Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 PHẦN A ĐẠI SỐ _____________________________________________________________________ Chương I CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA 1/ Hằng đẳng thức đáng nhớ 1.1) ( ) 2 2 2 2A B A AB B + = + + 1.2) ( ) 2 2 2 2A B A AB B − = − + 1.3) ( ) ( ) 2 2 A B A B A B − = + − 1.4) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3A B A A B AB B A B AB A B + = + + + = + + + 1.5) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3A B A A B AB B A B AB A B − = − + − = − − − 1.6) ( ) ( ) 3 3 2 2 A B A B A AB B+ = + − + 1.7) ( ) ( ) 3 3 2 2 A B A B A AB B − = − + + Ngoài ra: . ( ) 2 2 2 2 2 2 2A B C A B C AB BC CA+ + = + + + + + . ( ) 2 2 2 2 2 2 2A B C A B C AB BC CA − − = + + − − − 2/ Một số hằng đẳng thức tổng quát 5.1) ( ) ( ) 1 2 2 1 n n n n n n A B A B A A B AB B − − − − − = − + + + + 5.2) Khai triển của dạng ( ) n A B + (gọi là Nhị thức Newton) Các hệ số của khai triển được sắp xếp theo bảng sau (gọi là tam giác Paxcan) n = 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 ………………………………………………………………………………. Chẳng hạn, với n = 4 thì ( ) 4 4 3 2 2 3 4 4 6 4A B A A B A B AB B+ = + + + + với n = 5 thì ( ) 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5A B A A B A B A B AB B + = + + + + + ( ) 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5A B A A B A B A B AB B− = − + − + − 3/ Căn thức bậc hai Cho A là một biểu thức đại số. Ta gọi A là căn thức bậc hai của A. . Biểu thức A có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi 0A ≥ . 1 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 . Biểu thức 1 A có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi 0A ≠ . . Biểu thức 1 A có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi 0A > . . Biểu thức 3 A có nghĩa (hay xác định) với mọi A. 4/ Các công thức biến đổi căn thức 3.1) 2 , 0 , 0 A A A A A A ≥  = =  − <  (Hằng đẳng thức) 3.2) AB A B= , với 0A ≥ và 0B ≥ 3.3) A A B B = , với 0A ≥ và 0B > 3.4) 2 A B A B= , với 0B ≥ 3.5) . 2 A B A B= , với 0A ≥ và 0B ≥ . 2 A B A B= − , với 0A < và 0B ≥ 3.6) 1A AB B B = , với 0AB ≥ và 0B ≠ 3.7) A A B B B = , với 0B > 3.8) ( ) 2 C A B C A B A B = − ± m , với 0A ≥ và 2 A B≠ 3.9) ( ) C A B C A B A B = − ± m , với 0A ≥ ; 0B ≥ và A B≠ 3.10) 3 3 A A= , với mọi A. 5/ Lưu ý: Một số công thức biến đổi thường dùng 4.1) ( ) 2 2 .a a a a a= = = , với 0a ≥ 4.2) 1 ; a a a a a a = = , với 0a > 4.3) ( ) 2 2 . ( , 0)a b a b a b a b ± = + ± ≥ 4.4) ( ) ( ) ( ) , 0a b a b a b a b− = − + ≥ 4.5) Với , 0a b ≥ thì: . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 a a b b a b a b a ab b ± = ± = ± + m 2 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 . ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 1a a a a a a ± = ± = ± + m 6/ Các công thức tổng quát biến đổi căn thức 6.1) ( ) n n A A= , với 0A ≥ . 6.2) 2 2 n n A A= ; 2 1 2 1 n n A A + + = , với mọi A. 7/ Bất đẳng thức chứa căn thức 7.1) Với hai biểu thức , 0A B ≥ , ta có: A B A B+ ≤ + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0 0 A B =   =  . 7.2) Với hai biểu thức 0A B ≥ ≥ , ta có: A B A B− ≥ − Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0 A B B =   =  . ___________________________ 3 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT 1/ Cho hàm số dạng: y ax b= + . là hàm số bậc nhất khi 0a ≠ . . là hàm số đồng biến trên R khi 0a > . . là hàm số nghịch biến trên R khi 0a < . 2/ Đồ thị hàm số bậc nhất y ax b= + là một đường thẳng ( ) d . Trong đó: . a là hệ số góc. . b là tung độ gốc. . ( ) d cắt trục hoành Ox tại điểm P ;0 b a −    ÷   và cắt trục tung Oy tại điểm ( ) Q 0;b . . ( ) d song song với đường thẳng ( ) 'd : y ax= nếu 0b ≠ ; trùng với ( ) 'd nếu 0b = (trong đó: ( ) 'd là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O). 3/ Cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất y ax b= + Bước 1: Lập bảng giá trị: x 0 b a − hoặc x * * y ax b= + b 0 y ax b= + ? ? Bước 2: Vẽ đường thẳng (một trong hai dạng sau) a > 0 a < 0 4/ Điểm ( ) 0 0 A ;x y ∈ ( ) d ⇔ tọa độ của điểm A thỏa mãn công thức của hàm số y ax b= + , nghĩa là : 0 0 y ax b= + . 5/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng ( ) ( ) : 0d y ax b a= + ≠ và ( ) ( ) ' : ' ' ' 0d y a x b a= + ≠  ( ) d cắt ( ) 'd ⇔ 'a a≠ 4 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9  ( ) d // ( ) 'd ⇔ 'a a = và 'b b ≠  ( ) d trùng ( ) 'd ⇔ 'a a = và 'b b =  ( ) d ⊥ ( ) 'd ⇔ . ' 1a a = − 6/ Hệ số góc a và góc α tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox. a > 0 a < 0 . Nếu 0a > thì α là góc nhọn ( 0 0 0 90 α < < ) và tan a α = . . Nếu 0a < thì α là góc tù ( 0 0 90 180 α < < ) và ( ) 0 tan 180 a α − = . Lưu ý: Cho hai đường thẳng (d): y ax b= + và (d’): ' 'y a x b= + . Khi đó : ' 'a a α α > ⇔ > , với ; ' α α lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng (d); (d’) và trục Ox. ________________________ Chương III 5 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ax by c+ = . Phương trình này có vô số nghiệm, tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax by c+ = . 2/ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ( ) ( ) I , , , ', ', ' 0 ' ' ' ax by c a b c a b c a x b y c + =  ≠  + =  Nếu cặp số ( ) 0 0 ;x y là nghiệm của hệ (I) thì 0 0 0 0 ' ' ' ax by c a x b y c + =   + =  Giả sử rằng phương trình đường thẳng (d): ax by c+ = và (d’): ' ' 'a x b y c+ =  ( ) d cắt ( ) 'd ⇔ ( ) I có nghiệm duy nhất ⇔ ' ' a b a b ≠  ( ) d // ( ) 'd ⇔ ( ) I vô nghiệm ⇔ ' ' ' a b c a b c = ≠  ( ) d trùng ( ) 'd ⇔ ( ) I vô số nghiệm ⇔ ' ' ' a b c a b c = = 3/ Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . Ví dụ. Giải hệ phương trình: 2 3 2 4 x y x y − =   + =  (I) . Phương pháp thế ( ) 2 3 2 3 2 3 (I) 2 2 3 4 2 4 2 4 y x x y y x x x x y x y = −  − = = −    ⇔ ⇔ ⇔    + − = + = + =     2 3 2 3 2 2 4 6 4 5 10 2.2 3 1 y x y x x x x x x y y = − = − = =     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     + − = = = − =     Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( ) ( ) ; 2;1x y = . Phương pháp cộng đại số 2 3 2 3 2 3 (I) 2 4 2 4 8 5 5 x y x y x y x y x y y − = − = − =    ⇔ ⇔ ⇔    + = + = =    2 1 3 2 4 2 1 1 1 x x x y y y − = = =    ⇔ ⇔ ⇔    = = =    Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( ) ( ) ; 2;1x y = . Phương pháp dùng đồ thị (Vẽ các đường thẳng trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, rồi dựa vào đồ thị để tìm nghiệm chung, nếu có) 4/ Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình  Lập hệ phương trình: . Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. 6 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 . Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. . Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.  Giải hệ phương trình.  Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm của hệ phương trình có thỏa mãn điều kiện của ẩn không, rồi kết luận. ______________________ Chương IV 7 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 HÀM SỐ Y = AX 2 (A ≠ 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1/ Cho hàm số dạng: 2 y ax= ( ) 0a ≠ . là hàm số bậc hai khi 0a ≠ . . Nếu 0a > thì hàm số đồng biến khi 0x > , nghịch biến khi 0x < . . Nếu 0a < thì hàm số đồng biến khi 0x < , nghịch biến khi 0x > . 2/ Đồ thị hàm số 2 y ax= ( ) 0a ≠ là một đường cong Parabol . Có đỉnh là gốc tọa độ O. . Nhận trục Oy làm trục đối xứng. . Có một trong hai dạng sau: 0a > 0a < 3/ Các bước vẽ Parabol: Bước 1: Lập bảng giá trị: x -2 -1 0 1 2 hoặc * * 0 * * 2 y ax= 4 a a 0 a 4 a ? ? 0 ? ? Bước 2: Vẽ Parabol (một trong hai dạng nêu trên) 4/ Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: 2 0ax bx c+ + = (1) Trong đó : x là ẩn số; a, b, c là các hệ số và 0a ≠ . 5/ Công thức nghiệm: Biệt thức 2 4b ac∆ = − . . 0 ∆ > : (1) có hai nghiệm phân biệt : 1 2 ; 2 2 b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = . 0 ∆ = : (1) có nghiệm kép : 1 2 2 b x x a − = = . . 0∆ < : (1) vô nghiệm. 6/ Công thức nghiệm thu gọn: Biệt thức 2 ' 'b ac∆ = − , với ' : 2b b= (Trong trường hợp này b thường là chẵn) 8 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 . ' 0 ∆ > : (1) có hai nghiệm phân biệt : 1 2 ' ' ' ' ; b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = . ' 0 ∆ = : (1) có nghiệm kép : 1 2 'b x x a − = = . . ' 0∆ < : (1) vô nghiệm. 7/ Các bước giải phương trình bậc hai . Bước 1: Xác định các hệ số: a, b và c (hoặc a; 'b và c). . Bước 2: Tính biệt thức 2 4b ac∆ = − (hoặc 2 ' 'b ac∆ = − ). . Bước 3: Xét dấu của ∆ (hoặc '∆ ). . Bước 4: Kết luận. 8/ Hệ thức Vi-ét . Nếu 1 2 ;x x là hai nghiệm của phương trình thì : 1 2 1 2 S P b x x a c x x a −  = + =     = =   . Ngược lại, nếu 1 2 1 2 S P x x x x + =   =  thì 1 2 ;x x là hai nghiệm của phương trình 2 S P 0x x− + = . 9/ Lưu ý : . Nếu 0ac < (hay a, c trái dấu) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trái dấu. . Nếu phương trình (1) có : 0a b c + + = thì phương trình (1) có hai nghiệm là 1 2 1; c x x a = = . . Nếu phương trình (1) có : 0a b c− + = thì phương trình (1) có hai nghiệm là 1 2 1; c x x a − = − = . . Nếu phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 ;x x thì ta phân tích vế trái của (1) thành nhân tử : ( ) ( ) 2 1 2 ax bx c x x x x+ + = − −a (BT33/54 – SGK TOÁN 9 - TẬP II). 10/ Phương trình quy về phương trình bậc hai a) Phương trình trùng phương : 4 2 0ax bx c+ + = (*) Cách giải: . Đặt 2 t , t 0x= ≥ . Khi đó (*) trở thành : 2 t t 0a b c+ + = (**) . Giải phương trình (**) để tìm t (chỉ nhận t thỏa t 0 ≥ ) . Thay các giá trị của t vào 2 t x= và tìm x. . Kết luận. b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức 9 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 Cách giải: . Tìm ĐKXĐ của pương trình. . Quy đồng và khử mẫu hai vế phương trình. . Giải phương trình thu được. . So sánh với ĐKXĐ và kết luận nghiệm. c) Phương trình tích dạng : ( ) ( ) ( ) . . 0A x B x C x = Cách giải: . Ta giải mỗi phương trình : ( ) 0A x = hoặc ( ) 0B x = hoặc ( ) 0C x = hoặc … . Nghiệm của phương trình tích đã cho là tất cả các nghiệm thu được. 11/ Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình  Lập phương trình: . Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. . Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. . Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.  Giải phương trình.  Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận. ______________________ PHẦN B 10 [...]... Ta có: sin α = cos β ; sin β = cos α ; tan α = cot β ; b/ Với góc nhọn α bất kỳ Ta có: tan β = cot α 0 < sin α < 1 ; 0 < cos α < 1 ; sin 2 α + cos 2 α = 1 ; tan α cot α = 1 ; tan α = sin α ; cos α cot α = cos α sin α 11 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 2.3) Bảng lượng giác của các góc đặc biệt α 300 450 600 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 1 3 3 Tỉ số lượng giác sin α cos α tan α cot α 3 2 3 3 3... = a.cosC c = a.sinC = a.cosB b = c.tanB = c.cotC c = b.tanC = b.cotB 3.2) Giải tam giác vuông, nghĩa là tìm tất cả các số đo về góc và cạnh của tam giác vuông đó Một số dạng toán Giải tam giác vuông thường gặp: biết cạnh góc vuông + góc nhọn biết hai cạnh góc vuông biết cạnh góc vuông + cạnh huyền biết cạnh huyền + góc nhọn _ Chương II ĐƯỜNG TRÒN 12 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán... a; CA = b và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆ABC (như hình vẽ) Ta có các Định lí sau:  Định lí Côsin: 28  a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos A  2 2 2 b = a + c − 2ac cos B c 2 = a 2 + b2 − 2ab cos C  Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 a b c = = = 2R sin A sin B sin C  Định lí Sin: 1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2  S ∆ABC = abc = pr 4R = p ( p − a) ( p − b) ( p − c)... với "min A "  Với A > 0 , ta có "max A ⇔ min 26 1 1 " và "min A ⇔ max " A A Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 _ Nội dung 2 TAM GIÁC 1 Tam giác vuông Nắm vững các nội dung: (Phần B HÌNH HỌC – Chương I)  Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông 27 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9  Tỉ số lượng giác của góc nhọn  Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông  Định lí Pytago... chiều cao hình nón l là độ dài đường sinh của hình nón 3/ Hình nón cụt  Diện tích xung quanh: Sπ = xq r 1 =  Thể tích: Vπh r 3 Trong đó: (r 2 1 + r2 2 + r (r 1 + 2 ) l 1 2 ) Sxq là diện tích xung quanh hình nón cụt V là thể tích hình nón cụt r1 ; r2 lần lượt là bán kính hai đáy hình nón cụt h là chiều cao hình nón cụt l là độ dài đường sinh của hình nón cụt 4/ Hình cầu 22 Kiến thức cơ bản và nâng cao. ..Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 HÌNH HỌC _ Chương I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1/ Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Cho ∆ABC vuông tại A (hình bên) Ta có: 1.1) a 2 = b 2 + c 2 (Định lí Pytago) 1.2) b 2 = a.b ' ; c 2 = a.c '... xúc trong 1 OO’ = R - r > 0 (O) và (O’) tiếp xúc ngoài 1 OO’ = R + r (O) và (O’) ở ngoài nhau 0 OO’ > R + r 15 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 (O) đựng (O’) 0 _ Chương III GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 1/ Góc ở tâm Số đo cung 16 OO’ < R – r Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 1.1) Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm  Góc AOB là góc ở tâm ¼ ¼  AmB là cung nhỏ,... Chương IV 21 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU 1/ Hình trụ  Diện tích xung quanh : Sxq = 2πrh 2  Diện tích toàn phần : Stp = 2πrh + 2πr  Thể tích : V = Shπr h 2 = Trong đó: Sxq là diện tích xung quanh hình trụ Stp là diện tích toàn phần hình trụ V là thể tích hình trụ r là bán kính mặt đáy hình trụ h là chiều cao hình trụ (hay độ dài đường sinh) S là diện... song song Các cạnh đối bằng nhau Các góc đối bằng nhau Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết Tứ giác có: S = a.h 1) Các cạnh đối (h là chiều cao song song ứng với cạnh a) 2) Các cạnh đối bằng nhau 3) Hai cạnh đối song song và bằng nhau Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 Hình chữ nhật Hình thoi Hình vuông 4) Các góc đối bằng cắt nhau tại trung nhau điểm mỗi đường 5) Hai đường chéo Hai góc kề một cắt... số đo hai góc đối nhau của nó bằng 1800 µ µ  A + C = 1800 Ta có: ABCD nội tiếp ⇔  µ µ  B + D = 1800  7.3) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Hình vẽ Dấu hiệu nhận biết 19 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 a) Tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800  Xét tứ giác ABCD có: µ µ  A + C = 1800 ⇒ ABCD nội tiếp  µ µ  B + D = 1800  b) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh . cos α β = ; . sin cos β α = ; . tan cot α β = ; . tan cot β α = b/ Với góc nhọn α bất kỳ. Ta có: . 0 sin 1 α < < ; . 0 cos 1 α < < ; . 2 2 sin cos 1 α α + = ; . tan .cot. . sin tan cos α α α = ; . cos cot sin α α α = 11 Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9 2.3) Bảng lượng giác của các góc đặc biệt α Tỉ số lượng giác 0 30 0 45 0 60 sin α 1 2 2 2 3 2 cos α 3 2 2 2 1 2 tan α 3 3 1 3 cot α 3 1 3 3 3/. giác 0 30 0 45 0 60 sin α 1 2 2 2 3 2 cos α 3 2 2 2 1 2 tan α 3 3 1 3 cot α 3 1 3 3 3/ Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông 3.1) Các hệ thức: Cho ABC∆ vuông tại A (hình bên). Ta có: . b = a.sinB = a.cosC . c = a.sinC = a.cosB . b = c.tanB = c.cotC .