Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang   1  SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT 1.Mỗibiểudiễndạng   2 , , 1 z a bi a b i      gọilàmộtsốphức,agọilàphầnthực,bgọi làphầnảo. 2.Chocácsốphức ' ' ' , z a bi z a bi     .Tacóđịnhnghĩa: ' ' ' . a a z z b b           3.Mỗisốphức   ,z a bi a b    đượcbiểudiễnbởimộtđiểm   M ;a b trênmặtphẳngtọa độ. 4.Môđuncủasốphức   ,z a bi a b    làsốthực 2 2 z a bi a b    . 5. Sốphứcliênhợpcủasốphức   ,z a bi a b    làsốphức z a bi  . 6. Phépcộngvàtrừhaisốphức , a bi c di  đượcđịnhnghĩatheoquytắccộng,trừđathức:         a bi c di a c b d i        . 7.Phépnhânhaisốphức , a bi c di  đượcđịnhnghĩatheoquytắcphépnhânđathức,vớilưu ý 2 1 i   . 8. Phépchiahaisốphức a bi c di   đượctínhbằng:    2 a bi c di a bi c di c di       với 0 c di   . 9.Trongtậpcácsốphức  cănbậchaisốthựcâm a làcácsốphức i a   10. Xétphươngtrìnhbậchai   2 0 , ,ax bx c a b c     vàbiệtsố 2 4b ac    .  +) 0  phươngtrìnhcócácnghiệmthực 1,2 2 b x a     ;  +) 0  phươngtrìnhcócácnghiệmphức 1,2 2 b i x a       Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang   2  II. BÀI TẬP 1. Các phép toán về số phức. Bài 1.Tính. a)     2 3 6 7 ;z i i         b)     2 9 5 4 .z i i      Giải. a)         2 3 6 7 2 6 3 7 4 4z i i i i             . b)         2 9 5 4 2 5 9 4 3 13z i i i i             . Bài 2.Tính. a)       3 4 3 2 4 7i i i          ;   b)      7 5 1 3 2i i i     ; c)     2 3 4 5 7i i   ;     d)     2 3 2 5 4i i i     ; e)       2 4 5 2 3 4 6 i i i i      ;   g)     3 2 3 1 2i i    . Giải. a)          3 4 3 2 4 7 3 4 7 9i i i i i                 2 21 27 28 36 15 27. 1 28 55 15 . i i i i i              b)          2 7 5 1 3 2 7 7 5 5 3 2i i i i i i i                 7 2 5 3 2 9. i i        c)        2 3 4 5 7 7 24 5 7i i i i         133 169 .i   d)        2 3 2 5 4 4 7 5 4 8 51i i i i i i           . e)           2 4 5 2 3 4 6 18 16 14 27 4 43i i i i i i i              . g)         3 2 2 3 2 3 1 2 27 27 9 1 4 4i i i i i i i                 27 27 9 1 4 4 21 30 . i i i i           Bài 3. Tính.  a) 5 5 20 3 4 4 3 i i i     ;     b) 3 7 5 8 2 3 2 3 i i i i      ;  c)   5 7 3 4 6 5 i i i      ;     d) 3 2 3 2 i i i    . Giải. a)            5 5 3 4 20 4 3 5 5 20 5 35 80 60 75 25 3 . 3 4 4 3 3 4 3 4 4 3 4 3 25 25 25 i i i i i i i i i i i i i i                        Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang   3   b)             3 7 2 3 5 8 2 3 3 7 5 8 27 5 34 61 4 . 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 13 13 13 13 i i i i i i i i i i i i i i i                        c)             5 7 6 8 5 7 26 82 163 159 3 4 3 4 3 4 6 8 6 8 6 8 100 50 50 i i i i i i i i i i i                       . d)       3 2 2 3 2 4 7 4 22 3 3 3 . 2 2 2 5 5 5 i i i i i i i i i i i                  Bài 4:Thựchiệnphépchiacácsốphứcsau: a) 1 (1 )(4 3 ) z i i    ;   b) 5 6 4 3 i z i     ;   c) 3 4 4 i z i      Giải. a) 2 2 1 1 7 7 7 1 (1 )(4 3 ) 7 (7 )(7 ) 7 50 50 i i z i i i i i i i               . b) 2 2 5 6 ( 5 6 )(4 3 ) 2 39 2 39 4 3 (4 3 )(4 3 ) 4 3 25 25 i i i i z i i i i                  . c) 2 3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 16 13 4 (4 )(4 ) 4 1 17 17 i i i i z i i i i              . Bài 5.Chosốphứcz= 3 1 2 2 i .Tìmcácsốphứcsau: z ;z 2  Giải. Vì 3 1 2 2 z i  nên 3 1 2 2 z i   Tacó 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 2 2 4 4 2 2 2 z i i i i                . Bài 6. Tínhgiátrịbiểuthức     2 2 1 3 1 3P i i      (TN2008–lần1). Giải.     2 2 2 2 1 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 2 6 4. P i i i i i i                Bài 7. Tìmsốphứcliênhợpcủa: 1 (1 )(3 2 ) 3 z i i i       Giải: Tacó 3 3 53 9 5 5 (3 )(3 ) 10 10 10 i i z i i i i i             .Suyrasốphứcliênhợpcủazlà: 53 9 10 10 z i   . Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang   4  Bài 8. Chosốphức 4 3z i  .Tìmsốphức 2 z z z    Giải.     2 2 4 3 4 3 11 27z z i i i            2 2 2 11 27 4 3 11 27 37 141 4 3 4 3 25 i i z z i i i z               Bài 9. Tìmsốphứcsau:   15 1 z i   .  Giải. Tacó:       2 14 7 7 1 1 2 –1 2 1 2  128. 128i i i i i i i           . Nên           15 14 1  1 1 128 1 128 1 128 –128 .z i i i i i i i               Bài 10. Tìmphầnthựcvàphầnảocủasốphứcsau:  a) 4 2 3 i z i i     ;  b)   2 7 2 3 2z i i     ; c) 7 3 1 5 1 3 2 i i z i i          Giải a)Tacó 4 2 3 3 4 2 1 3 i z i i i i i i           .  Vậy 4 2 3 i z i i     cóphầnthựclà1vàphầnảolà3. b)Tacó   2 2 7 2 3 2 7 2 9 12 4 2 10z i i i i i i            . Vậy   2 7 2 3 2z i i     cóphầnthựclà2vàphầnảolà10. c)Tacó       7 3 1 1 5 3 2 7 3 1 5 10 4 13 13 4 1 3 2 1 1 9 4 2 13 i i i i i i i i z i i i                      . Vậy 7 3 1 5 1 3 2 i i z i i        cóphầnthựclà4vàphầnảolà-1. Bài 11. Tìmphầnảocủasốphức z thỏamãn     2 2 1 2z i i    . (ĐH–A2010CB). Giải.        2 2 1 2 1 2 2 1 2 5 2 5 2z i i i i i z i            . Sốphứczcóphầnảobằng 2  . Bài 12. Chocácsốphức 1 2 1 2 , 2 3z i z i    .Xácđịnhphầnthực,ảocủasốphức 1 2 2z z  (TN2010–CB). Giải. Tacó   1 2 2 1 2 2 2 3 3 8z z i i i        . Phầnthực:-3;phầnảo:8. Bài 13. Chocácsốphức 1 2 2 5 , 3 4z i z i    .Xácđịnhphầnthực,ảocủasốphức 1 2 .z z   (TN2010–NC). Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang   5  Giải. Tacó    1 2 . 2 5 3 4 26 7z z i i i     . Phầnthực:26;phầnảo:7. Bài 14.Tìmphầnthựcvàphầnảocủasốphức 3 1 3 1 i z i             (ĐH–B2011NC). Giải.            3 3 3 1 3 1 1 3 1 1 1 1 3 3 1 2 i i i z i i i i                                                       3 2 2 3 2 3 1 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 8 1 10 6 3 6 1 3 6 1 3 10 6 3 8 i i i i i                                  1 16 16 8 2 2 i i     Chú ý: Nếu áp dụng dạng lượng giác của số phức thì tính toán sẽ nhanh hơn. Bài 15 a)Chosốphức 1 1 i z i    tínhgiátrịcủa 2010 z . b)Chứngminh: 2010 2008 2006 3(1 ) 4 (1 ) 4(1 ) i i i i     . Giải. a)Tacó: 2 1 (1 ) 1 2 i i z i i       nênz 2010 2010 4.502 2 4.502 2 1( 1) 1 i i i i         . b)Tacó: 2010 2008 2006 4 2 4 2 3(1 ) 4 (1 ) 4(1 ) 3(1 ) 4 (1 ) 4 (1 ) 4 4 4 4 4. i i i i i i i i i                       Bài 16 a)Tínhtổngsau: 2 3 2009 1 i i i i      . b)Cho2sốphứcz 1 ,z 2 thỏamãn 1 2 1 z z   ; 1 2 3 z z  tính 1 2 z z . Giải. a)Tacó 2010 2 3 2009 1 (1 )(1 ) i i i i i i         mà: 2010 1 2 i   nên: 2 3 2009 1 i i i i      = 2 1 1 i i    . b)Đặt 1 1 1 z a b i   ; 2 2 2 z a b i  . Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang   6  Từgiảthiếttacó: 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 3. a b a b a a b b               Suyra: 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2( ) 1 ( ) ( ) 1 1 a b a b a a b b z z           .  2. Số phức bằng nhau. Bài 1.Tìmcácsốthựcx, ybiết: a)     2 1 5 4 3 2x i y i        b) ( 2) 4 3 ( 1)x i y i     ;  c)         2 1 3 2 2 4x y i x y i        ;  d)         1 3 1 2 1x y i x y x i       . Giải. a)     5 2 1 4 2 2 1 5 4 3 2 7 5 3 2 3 x x x i y i y y                             b) 2 3 3 2 ( 2) 4 3 ( 1) 4 ( 1) 3. x x x i y i y y                            c)         2 1 2 1 2 1 3 2 2 4 3 2 4 2. x x x x y i x y i y y y                         d)         3 1 3 4 1 1 3 1 2 1 2 1 (2 1) 2 2 5. x x y x y x x y i x y x i y x x y y                                      Bài 2.Tìmcácsốthựcx, ybiết: a)     5 1 2 1 2 5x y i y y i        ; b)     3 1 2 2 2 7x x i y y i         ; c)     2 5 1 1 5x x i y y i         . Giải. a) 5 1 2y 8  5 (1 2 ) 1 2 ( 5) 1 2 5 2. x x x y i y y i y y y                          b) 9 3 2 2y 2  3 (1 ) 2 2 (2 7) 1 2 7 7 4 x x x x i y y i x y y                                Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang   7  c) 10 2  5 1  3 2 5 (1 ) 1 ( 5) 1 5 8 3 x x y x x i y y i x y y                                Bài 3. Tìmcácsốthựcx, ythỏamãn:  a)     1 2 1 2 1i x y i i     ;  b) 3 3 3 3 x y i i i       ; c)       2 2 2 2 1 4 3 3 2 4 3 2 2 i x i xy y x xy y i        . Giải. a)        1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 i x y i i x x y i x x y x y                              b)              3 3 3 3 3 3 10 3 3 3 6 10 3 6 0 10 6 10 2 8 x y i x i y i i i i x y x y i i x y x y x y x y x y                                                  c)             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 3 2 4 3 2 2 1 4 3 3 2 4 3 2 2 1 4 3 4 2 3 2 3 2 i x i xy y x xy y i x xy x xy i y x xy y i x xy y x x xy xy y                                 2 2 2 2 9 3 4 0 2 3 2 0 * x xy y x xy y               Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang   8  2 2 2 2 9 3 4 3 2 2 x xy y x xy y         2 2 15 4 6 0 2 2 3 6 5 x xy y x y x y                Thếlầnlượtvào   * tađượcnghiệmduynhất 0 0 x y        Bài 4. Tìmcácsốthựcx, ysaocho z x yi  thỏamãn 3 18 26z i   . Giải. Tacó:        3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 18 26 18 26 3 3 18 26 3 18 3 26 z i x yi i x xy x y y i i x xy x y y                         Đặt x ty tacóhệ     3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 3 3 18 3 18 3 18 1 3 1 26 3 3 26 3 1 26 t t y t y ty t t t t t y y t y                         . Từđótacó 3 1. x y        3. Giải phương trình phức. Trong phần này chúng ta sẽ vận dụng các phép tính về số phức và định nghĩa hai số phức bằng nhau để giải quyết bài toán. Bài 1. Giảicácphươngtrìnhsau: a) 5 7 2z i i    ; b) 3 2 1 3 z i i     ; c)   3 4 5 10i z i    . Giải. a) 5 7 2 2 5 7 7 8z i i z i i i           . b)    3 2 3 2 1 3 9 7 1 3 z i z i i i i             . c)         5 10 3 4 5 10 25 50 3 4 5 10 1 2 3 4 3 4 3 4 25 i i i i i z i z i i i i                   . Bài 2.Tìmsốphức x  biết: Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang   9  a) (5 3 ) 2 (1 2 )(3 4 )i x i i      ; b) (3 7 ) 2 (4 )(5 2 )i ix i i     ; c)     5 3 4 3i x i    . Giải. a)Tacó:  (5 3 ) 2 (1 2 )(3 4 ) (5 3 ) 2 11 2 2 (11 2 ) (5 3 ) 2 6 1 2 (6 ) 3 2 . 2 2 i x i i i x i x i i x i x i i                         b)Tacó:      (3 7 ) 2 (4 )(5 2 ) 2 4 (5 2 ) (3 7 ) 2 22 3 (3 7 ) 2 19 10 19 10 10 19 2 2 i ix i i ix i i i ix i i ix i i i x i                          i c)     4 3 11 27 5 3 4 3 5 3 34 i i i x i x i            Bài 3. Chosốphứczthỏamãnđiềukiện       2 1 2 8 1 2i i z i i z       .Xácđịnhphầnthực vàảocủasốphức z (CĐ-2009). Giải.           2 1 2 8 1 2 2 2 8 1 2i i z i i z i i z i i z                  2 4 1 2 8i z i z i               1 2 8 8 1 2 8 10 15 2 3 . 1 2 1 2 1 2 5 i z i i i i i z i i i i                   Sốphứczcóphầnthựcbằng2,phầnảobằng-3. Bài 4. Tìmsốphứczthỏamãn     3 2 2 1 z z i i    . Giải. Giảsử z a bi  .Khiđó:            3 2 2 1 2 2 11 1 3 13 9 3 13 9 13 3 9 z z i i a bi a bi i i a bi i a b a b                                  Hoàng Trường Giang Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang   10  Vậy 13 9 3 z i  . Bài 5.Tìmsốphứczthỏamãn     2 3 3 2 2 .z z i i     Kếtquả: 11 19 2 2 z i   . Bài 6.Tìmsốphứczthỏamãn     3 3 2 2 .z z i i     Kếtquả: 15 10 4 z i   . Bài 7.Chosốphứczthỏamãnđiềukiện       2 2 3 4 1 3i z i z i       .Xácđịnhphầnthựcvà ảocủaz. (CĐ–D2010CB). Giải. Giảsử   ,z a bi a b    .                       2 2 2 3 4 1 3 2 3 4 1 3 2 3 3 2 4 4 8 6 i z i z i i a bi i a bi i a b a b i a b a b i i                                6 4 2 2 8 6 6 4 8 2 2 6 2 5 a b a b i i a b a b a b                           Sốphứczcóphầnthực-2,phầnảo5. Bài 8.Tìmsốphứczthỏamãnđiềukiện 5 3 1 0 i z z     (ĐH–B2011CB). Giải. Giảsử   ,z a bi a b    .   2 2 2 2 5 3 1 0 . 5 3 5 3 5 3 1 2 3 i z z z z i a b a bi i z a b a b a a b                                          Cácsốphứczthỏamãnđềbàilà 1 3 , 2 3z i z i      . Bài 9.Tìmsốphứczthỏamãn   2 3 1 9z i z i      (ĐH–D2011CB). Giải. Giảsử   ,z a bi a b    . [...]... c) Ta có z  (2  4i )  2i (1  3i )  8  6i  Do đó z  82  62  100  10 d) Ta có (1  i )3  2  2i  Suy ra:  z  1  2i  z  (1)2  22  5   Bài 3 Cho số phức z  3  2i  Tìm mô đun của số phức z 2  z   Giải.   Ta có z 2  z  8  14i  Do đó z  82  14 2  260   Bài 4 Tìm mô đun của số phức 2z  z   biết  z  3  4i   Giải.   2 Ta có 2 z  z  9  4i  Do đó z  92   4   97   Bài. ..  1  9i    a  3b  1  3a  3b  9 a  2   b  1 Vậy  z  2  i     4 Phương trình bậc hai với hệ số thực Bài 1 Giải phương trình   z 2  4 z  7  0   Giải Ta có  '  3  0  nên phương trình có hai nghiệm phức z  2  i 3   Bài 2 Giải các phương trình sau trên tập số phức.       a)  2 x 2  5 x  4  0     (TN 2006).  2   (TN 2007 – lần 1).  2 b)  x  4 x  7  0     c)  x  6 x... Các số phức thỏa mãn đề bài là  z  3  4i, z  5   Bài 17 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện  z  2  và  z 2  là số thuần ảo. (ĐH – D 2010 CB).  Giải Giả sử  z  a  bi  a, b      a 2  b 2  2 2 2 z  2   a  b  1   a  b  2 Xét hệ    2 2  a  b    2 a  b  0  a  b  1 iz      a  b   Các số phức thỏa mãn đề bài là  z  1  i, z  1  i, z  1  i, z  1  i   Bài. ..    6   2 2 Bài 15 Tìm số phức z thỏa mãn  z  2 z.z  z  8  và  z  z  2   Giải.   Giả sử  z  x  yi  x, y      2 2 Ta có   z  2 z.z  z  8  4( x 2  y 2 )  8  x 2  y 2  2   z+ z  z  2  2 x  2  x  1 1    2    Từ (1) và (2) tìm được:  x  1; y  1   Vậy các số phức cần tìm là:  1  i, 1  i   Bài 16 Tìm số phức z  thỏa mãn  z   2  i   10  và  z.z  25   Giải Giả sử  z... của số phức Bài 1 Cho  z1  3  i, z2  2  i  Tìm môdun của số phức z1  z1 z2   Giải z1  z1 z2   3  i    3  i  2  i    3  i    7  i   10  Vậy  z1  z1 z2  10   Bài 2 Tìm mô đun của số phức z, biết:   a)  z  (2  3i )(1  i )  4i ;        b)  (1  i ) 2 (2  i ) z  8  i  (1  2i ) z ;  c)  z  (2  4i )  2i (1  3i ) ;        d)  z  1  4i  (1  i)3   Giải.   a) Ta có. .. 18. Tìm số phức z thỏa mãn:  z  2  i  2 biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.  Giải.   Gọi số phức cần tìm là  z  a  bi   Theo bài ra ta có:    a  2    2 2  b  1   a  2  (b  1)i  2 (a  2)  (b  1)  4      b  a  3 b  a  2  a  2      b  1   2 2   2 2 Vậy các số phức cần tìm là:  z  2  2  (1  2)i; z  2  2  (1  2)i     6 Biểu diễn hình học của số. ..   3 1  3i  Bài 12 Cho số phức z thỏa mãn  z  1 i 3  Tìm môđun của số phức z  iz   (ĐH – A 2010 NC).    14  Hoàng Trường Giang   Giải 1  3i  z 1 i Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang 3 2 1  3 3i  3   3i    3i  3 1 i  8 9 9    i  z  4  4i   1 i 2 2 Khi đó  z  iz  4  4i  i  4  4i   8  8i  z  iz  8 2   2 Bài 13 (A - 2011) Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn ...  3z 2  49  6i  z13  3z 2  2437   Bài 7 (A - 2009) Gọi  z1 , z2  là các nghiệm phức của phương trình  z 2  2 z  10  0  Tính  2 2 z1  z2   Giải Các nghiệm phức của phương trình  z 2  2 z  10  0  là  z1,2  1  3i  z1  z1  10   2 2 Vậy  z1  z2  20   2 Bài 8 Cho số phức z thỏa mãn  1  2i  z  z  4i  20  Tính môđun của z.  (CĐ –  2011 CB).  Giải Giả sử  z  a  bi 1  2i  2  a,... ,  2; 3   Bài 2 Tìm tập các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức  z  2  3i  1   z 4i Giải Giả sử  z  a  bi  a, b       a  2    b  3 i  1 z  2  3i 1 z 4i  a  4   1  b  i  a  2 2   b  32   a  4 2  1  b  2   2 2  a  4   1  b   0  3a  b  1     2 2  a  4   1  b   0   3a  b  1 Tập các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức ... 13    Hoàng Trường Giang   Trường THPT Thượng Lâm – Tuyên Quang 2a  b  2  0  a  3b  4   a  1   b  1 Ta có   1  z  z 2  2  3i    13   Bài 10 (D - 2012) Cho số phức z thỏa mãn   2  i  z  2 1  2i  i 1  7  8i  Tính môđun của số phức   z  1  i   Giải Giả sử  z  a  bi  Khi đó:  2  i z  2 1  2i  i 1  7  8i   2  i  a  bi   2 1  2i   7  8i i . hệ số thực. Bài 1. Giải phươngtrình 2 4 7 0 z z    . Giải. Ta có ' 3 0    nênphươngtrình có hainghiệm phức z 2 3i    . Bài 2. Giải cácphươngtrìnhsautrên tập số phức.  .     . Từđóta có 3 1. x y        3. Giải phương trình phức. Trong phần này chúng ta sẽ vận dụng các phép tính về số phức và định nghĩa hai số phức bằng nhau để giải quyết bài toán. Bài 1. Giải cácphươngtrìnhsau: a) 5. b trênmặtphẳngtọa độ. 4.Môđuncủa số phức   ,z a bi a b    là số thực 2 2 z a bi a b    . 5. Số phức liênhợpcủa số phức   ,z a bi a b    là số phức z a bi  . 6. Phépcộngvàtrừhai số phức , a