LUYỆN THI HỌC KỲ 2 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP LỚP 7 Bài tổng hợp 1: Cho ∆ ABC vuông tại A ( AC > AB ) đường cao AH, trung tuyến AM. Cho BC = 26 cm, AH = 12 cm. a) Tính độ dài HM và AB b) Vẽ BN ⊥ AM , BN cắt AH tại I, chứng tỏ BN = AH c) Gọi K là trung điểm AB, chứng minh M; I; K thẳng hàng d) Cho góc AMB = 50 0 Tính số đo các góc: BIH và HIN e) Chứng tỏ IC < AC f) AM cắt CK tại G, chứng tỏ BG đi qua trung điểm của AC. g) Chứng tỏ góc BGC là một góc tù Hướng dẩn: d) Khi góc AMB = 50 0 thì góc MBN = 40 0 BIH = 50 0 và từ đó góc kề bù HIN = 130 0 e) Do ∆ ABM nhọn nên trực tâm I nằm miền trong của ∆ ABM, Vì I thuộc AH nên I nằm giữa AH  HI < HA và ⇒ IC < AC ( hình chiếu đường xiên) f) Dùng tính chất trọng tâm G của ∆ ABC để suy ra kết quả. g) Dùng tính chất góc ngoài ∆ ABI  Góc BIH > Góc BAI; ∆ ACI  góc CIH > góc CAI ⇒ Góc BIA > góc BAC ( Góc A = 90 0 )  Góc BIC > 90 0 ( góc tù ) Bài tổng hợp 2: Cho ∆ ABC ( góc A = 90 0 , AH ⊥ BC sao cho HC = 2BC). Trên tia đối của AH lấy lấy AD = AH . Gọi E là trung điểm của HC và F là giao của DE và AC . a) So sánh góc ABC và góc ACB b) Chứng tỏ H; F và trung điểm M của DC là ba điểm thẳng hàng. c) Vẽ EK // AC ( K thuộc AB ); EK cắt AH tại P , chứng minh BP ⊥ AE d) Chứng tỏ HF = 1/3 DC e) Khi góc ACD = 30 0 , thì ∆ ABE là tam giác gì. Tính diện tích tam giác này khi AB = 6 cm f) Chứng tỏ góc BPE là một góc tù. Hướng dẩn: a) Theo tính chất đường xiên hình chiếu, từ HC = 2 BH  HC > BH AC > AB và  góc ABC > góc ACB; b) Chứng minh F là giao hai trung tuyến CA và DE của ∆ DHC  F là trọng tâm.HM là trung tuyến nên phải đồng quy tại F ⇒ H; F; M thẳng hàng. c) EK // AC  EK ⊥ AB  P là trực tâm tam giác ABE ⇒ đường cao thứ ba BP ⊥ AE d) Từ tính chất trung tuyến ∆ DHC , HF = 2/3 HM mà HM = ½ DC ( trung tuyến tam giác vuông ) ⇒ HF =( 2/3 ) . ( ½) DC = 1/3 DC e) Tam giác đều, f) Tương tự như bài tổng hợp 1, Góc BPH > Góc BAH ( góc ngoài ∆ ABP) ; Góc HPE = góc CAH ( đồng vị EK // AC ) Vậy góc BPE > góc BAC = 90 0 nên góc BPE luôn là góc tù. Bài tổng hợp 3: Cho ∆ ABC ( góc A = 90 0 ; AC > AB; AH ⊥ BC ), Kéo dài đường cao AH về phía H rồi lấy điểm D sao cho HD = HA, kéo dài trung tuyến AM về phía M rồi lấy E sao cho ME = MA. a). Chứng minh ∆ AMB = ∆ EMC b) So sánh BD và CE c) So sánh hai góc · BAM và · MAC d) Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại S. Chứng tỏ SM // AD e) Chứng tỏ các đường thẳng SM; BE; CD đồng quy. f) Vẽ bên ngoài ∆ ABC cùng phía đỉnh A các tam giác ABP vuông cân tại P và tam giác ACQ vuông cân tại Q, Chứng tỏ PM là trung trực của AB ; và QM là trung trực của AC g) Chứng minh ba điểm PAQ thẳng hàng và ∆ MPQ cũng là tam giác vuông. h) Chứng minh: AM = ( AB + BC + AC )/ 2 Hướng dẩn: Câu c) Từ AB = CE , AB < AC  CE < AC  góc CAM < góc CEA  · BAM < · MAC Câu d) Chứng minh Góc CBD = Góc BEC ( cùng bằng góc ABC )  Góc CBD = góc ECB  ∆ SBC cân tại S, Trung tuyến SM cũng là đường cao nên SM // AD e) Chứng minh ∆ ABC = ∆ DBC  CD ⊥ SB; Chứng minh ∆ ABC = ∆ ECB  BE ⊥ SC ; Từ SM ⊥ BC  ba đường cao trong ∆ SBC phải đồng quy tại trực tâm. f) AP = PB; AM = MB  PM là trung trực. Tương tự với MQ. g) Từ các ∆ vuông cân  các góc đáy bằng 45 0 ⇒ Góc PAB + góc BAC + góc CAQ bằng 180 0 >thẳng hàng. Chứng minh Các góc đáy tam giác PMQ bằng 45 0  Tam giác PMQ vuông tại M. ( có thể chứng minh qua tính chất hai đường phân giác của 2 góc kề bù nhau ) h) Từ AM< AB + BM và AM < AC + CM  Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta được 2AM = AB + BC + AC. Bài tổng hợp 4: Cho tam giác ABC cân tại A có AB > BC, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên AH lấy điểm I sao cho HI = 1 AH 3 . a/ Chứng minh HB = HC. b/ Vẽ BI cắt AC tại D, CI cắt AB tại E, DE cắt AH tại K. Chứng minh E và D là trung điểm của AB và AC c/ Chứng minh AH là trung trực của ED và ED là trung trực của AH d/ Chứng minh I là trọng tâm của tam giác HDE. e) Chứng minh góc ABC = góc EDH Từ đó hãy So sánh · EHD và · EDH . Hướng dẩn b/ I thuộc đường cao vừa là trung tuyến AH (HI = 1 AH 3 ) nên I là trọng tâm tam giác ABC  CE và BI là trung tuyến  E và D là các trung điểm AB và AC c/ Từ hai tam giác vuông chứng minh trung tuyến HE = HD = ½ (AB =AC )  HE=HD=AE=AD. d/ Từ AK = KH ( đường trung trực ), HI = 1 AH 3 = 1/3 ( 2 HK ) = 2/3 HK mà KE = KD, nên HK là trung tuyến suy ra I là trọng tâm tam giác HED e/ Từ ED // BC ( cùng vuông góc AH ) · µ EDH B= , Nêu được một trong hai µ µ A B< và · µ EHD A= kết luận · · EHD EDH< . LUYỆN THI HỌC KỲ 2 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP LỚP 7 Bài tổng hợp 1: Cho ∆ ABC vuông tại A ( AC > AB ) đường cao AH, trung tuyến AM. Cho BC = 26 cm, AH = 12 cm. a) Tính độ dài HM và. > góc BAC ( Góc A = 90 0 )  Góc BIC > 90 0 ( góc tù ) Bài tổng hợp 2: Cho ∆ ABC ( góc A = 90 0 , AH ⊥ BC sao cho HC = 2BC). Trên tia đối của AH lấy lấy AD = AH . Gọi E là trung điểm. chất trung tuyến ∆ DHC , HF = 2/ 3 HM mà HM = ½ DC ( trung tuyến tam giác vuông ) ⇒ HF =( 2/ 3 ) . ( ½) DC = 1/3 DC e) Tam giác đều, f) Tương tự như bài tổng hợp 1, Góc BPH > Góc BAH ( góc