PHềNG GD&T THNH PH NINH BèNH THI CHN HC SINH GII LP 6 Nm hc 2011 - 2012 Mụn: Toỏn (Thi gian lm bi: 150 phỳt) Bi 1 (4 im): Tỡm cỏc s nguyờn x, sao cho: a) 2 x + 2 x + 1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 = 480. b) 2 + 4 + 6 + 8 + +2x = 156 c) (x 2 - 49) (x 2 - 81) < 0. d) 105721 =++++ xxxx e) 1000 998 )1( 2 10 1 6 1 3 1 = + ++++ xx Bài 2 (4 im): Thc hin so sỏnh: a. A = 12009 12009 2009 2008 + + vi B = 12009 12009 2010 2009 + + b. C = 1. 3. 5. 7 99 vi D = 2 100 2 53 . 2 52 . 2 51 c. Chng minh rng 2011 10 8+ chia ht cho 72. Bài 3 (3 điểm): 1/ Tìm các chữ số x,y sao cho xy1994 chia hết cho 72. 2/Tìm n N sao cho (3n +1) (2n+3) Bài 4 (3 điểm): Trong dịp Tết trồng cây, khối 6 phân chia số cây cho các lớp đem trồng nh sau: Lớp 6A trồng 10 cây và 1 8 số cây còn lại, lớp 6B trồng 15 cây và 1 8 số cây còn lại, lớp 6C trồng 20 cây và 1 8 số cây còn lại, Cứ chia nh vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa hết số cây và số cây các lớp đợc đem trồng đều bằng nhau. Hỏi có mấy lớp 6, mỗi lớp đợc chia bao nhiêu cây đem trồng? Bi 5 (3 im): Trong 3 s nguyờn a; b; c, cú mt s dng, mt s õm, mt s bng khụng, ngoi ra cũn bit thờm rng: ( ) cbba = 2 . Hi s no dng, s no õm, s no bng khụng? Bài 6 (3 điểm): a, Tìm x, y N, biết 2 x + 624 = 5 y . b, Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = | x - y | + | x + 1 | + 2011 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Ht PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2011 - 2012 Bµi Đáp án Điểm Bµi 1 a) 2 x (1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) = 480. 2 x = 2 5 => x = 5. 0,5 b) => 2(1 + 2 + 3+…+ x) = 156 => 1 + 2 + 3 + …+ x = 78 => [(x + 1) x] : 2 = 78 ⇒ x(x+1) = 156 Vì 156 = 2 2 . 3 . 13 = 12.13 => x = 12 0,5 c) (x 2 - 49). (x 2 - 81) < 0 => x 2 - 49 và x 2 - 81 là hai số trái dấu. Mà x 2 - 81 < x 2 - 49      > < ⇒      >− <− ⇒ 49 81 049 081 2 2 2 2 x x x x => x 2 = 64 Vậy x = 8 hoặc x = -8 0,25 0,25 0,25 0,25 (4 điểm) d) 105721 −=++−++ xxxx (1) Ta có: Zxxxx ∈∀≥++−++ 0721 => 5x - 10 ≥ 0 => x ≥ 2. Với x ≥ 2 thì: 77;22;11 +=+−=−+=+ xxxxxx Vậy từ ( 1) suy ra: (x +1) + (x -2) + (x +7) = 5x - 10 => 3x + 5 = 5x - 10 => x = 8 (thoả mãn) 0,25 0,25 0,25 0,25 e) 1000 998 )1( 2 10 1 6 1 3 1 = + ++++ xx => 1000 998 ) )1( 1 5.4 1 4.3 1 3.2 1 (2 = + ++++ xx => 2000 998 1 11 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 = + −++−+−+− xx 0,25 0,25 => 2000 998 )1(2 21 2000 998 1 1 2 1 = + + =>= + x x x => 2000 (x - 1) = 2. 998 (x + 1) => x = 999 0,25 0,25 B i 2 4 im a) Thc hin qui ng mu s: A = )12009)(12009( 1200920092009 )12009)(12009( )12009)(12009( 20102009 200820104018 20102009 20102008 ++ +++ = ++ ++ B = )12009)(12009( 1200920092009 )12009)(12009( )12009)(12009( 20092010 200920094018 20092010 20092009 ++ +++ = ++ ++ )12009(200920092009 2200820082010 +=+ )20092009(200920092009 200820092009 +=+ Do )12009( 2 + > )20092009( + nờn A > B. 0,5 0,5 0,5 b) 1. 3. 5. 7 99 .2.4.6 100 C 1. 3. 5. 7 99 2.4.6 100 = = )2.50) (2.3).(2.2).(2.1( 00.2.4.6 1 99 7 5. 3. 1. = 2 2.2.2.50 3.2.1 100 53.52.51.50 3.2.1 = 2 100 2 53 . 2 52 . 2 51 = = D Vy C = D 1,0 c) Vỡ 2011 10 8+ cú tng cỏc ch s chia ht cho 9 nờn tng chia ht cho 9 Li cú 2011 10 8+ cú 3 ch s tn cựng l 008 nờn chia ht cho 8 Vy 2011 10 8+ chia ht cho 72 0,5 0,5 0,5 Bài 3 (3điểm) Mỗi ý 1,5 điểm 1/ 72322769.721994 xyxy ++= Vì 72.2769 72 nên 32+ xy 72 Vì 13199323232 =++ xy nên 7232 =+ xy 40= xy . Vậy x= 4 và y= 0. 2/ Ta có (3n +1) (2n+3) )32()13(2 ++ nn và 3(2n+3) (2n+3) 6n+2 (2n+3) và (6n+9) (2n+3) (6n+9 - 6n- 2) (2n+3) 7 (2n+3) 2n+3 Ư(7) = { } 7;1 Nếu 2n+3 = 1 2n = -2 n = -1 N Nếu 2n+3 = 7 2n = 4 n= 2 N Vậy n = 2. 1,5 1,5 B i 4 (3 đim) Xét 2 lớp cuối cùng là lớp thứ n-1 và lớp thứ n. Gsử lớp thứ n-1 đợc chia x cây + 1/8 số cây còn lại hay x +(1/8)y (cây). Lớp thứ n đợc chia nốt (7/8)y (cây). Theo qui luật của bài toán lớp thứ n đợc chia x + 5 (cây) ( Vì không 0,25đ 0,25đ còn số còn lại). Vì số cây đem trồng đều bằng nhau nên ta có: x + 1 8 .y = x + 5 suy ra 1 8 .y = 5 y = 40 tìm ra lớp thứ n đợc chia 35 cây suy ra mỗi lớp đợc chia 35 cây Vì lớp 6A trồng 10 cây và 1/8 số cây còn lại nên 1/8 số cây còn lại là 25 cây Tổng số cây là 10 + 25.8 = 210(cây) Số lớp 6 là 210 : 35 = 6(lớp) 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Bi 5 (3 im) + Gi s a = 0 thỡ b = 0 hoc b = c vụ lý, vỡ a;b;c khỏc nhau Vy a 0 (1) + Ga s b = 0 thỡ a = 0 vụ lý Vy b 0 (2) T (1) V (2) suy ra c = 0 khi ú 3 ba = suy ra b > o v a < 0 Vy: a < 0; b > 0; c = 0 1.0 0.75 0.75 0.5 B i 6 (3điểm) a, Nếu x = 0 thì 2 0 + 624 = 5 y 625 = 5 y 5 y = 5 4 y = 4 Nếu x 0 thì 2 x là số chẵn 2 x + 624 là số chẵn Mà 5 là số lẻ 5 y là số lẻ Với x, y N, x 0 thì 2 x + 624 5 y Vậy x = 0, y = 4. 0,5 0,25 0,5 0,25 b, Vì |x - y | 0 với mọi x, y ; |x + 1 | 0 với mọi x A 2011 với mọi x,y . A đạt giá trị nhỏ nhất khi | | 0 0 | 1| 0 1 0 1 x y x y x y x x x = = = + = + = = Vậy với x = y = - 1 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2011 0,5 0,25 0,5 0,25 Lu ý: - Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng cho im ti a. Ht . dịp Tết trồng cây, khối 6 phân chia số cây cho các lớp đem trồng nh sau: Lớp 6A trồng 10 cây và 1 8 số cây còn lại, lớp 6B trồng 15 cây và 1 8 số cây còn lại, lớp 6C trồng 20 cây và 1 8 . > 0; c = 0 1.0 0.75 0.75 0.5 B i 6 (3điểm) a, Nếu x = 0 thì 2 0 + 62 4 = 5 y 62 5 = 5 y 5 y = 5 4 y = 4 Nếu x 0 thì 2 x là số chẵn 2 x + 62 4 là số chẵn Mà 5 là số lẻ 5 y. = 2 5 => x = 5. 0,5 b) => 2(1 + 2 + 3+…+ x) = 1 56 => 1 + 2 + 3 + …+ x = 78 => [(x + 1) x] : 2 = 78 ⇒ x(x+1) = 1 56 Vì 1 56 = 2 2 . 3 . 13 = 12.13 => x = 12 0,5 c) (x 2 -