xx yy 36 1 12 23 7 12 ì - -= ï ï +- í - ï += +- ï î c) xy xy xy xy 237 5 23 131 5 23 ì -+ += ï ï -+ í ++ ï += -+ ï î I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Xét D Kết quả D ¹ 0 Hệ có nghiệm duy nhất y x D D xy DD ; æö == ç÷ èø D x ¹ 0 hoặc D y ¹ 0 Hệ vô nghiệm D = 0 D x = D y = 0 Hệ có vô số nghiệm Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Trang 2 d) xy xy xy xy 11 3()26 11 3()24 ì æö ++-= ï ç÷ ï èø í æö ï -++= ç÷ ï èø î e) xy xy xy yx 3() 7 55 3 ì + =- ï ï - í - ï = - ï î f) ĐS: a) 1 0; 2 æö ç÷ èø b) 57 ; 84 æö ç÷ èø c) d) ( ) 2222 1;1,1;,;1,; 3333 æöæöæö ç÷ç÷ç÷ èøèøèø Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) xxy xxy 2 2 2213 214 ì ï + = í ++-= ï î b) xy xy 2 2 31 2715 ì ï += í -= ï î c) x y x y 2 2 5 2(4)2 2 44 ì -+= ï ï í ï -+= ï î ĐS: a) (1;2),(2;2) - b) ( ) 2;1 ±- c) Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: a) xy xy 10 21 ì -+= í -= î b) xy xy 121 13 ì -+-= í -+= î c) xy xy 22 231 ì += í -= î d) xy xy 26315 56411 ì -++= í += î e) xyxy xyxy 29 3217 ì + = í ++-= î f) xyxy xyxy 438 356 ì ++-= í + = î ĐS: Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) mxmym xmy (1)1 22 ì +-=+ í += î b) mxmy mxmy (2)5 (2)(1)2 ì +-= í +++= î c) mxym mxym (1)231 (2)1 ì -+=- í +-=- î Bài 7. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. a) mxym mxymm 22 (1)21 2 ì +-=- í -=+ î b) mxy xmym 1 4(1)4 ì -= í ++= î c) mxy xmym 33 210 ì +-= í +-+= î Bài 8. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m. a) mxym xmym 21 225 ì +=+ í +=+ î b) mxmy mxmy 6(2)3 (1)2 ì +-= í = î c) mxmym xmy (1)1 22 ì +-=+ í += î Bài 9. Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m. a) xy yxm 25 2105 ì += í -=+ î b) mxym xmym 3 21 ì += í +=+ î c) xym xym 24 233 ì -=- í +=+ î Bài 10. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) axyb xy 325 ì += í +=- î b) yaxb xy 234 ì -= í -= î c) axyab xya2 ì +=+ í += î Bài 11. Giải các hệ phương trình sau: a) xyz xyz xyz 31 225 230 ì +-= ï -+= í ï = î b) xyz xyz xyz 328 26 36 ì ++= ï ++= í ï ++= î c) xyz xyz xyz 327 2438 35 ì -+=- ï -++= í ï +-= î ĐS: Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 3 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai · Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. · Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn. · Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này. 2. Hệ đối xứng loại 1 Hệ có dạng: (I) fxy gxy (,)0 (,)0 ì = í = î (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)). (Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi). · Đặt S = x + y, P = xy. · Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P. · Giải hệ (II) ta tìm được S và P. · Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: XSXP 2 0 -+= . 3. Hệ đối xứng loại 2 Hệ có dạng: (I) fxy fyx (,)0(1) (,)0(2) ì = í = î (Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại). · Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I) Û fxyfyx fxy (,)(,)0(3) (,)0(1) ì -= í = î · Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) Û xygxy ().(,)0 -= Û xy gxy (,)0 é = ê = ë . · Như vậy: (I) Û fxy xy fxy gxy (,)0 (,)0 (,)0 é ì = í ê = î ê ì = ê í ê = î ë . · Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I). Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm xy 00 (;) thì yx 00 (;) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì xy 00 = . 4. Hệ đẳng cấp bậc hai Hệ có dạng: (I) axbxycyd axbxycyd 22 1111 22 2222 ì ++= ï í ++= ï î . · Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0). · Khi x ¹ 0, đặt ykx = . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Trang 4 VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) xy xy 22 48 24 ì += í += î b) xxy xy 2 24 231 ì -= í -= î c) xy xy 2 ()49 3484 ì -= í += î d) xxyyxy xy 22 26 23 ì ++ = í -= î e) xy xyxy 3410 3()9 ì -+= í =+- î f) xy xyxy 232 60 ì += í +++= î g) yxx xy 2 4 250 ì += í +-= î h) xy xyy 22 235 324 ì += í -+= î i) xy xxyy 22 25 7 ì -= í ++= î ĐS: Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) xy yxxy 22 270 2240 ì = í -+++= î b) xy xxyxy 2 496 3630 ì += í +-+= î c) xxy xxy 2 2 210 122100 ì ï +++= í +++= ï î d) xyxy xyyx 2 (21)(22)0 310 ì ++++= í +++= î e) xyxy xy (232)(53)0 31 ì + = í -= î f) xy xy 22 115 2312 ì += í += î ĐS: Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyyyy xy 22 237121 10 ì -+=+- í -+= î b) xyxy xy 22 620 80 ì +++= í ++= î c) xyxyxy xy 22 94642401350 3290 ì +++-+= í -+= î d) xxyx xy 2 10 25 ì ++= í -=- î d) xyxyxy xy 22 79125350 231 ì +-+++= í -= î e) xxyyxy xy 22 32360 23 ì -+++-= í -= î ĐS: Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) xyxy xy xy 3 2 12 4 ì +- -= ï í - ï -= î b) xy xy 22 111 323 111 4 94 ì -= ï ï í ï -= ï î c) xy xy 22 111 13 111 4 (1) ì += ï + ï í ï -= ï + î d) xyxy xy 22 ()4()1170 25 ì +++-= í -= î e) xy xy 33 1 7 ì -= í -= î f) xyxy xy 22 ()()45 5 ì = í += î ĐS: Bài 5. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) xy xym 22 6 ì += í += î b) xym xyx 22 22 ì += í -+= î c) xy xym 22 321 ì -= í += î ĐS: Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 5 VẤN ĐỀ 2: Hệ đối xứng loại 1 Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyy xyxyxy 22 11 2()3 ì ++= í + +=- î b) xy xxyy 22 4 13 ì += í ++= î c) xyxy xyxy 22 5 8 ì ++= í +++= î d) xy yx xy 13 6 6 ì += ï í ï += î e) xxyy xyxy 3333 17 5 ì ++= í ++= î f) xxyy xxyy 4224 22 481 37 ì ï ++= í ++= ï î ĐS: a) (2;3),(3;2) b) (1;3),(3;1) c) (1;2),(2;1) d) 128812 ;,; 5555 æöæö ç÷ç÷ èøèø e) (1;2),(2;1) f) (4;3),(3;4),(4;3),(3;4) Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyy xyyx 22 1 6 ì ++=- í +=- î b) xy xxyy 22 4224 5 13 ì ï += í -+= ï î c) xyyx xy 22 33 30 35 ì ï += í += ï î d) xy xyxy 33 5522 1 ì ï += í +=+ ï î e) xyxy xyxy 22 4422 7 21 ì ï ++= í ++= ï î f) xyxy xyxy 22 11 3()28 ì ++= í +++= î ĐS: a) b) c) (2;3),(3;2) d) e) f) Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyy xxyy 22 4 2 ì ++= í ++= î b) xxyy xyxy 22 5 13 ì +-= í ++= î c) xxyy xxyy 22 19 7 ì -+= í ++=- î d) xyxy xyxy 22 11 3()28 ì ++= í +++= î e) xxyy xxyy 22 3 223 ì ++= í ++=- î f) xyxy xyxy 22 5 7 ì ++= í ++= î ĐS: a) (1;1) b) c) d) e) f) (1;2),(2;1) Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyy xxyy 22 4224 7 21 ì ï ++= í ++= ï î b) xy xxyy 22 4224 5 13 ì ï += í -+= ï î c) xy xyxy 44 22 17 3 ì ï += í ++= ï î d) xy xyxy 33 7 ()2 ì += í +=- î e) xy xyxy 33 19 ()(8)2 ì += í ++= î f) xy xyxy 55 9944 1 ì ï += í +=+ ï î ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 5. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyy xxyy 22 18 (1).(1)72 ì +++= í ++= î b) xxxy xxy 2 (2)(2)9 46 ì ++= í ++= î c) xy xy 22 1 1 2 ì += ï í += ï î d) x xy y xyx y 3 () 2 ì -+= ï ï í - ï = ï î e) x xy y xyx y 9 () 20 ì ++= ï ï í + ï = ï î f) xyxy xy xy 11 66 11 ì ++= ï í ++= ï î ĐS: a) (3;3),(3;3),(2;3),(3,2),(4;3),(3;4),(2;4 ),(4;2) b) c) d) e) f) (2;3),(3;2) Bài 6. Giải các hệ phương trình sau: Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Trang 6 a) xy xy xy xy 22 22 1 ()15 1 ()149 ì æö ++= ï ç÷ ï èø í æö ï ++= ç÷ ï èø î b) ( ) yxxy xy xy 22 22 22 (1)2(1) 1 124 ì +=+ ï æö í ++= ç÷ ï ç÷ èø î c) xy xy xy xy 22 22 11 4 11 4 ì +++= ï ï í ï +++= ï î d) xy xy xy xy 22 2 3 11 1 ()(1)6 ì += ï ï ++ í ï ++= ï î e) xyyxyxxy yx xy xyxy 22 226 1 4 ì +++= ï í +++= ï î f) xy xy xy xy 1 4 1 ()15 ì += ï ï í æö ï ++= ç÷ ï èø î ĐS: a) 735735 ;1,1; 22 æöæö ±± ç÷ç÷ èøèø b) c) (1;1) d) e) f) Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) xyxy xyxy 22 2244 3()5 7()155 ì ï -+= í -+= ï î b) xyyx xxyy 30 35 ì ï += í += ï î c) xy xyxy 4 4 ì ï+= í +-= ï î d) xy xy xy xy 22 22 11 ()5 11 ()49 ì æö ++= ï ç÷ ï èø í æö ï ++= ç÷ ï èø î e) xy yx xy xxyyxy 7 1 78 ì +=+ ï í ï += î f) xy xyyxxy 113 11116 ì ï+++= í +++++++= ï î ĐS: a) b) (4;9),(9;4) c) d) e) f) Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) xyxym xym 22 32 ì ++= í +=- î b) xym xyxymm 222 1 23 ì +=+ í += î c) xym xyxym (1)(1)5 ()4 ì ++=+ í += î Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 7 VẤN ĐỀ 3: Hệ đối xứng loại 2 Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) xxy yyx 2 2 32 32 ì ï =+ í =+ ï î b) xyxy yxyx 22 22 22 22 ì ï -=+ í -=+ ï î c) xyy yxx 22 22 254 254 ì ï -=+ í -=+ ï î d) xyxy xyyx 2 2 8(1) 8(1) ì ï +=- í +=- ï î e) xxy yyx 3 3 38 38 ì ï =+ í =+ ï î f) xxy yyx 3 3 2 2 ì ï =+ í =+ ï î ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) xxy yyx 22 22 232 232 ì ï -=- í -=- ï î b) xxy yyx 2 2 24 24 ì ï =++ í =++ ï î c) xyy yxx 2 2 245 245 ì ï =-+ í =-+ ï î d) xyxy xyyx 2 2 1 1 ì ï +=- í +=- ï î e) xxy yyx 3 3 2 2 ì ï += í += ï î f) xxy yyx 3 3 3 4 2 3 4 2 ì +=+ ï í ï +=+ î ĐS: a) b) c) d) e) (0;0) f) Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) y xy x x yx y 34 34 ì -= ï ï í ï -= ï î b) xy x yx y 2 2 3 2 3 2 ì += ï ï í ï += ï î c) x x y y y x 2 2 2 2 2 3 2 3 ì + = ï ï í + ï = ï î d) xy y yx x 2 2 1 2 1 2 ì =+ ï ï í ï =+ ï î e) x yx y xy 13 2 13 2 ì += ï ï í ï += ï î f) ĐS: a) b) c) (1;1) d) e) Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) xy yx 2344 2344 ì ï ++-= í ++-= ï î b) xy yx 174 174 ì ï ++-= í ++-= ï î c) xy xy 22 22 ì ï+-= í -+= ï î d) xy yx 623 623 ì ï+-= í +-= ï î e) xy xy 527 257 ì ï ++-= í -++= ï î f) 22 22 912 912 ì +=-+ ï í +=-+ ï î xyy yxx ĐS: a) 1111 (3;3),; 99 æö ç÷ èø b) (8;8) c) d) e) f) (3;3) Bài 5. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) xxmy yymx 2 2 3 3 ì ï =+ í =+ ï î b) xymm yxmm 22 22 (34)(34) (34)(34) ì ï -=- í -=- ï î c) xyxmy xyymx 2 2 (1) (1) ì ï +=- í +=- ï î Bài 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Trang 8 a) xymy xymx 22 22 ì ï += í += ï î b) xyxmy xyymx 2 2 (1) (1) ì ï +=- í +=- ï î c) m xy y m yx x 2 2 2 2 2 2 ì =+ ï ï í ï =+ ï î VẤN ĐỀ 4: Hệ đẳng cấp bậc hai Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyy xxyy 22 22 31 3313 ì ï -+=- í -+= ï î b) xxyy xxyy 22 22 241 3227 ì ï -+=- í ++= ï î c) yxy xxyy 2 22 34 41 ì ï -= í -+= ï î d) xxyy xxyy 22 22 35438 59315 ì ï +-= í = ï î e) xxyy xxyy 22 22 239 455 ì ï -+= í -+= ï î f) xxyy xxyy 22 22 3840 5760 ì ï -+= í = ï î ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: a) xxyy xxyy 22 22 3211 2317 ì ï ++= í ++= ï î b) xxyy xxyy 22 22 35537 59315 ì ï +-= í = ï î c) xxyy xxyy 22 22 421 24 ì ï -+= í -+= ï î d) xxyy xxyy 22 22 31 228 ì ï -+=- í ++= ï î e) xxyy xxyy 22 22 232 24 ì ï +-=- í -+= ï î f) xxyy yxyx 22 22 3543 911813 ì ï =- í +-= ï î ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: a) xy xyxy 33 7 ()2 ì -= í -= î b) yx xyxy 33 22 7 2316 ì ï -= í += ï î c) xy xyxyy 33 223 1 22 ì ï += í ++= ï î d) xxyy xxyy 323 323 1 22 ì ï -+= í -+= ï î e) xxyxyy yxyxy 3223 322 36 322 ì ï +++= í +-= ï î f) xyxy xyxy 22 22 ()()13 ()()25 ì ï -+= í +-= ï î ĐS: a) b) c) d) e) f) Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) xmxyym xmxymym 22 22 (1) ì ï ++= í +-+= ï î b) xyy xxym 2 2 12 26 ì ï -= í -=+ ï î c) xxyym yxy 22 2 4 34 ì ï -+= í -= ï î Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n Trang 9 Vn 1: Phng phỏp th T phng trỡnh n gin nht ca h hoc t phng trỡnh tớch tỡm cỏch rỳt mt n theo n kia, ri th vo phng trỡnh cũn li. Gii phng trỡnh ny. S nghim ca h tu thuc s nghim ca phng trỡnh ny. Mt s dng thng gp: ã Dng 1: Trong h cú mt phng trỡnh bc nht vi n x (hoc y). ã Dng 2: Trong h cú mt phng trỡnh cú th a v dng tớch ca cỏc biu thc bc nht hai n. ã Dng 3: Trong h cú mt phng trỡnh cú th a v dng phng trỡnh bc hai ca mt n vi n cũn li l tham s. Chỳ ý: ụi khi cú th ta phi kt hp bin i c 2 phng trỡnh ca h a v mt trong cỏc dng trờn. Bi 1. Gii h phng trỡnh sau: ỡ ù ++= ớ +++= ù ợ xxy xxyxyx 2 322 59 32618 ã HPT yxx xxxx+ 2 432 95 4518180 ỡ ù = ớ + = ù ợ yxx x x x 2 95 1 3 17 ỡ = ù ù ộ = ớ ờ =- ù ờ ù =- ở ợ xy xy xy xy 1;3 3;15 17;637 17;637 ộ == ờ =-= ờ = =+ ờ ờ =-+=- ở Bi tng t: a) xyxyxy yxx 22 2 2349 7629 ỡ ù +=+ ớ +=+ ù ợ . Nghim 16119333 2;,;,;3 7274 ổử ổửổử - ỗữ ỗữỗữ ốứ ốứốứ . Bi 2. Gii h phng trỡnh sau: xyxy xxy 22 3 1 2 ỡ ù +-= ớ =+ ù ợ ã HPT xxx yxx 642 3 46310 2 ỡ ù -+-= ớ =- ù ợ x y 1 1 ỡ = ớ = ợ . Nghim: (1;1),(1;1) . Bi 3. Gii h phng trỡnh sau: xxyxyx xxyx 4322 2 229(1) 266(2) ỡ ù ++=+ ớ +=+ ù ợ ã T (2), rỳt xx xy 2 66 2 +- = . Thay vo (1) ta c: xx 3 (4)0 += x x 0 4 ộ = ờ =- ở Nghim: 17 4; 4 ổử - ỗữ ốứ . III. H PHNG TRèNH DNG KHC . Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn Trang 3 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai · Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia. · Thế vào phương trình. ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y). II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng Trang. trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương
- Xem thêm -

Xem thêm: Tài liệu hệ phương trình -thầy nguyễn sĩ tùng, Tài liệu hệ phương trình -thầy nguyễn sĩ tùng, Tài liệu hệ phương trình -thầy nguyễn sĩ tùng

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay