PHƯƠNG TRÌNH-BấT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 1. Phương trình mũ : a) Các tính chất về lũy thừa : Với 0<a≠1, b>0, m,n∈ ¢ ta có: 0 . 1 1 . ; ; 1; ; ; ( ) ( ) ; m m n m n m n n n m n m n m n n n n a a a a a a a a a a a a a a + − − − • = • = • = • = • = • = = ( ) . ; ( ) ; . m n nn n n n m n n a a ab a b a a b b • = • = • = b) Phương trình mũ cơ bản : Với 0<a≠1 ta có: • a x =b vô nghiệm khi b≤0; • a x =b⇔ log a x b= khi b>0. c) Phương pháp đưa về cùng cơ số : Với 0<a≠1, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x= ⇔ = d) Phương Pháp đặt ẩn phụ :  Biến đổi phương trình theo a f(x) , chẳng hạn: m.a 2f(x) +m.a f(x) +p=0; ( ) ( ) 1 . . 0 f x f x m a n p a + + =  Đặt t=a f(x) , t>0 và thay vào phương trình.  Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t 0 (nếu có).  Đối chiếu nghiệm t 0 với điều kiện rồi giải phương trình a f(x) =t 0 để tìm x. e) Phương pháp lôgarit hóa : Với 0<a≠1, 0<b≠1 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) log [ ] log [ ] f x g x f x g x a a a b a b= ⇔ = 2. Phương trình lôgarit : a) Các cô thức và quy tắc tính lôgarit : Với a<a≠1, b>0, 0<c≠1, α≠0, ta có: log log ; log 1 0; log 1; ; log ; log ( ) log log a b a a a a a a a b a b a a b a bc b c α α α α • = ⇔ = • = • = • = • = • = + 0 0 log ( ) log | | log | |; log log log ; log log | | log | |; 0 0 a a a a a a a a a b b b b bc b c b c b c c c c c < <   • ⇒ = + • = − • ⇒ = −   < <   log 1 1 1 log ( ) log ; log log ; log ; log ; log log log log n c a a a a a a a a c b b b b b b b b b b n a a α α α α • = • = • = • = • = b) Phương trình lôgarit cơ bản : Với 0<a≠1, ta có: log a x=b⇔x=a b . c) Phương pháp đưa về cùng cơ số : Với 0<a≠1, ta có: • ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) ( ) a a f x f x g x f x g x >  = ⇔  =  • log ( ) ( ) . b a f x b f x a= ⇔ = Lưu ý: • Nếu đã có f(x)>0 thì 2 log [ ( )] 2 log ( ) n a a f x n f x= • Nếu chỉ có f(x)≠0 thì 2 log [ ( )] 2 log | ( )| n a a f x n f x= d) Phương pháp đặt ẩn phụ :  Đặt điều kiện(nếu có). Biến đổi phương trình theo log ( ) a f x , chẳng hạn: 2 .log ( ) .log ( ) 0 a a m f x n f x p+ + =  Đặt t= log ( ) a f x và thay vào phương trình.  Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t 0 (nếu có).  Giải phương trình log ( ) a f x =t để tìm x, đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm. e) Phương pháp mũ hóa : Với 0<a≠1, 0<b≠1, ta có: log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) a b f x g x a b f x g x a a= ⇔ = 3. Bất phương trình mũ và lôgarit :  Cũng có các cách giải như cách giải phương trình mũ,lôgarit. Tuy nhiên khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit cần chú ý so sánh cơ số với số 1 để sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ và hàm số lôgarit. Bài 1: Giải các phương trình sau: 2 3 5 7 1 1 2 )5 625; )(1,5) ( ) ; )2 .5 200; 3 x x x x x x a b c + − + + = = = Bài 2: Giải các phương trình sau: 1 1 2 )9 5.3 6 0; )4 2 21 0; )5 2.5 5 0; )6.9 13.6 6.4 0; x x x x x x x x x a b c d − + − − + = + − = − + = − + = Bài 3: Giải các phương trình sau: 2 2 2 4 8 5 25 0,2 2 )log 4 log 1 1; )log 2log log 13; )log log log 3;a x x b x x x c x x− + − = + + = + = 2 3 3 )log ( 2) log ( 4) 0;d x x− + − = Bài 4: Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 )log log 6 0; )4log log 2; ) 1; )log (5 2 ) 2 ; 5 log 1 log x a x x b x x c d x x x − − = + = + = − = − − + Bài 5: Giải các bất phương trình sau: 2 2 6 3 7 7 2 3 9 )7 49; )( ) ; ) 4 3.2 2 0; 5 25 x x x x x x a b c + − − + + ≤ > − + < Bài 6: Giải các bất phương trình sau: 2 2 2 2 0,5 1 1 3 3 )log ( 5 6) 1; )ln( 2) ln(2 5 2); )log (2 4) log ( 6);a x x b x x x c x x x− + ≥ − + ≥ − + + ≤ − − Bài 7: Giải các phương trình sau: a) 7 2x -8.7 x +7=0; b) 2.2 2x +2 x -1=0; c) 9 x -3 x -6=0; d) 25 x +2.5 x -15=0; e) 2 2x+1 -2 x =6; f) 8 2x -2 3x -56=0; g) 3 x +3 3-x =12; h) 2 3-x -2 x +2=0;i) 5 2x -5 3-2x =20; j) 7 x +2.7 1-x -9=0; k) e 2x -4.e -2x =3; l) 6 x+1 +2.6 -x -13=0; m) 3.4 x -2.6 x =9 x ; n) 25 x +10 x =2 2x+1 ; o) 25 x +15 x =2.9 x ; p) 5.4 x +2.25 x -7.10 x =0; q) e 6x -3.e 3x +2=0; r) 2 4x+1 -15.4 x -8=0; s) 5 2x-1 +5.5 x =250; t) 3 2x+1 -9.3 x +6=0; u) 2 2x+6 +2 x+7 =17; v) 2 x-1 (2 x +3 x-1 )=9 x-1 ; Bài 8: Giải các phương trình sau: a) 2 2x+5 +2 2x+3 =12; b) 2 x+4 +2 x+2 =5 x+1 +3.5 x ; c) 3 2x-1 +3 2x =108; d) 5 2x +17.7 x =7 x +17.5 2x ; e) 2 x .5 x-1 =0,2.10 2-x ; f) 8.4 |3x-1| =2 3x-2 ; g) 2 3x .3 x -2 3x+1 .3 x-1 =192; h) 2 2 1 3 .2 72; x x x x− − + = Bài 9: Giải các phương trình sau: a) 3.2 x +4 x+1 -1=0; b) 5 2x+1 -110.5 x+1 -75=0;c) (1,5) 5x-7 = 1 2 ( ) ; 3 x+ d) 2 5 2 2 16 (0,75) ( ) 0; 9 x x x − − − − = e) 3 2x-1 +3 2x =108; f) 16 x +2 2(x+1) -12=0; g) 4.9 x +12 x -3.16 x =0; h) 3 4x+8 -4.3 2x+5 +27=0; i) 3 x (3 x+1 -30)+27=0; j) 2 3x -2 2x+1 -2 x+3 =0; k) 2 2x+2 -9.2 x +2=0; l) 1-3.2 1-x +2 3-2x =0; m) 3 2x -2.3 1-2x +5=0; n) 2 2 2 2 2 3; x x x x− + − − = o) 2.16 x -2 4x -4 2x-2 =15; p) 2 3 4.( ) 2.( ) 6 0; 3 2 x x + − = q) (2 3) (2 3) 4; x x + + − = r) 2 x-1 .4 x +64 x -5=0; s) 4 x -4 x .4 x+1 +3=0; t) 36 x -3 x+1 .2 x -4=0; u) + − − = 1 3 3 5.3 12; x x v) 3 x +9.3 -x -10=0; x) 7 2x+1 – 8.7 x + 1 = 0; y) 4 x -2 1-x .4 x -3=0; Bài 10: Giải các phương trình sau: 2 4 2 2 2 7 1 7 )log( 6 5) log(1 ); )ln .log ( 2 ) 3ln ; )log ( 2) log (8 ) 0;a x x x b x x x x c x x− + = − − = + + − = 2 3 1 2 2 3 )log ( 10) log (3 ) 0; )ln(4 4) ln( 1) ln ; )log ( 1) log (7 );d x x e x x x f x x− + = − − − = − = − 2 4 3 1 2 2 3 )log 2 log ( 1) 1; ) log ( 2) log ( 4) 1; )log ( 1) log (2 11) 1;g x x h x x i x x− + + = − − − = − − − = 2 4 0,5 2 0,5 5 0,2 5 )log (2 ) log log ; )log ( 3) log ( 1) 3; )log log log 2;j x x x k x x l x x x+ = − − + = + − = 4 3 3 9 27 )log log log 11; )log log(4 ) 2 logm x x x n x x x+ + = + = + Bài 11: Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 5 5 2 2 5 0,2 )log 4log 3 0; )2log log 1 0; )log log 12 0; )ln ln( ) 1 0a x x b x x c x x d x ex − + = + − = + − = − − = 2 2 2 2 0,5 2 0,5 2 4 2 )log 5log 4 0; )3log log log (2 ); )log 6log ( ) 7; 8 x e x x f x x x g x+ + = − = − = 2 2 2 2 0,2 5 )log 5log 6 0; )log 3log log 4; )log (10 ) 9log(0,1 );h x x i x x x j x x+ + = − = − = 3 3 6 2 )log log 9 3; )log 27 3log 8; )2log 2 log 5; )2log 5log ( ) 6; 6 x x x x x k x l x m x n x+ = − = + = − = Bài 12: Giải các phương trình sau: 3 3 log log 2 3 3 )log ( 5) log (2 5); )log (2 ) log (10 3 ); )4 5.2 4; x x a x x x b x x c π π − − = + − = − − + 2 2 5 3 3 5 )log (10 ) 3log 1 0; )log ( 2) log (4 5); ) log (3 ) log 1 0;d x x e x x f x x− − = + = + + − = 2 2 3 2 0,5 2 log 1 log 2 1 )log 3log log 2; )log log 2 0; ) ; log 2 log 1 2 x x g x x x h x x i x x − − + + = − + = − = + + 1 8 2 3 3 5 5 4 16 log (4 ) log ) ; )log (3 1).log (3 3) 6; )log ( 2) log ( 6); log (2 ) log (2 ) x x x x j k l x x x x x + = − − = + = + 3 2 4 2 4 2 2 1 )log(10 ).log(0,1 ) log 3; )log 4log log (4 ) 12; ) log ( 2) log (3 1) 1; 2 m x x x n x x x o x x= − + + = − + − = 2 2 1 )log log [( 1)( 4)] 2; 4 x p x x x − + − + = + Bài 13: Giải các bất phương trình sau: 2 2 2 3 3 2 1 )(0,5) 2; )2 2 3 0; )2 4; )3 3 28; )4 3.2 2 0; x x x x x x x x x x a b c d e − − − + + − ≥ + − < < + ≤ − + > 2 2 6 7 2 3 2 4 4 2 2 )3 9; )2 2 17; )5 2.5 3; )4 2 3; )2.2 2 4 15; x x x x x x x x x x x f g h i j − + + − − − < + > − ≤ > + − − ≤ k) 5.4 x +2.25 x ≤7.10 x ; l) 4 x+1 -16 x ≥3; Bài 14: Giải các bất phương trình sau: 2 2 1 8 8 1 3 3 5 2 3 1 )log ( 5) log (3 2 ); )log log 3 ; )2log ( 2) log ( 3) ; )log 1; 2 3 2 x x a x x b x c x x d x − + ≤ − > − − − − > > + e) log 4 (x+7)>log 4 (1-x); f) 2 2 2 log log 0;x x+ ≤ g) 2 1 1 2 2 log (5 10) log ( 6 8);x x x+ < + + h) log 2 (x-3)+log 2 (x-2)≤1; i) 1 1 2 2 log (2 3) log (3 1);x x+ > + j) log 0,2 (3x-5)>log 0,2 (x+1); k) log 3 (x-3)+log 3 (x-5)<1; Một số phương trình-bất phương trình đề thi học kì và tốt nghiệp phổ thông: a) 25 x – 6.5 x + 5 = 0(TN 2008-2009); b) 1 3 9.3 6 0 x x+ − + = (TN 2007-2008) c) 3 3 3 log ( 2) log ( 2) log 5x x+ + − = (TN 2007-2008); d) 2 2 4 2log 14log 3 0x x− + = (TN 2009-2010) e) 7 2x+1 – 8.7 x + 1 = 0(TN 2010-2011); f) 2 4 3 log ( 3) 2log 3.log 2;x x− + = (TN 2011-2012) g) 2 2x+2 -9.2 x +2=0(TN 2005-2006); h) 7 x +2.7 1-x -9=0(TN 2006-2007 lần 2) i) 2 x-1 +2 x-2 +2 x-3 =3 x +3 x-1 +3 x-2 (HKII 2008-2009); j) log(x 2 -6x+7)>log(x-3)(HKII 2008-2009); k) 2 x+1 +4 x+1 >6(HKII 2008-2009); l) 2 2 log log ( 1) 2x x+ − = (HKII 2008-2009); m) 2 2 log ( 3) log ( 1) 3x x− + − = (HKII 2009-2010); n) 3 x+1 -5.3 3-x =12(thi thử TN 2008-2009); o) 2 1 5 5 log ( 6 5) 2log (2 ) 0x x x− + + − ≥ (thử 2009); p) 2 3 log ( 1) 2x + < (thi thử TN 2009-2010); q) 3 x +9.3 -x -10=0(thi thử TN 2009-2010); r) 2 3 9 2log 14log 3 0x x− + = (HKI 2011-2012) CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1. Định nghĩa nguyên hàm : Hàm số F(x) dược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x). Lưu ý: • Các nguyên hàm của f(x) trên K sai khác nhau một hằng số C. • Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là ( )f x dx ∫ ; Vậy ( ) ( )f x dx F x C= + ∫ 2. Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng : 1 1 1 ( ) 1. ; . ; ; ( ) . 1 1 x ax b dx x c a dx ax c x dx C ax b dx C a α α α α α α + + + • = + • = + • = + • + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 ln | | ; .ln | | ; 2 ; .2 ;dx x C dx ax b C dx x C dx ax b C x ax b a a x ax b • = + • = + + • = + • = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 1 1 1 1 ; . ; ; . ; ( ) x x ax b ax b dx C dx C e dx e C e dx e C x x ax b a ax b a + + • = − + • = − + • = + • = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 cos sin ; cos( ) .sin( ) ; sin cos ; sin( ) .cos( ) ;xdx x C ax b dx ax b C xdx x C ax b dx ax b C a a • = + • + = + + • = − + • + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 1 1 1 tan ; .tan( ) ; cos cos ( ) 1 1 1 cot ; .cot( ) ; sin sin ( ) dx x C dx ax b C x ax b a dx x C dx ax b C x ax b a • = + • = + + + • = − + • = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 3. Phương pháp tìm nguyên hàm : a) Phương pháp đổi biến : [ ( )]. '( ) [ ( )]f t x t x dx F t x C= + ∫ b) Phương pháp từng phần : .udv u v vdu= − ∫ ∫ 4. Công thức tích phân : Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = − ∫ 5. Phương pháp đổi biến số : Xét [ ( )]. '( ) b a I f t x t x dx= ∫  Đặt t=t(x)⇒dt=t’(x)dx;  Đổi cận: x=b⇒t=t(b); x=a⇒t=t(a).  Thay vào: ( ) ( ) ( ) t b t a I f t dt= ∫ và tính tích phân mới này (biến t). Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng '( ) ( ) b a t x dx t x ∫ Đặt t=t(x) Mẫu ( ) ( ). '( ) b t x a f e t x dx ∫ Đặt t=t(x) Mũ ( ( )). '( ) b a f t x t x dx ∫ Đặt t=t(x) Ngoặc ( ( )). '( ) b n a f t x t x dx ∫ Đặt t= ( ) n t x Căn 1 (ln ). b a f x dx x ∫ Đặt t=lnx Lnx (sin ).cos b a f x xdx ∫ Đặt t=sinx Cosxdx đi kèm biểu thức theo sinx (cos ).sin b a f x xdx ∫ Đặt t=cosx Sinxdx đi kèm biểu thức theo cosx 2 1 (tan ). cos b a f x dx x ∫ Đặt t=tanx 2 1 cos dx x đi kèm biểu thức theo tanx 2 1 (cot ). sin b a f x dx x ∫ Đặt t=cotx 2 1 sin dx x đi kèm biểu thức theo cotx ( ). b ax ax a f e e dx ∫ Đặt t=e ax . e ax dx đi kèm biểu thức theo e ax . Đôi khi thay cách đặt t=t(x) bởi t=mt(x)+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn. 6. Phương pháp tích phân từng phần : ( ) b b b a a a udv uv vdu= − ∫ ∫ Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Với P(x) là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây: • ( ).sin( ) b a P x ax b dx+ ∫ ta đặt ( ) sin( ) u P x dv ax b dx =   = +  ta có '( ). 1 cos( ) du P x dx v ax b a =    = − +   • ( ).cos( ) b a P x ax b dx+ ∫ ta đặt ( ) cos( ) u P x dv ax b dx =   = +  ta có '( ). 1 sin( ) du P x dx v ax b a =    = +   • ( ) ( ). b ax b a P x e dx + ∫ ta đặt ( ) ax b u P x dv e dx + =   =  ta có '( ). 1 ax b du P x dx v e a + =    =   • ( ).ln( ) b a f x ax b dx+ ∫ ta đặt ln( ) ( ) u ax b dv f x dx = +   =  ta có . ( ) a du dx ax b v F x  =  +   =  7. Diện tích hình phẳng : Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b], (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường (C 1 ):y=f(x), (C 2 ):y=g(x), x=a, x=b. Khi đó diện tích của hình phẳng (H) là: | ( ) ( ) | b a S f x g x dx= − ∫ 8. Thể tích vật thể tròn xoay : Hình (H) giới hạn bởi: y=f(x), Ox, x=a,x=b. Thể tích vật thể do hình (H) quay quanh trục Ox là: 2 [ ( )] b a V f x dx π = ∫ Lưu ý: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a, x=b(a≤b). Nếu f(x) và g(x) luôn cùng dấu trên [a;b] thì thể tích vật thể do (H) quay quanh Ox là: 2 2 | ( ( )) ( ( )) | b a V f x g x dx π = − ∫ Bài 1: Tính các tích phân sau: 2 3 2 4 2 1 2 3 4 2 0 1 2 3 3 1 cos ln 1 ) ; ) 3 . ; ) ; ) ; sin (1 cos ) ln 1 x x x x a I dx b I x e dx c I dx d I dx x x x x x π π − − + = = = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 2: Tính các tích phân sau: 2 2 2 2 1 2 3 0 1 1 ) ( 1)sin ; ) 3 . ; ) (3 1)ln ; x a I x xdx b I x e dx c I x xdx π − = − = = − ∫ ∫ ∫ Bài 3: Tính các tích phân sau: 2 2 3 2 2 1 2 3 4 2 1 0 1 0 1 2 1 ) ( ) ; ) ( 1) ; ) ; ) (1 2sin )sin ; e x t t a I x e dx b I x x xdx c I dt d I a ada x t π − + = − = + + = = + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây: a) y=x 3 -3x+2, trục hoành và các đường thẳng x=-1, x=3; b) y=-4-x 2 và y=2x 2 -x 4 ; c) y=x 3 -2x và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng -1; d) y=x 3 -x và y=x-x 2 ; Bài 5: Tính các tích phân sau: 1 ln2 1 2 2 3 1 2 3 4 0 0 1 1 1 ) (2 1) ; ) (3. 5) ; ) (2 3 ) ; ) ; t x x te t a I x x dx b I e e dx c I x dx d I dt t − − + − = − = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 2 1 2 2 2 5 6 7 8 1 1 1 2 (1 ) 3 2 1 2 ) ; ) ; ) ( ) ; ) ( ) ; x x x e x t t e I dx f I dt g I t dt h I x x dx xe t x t − − + − + − = = = − = + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 64 4 3 2 9 10 11 12 0 0 6 4 ) (1 ) ; ) cos4 .cos3 ; ) sin3 .sin ; ) tan ;i I x x dx j I x xdx k I t tdt l I xdx π π π π π − = − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ 1 ln 2 2 2 2 1 3 13 14 15 16 2 0 0 0 1 1 2 5 ) (1 ) ; ) ; ) |1 | ; ) ; cos x x x x e e t t m I e dx n I dx o I x dx p I dt x e t − + + − = + = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 2 2 2 3 3 17 18 19 20 2 2 1 0 0 2 6 3 1 3 1 tan cos 2cos 2 1 ) ; ) ; ) ; ) ; 1 ( 1) sin cos x x x x x x q I dx r I dx s I dx t I dx x x x x x π π π − − + − − = = = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 6: Tính các tích phân sau: 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 3 4 5 2 2 2 0 1 0 1 6 sin 1 cos ) ; ) ; ) . ; ) ; ) ; 1 3cos 2 3 (1 sin ) x x x x e xdx a I dx b I dx c I x e dx d I dx e I x x x x x π π π − − − = = = = = + − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 19 2 2 2 6 7 8 9 4 3 2 1 0 0 1 sin 3 1 ln ) ; ) ; ) ; ) ; (1 ) 8cos 1 8 e x xdx xdx x f I dx g I h I i I dx x x x x π − + = = = = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 2013 2 10 11 12 13 1 1 0 0 1 ln ) ; ) ; ) ( 1) ; ) 1 ; (1 ln ) (ln 3) e e e e xdx k I dx l I m I x x dx n I x x dx x x x x = = = − = + − + ∫ ∫ ∫ ∫ 7 0 0 2 3 sin 2 3 14 15 16 17 0 5 2 4 ) 1 ; ) sin .cos ; ) .cos 2 ; ) 4 ; x o I x x dx p I x xdx q I e xdx r I x xdx π π π − − − = + = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ 1 ln3 18 19 20 2 2 2 0 0 2 sin 2 4 ) ; ) ; ) ; 1 cos (2 1) 1 x x x dx s I dx t I dx u I x x e π π − = = = + + + ∫ ∫ ∫ Bài 7: Tính các tích phân sau: 1 1 1 ln5 2 1 1 2 3 4 0 0 0 ln 2 ) ( 1). ; ) (2 1) ; ) . ; ) 2 ( 1) ; x x x x a I x e dx b I x e dx c I x e dx d I x e dx − = + = − = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ln2 0 2 4 5 6 7 8 0 0 0 ) ( 1) ; ) 2 .cos ; ) (2 1).cos ; ) (1 )cos ; x e I x e dx f I x xdx g I x xdx h I x xdx π π π − − = − = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 4 4 9 10 11 12 0 0 0 1 ) 2 sin ; ) ( 1)sin 2 ; ) sin 2 ; ) ln ; e i I x xdx j I x xdx k I x xdx l I xdx π π π = = + = = ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 3 2 2 13 14 15 16 2 1 2 1 0 ln ) 2 .(ln 1) ; ) 2 ln( 1) ; ) ; ) ( 1). e x xdx m I x x dx n I x x dx o I p I x e dx x = − = − = = + ∫ ∫ ∫ ∫ 4 4 17 18 0 1 ) sin ; ) ; x x q I e xdx r I e dx π = = ∫ ∫ Bài 8: Tính các tích phân sau: 1 2 2 1 2 3 4 0 0 0 1 ln ) (3. 5 ) ; ) ( cos ) ; ) ( ) ; ) ; x x x x x a I e e x dx b I x x x dx c I x x e dx d I dx x π − + = − = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ 4 4 5 6 7 8 2 1 1 1 0 1 ln ) ; ) ; ) ( ln 1) ; ) ( cos )sin ; e e x x e x x e I dx f I dx g I x x dx h I x x xdx x x π + + = = = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 2 2 9 10 11 12 2 1 0 0 1 1 1 sin ( 1)ln ) ( 2 ) ; ) ; ) ; ) ; 1 1 cos x x x xe x x x x i I x xe dx j I dx k I dx l I dx e x x π + + − − = + = = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 9: Tính các tích phân sau: 0 2 1 6 2 1 2 3 4 1 1 0 0 1 cos ) ( ) ; ) ; ) ; ) 3 1 ; ( 1) 2sin 1 x x dx xdx a I e dx b I c I d I x dx e x x x π − = − = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 4 5 6 7 8 2 1 1 1 1 1 ln ln ) (2 1)ln ; ) ln( 1) ; ) ; ) ; e e x xdx e I x xdx f I x dx g I dx h I x x + = + = + = = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 2 2 tan 4 9 10 11 12 2 1 0 ln6 0 ln ) ; ) ; ) 3 ; ) 2 sin ; cos x x x x x e dx i I dx j I k I e e dx l I x xdx x x π π + = = = + = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 4 3 2 13 14 15 16 3 2 0 1 1 0 cos sin ln . ) ; ) ; ) ; ) sin 2 .sin ; cos (1 ln ) (2 ln ) e e x x dx x dx m I dx n I o I p I x xdx x x x x x π π + = = = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 2 2 17 18 19 20 0 0 1 ln 1 ) sin .cos ; ) (4 1) ; ) ; ) (1 cos ).cos ; e x x x q I x xdx r I x e dx s I dx t I x xdx x π π π − + = = + = = − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 21 22 23 24 0 0 1 ) ( 4 1) ; ) ( 3) ; ) ( cos 2) ; ) ( ln 2) . e x u I x x dx v I xe dx x I x x dx y I x x x dx π π − = − + = + = − = + ∫ ∫ ∫ ∫ Một số đề thi tốt nghiệp về tính tích phân: Bài 1: Tính các tích phân sau: a) 1 2 0 ( 1)I x x dx= − ∫ (TN2009-2010); b) 1 4 5 e lnx I dx x + = ∫ (TN 2010-2011); c) ln2 2 0 ( 1) ; x x I e e dx= − ∫ (TN 2011-2012); d) 0 I x(1 cos x)dx π = + ∫ (TN 2008-2009) e) 1 2 3 4 1 ((1 )I x x dx − = − ∫ (TN 2007-2008(PB)); f) 1 0 (1 ) x I x e dx= + ∫ (TN 2007-2008(KPB)); g) 1 0 (4 1) x I x e dx= + ∫ (TN 2007-2008(PBlần 2)); h) 2 1 ln e x J dx x = ∫ (TN 2006-2007) Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y=-x 3 +3x 2 và trục hoành(TN2005-2006); b) y=-x 2 +6x; y=0 (TN2006-2007(lần 2)); c) (Thi thử TN 2008-2009) y=-x 3 +3x+1; y=-1; Bài 3: (Thi thử TN 2008-2009)Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: lny x x= ; trục hoành; x=e. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi (H) quay quanh trục hoành; CHỦ ĐỀ SỐ PHỨC 1. Các khái niệm và phép toán liên quan đến số phức : • Đơn vị ảo i: i 2 =-1; i 3 =-i. • Số phức z=a+bi(a,b∈ ¡ ) a là phần thực, b là phần ảo. • Môđun: 2 2 z a b= + • Số phức liên hợp của số phức z=a+bi là: z a bi= − • a+bi=c+di a c b d =  ⇔  =  • Phép cộng hai số phức: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. • Phép trừ hai số phức: (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. • Phép nhân hai số phức: (a+bi).(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. • Phép chia hai số phức: 2 2 ( )( )a bi a bi c di c di c d + + − = + + 2. Giải phương trình bậc hai hệ số thực trên tập số phức : Cho phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0(a,b,c∈ ¡ và a≠0). Ta có ∆=b 2 -4ac • Nếu ∆=0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 . 2 b x x a = = − • Nếu ∆>0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 1,2 2 b x a − ± ∆ = • Nếu ∆<0 thì phương trình có hai nghiệm phức: 1 2 . | | | | , 2 2 b i b i x x a a − + ∆ − − ∆ = = Chú ý: Khi giải phương trình trùng phương trên £ , ta đặt t=x 2 (không cần điều kiện cho t) Bài 1: Thực hiện các phép tính: 2 2 )(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 ); )(3 4 ) ; ) 3 2 i a i i i b i c i + + − + − − + Bài 2: Tìm môđun của các số phức sau: 2 3 ) 3 2 (1 ) ; ) (1 )(2 ) i a z i i b z i i + = + + + = + − Bài 3: Tìm số phức nghịch đảo của số phức z=(1-i) 2 (2+i)? Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2iz+3=5z+4i; b) –z 2 +z-2=0; c) x 4 +2x 2 -3=0; d) z 3 +1=0; Bài 5: Tìm môđun của số phức z biết: a) 3iz+(3-i)(1+i)=2; b) iz+ 5z =11-17i; Bài 6: Thực hiện phép tính: 2 2 2 2 3 2013 2013 )(1 ) ; )(3 4 ) ; )( 2 ) ; )(2 3 ) ; )(1 3. ) ; )(1 ) ; )(1 ) ;a i b i c i d i e i f i g i+ − − + + − − + 2012 2 5 2 2 3 4 2 2 4 1 1 1 )(1 3. ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; )( ) ; )( ) ; 3 1 2 1 1 2 (2 1) ) ; ) . (2 ) 1 i i i i i h i i j k l m n i i i i i i i i o p i i + − − + − + − + − + − + − − − + Bài 7: Tìm phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau: a) z=(2+4i)(3-5i)+7(4-3i); b) z=(1-4i)(2+3i)-5(-1-3i); c) z=(1-2i) 2 -(2-3i)(3+2i); d) z=(2-3i) 2 -(1-3i)(5+2i); 2 2 2 2 5 ) (1 2 ) (1 2 ) ; ) (1 3 ) (1 3 ) ; ) [(4 5 ) (4 3 )] ;e z i i f z i i g z i i= + + − = + − − = + − + 3 (2 ) (1 )(4 3 ) (2 ) (1 )(1 3 ) ) [(5 ) (1 )(1 3 )] ; ) ; ) ; 3 2 3 9 i i i i i i h z i i i i z j z i i + + + − + − − − = − − − − = = + − (3 4 )(1 2 ) (2 3 )(1 2 ) ) 4 3 ; ) (2 4 ); 1 2 1 i i i i k z i l z i i i − + + − = + − = + − − + m) ( 3 2)( 2 3)z i i= + − (Thi thử TN 2009-2010); n) 2 (2 ) (2 ) 2 (6 2 )i i z i z+ − = + + (thi HKII 2011-2012) Bài 8: Tìm số phức z biết: a) 3z+8-i=5+4i; b) 2iz+(2-i) 2 =2+3i; c) (3-i)z=(1+i)(4-2i); d) (1+i)z+(1+i) 2 =2-3i; e) 2 1 3 2 1 3 ; ) ; )(2 ) 3 2 ; )2 . 1 5 2 ; )2 3 5 4 ; 1 2 1 2 2 i i i i z f z g i z i i h i z z i i iz z i i i i i + − + + − − = = − + = + − = − + = + − + + + ) 3 . 5 3 ; ) 2 6 2 ; ) 3 7 5 ; )3 2 5 2 ; ) . 2 2 5 .j z i z i k z z i l iz z i m z z i n i z z i− = − + = + + = + + = + + = − Bài 9: Tính z iz+ biết 2 2 ) (1 2 ) ; ) (2 ) .a z i b z i i= + = − Bài 10: Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức 7 5 z i iz + + , biết z=2+3i? Bài 11: a) Cho 3 3 1 2 1 3 1 3 ( ) , ( ) 2 2 2 2 z i z i= − + = + . Tính z 1 .z 2 ? b) Cho z=(1-2i)(2+i) 2 . Tính A= . ?z z (Thi HKII NH 2009-2010) c) Tính giá trị biểu thức: 2 2 (1 3 ) (1 3 ) ?P i i= + + − (TN 2007-2008) d) Tìm các số phức 25 2 , i z z z + biết z=3+4i (TN 2011-2012). e) Cho z 1 =1+2i, z 2 =2-3i. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z=z 1 -2z 2 (TN 2009-2010) Bài 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z 2 +2=0; b) 4x 2 +9=0; c) x 2 -4x+8=0; d) 2x 2 +2x+5=0; e) z 2 +2z+17=0; f) z 2 -3z+3=0; g) z 3 +4z=0; h) z 3 +7z=4z 2 ; i) x 3 +8=0; j) z 4 +2z 2 -3=0; k) 4 2 2 3 5 0;z z+ − = l) 4 9 16 0x − = ; m) 2 2 2 2 4 9 0; ) 2 5| | 3 0; ) 4 11 0;z z n z z o z z+ + = + − = + − = p) 2x 2 -5x+4=0(TN 2006); q) x 2 -6x+25=0(TN 2006-2007); r) x 2 -2x+2=0(TN 2007-2008) s) 8z 2 -4z+1=0(TN 2008-2009); t) z 4 +7z 2 -18=0(thi thử 2008-2009); u) (1-i)z+(2-i)=4-5i(TN2010-2011); Bài 13: a) Cho z=m+(m+1)i. Tìm z biết |z|=5; b) Cho z=(m-1)+(m-1)i. Tìm z biết . 10?z z = c) Cho z=2m+(m+2)i, m∈ ¡ . Tìm z biết rằng z 2 có phần thực bằng -5;