1 SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2013 TRƯỜNG THPT CÙ HUY CẬN Môn: TOÁN; Khối A, A1, B và D Th ời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 1 ( ) 1 x y H x + = − a) Kh ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( ) H b) Tìm t ất cả các giá trị của m để đường thẳng :d y x m= − cắt đồ thị ( ) H tại hai điểm phân biệt , A B sao cho 1,5 OAB S = ( Với O là gốc toạ độ) Câu 2(1,0 điểm). Giải phương trình : 3 2 2 2sin 2 3sin .cos 2sin sin 2 6 0 2cos 3 x x x x x x π   + − − −     = − Câu 3(1,0 điểm). Giải hệ phương trình : 3 3 2 2 1 3 1 , ( , ) 3 2 40 0 y x x x y x y x x y  + − = − −  ∈  + − + =   ℝ Câu 4(1,0 điểm).Tính tích phân : 2 2 3 1 ln ln ln 3ln 2 e x x x I dx x + + + = ∫ Câu 5(1,0 điểm). Cho lăng trụ tam giác 1 1 1 . ABC A BC có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của 1 A lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với tâm của tam giác ABC . Tính thể tích lăng trụ 1 1 1 . ABC A BC và khoảng cách giữa hai cạnh 1 AA và BC theo a , biết góc giữa 1 ( ) A BC và ( ) ABC bằng 0 60 Câu 6(1,0 điểm). Cho , , 2 x y z > − . Tìm GTNN của biểu thức : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x y z P y z z x x y + + + = + + + + + + + + II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a( 1 điểm). Cho đường tròn ( )C có phương trình : 2 2 ( 1) ( 2) 9x y+ + − = và điểm (2;3)M . Viết ph ương trình đường thẳng ∆ qua M cắt ( )C tại A và B sao cho 2 2 8 . 10 MA MB MA MB + − = Câu 8.a ( 1 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho (1;2;3)A và hai đường thẳng 1 2 2 3 ( ): 2 1 1 x y z d − + − = = − ; 2 1 1 1 ( ): 1 2 1 x y z d − − + = = − . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A , vuông góc với 1 d và cắt 2 d Câu 9.a ( 1 điểm). Tìm số phức z thoả mãn 1 2 5z i+ − = và . 34 z z = B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b( 1 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng ( ): 2 3 0d x y+ + = và elip 2 2 ( ) : 1 4 1 x y E + = . Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với d cắt ( ) E tại hai điểm , A B sao cho 1 OAB S = Câu 8.b ( 1 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 1 4 ( ): 1 1 2 x y z d + − = = và các điểm (1;2;7), (1;5;2), (3;2;4)A B C . Tìm M thuộc d sao cho 2 2 2 MA MB MC − − đạt GTLN Câu 9.b ( 1 điểm). Giải phương trình : 2 2 3 4 log ( 2 4) log ( 1) 4x x x   − + = − +   H ẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………….…………………;Số báo danh:……………………… 2 SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CÙ HUY CẬN KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2012-2013 H ƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN HỌC CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu1 (2 điể m) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH: a) (1 điểm) +TXĐ : { } / 1D = ℝ + 2 2 ' ' 0 ( 1) y y x D x − = ⇒ < ∀ ∈ − + Hàm s ố nghịch biến trên ( ) ;1−∞ và ( ) 1;+∞ + Hàm số không có cực trị + 1 lim 1 1 1 x x y x →∞ + = ⇒ = − là TCN; 1 1 lim ,lim x x y y + − → → = +∞ = −∞ ⇒ 1 x = là TCĐ + Bảng biến thiên: x −∞ 1 +∞ y’ -  - y 1 +∞ −∞ 1 + Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 1),( 1;0),(2;3)− − 0,25 0.25 0.25 0,25 3 b) (1 điểm) +PT hoành độ giao điểm : 1 ( 1) 1 x x m x x + = − ≠ − 2 ( 2) 1 0 (1)x m x m⇔ − + + − = Suy ra để d cắt ( ) H tại hai điểm phân biệt thì pt (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác 2 ( 2) 4( 1) 0 1 , 1 2 1 0 m m m m m  ∆ = + − + > ⇔ ∀  − − + − ≠  + Gọi ( ; ), ( ; ) A A B B A x x m B x x m − − , suy ra , A B x x là nghiệm của pt 2 (1) 1 A B A B x x m x x m + = +  ⇒  = −  + Ta có 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 4 2 ( 2) 4( 1) 2( 8) A B A B A B AB x x x x x x m m m     = − = + − = + − − = +     ( , ) 2 m d O AB − = + Theo bài ra ta có 2 4 2 1 3 1 3 . ( , ) 2( 8) 8 9 0 1 2 2 2 2 2 OAB m S AB d O AB m m m m − = = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ = ± Vậy 1m = ± là giá trị cần tìm. 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu2 (1 điểm ) 2) (1 điểm) ĐK: 3 cos 2 , 2 6 x x m m π π ≠ ⇔ ≠ ± + ∈ ℤ 3 2 2 3 2 2 2 2 3 1 2sin 2 3sin .cos 2sin sin2x os2 0 2 2 4sin 4 3sin .cos 4sin 3sin 2 os2 0 1 os2 4sin 2 3sin2 .sinx 3sin 2 4sin os2 0 2 2sin 4sin os2 2sin . os2 3sin2 (2sin 1) 0 2sin (1 2sin PT x x x x c x x x x x x c x c x x x x x c x x x c x x c x x x x ⇔ + − − + = ⇔ + − − + = − ⇔ + − − + = ⇔ − + − + − = ⇔ − ) os2 (1 2sin ) 3sin2 (2sin 1) 0 1 sinx 2 (2sin 1)( 3sin2 os2 2sin ) 0 3sin2 os2 2sin x c x x x x x x c x x x c x x + − + − =  =  ⇔ − − − = ⇔  − =   + Với 2 ( ) 1 6 sin , 5 2 2 6 x k KTM x k x k π π π π  = +  = ⇔ ∈   = +   ℤ + Với 0.25 0,25 0,25 4 2 ( ) 3 1 6 sin 2 os2 sinx sin(2 ) sinx , 7 2 2 2 6 18 3 x k KTM x c x x k k x π π π π π  = +  − = ⇔ − = ⇔ ∈   = +   ℤ + Vậy nghiệm của PT là : 5 2 6 , 7 2 18 3 x k k k x π π π π  = +  ∈   = +   ℤ 0,25 Câu3 (1 điểm ) 3) (1 điểm) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 3 1 1 3 2 40 0 2 y x x x y x x y  + − = − −   + − + =   ĐK: 1 0 1 x x − ≥ ⇔ ≤ [ ] 3 (1) 2 2 (1 ) 1 1 3 1y x x x y⇔ + − − + − = − − 3 2 2(1 ) 1 1y y x x x⇔ + = − − + − Xét ( ) ( ) 3 2 2 2 1 0f t t t f t t ′ = + ⇒ = + > ( )f t⇒ đồng biến ( ) ( ) 1 1f y f x y x⇒ = − ⇔ = − + Với 1y x= − thay vào (2) ta được: 3 3 2 1 40 0x x x+ − − + = Đặt ( ) 3 3 2 1 40f x x x x= + − − + 2 1 ( ) 3 3 0 1 1 f x x x x ′ = + + > ∀ < − ( 3) 0 3f x − = ⇒ = − là nghiệm duy nhất. 3 2 x y = −  ⇒  =  là nghiệm của hệ . 0.25 0,25 0,25 0.25 Câu4 (1 điểm ) 2 2 3 1 ln ln ln 3ln 2 e x x x I dx x + + + = ∫ 2 2 1 1 ln 1 ln(ln 3ln 2 3 e e x x x dx dx x x + + = + ∫ ∫ Đặt 2 2 3 1 1 ln 1 1 ln (ln ) ln 1 3 3 e e e x E dx xd x x x = = = = ∫ ∫ Đặt 2 1 ln(ln 3ln 2) e x x F dx x + + = ∫ Đặt ln x t = x 1 e 1 dx dt x = t 0 1 0.25 0,25 5 1 2 0 ln( 3 2) F t t dt ⇒ = + + ∫ Đặt 2 ln( 3 2)u t t= + + 2 2 3 ; 3 2 t du dt v dt t t t + ⇒ = = = + + ∫ 2 1 2 2 0 1 2 3 ln( 3 2) 0 3 2 t t I t t t dt t t + = + + − + + ∫ ( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 3 4 3 4 ln 3 2 2 ln6 2 0 3 2 3 2 t t t t t dt dt dt t t t t + +   = + + − − = − +   + + + +   ∫ ∫ ∫ 1 1 0 0 ln 6 2 ln 1 2ln 2 ln6 2 ln2 2ln3 2ln2 3ln3 2t t= − + + + + = − + + − = − + Vậy : 1 3 1 1 1 (3ln3 2) ln3 3 3 3 I E F= + = + − = − + 0,25 0,25 Câu5 (1 điểm ) + Gọi M là trung điểm của BC ta có (1) AM BC ⊥ Mà 1 1 (2)AH BC AM BC⊥ ⇒ ⊥ Từ (1) và (2) suy ra    0 1 1 1 (( );( )) ( ; ) 60A BC ABC AM AM AMA= = = + 0 1 1 3 1 2 ; ; 2 3 3 2 3 3 tan60 2 a a a AM HM AM AH AM A H a A H MH = = = = = + = ⇒ = + 3 . 1 1 1 1 3 . ( ) 8 ABC A B C ABC a V AH S dvtt= = + Trong mặt phẳng 1 (AA ) M kẻ 1 MK A A ⊥ ,do 1 1 (AMA ) (AA ; ) BC MK BC d BC MK ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = + Mà 1 1 1 1 1 AA . AA AA AH AH AM H AMK MK MK AM ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =∼ + Do 2 2 1 7 3 AA 3 4 12 2 7 a a a a MK= + = ⇒ = +Vậy 1 3 (AA ; ) ( ) 2 7 a d BC dvdd= 0,25 0,25 0,25 0,25 6 Câu6 (1 điểm ) C1 A B C B1 A1 K H M 6) (1 điểm) + Ta có 2 2 2 2 0y z y+ + ≥ + > M ặt khác : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4(1 ) 2 2 2 2 2 2 1 2(1 ) 2 2 1 4(1 ) y y z y z z x x y z y z + + + + + + ≤ + + = + + ⇒ ≥ + + + + + Tương tự: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2(1 ) 2 2 1 4(1 ) 1 2(1 ) 2 2 1 4(1 ) y y z x z x z z x y x y + + ≥ + + + + + + + ≥ + + + + + + T ừ đó suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 1 4(1 ) 1 4(1 ) 1 4(1 ) x y z P y z z x x y + + + ≥ + + + + + + + + + + + Đặt 2 2 2 1 ;1 ;1 , , 0x a y b z c a b c+ = + = + = ⇒ > Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2( ) 2.3( ) 6 5( ) 5( ) 5 a b c a b c P b c c a a b ab ca bc ab ca bc a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca ≥ + + = + + + + + + + + + + + + ≥ ≥ = + + + + Vậy 6 1 5 MinP x y z = ⇔ = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 7 Câu7 a (1 điểm ) PH ẦN RIÊNG: ( A. Theo chương trình chuẩn) 7a) (1 điểm) + Theo bài ra ta có ( 1;2), 3I R− = M nằm ngoài đường tròn nên ta có 2 2 . 1 MAMB MI R = − = + Theo bài ra ta có 2 2 2 8 . 10 ( ) 16 4 . 1 MA MB MA MB MA MB AB MA MB  + − = ⇒ − = ⇒ =  =  + Phương trình 2 2 : ( 2) ( 3) 0 (a 0) ax 2 3 0a x b y b by a b∆ − + − = + ≠ ⇔ + − − = Từ 2 2 2 2 2 2 2 3 2 ( , ) 5 5 2 3 2 0 1 4 2 a b a b AB d I R a ab b a b a b = −  +  ∆ = − = ⇒ = ⇔ + − = ⇔  = +  + Phương trình đường thẳng thoả mãn bài toán là: 2 1 0, 2 8 0 x y x y − − = + − = I H B A M 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu8 a (1 điểm ) 8a) (1 điểm) + Giả sử 2 2 (1 ;1 2 ; 1 ) ( ;2 1; 4)d B B t t t d AB t t t∆ ∩ = ⇒ − + − + ∈ ⇒ = − − −  + Ta có : 1 1 1 . 0 2( ) (2 1) 4 0 1 (1; 3; 5) d AB u AB u t t t t AB ∆ ⊥ ⇒ ⊥ ⇔ = ⇔ − − − + − = ⇔ = − ⇒ − −      + Vậy 1 2 3 : 1 3 5 x y z− − − ∆ = = − − 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu9 a (1 điểm ) 9a) (1 điểm) + Gọi 2 2 1 2 5 ( 1) ( 2) 5 ( 1) ( 2) 5 (1)z a bi z i a b i a b= + ⇒ + − = ⇔ + + − = ⇔ + + − = + Ta có 2 2 . 34 ( )( ) 34 34 (2)z z a bi a bi a b= ⇔ + − = ⇔ + = + T ừ (1) và (2) ta có hệ 2 2 2 2 2 2 3 5 2 7 2 4 20 3 34 34 5 29 5 a b a b a b a b a a b a b b  =    =   − = −  + + − =     ⇔ ⇔   =   + = + =        −  =     0,25 0,25 0,25 0,25 8 + Vậy 29 3 3 5 , . 5 5 z i z i − = + = + Câu7 b (1 điểm ) B. Theo chương trình nâng cao: 7b) (1 điểm) + Vì : 2 0d x y m∆ ⊥ ⇒ ∆ + − = . Khi đó toạ đô , A B là nghiệm của hệ : 2 2 2 (*) 8 4 4 0 (1) x y m y my m = −   − + − =  d cắt ( ) E tại hai điểm phân biệt , A B ⇔ hệ (*) có hai nghiệm phân biệt 2 32 4 0 2 2 2 2 (**)m m⇔ − > ⇔ − < < + G ọi 1 1 2 2 (2 ; ), (2 ; ) A y m y B y m y − − . Trong đó 1 2 , y y là ngiệm của phương trình (1) 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 5(8 ) 5. 8 2 5( ) 5 ( ) 4 4 2 4 8 m y y m m AB y y y y y y AB m y y  + =  − −    ⇒ ⇒ = − = + − = ⇒ =    −  =   + Đường cao 2 2 2 (8 ) 1 ( ; ) . 1 4 2 2 4 5 OAB m m m OH d O S OH AB m m − = ∆ = ⇒ = = = ⇔ = ⇔ = ± ( Thoả mãn (**) ). + Vậy phương trình đường thẳng : 2 2 0 x y ∆ − + = hoặc 2 2 0 x y − − = 0,2 5 0,2 5 0,2 5 0,2 5 Câu8 b (1 điểm ) 8b) (1 điểm) + Vì ( 2 1; 4;2 ) M d M t t t ∈ ⇒ − − + + Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 2) ( 2) (2 7) ( 2 2) ( 1) (2 2) ( 2 4) ( 2) (2 4) 9( 1) 21 21 P MA MB MC t t t t t t t t t t     = − − = − − + + + − − − − + − + −       − − − + + + − = − + + ≤   + Suy ra 21 1 (1;3; 2)MaxP t M= ⇔ = − ⇒ − 0,2 5 0,2 5 0,2 5 0,2 5 9 Câu9 b (1 điểm ) 9b) (1 điểm) +Đặt 2 2 3 log ( 2 4) 2 3 4 t x x t x x− + = ⇒ − = − + Suy ra ta có phương trình 4 3 1 log (3 1) 3 1 4 1 4 4 t t t t t t     + = ⇔ + = ⇔ + =         + Xét hàm 3 1 ( ) 4 4 t t f t     = +         , dễ thấy ( )f t ngịch biến mà (1) 1f = 1t⇒ = là nghiệm duy nhất + V ới 1 1t x= ⇒ = là nghiệm của phương trình 0,25 0,25 0,25 0,25 ( Chú ý: Mọi cách giải đúng và gọn đều cho điểm tương ứng) . SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2013 TRƯỜNG THPT CÙ HUY CẬN Môn: TOÁN; Khối A, A1, B và D Th ời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT. tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………….…………………;Số báo danh:……………………… 2 SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT CÙ HUY CẬN KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II. dx x + + + = ∫ Câu 5(1,0 điểm). Cho lăng trụ tam giác 1 1 1 . ABC A BC có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của 1 A lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với tâm của tam giác