Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn  Tọa độ của vectơ và của điểm: Cho ( ; ; ) ( ; ; ) u x y z u xi y j zk M x y z OM u xi y j zk  = ⇔ = + +   = ⇒ = = + +             N ế u ( ) ( ; ; ), ( ; ; ) ; ; A A A B B B B A B A B A A x y z B x y z AB x x y y z z = = → = − − −   Vect ơ b ằ ng nhau. T ọ a độ c ủ a vect ơ t ổ ng, vect ơ hi ệ u: Cho 1 1 1 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) u x y z v x y z = =   . Khi đ ó ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ; ; ( ; ; ), ( ; ; ), , ; ( ) ( ) ( ) A B A B A B u v x x y y z z ku kx ky kz k mu nv mx nx my ny mz nz m n u x y z v x y z AB x x y y z z x x u v y y z z ± = ± ± ± = ∈ ± = ± ± ± ∈ = + + = + + → = − + − + − =   = ⇔ =   =     ℝ   ℝ      Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ 1 1 1 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) u x y z v x y z = =   cùng phương 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 : x kx x y z k v ku y ky hay x y z z kz =   ⇔ ∃ ∈ = ⇔ = = =   =    ℝ  Tích vô h ướ ng c ủ a hai vect ơ : Cho 1 1 1 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) u x y z v x y z = =   . Tích vô h ướ ng c ủ a hai véc t ơ cho b ở i ( ) 1 2 1 2 1 2 . .cos , u v u v u v x x y y z z = = + +       Từ đó suy ra ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos , . 0 0 . x x y y z z u v u v u v u v x x y y z z u v x y z x y z + + = = → ⊥ ⇔ = ⇔ + + = + + + +           Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho: = − = − = − − = (1; 1;0), ( 1;1;2), 2 ,         a b c i j k d i a) Xác đị nh k để véct ơ = − (2;2 1;0)  u k cùng ph ươ ng v ớ i .  a b) Xác đị nh các s ố th ự c m, n, p để : = − +     d ma nb pc c) Tính + ; ; 2     a b a b Hướng dẫn giải: a) Để u  cùng phương với 1 1 1 2 2 1 2 a k k − ⇔ = ⇔ = − −  b) 2 (1; 2; 1); (1;0;0) c i j k c d i d= − − ⇒ − − = ⇒         01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Ta có 3 2 ( ; ;0) 1 1 ( ; ;2 ) 2 0 2 2 0 ( ; 2 ; ) 1 m ma m m m n p nb n n n d ma nb pc m n p n n p pc p p p p  =   = − + + =       = − → = − + ⇔ − − − = ⇔ =       − − = = − −   = −            c) 2 2 2 2 2 1 ( 1) 2; ( 1) 1 2 6 a b= + − = = − + + =   2 2 2 2 (1 2.1; 1 2.1;0 2.2) ( 1;1;4) 2 ( 1) 1 4 18 3 2 + = − − + + = − → + = − + + = =     a b a b Ví dụ 2: Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3). a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD. b) Tính cosin các góc của tam giác ABC. c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB. H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) Ta có (1; 2;1) AB DC= = −   nên ABCD là hình bình hành L ạ i có  0 . 1.2 2.1 0.1 0 . 90 AB BC AB BC ABC= − + = → ⇔ =     . V ậ y ABCD là hình ch ữ nh ậ t 2 2 2 2 2 . 1 1 2 . 2 1 30 ABCD S AB BC= = + + + = b) G ọ i góc gi ữ a các c ạ nh c ủ a tam giác ABC là φ 1; φ 2 ; φ 3 Ta có (1; 2;1); (2;1;0); (3; 1;1) AB BC AC= − = = −    Do góc gi ữ a 2 đườ ng th ẳ ng không v ượ t quá 90 0 nên ta có: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1.2 2.1 1.0 cosφ cos ; 0 1 2 1 . 1 2 1.3 2.1 1.1 6 cosφ cos ; 66 1 2 1 . 1 1 3 2.3 1.1 0.1 5 cosφ cos ; 55 2 1 . 1 1 3 AB BC AB AC BC AC − + = = = + + + + + = = = + + + + − + = = = + + +       c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0) (1; 1 ;1), (2; 3 ;2) IA y IB y → = − − = − −   I cách đều A và B khi 2 2 2 2 2 2 2 2 7 7 1 (1 ) 1 2 (3 ) 2 0; ;0 2 2 IA IB IA IB y y y I − −   = ⇔ = ⇔ + + + = + + + ⇔ = →     Ví dụ 3: Cho: ( ) ( ) ( ) 2 5 3 0 2 1 1 7 2 − − = = = ; ; ; ; ; ; , , a b c    . Tìm to ạ độ c ủ a các vect ơ u  v ớ i: a) 1 4 3 2 = − + u a b c     b) 4 2 = − − u a b c     c) 2 4 3 = − + u b c    d) 3 5 = − + u a b c     e) 1 4 2 2 3 = − − u a b c     f) 3 2 4 3 = − − u a b c     Ví dụ 4: Cho ba vect ơ ( ) ( ) ( ) 1 11 4 0 1 3 2 1 = − = − = − ; ; , ; ; , ; ; a b c    . Tìm: a) ( ) . a b c    b) ( ) 2 . a b c    c) 2 2 2 + + a b b c c a       Ví dụ 5: Cho ba vect ơ ( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 3 4 1 3 = = − = + ; ; , ; ; , ; ; a b c m m    . Tìm m để a) 2 3 2 69 + − =a b c    ( Đ /s: m = 2) b) ( ) 3 . 0 + = a c b    c) ( ) 22 cos ; 2 3045 + − =a b b c     (Đ/s: m = 1) Ví dụ 6: Cho ba vectơ ( ) ( ) ( ) 1 3 4 2 1 1 2 1 = = − − = ; ; , ; ; , ; ; a b c m m    . Tìm m để a) 2 74 + =a c   (Đ/s: m = 1) b) ( ) ( ) 2 . 2 0 + − = b c a c     (Đ/s: m = –2) Ví dụ 7: Cho hai vectơ , a b   . Tính X, Y khi biết Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn a) 4 6  = =  = −  ,a b X a b     b) 2 1 2 6 4  = − − = − =  = +  ( ; ; ), ,a b a b Y a b       Ví dụ 8: Cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1). a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành. c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức 3 2 0 + − = MA MB CM     Ví dụ 9: Tìm điểm M trên Oy cách đều các điểm (3;1;0), ( 2;4;1) − A B Đ /s: 11 0; ;0 6       M BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm t ọ a độ chân đườ ng vuông góc H c ủ a tam giác OAB v ớ i ( 3; 2;6), ( 2;4;4), (0;0;0) − − − A B O Đ /s: 96 80 192 ; ; 41 41 41   −     H Bài 2: Cho các đ i ể m A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3). a) Ch ứ ng minh r ằ ng ABC là m ộ t tam giác. Tính chu vi và di ệ n tích tam giác ABC. Đ /s: 6 2 =S b) Tìm đ i ể m D để ABCD là m ộ t hình bình hành. Đ /s: D(2;2;2;) c) Tìm đ i ể m M th ỏ a mãn h ệ th ứ c 2 , − + = MA MB MC MD     v ớ i D(4; 3; 2) Đ /s: 1 1; ;0 2       M Bài 3: Tìm đ i ể m C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông t ạ i C v ớ i (1;1;2), ( 1;2;5) − A B Đ /s: ( ) 2;0;0 −C Bài 4: Tìm đ i ể m C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông t ạ i B v ớ i (2; 1;0), (1; 1;1) − − A B Đ /s: ( ) 0;3;0 C Bài 5: Tìm đ i ể m M thu ộ c m ặ t ph ẳ ng xOz sao cho M cách đề u các đ i ể m (1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1) − − A B C Đ /s: 5 7 ;0; 6 6   −     M Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 4 đ i ể m ( ) ( ) ( ) ( ) 4;2;1 , 1;0;3 , 2; 2;0 , 3;2;1 − − −A B C D a) Ch ứ ng minh r ằ ng A, B, C, D không đồ ng ph ẳ ng b) Tính th ể tích t ứ di ệ n ABCD và đườ ng cao c ủ a t ứ di ệ n h ạ t ừ đỉ nh A c) Tìm t ọ a độ đ i ể m M thu ộ c đườ ng th ẳ ng AB sao cho tam giác MCD có di ệ n tích nh ỏ nh ấ t. Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 đ i ể m: ( ) ( ) ( ) 2;3;1 , 1;2;0 , 1;1; 2 − − A B C a) Tìm t ọ a độ tr ự c tâm tam giác ABC b) Tìm t ọ a độ I là tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC c) Gi ả s ử G là tr ọ ng tâm c ủ a tam giác ABC. Ch ứ ng minh 3 đ i ể m G, H, I th ẳ ng hàng. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn  Tích có hướng của hai véc tơ: Cho hai véc tơ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ; ; ), ( ; ; ) ; ; ; y z z x x y u x y z v x y z u v y z z x x y     = = → =           Ví dụ 1: Tính tích có h ướ ng c ủ a các véc t ơ sau: a) ( ) (1;1;2) ; 6; 4;5 ( 2;3;0) u u v v  =    → = − −    = −       b) ( ) ( 1;3;1) ; 7;0;5 ( 2;1; 2) u u v v  = −    → = −    = − −       c) ( ) (2;0; 1) ; 2;4;4 ( 2;2; 1) u u v v  = −    → =    = − −       Ví dụ 2: Cho ( ) ( ) = = − − 1;1;2 , 1; ; 2 .   u v m m Tìm m để a)   ⊥   ; ,    u v a v ớ i ( ) = − − 3; 1; 2 .  a b)   =   ; 4.   u v c) ( )   =   0 ; ; 60 ,    u v a v ớ i ( ) = − 1;2;0 .  a H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ta có ( ) ( ) ( ) 1;1;2 ; 2; ; 1 1; ; 2 u u v m m m v m m  =    → = − − − +    − −       a) ( ) ( ) ; ; . 0 2; ; 1 . 3; 1; 2 0 3 6 2 2 0 4 8 2. u v a u v a m m m m m m m m     ⊥ ⇔ = ⇔ − − − + − − = ⇔ − − + − − = ⇔ = − ⇔ = −           b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 ; 4 2 1 4 5 6 5 4 5 6 11 0 11 5 m u v m m m m m m m m =     = ⇔ − − + − + + = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔    = −     c) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 2 2 1 ; ; 60 cos ; ; 2 2 5. 5 6 5 2 2 5 6 5. 5 m m u v a u v a m m m m m + −     = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = + +     + +       ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 2 227 23 23 227 4 2 5 5 6 5 42 21 46 9 0 42 m m m m m m m m m m ≤  − ≥  ≤  −   ⇔ ⇔ ⇔ → =    − ± − = + + + + = =       Các ứng dụng của tích có hướng: +) Ứ ng d ụ ng 1: Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ (hoặc tính đồng phẳng của bốn điểm phân biệt A, B, C, D). Ba véc tơ ; ;    a b c đồ ng ph ẳ ng khi ; . 0   =      a b c và không đồng phẳng khi ; . 0.   ≠      a b c Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi ; . 0   =      AB AC AD và không đồng phẳng khi ; . 0.   ≠      AB AC AD +) Ứ ng d ụ ng 2: Tính diện tích tam giác. Ta có 1 1 1 ; ; ; 2 2 2 ∆       = = =             ABC S AB AC BC BA CA CB 02. TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Từ đó ; ; 1 1 ; . 2 2 ∆           = = → = =         ABC a a AB AC AB AC S AB AC a h h a BC +) Ứng dụng 3: Tính th ể tích kh ố i chóp tam giác ho ặ c t ứ di ệ n. Ta có 1 1 3 ; . . . 6 3 ∆ ∆   = = → =      ABCD ABC ABC V V AB AC AD S h h S ⇒ thể tích khối hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D là ; . '   =      V AB AC AA Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. b) Tính thể tích của tứ diện ABCD. c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) ( 6;3;3), ( 4;2;4), ( 2;3; 3) = − = − = − −    AB AC AD Ta có 3 3 3 6 6 3 , ; ; ( 18; 36;0) 2 4 4 4 4 2  − −   = = − −     − − − −     AB AC , . 18.( 2) 36.3 72 0   ⇒ = − − − = − ≠      AB AC AD nên ba vectơ , ,    AB AC AD không đồ ng ph ẳ ng. V ậ y A, B, C, D là 4 đỉ nh c ủ a m ộ t t ứ di ệ n b) 1 1 , . .72 12 6 6   = = =      ABCD V AB AC AD (đvtt) c) (2; 1; 7), (4;0; 6) = − − = −   BC BD 2 2 2 1 7 7 2 2 1 1 1 , ; ; (6; 16;4) , 6 16 4 77 0 6 6 4 4 0 2 2  − − − −     = = − → = = + + =       − −       BCD BC BD S BC BD Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có 1 12 36 . . 3. 3. 3 77 77 = → = = = ABCD ABCD BDC BDC V V S AH AH S d) ( 6;3;3), (2;1;1) = − =   AB CD Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là φ ta có: 2 2 2 2 6.2 3.1 3.1 6 1 cos φ . 3 324 6 3 3 . 2 1 1 − + + = = = + + + + Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là φ sao cho 1 cosφ 3 = Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng A(1; 2; –1), B(–1; 1; 3), C(–1; –1; 2) và D’(2; –2; –3) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại. b) Tính thể tích hình hộp. c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số . ' ' ' ' . ' ' ' ABCD A B C D A A B C V V d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’. Hướng dẫn giải: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn a) Đặt D(a; b; c) ta có ( ) 1; 2; 1 ; (0; 2; 1) = − − + = − −   AD a b c BC 1 0 1 2 2 0 (1;0; 2) 1 1 2 − = =     = ⇔ − = − ⇔ = → −     + = − = −     a a AD BC b b D c c Làm t ươ ng t ự ' ' '(0; 1;2); ' ' '(0; 3;1); ' ' ' (2;0; 2) = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −       A B AB B B C BC C AA DD A , ; b) 1 4 4 2 2 1 , ; ; (9; 2;4) , . ' 9.1 2.( 2) 4.( 1) 9 2 1 1 0 0 2  − − − −     = = − ⇒ = − − + − =       − − − −        AB AD AB AD AA . ' ' ' ' , . ' 9   = =      ABCD A B C D V AB AD AA ( đ vtt) c) . ' ' ' ' '. . ' ' ' . ' ' ' ' . ' ' ' 1 1 3 .9 6 6 6 2 = = = = ⇒ = ABCD A B C D A ABC A A B C ABCD A B C D A A B C V V V V V d) ' . ' . ' 9 9 3 6 6 = + = + = ABCDD D ACD B ACD V V V (đvtt) Ví dụ 5: Cho ba vectơ ( ) ( ) ( ) 11 2 2 1 0 3 2 = = − = − ; ; , ; ; , ; ; a b c m m    . Tìm m để a) ; 3 5   =   a c   (Đ/s: m = 1) b) ; 2 5   =   b c   (Đ/s: m = 2) Ví dụ 6: Cho ba vectơ ( ) ( ) 1 3 2 2 1= − = − ; ; , ; ; a b m m m   . Tìm m để a) 0 = .a b   b) ; . 0,   =   a b c    với (3;1;1) =  c c) ; 3 10   =   a b   (Đ/s: m = –1) Ví dụ 7: Cho ( ) ( ) 2;1;3 , 1; 1;2 1 = − = + −   u v m m . Tìm m để a) ; , u v a   ⊥      với ( ) 1;1; 3 . = −  a b) ; 2 2.   =     u v c) ( ) 0 ; ; 30 ,   =      u v a v ớ i ( ) 2;1;1 . = −  a Ví dụ 8: Cho ba vect ơ ( ) ( ) 3 2 1 0 1 3 3 2 11 = − = − = + − ; ; , ( ; ; ), ; ; a b c m m    . Tìm m để a) ; 3 6   =   a c   ( Đ /s: m = 0) b) ; 2 26   =   b c   ( Đ /s: m = –1) c) ba véc t ơ đ ã cho đồ ng ph ẳ ng Ví dụ 9: Cho ba vect ơ ( ) ( ) 2 3 1 3 11 2 2 3 1 = + + = − = − ; ; , ( ; ; ), ; ; a m m b c    . Tìm m để a) ; 110   =   a b   ( Đ /s: m = 0) b) ( ) . 6 + = a b c    ( Đ /s: m = –1) c) ; . 0   =   a b c    Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Ví dụ 10: Cho ba vectô , , a b c    . Tìm m, n bi ế t ,   =   c a b    : a) ( ) ( ) ( ) 3; 1; 2 , 1;2; , 5;1;7 = − − = =a b m c    b) ( ) ( ) ( ) 6; 2; , 5; ; 3 , 6;33;10 = − = − =a m b n c    c) ( ) ( ) ( ) 2;3;1 , 5;6;4 , ; ;1 = = = a b c m n    Ví dụ 11: Xét s ự đồ ng ph ẳ ng c ủ a ba véc t ơ , , a b c    cho d ướ i đ ây: a) ( ) ( ) ( ) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3 = − = =a b c    b) ( ) ( ) ( ) 4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1 = = − =a b c    c) ( ) ( ) ( ) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 = − − = = −a b c    d) ( ) ( ) ( ) 4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1 = = =a b c    Ví dụ 12: Tìm m để ba véc t ơ , , a b c    đồ ng ph ẳ ng: a) ( ) ( ) ( ) 1; ;2 , 1;2;1 , 0; 2;2 = = + = −a m b m c m    b) (2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1;2) = + − = + + = +a m m b m m c m m    d) ( ) ( ) ( ) 1; 3;2 , 1; 2;1 , 0; 2;2 = − = + − − = −a b m m m c m    BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz cho 4 đ i ể m A(–4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; –1); D(7; –2; 3). a) Ch ứ ng minh r ằ ng A, B, C, D đồ ng ph ẳ ng. b) Tính di ệ n tích t ứ giác ABDC. Bài 2: Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz cho 4 đ i ể m A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). a) Ch ứ ng minh r ằ ng A, B, C, D là 4 đỉ nh c ủ a m ộ t t ứ di ệ n. b) Tính th ể tích c ủ a t ứ di ệ n ABCD. c) Tính đườ ng cao c ủ a t ứ di ệ n h ạ t ừ đỉ nh A. d) Tính góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng AB và CD. Bài 3: Trong không gian cho các đ i ể m A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3). a) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng A, B, C không th ẳ ng hàng. b) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng b ố n đ i ể m A, B, C, D không đồ ng ph ẳ ng. c) Tính di ệ n tích tam giác ABC. d) Tính th ể tích t ứ di ệ n ABCD. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có A(2; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; –1), S(0; 0; 7). a) Tính di ệ n tích tam giác SAB. b) Tính di ệ n tích t ứ giác ABCD. c) Tính th ể tích hình chóp S.ABCD. T ừ đ ó tính kho ả ng cách t ừ S đế n (ABCD). d) Tính kho ả ng cách t ừ A đế n (SCD). Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn 1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng  ( ) 2 2 2 ; ; , 0 = + + >  n A B C A B C có ph ươ ng vuông góc v ớ i (P) đượ c g ọ i là véc t ơ pháp tuy ế n c ủ a (P).  (P) đ i qua đ i ể m ( ) 0 0 0 ; ; M x y z và có véc t ơ pháp tuy ế n ( ) ; ; =  n A B C thì có ph ươ ng trình đượ c vi ế t d ạ ng ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : 0. P A x x B y y C z z − + − + − =  (P) có véc t ơ pháp tuy ế n ( ) ; ; =  n A B C thì có ph ươ ng trình t ổ ng quát ( ) : 0. P Ax By Cz D + + + =  (P) đ i qua ba đ i ể m phân bi ệ t A, B, C thì có véc t ơ pháp tuy ế n ; P n AB AC   =       (P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho =   P Q n n  ( P ) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì ; α α β β  ⊥    → =    ⊥          P P P n n n n n n n  (P) đ i qua đ i ể m A và song song v ớ i hai véc t ơ ;   a b thì ;  ⊥    → =    ⊥          P P P n a n a b n b  (P) đ i qua đ i ể m A, B và vuông góc v ớ i ( α ) thì ; α α  ⊥    → =    ⊥          P P P n AB n AB n n n Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến ( ) = − 1; 2;1 .  n b) qua M(2; 0; 1) và song song v ớ i (Q): x + 2y + 5z − −− − 1 = 0. c) qua M(3; − −− − 1; 0) và vuông góc v ớ i hai m ặ t ph ẳ ng (Q): 4x + z − −− − 1 = 0; (R): 2x + 3y − −− − z − −− − 5 = 0. H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) (P) đ i qua M(1; 1; 2) và có véc t ơ pháp tuy ế n ( ) 1; 2;1 = −  n nên có ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) ( ) : 1. 1 2. 1 1. 2 0 2 1 0 − − − + − = ⇔ − + − = P x y z x y z b) (P) // (Q) nên // ,   P Q n n ch ọ n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1;2;5 :1. 2 2. 0 5. 1 0 = = → − + − + − =   P Q n n P x y z ( ) : 2 5 7 0. → + + − = P x y z c) (P) qua vuông góc v ớ i hai m ặ t ph ẳ ng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0 nên có véc t ơ pháp tuy ế n ( ) ( ) ( ) 4 0 1 ; 3;6;12 3 1; 2; 4 1; 2; 4 2 3 1  ⊥     → = = = − = − − − ⇒ = − −     −  ⊥           P Q P Q R P P R n n n n n n n n Khi đ ó (P) có ph ươ ng trình ( ) ( ) 1. 3 2. 1 4 0 2 4 5 0 − − + − = ⇔ − − − = x y z x y z Ví d ụ 2. Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6). a) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng đ i qua A và nh ậ n vect ơ ( ) 1; 1;5 −  n làm vect ơ pháp tuy ế n b) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng đ i qua A bi ế t r ằ ng hai véct ơ có giá song song ho ặ t n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng đ ó là ( ) ( ) 1;2; 1 , 2; 1;3 − −   a b c) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng qua C và vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng AB. d) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng trung tr ự c c ủ a đ o ạ n AC. e) Vi ế t ph ươ ng trình (ABC). Ví d ụ 3. Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2). a) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng đ i qua I(2; 1; 1) và song song v ớ i (ABC). b) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng qua A và song song v ớ i (P): 2x – y – 3z – 2 = 0. 03. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0. d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0. e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz). Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với: a) ( ) 3 1 1 2 1 4 2 3 1 0  − −  − + − =  β ( ; ; ), ( ; ; ) : A B x y z b) ( ) 2 1 3 4 2 1 2 3 2 5 0  − − −  + − + =  β ( ; ; ), ( ; ; ) : A B x y z c) ( ) 2 1 3 4 7 9 3 4 8 5 0  − − −  + − − =  β ( ; ; ), ( ; ; ) : A B x y z d) ( ) 3 1 2 3 1 2 2 2 2 5 0  − − −  − − + =  β ( ; ; ), ( ; ; ) : A B x y z Ví dụ 5. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (α) đ i qua đ i ể m M và giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng ( P ), ( Q ) cho tr ướ c, v ớ i: a) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 5 0 3 2 5 1 0 − − + − = − + − = ; ; , : ,M P x y z Q : x y z b) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 4 0 3 1 0 − − + − = − + − = ; ; , : ,M P x y z Q : x y z c) ( ) ( ) ( ) 3 4 1 19 6 4 27 0 42 8 3 11 0 − − + = − + + = ; ; , : ,M P x y z Q : x y z d) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 5 3 2 5 0 2 1 0 − + − = − − − = ; ; , : , :M P x y z Q x y z Ví dụ 6. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (α) qua giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng ( P ), ( Q ), đồ ng th ờ i song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( R ) cho tr ướ c, v ớ i: a) 2 4 0 3 0 2 0 P y z Q x y z R x y z ( ): , ( ): , ( ) : + − = + − − = + + − = b) 4 2 5 0 4 5 0 2 19 0 P x y z Q y z R x y ( ): , ( ): , ( ): − + − = + − = − + = c) 3 2 0 4 5 0 2 7 0 P x y z Q x y R x z ( ): , ( ) : , ( ): − + − = + − = − + = Ví dụ 7. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (α) qua giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng ( P ), ( Q ), đồ ng th ờ i vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( R ) cho tr ướ c, v ớ i: a) 2 3 4 0 2 3 5 0 2 3 2 0 P x y Q y z R x y z ( ): , ( ) : , ( ) : + − = − − = + − − = b) 2 4 0 3 0 2 0 P y z Q x y z R x y z ( ): , ( ): , ( ): + − = + − + = + + − = c) 2 4 0 2 5 0 2 3 6 0 P x y z Q x y z R x y z ( ): , ( ): , ( ): + − − = + + + = − − + = d) 3 2 0 4 5 0 2 7 0 P x y z Q x y R x z ( ): , ( ) : , ( ): − + − = + − = − + = 2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt    Mặt phẳng (xOy): véc t ơ pháp tuy ế n là Oz và đ i qua g ố c t ạ o độ nên có ph ươ ng trình là z = 0. Đặ c bi ệ t, m ặ t ph ẳ ng song song v ớ i ( Oxy ) có ph ươ ng trình là z − a = 0.    Mặt phẳng (yOz): véc t ơ pháp tuy ế n là Ox và đ i qua g ố c t ạ o độ nên có ph ươ ng trình là x = 0. Đặ c bi ệ t, m ặ t ph ẳ ng song song v ớ i ( Oyz ) có ph ươ ng trình là x − a = 0.    Mặt phẳng (xOz): véc t ơ pháp tuy ế n là Oy và đ i qua g ố c t ạ o độ nên có ph ươ ng trình là y = 0. Đặ c bi ệ t, m ặ t ph ẳ ng song song v ớ i ( Oxz ) có ph ươ ng trình là y − a = 0.    Mặt phẳng trung trực: Cho hai đ i ể m A, B . Khi đ ó m ặ t ph ẳ ng trung tr ự c c ủ a AB đ i qua trung đ i ể m I c ủ a AB và nh ậ n  AB làm véc t ơ pháp tuy ế n.    Ph ươ ng trình m ặ t ch ắ n: N ế u m ặ t ph ẳ ng ( P ) c ắ t ba tr ụ c t ọ a độ l ầ n l ượ t t ạ i các Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn điểm ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; A a B b C c thì ( P) có ph ươ ng trình đ o ạ n ch ắ n: ( ) : 1 + + = x y z P a b c . Một số đặc điểm của mặt chắn: + Độ dài ; ; = = = OA a OB b OC c + Thế tích tứ diện 1 1 . . 6 6 = = OABC V OAOB OC abc + Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: • Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Do mặt phẳng cắt các tia nên Ta có a, b, c > 0 Phương trình mặt chắn ( ) : 1. + + = x y z P a b c • Do ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 2 ∈ → + + = ⇔ + + = M P a b c a b c Ta có 1 ; ; 6 = = = → = OABC OA a OB b OC c V abc • Do a, b, c là ba số dương nên theo Côsi ta có 3 3 3 1 1 1 3 1 3 6 216 2 + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥abc abc a b c abc abc min 1 .216 36 36 6 6 → ≥ = ⇒ = ⇔ = = = OABC V V a b c , t ừ đ ó ta đượ c ph ươ ng trình (P): x + y + z – 6 = 0 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho đ i ể m A(1; 0; 0) và m ặ t ph ẳ ng (P): y – z + 1 = 0. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng đ i qua A, vuông góc v ớ i (P) và c ắ t các tr ụ c Oy, Oz l ầ n l ượ c t ạ i các đ i ể m B, C sao cho di ệ n tích tam giác ABC b ằ ng 6. Đ /s: ( ) : 1 2 2 y z ABC x ± ± = Bài 2: Cho đ i ể m A(2; 0; 0) và đ i ể m M(2; 3; 2). Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( α ) đ i qua A, M sao cho ( α ) c ắ t các tr ụ c Oy, Oz l ầ n l ượ c t ạ i các đ i ể m B, C sao cho 2 OABC V = , với O là gốc tọa độ. Đ/s: ( ) : 1; 1 2 3 2 2 3 2 x y z x y z ABC + − = − + = Bài 3: Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho 4 OABC V = Đ/s: ( ) : 1 2 3 4 x y z ABC − + + = Bài 4: Cho điểm B(0; 3; 0) và điểm M(1; -3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua B, M sao cho (α) cắt các trục Ox, Oz lần lược tại các điểm A, C sao cho 7 2 ABC S = , với O là gốc tọa độ. [...]... giao điểm của (P) và d3 là A Học trực tuyến tại: www .moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng y + z − 2 = 0  x = 2t 1   1 3 Tọa độ của A là nghiệm của hệ   t = ⇒ A  1; ;  → 2  2 2 y = t z = 1 + t  Chứng minh tương tự d4 cắt mp (P) tại điểm B(4; 2; 0)  3 3 3 Ta có AB =  3; ; −  = (2;1; −1); AB.u1 = 9 ≠ 0 ⇒ u1 không cùng... tại: www .moon.vn Mobile: 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN a) M ∈ ( P ) b) d ( M ; ( P ) ) = 2 3 (Đ/s: t = ±1 ) x = 2 + t  Ví dụ 6: Cho đường thẳng d :  y = 1 + 3t và mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + 2 z + 10 = 0 Tìm điểm M trên d sao z = 1− t  cho d ( M ; ( P) ) = 14 3 (Đ/s: t = −1; t = − 31 ) 3 Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz... thẳng sau đây cắt nhau? Khi đó tìm tọa độ giao điểm của chúng? e) d1 :  x = 1 + mt  a) d1 :  y = t ;  z = −1 + 2t  x = 1 − t '  d 2 :  y = 2 + 2t '  z = 3−t'  x = 1 − t  b) d1 :  y = 3 + 2t ; z = m + t  x = 2 + t '  d2 :  y = 1 + t '  z = 2 − 3t '  Học trực tuyến tại: www .moon.vn Đ/s: m = 2 Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN –...  (d ) / / (P) ⇔   Học trực tuyến tại: www .moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng  nP ⊥ u d  n u ≠ 0  Aa + Bb + Cc = 0  ⇔ P d ⇔  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 M 0 ∈ ( P ) M 0 ∈ ( P )   (d ) ⊂ ( P) ⇔   ( d ) ∩ ( P ) ⇔ nP ud ≠0  x0 =  x − x0 y − y0 z − z0 = =   Khi đó, tọa độ giao điểm thỏa mãn hệ phương trình  a → b... sao cho: a) tam giác ABC đều b) tam giác ABC cân tại A c) diện tích tam giác ABC bằng 9/2 d) tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất 2 2 2 e) F = xM − yM + zM đạt giá trị lớn nhỏ nhất f) CA2 + CB2 đạt giá trị nhỏ nhất Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www .moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN 05 BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ... : x + z + 8 = 0 Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 2; 1), B(–1; 3; 1), C(0; 2; 2), D(4; –3; 1) a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm A đến (BCD) bằng hai cách c) Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho (P) cách đều hai điểm A và B d)* Viết phương trình mặt phẳng cách đều bốn điểm A, B, C, D Ví dụ 11:... x = − 2  x = −1 + t    y = −t  y = −t 1    Tạo độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình  ⇔  z = −2 + 3t ⇔ y = z = −2 + 3t 2    1 7  x + 2 y − z − 3 = 0  −1 + t − 2t + 2 − 3t − 3 = 0 ⇒ t = −    z = − 2  2  Học trực tuyến tại: www .moon.vn Mobile: 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN  3 1 7 ⇒ I  − ; ; −   2 2 2 Ví dụ 2 Tìm m để... ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG x − x1 y − y1 z − z1  ( d1 ) : a = b = c    M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) ∈ d1 ; u1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) 1 1 1 Cho hai đường thẳng d1 và d2 với    → ( d ) : x − x2 = y − y2 = z − z2  M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) ∈ d 2 ; u2 = ( a2 ; b2 ; c2 )   2 a2 b2 c2  Học trực tuyến tại: www .moon.vn Mobile: 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN. .. B, C, D Ví dụ 11: Cho hai mặt phẳng, (P1): 2x – 2y + z – 3 = 0 và (P2): 2x – 2y + z + 5 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (Q) song song và cách đều hai mặt phẳng (P1) và (P2) Học trực tuyến tại: www .moon.vn Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 07 BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MẶT PHẲNG II KHOẢNG... 1 −1 5 22 11 x −1 y +1 z + 2 = = và điểm A(2; 1; –1) 2 −1 −2 Tìm m sao cho d(A, ∆) = d(A, (P)) Ví dụ 5: (Khối A – 2009) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www .moon.vn Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng ∆1 : x +1 y z + 9 x −1 y − 3 z + 1 = = ; ∆2 : = = 1 1 6 2 1