Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm - - Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Đề + ĐáP áN thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Môn: Toán Thời gian: 150 phút Năm học: 2010 - 2011 Câu 1: (5 điểm) 1. Cho: A = 3 3 2 2 1 1 a b a b ab : a b a b + a, Tìm điều kiện của a, b để biểu thức có nghĩa b, Rút gọn A 2, Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mn: x + y + z 6 chứng minh rằng: M = { } (x y)(y z)(z x) 2xyz 6 + + + Câu 2. (3 điểm) 1. So sánh: 2 3 2 3 2 3 2 3 + + + và 3 3 2. Tính tổng: S = 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100 + + + + + + Câu 3. (4 điểm) Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau đây: a, 3 + 2x 3 = x b, x 1 3 y 2 2 2 x 1 5 y 2 15 + = + + = Câu 4: (4 điểm) Tính diện tích tam giác vuông có chu vi là 72cm, hiệu giữa đờng trung tuyến và đờng cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm Câu 5: (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đờng tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đờng tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đờng kính AOC. Tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại C cắt AB tại E. Chứng minh rằng: KBC đồng dạng với OBE Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm - - Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1: 1. Cho: A = 3 3 2 2 1 1 a b a b ab : a b a b a, ĐKXĐ: a > 0, b > 0, a b b, Rút gọn: A = ( ) ( ) 3 3 2 2 a b 1 1 1 1 ab : : a b a b a b = 2 2 2 2 ( a b)(a ab b) b a b a ab : : a .b ab ( a b) + + = ( ) 2 2 (b a)(b a) ab a ab b ab : . a .b b a + + + = ( ) (b a) a b : ab a.b + + = . Vậy A = ab 2, Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mn: x + y + z 6 chứng minh rằng: M = { } (x y)(y z)(z x) 2xyz 6 + + + Ta có: x 3 - x = (x -1)x(x + 1) 6 (Vì tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6) x 3 + y 3 + z 3 - (x + y + z) = (x 3 - x) + (y 3 - y) + (z 3 - z) 6 (Vì mỗi biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho 6) x 3 + y 3 + z 3 - (x + y + z) 6. Mà (x + y + z) 6 x 3 + y 3 + z 3 6. Mặt khác: (x + y + z) 3 = (x + y) 3 + 3(x + y)z(x + y + x) + z 3 = x 3 + 3xy(x + y) + y 3 + 3(xz + yz)(x + y + z) + z 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y + z)(xy + yz + xz) - 3xyz Do (x + y + z) 6 và x 3 + y 3 + z 3 6 3xyz 6 Vậy M = (x + y)(y + z)(z + x) - 2xyz = {(x + y + z) - z}{y + z + x) - x}{(z + x + y) - y} - 2xyz (vì x + y + z 6) = (6k - z)(6k - x)( 6k - y) - 2xyz = 6N - xyz - 2xyz = 6N - 3xyz 6 (vì 6N 6 và 3xyz 6) (đpcm) Câu 2. 1 . So sánh: 2 3 2 3 2 3 2 3 + + + và 3 3 Đặt A = ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 + + = + + + + = 2 2 2 2 ( 3 1) ( 3 1) 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 ( 3 1) ( 3 1) + + = + + + + = 3 1 3 1 2 3 3 2 3 3 1 3 1 + = = + + . Vậy 2 3 2 3 2 3 2 3 + + + = 3 3 2. Tính tổng: S = 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100 + + + + + + Với mọi n N * ta có: 1 (n 1) n n n 1 (n 1) n n n 1 1 1 n(n 1) n(n 1) n(n 1) (n 1) n n n 1 n n 1 + + + + = = = + + + + + + + . Do đó Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm - - Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 + + + + = 1 - 1 9 10 10 = Câu 3. Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau đây: a, 3 + 2x 3 = x 2 x 3 0 2x 3 x 6x 9 = + 2 x 3 x 3 (x 2)(x 6) 0 x 8x 12 0 = + = x 3 x 2( ) x 6 = = Loại x = 6. Vậy phơng trình có một nghiệm x = 6 b, x 1 3 y 2 2 2 x 1 5 y 2 15 + = + + = (*) ĐKXĐ: x 1, y -2 Đặt U = x 1 0, V = y 2 + 0 Khi đó (*) U 3V 2 2U 6V 4 2U 5V 15 2U 5V 15 = = + = + = U 3V 2 U 5 11V 11 V 1 = = = = (T/m) Vậy (*) x 1 5 x 26 y 1 y 2 1 = = = + = . (T/m) Vậy hệ có một nghiệm duy nhất (26; -1) Câu 4: (4 điểm) Tính diện tích tam giác vuông có chu vi là 72cm, hiệu giữa đờng trung tuyến và đờng cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm (Tự viết GT/KL) Gọi AB = c, BC = a, CA = b, AH = h. (Với 0 < a, b, c, h < 72). Khi đó a 2 = b 2 + c 2 (Pitago) +) S = 2 2 2 1 1 1 bc (2bc) (b c a 2bc) 2 4 4 = = + + = 2 2 1 1 (b c) a (a b c)(b c a) 4 4 + = + + + = 1 1 (a b c)(a b c 2a) .72.(72 2a) 4 4 + + + + = (1) +) Mặt khác: AM = BC a 2 2 = S = 1 1 a ah a.( 7) 2 2 2 = (2) Từ (1) và (2) ta có phơng trình: 1 .72.(72 2a) 4 = 1 a a.( 7) 2 2 5184 - 144a = a 2 - 14a a 2 + 130a - 5184 = 0 (a - 32)(a + 162) = 0 a = 32 (T/m) hoặc a = -162 (loại) S = 1 .72.(72 2a) 4 = 18.(72 - 2.32) = 144 (cm 2 ) Vậy S ABC = 144 (cm 2 ) Câu 5: (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đờng tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đờng tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đờng kính AOC. Tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại C cắt AB tại E. CMR: KBC đồng dạng với OBE (HS Tự ghi GT/KL) C/m h c b a M H C B A Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm - - Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Chú ý: HS cha học các góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây đến thời điểm thi Ta có: 2 1 K K = (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) mà KO là trung trực của AB AHK = 90 0 1 1 K A = (Cùng phụ với AOK ) Lại có: 1 1 A C = (Cùng phụ với AOK ) Vậy: 2 1 K C = - Xét BKO và BCE có: KBO CBE = = 90 0 (gt) 2 1 K C = (C/m trên) BKO BCE BK BO BC BE = (1) Mặt khác: 0 OBE 90 OBC = + 0 KBC 90 OBE = + OBE = KBC (2) Từ (1) và (2) OBE KBC (c.g.c) (đpcm) 2 1 1 1 H E O C K B A . Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Đề + ĐáP áN thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Môn: Toán Thời gian: 150 phút Năm học: 2010 - 2011 Câu 1: (5 điểm) 1. Cho: A = 3. z)(z x) 2xyz 6 + + + Câu 2. (3 điểm) 1. So sánh: 2 3 2 3 2 3 2 3 + + + và 3 3 2. Tính tổng: S = 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100 + + + + + + Câu 3. (4 điểm) Giải các phơng. TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1: 1. Cho: A = 3 3 2 2 1 1 a b a b ab : a b a b