L云I CAM AOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cu ca tôi, các s liu, các kt qu ca lun án là trung thc và cha tng đc ai công b trong bt k công trình nào khác. Tác gi lun án Trn Ngc Liên L云I CAM AOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cu ca tôi, các s liu, các kt qu ca lun án là trung thc và cha tng đc ai công b trong bt k công trình nào khác. Tác gi lun án PH井N M雲 A井U Vic kho sát bài toán khôi phc hàm gii tích bt ngun t thc t, trong các lnh vc điu khin hc, vt lý, nhn dng Trong quá trình gii bài toán khôi phc, các kt qu thu đc đã có nhiu ng dng rng rãi trong nhiu lnh vc nh Phng trình đo hàm riêng, x lý tín hiu, lý thuyt h thng và gn đây là nhn dng trong tình hung xu nht Bài toán khôi phc mà chúng tôi quan tâm đ c phát biu nh sau: Cho U là đa đn v m trong mt phng phc, ngha là   1|z|:CzU    (1) K là mt tp con ca U . Cho  là mt hàm s xác đnh trên K . Hãy khôi phc hàm f gii tích trong U khi bit trc giá tr ca f trên K là  . Trong lun án chúng tôi gii hn  trng hp   n zK  là mt dãy vô hn đm đc các đim trong U . Khi hàm s f thuc không gian Hardy )U(H p , không gian các hàm gii tích trên )1p(U  , hoc đi s đa )U(A (ngha là hàm f liên tc trên đa đn v đóng  1|z|:CzU  và gii tích trên U ) thì bài toán khôi phc chính là bài toán moment. Lun án ca chúng tôi nghiêng v mt ng dng nên các bài toán khôi phc hàm gii tích đc rút ra t các ng dng trong vt lý (chng 3: bài toán nhit ngc và chng 5: bài toán Cauchy không gian cho phng trình Parabolic), trong gii tích thc (chng 4: bài toán bin đi Laplace ngc). ây là bài toán ngc và không chnh theo ngha Hadamard, ngha là bài toán có th vô nghim; bài toán có nghim nhng nghim không duy nht; nghim ca bài toán tn ti nhng không n đnh. Bài toán ni suy hàm gii tích có mt th mc rt ln (xem [20, 63]). Tuy vy, tht đáng ngc nhiên là các bài báo li không kho sát tính không chnh ca bài toán và tính n đnh ca thut toán khi có sai s ca d liu. Thc vy, xét bài toán: xác đnh mt hàm gii tích f trong không gian )U(H 2 sao cho , 3,2,1n)z(f nn    (2) vi  1nn )z( là mt dãy vô hn các đim trong U , )( n  là dãy s phc b chn, tc là  l)( n  . Vi )z( n và )( n  bt k thì bài toán có th vô nghim. Chng hn dãy )z( n xác đnh bi 1n n 1 z,0z n1  và ) n 1 ()( n   . Khi đó 1)z(f)0(f 11    . Mt khác ta có 0lim) n 1 (flim)0(f n nn    (vô lý). Vy bài toán vô nghim. Trong “ Lecture on Complex Approximation” , D.Gaier đã chng minh rng tính duy nht ca bài toán (2) ch có khi và ch khi    1 k k )|z|1( (điu kin Blaschke). Nu điu kin này không tho, bài toán có nghim tng quát là Bgf  vi f là mt nghim đc bit ca (2), B là tích Blaschke vi các không đim )z( k và g là mt hàm tùy ý trong )U(H 2 . Vy bài toán có nghim không duy nht. Xét bài toán (2). Cho  1nn )z( tu ý trên đng tròn        4 1 |z|:Cz và dãy    m n  xác đnh bi  , 3,2,1n)z2( m n m n   vi m là s t nhiên . Khi đó ta có  0 2 1 |)z2(||| m m n m n          khi m . Xét hàm .)z2(z CU:f m m   Ta có 2 m Hf  và   m nnm )z(f   , m H m 2||f|| 2  . Vy lim || || 2 m H x f  . iu này chng t bài toán (2) không n đnh: t s sai lch nh ca d liu có th dn đn kt qu cui cùng có sai lch ln. Gi 0 f là nghim chính xác ca bài toán (2), ng vi giá tr chính xác     l 0 n 0  , tc là , 3,2,1n)z(f 0 nn0   và   l)( n  là mt d liu đo đc tho : || || sup 00 n n      . Tính không n đnh ca nghim  ch: tính toán vi nhiu d liu hn mt lng cn thit nào đó thì có th làm cho sai s ln hn. Do đó cn xác đnh mt s t nhiên )(n  ( vi mi 0  ), mà ta gi là tham sぐ chえnh hóa đ ch ra s lng d liu n  cn thit phi s dng và gii hn vic tính toán trên máy tính. Nói cách khác là xác đnh tham s chnh hóa )(n  sao cho t )(n  d liu )(n21 , ,,     ta có th xác đnh mt hàm f mà nó xp x n đnh nghim chính xác 0 f ca bài toán. Mt s kt qu c th: Nh chúng ta đã bit, trong bài toán ni suy hàm gii tích trên đa đn v các nhà toán hc thng s dng đa thc (đc bit là đa thc Lagrange) hay hàm phân thc đ xây dng các hàm xp x (xem [20, 63]) .Tính cht ca dãy các đim ni suy và tính cht ca hàm cn xp x có nh hng nhiu đn s hi t ca hàm s xp x. Phép ni suy Lagrange rt thun li cho vic s dng, nhng nó không n đnh. Các h s bc cao ca đa thc La grange tng nhanh khi s đim ni suy tng và dãy các đa thc Lagrange không hi t trong 2 H . Mt trong nhng cách gii quyt vn đ này là loi b hay chｐt cつt các s hng bc cao ca a thc Lagrange. ó là mt phng pháp chnh hóa. Bài báo “Reconstruction of Analytic Functions on the Unit Disc from a Sequence of Moments : Regularization and Error Estimates”, ca nhóm nghiên cu ca G.s T.s ng ình Áng đã trình bày kt qu vi mt s đánh giá sai s. Trong lun án này chúng tôi tip tc s dng ý tng đó đ chnh hoá các bài toán ni suy hàm gii tích. Cách chnh hóa bng hàm phân thc không đòi hi các điu kin cht ch nh dùng đa thc Lagrange, chng hn bao đóng ca các dãy đim ni suy không cn nm hn trong đa đn v. Trong “Recover y of p H -functions”, Totik dùng hàm phân thc đ xp x hàm cn tìm, nhng không đa ra công thc c th. Và tác gi cng không trình bày cách đánh giá sai s trong phép xp x. Vn đ chúng tôi quan tâm là tính sai s ca phép xp x và tính th nguyên chnh hóa trong phng pháp cht ct các đa thc Lagrange. Mt s kt qu bng s cng đc thc hin đ minh ha cho phng pháp. Ni dung ca lun án gm có phn m đu, chng kin thc chun b (chng 1), phn chính ca lun án đc t rình bày trong bn chng (chng 2-5) tng ng vi bn bài toán mà chúng tôi s ln lt gii thiu di đây, phn kt lun, danh mc các công trình ca tác gi lun án và tài liu tham kho. Phn m đu gii thiu tng quan v các bài toán đc trình bày trong lun án, các kt qu trc đó và tóm tt ni dung chính ca các chng trong lun án. Chng 1 gii thiu và nhc li mt s kin thc, các ký hiu, các không gian hàm đc s dng trong lun án. Chng 2 (Bài toán th nht) gii thiu bài toán Khôi phc hàm gii tích bng các đa thc Lagrange b cht ct. Kt qu ca chng này ly t bài báo [60] ca chúng tôi. Ni dung ca chng gm hai phn chính: thit lp các điu kin cn và đ cho s hi t ca các đa thc Lagrange b cht ct và đa ra kt qu ca s chnh hóa. Cho U là mt đa đn v trong mt phng phc. Chúng tôi s khôi phc mt hàm f trong không gian Hardy )U(H 2 t các giá tr   m n fz , vi    m n z(mN;1nm) là mt h thng đim trong U . Nh đã phân tích, đây là mt bài toán không chnh. Hàm f đc xp x bi các đa thc Lagrange b cht ct. C th, ta xét bài toán khôi phc hàm f trong không gian )( 2 UH sao cho    mm nn f(z )   )mn1;Nm(    , (2.1) vi   )(m n  là mt tp các s phc b chn. Bài toán (2.1) đã đc đ cp trong nhiu công trình mà bn đc có th tham kho trong các tài liu [20, 22, 39, 63]. Hàm f cha bit đã đc xp x bi các đa thc (đc bit là các đa thc Lagrange (xem [20, 63] ) và bi các hàm hu t (xem [39, 57, 63] ). Nh đã phân tích, tính n đnh ca các thut toán xp x này đã không đc đ cp trong các công trình y. Mt cách vn tt, chúng tôi s trình bày mt cách chnh hóa bài toán (2.1) da trên vic xp x (trong )( 2 UH ) hàm f bi các đa thc (m) k (m) (m) (m) mk 12m 0k (m1) L ( v )( z ) l z ( 0 1; v ( , , , ))        (2.2) vi )m( k l là h s ca k z trong khai trin ca đa thc Lagrange )v(L m có bc 1m   , tha: )mk1()z)(v(L )m( k )m( km   . a thc )v(L m  đc gi là mt đa thc Lagrange bお chｐt cつt. Ta chú ý rng nu 1  thì )v(L m  chính là đa thc Lagrange. Theo s hiu bit ca chúng tôi thì cách tip cn trong chng này là mi. Trong [8, 28], đa thc b cht ct )v(L 2/1 m đc dùng đ xp x hàm f .  đây, chúng tôi s nghiên cu s hi t ca )v(L m  vi  nm trong mt khong m. C th chúng tôi s chng t rng có mt 0  trong   1,0 sao cho f)v(L m   trong )U(H 2 vi 0 0    , và kt qu s không đúng nu 0 1     . Ch逢挨ng 3 (Bài toán th hai) trình bày vn đ chnh hóa mt bài toán nhit ngc ri rc bng các h s ca đa thc Lagrange b cht ct. Chng này là m rng ca bài báo [41]. Cho  t,xuu  biu din s phân phi nhit đ tha phng trình sau đây      t,x0uu t  R   1,0  . (3.1) Bài toán nhit ngc là tìm nhit đ ban đu   0,xu t nhit đ cui   T,xu .  cho đn gin ta gi s 1 T  . ây là bài toán không chnh (xem [10]) và đã đc nghiên cu t lâu. Bài toán đã đc xem xét bi nhiu tác gi vi nhiu cách tip cn khác nhau. Bài toán đã đc xem xét k lng bi phng pháp na nhóm kt hp vi phng pháp quasi – reversibility và phng pháp quasi – boundary value (xem [6, 3, 14, 16, 37, 52, 53, 31, 40, 35, 21, 66]). Dùng hàm Green ta chuyn phng trình nhit ti phng trình sau             de0,u t2 1 t,xu t4 x 2  x R , t > 0. Do đó         1,x2ude0,2u 1 2 x    . Vi dng này ta có th xem xét bài toán nhit ngc nh bài toán tích chp Gauss ngc ( hoc phép bin đi Weierstrass) đ tìm   0,x2u t nh  1,x2u ca nó. Nhiu công thc bin đi ngc ca phép bin đi Gauss đã đc cho trong [36, 48, 49]. Trong [49] , dùng lý thuyt reproducing kernel các tác gi đã đa ra các công thc gii tích ngc ti u trong trng hp c th. Trong các tài liu sau này thì các tác gi đã nghiên cu trng hp d liu trong 2 L không chính xác và đa ra mt s c lng sai s c th. Gn đây nht, trong [36] các tác gi đã s dng không gian Paley – Wiener và xp x sinc đ thit lp mt công thc gii tích ngc cho phép bin đi Gauss mà nó rt hiu qu khi đc thc hin trên máy tính. Vi [17,67] thì phép bin đi ngc Weierstrass cho các hàm tng quát đã đc nghiên cu. Trong thc hành, ta ch ly nhit đ đc đo ti mt tp đim ri rc. Ngha là   jj 1,xu   . (3.2) Do đó bài toán tìm nhit đ ti thi đim ban đu t nhng giá tr nhit đ cui, ri rc là cn thit. Bài toán trong trng hp này là không chnh. Vì vy ta cn chnh hoá bài toán. Theo hiu bit ca chúng tôi thì các tài liu v hng này là rt him. Trong [41], chúng tôi dùng đa thc Legendre đc dch chuyn (shifted Legendre) đ chnh hoá mt dng ri rc ca bài toán nhit ngc trên mt phng. Tuy nhiên gi thit rng nhit đ  y,xu có bc     y,x 22 yx e   (   , lim , xy xy     ) là quá nghiêm ngt.  chng này, điu kin trên đc loi b hoàn toàn. Trong phn cui chng, mt s kt qu tính s cng đc trình bày. Ch逢挨ng 4 (Bài toán th ba) chúng tôi xét bài toán khôi phc hàm    ,0:f R. tha phng trình L   j 0 xp j dxxfepf j      vi  ,3,2,1j,,0p j  Bài toán này đã đc trình bày trong bài báo [34]. Trong chng này chúng tôi s chuyn bài toán ti mt bài toán ni suy hàm gii tích trong không gian Hardy ca đa đn v và đa ra mt kt qu v tính duy nht. Sau đó dùng đa thc Laguerre và h s ca đa thc Lagrange đ xp x hàm f . Chúng . c th. Và tác gi cng không trình bày cách đánh giá sai s trong phép xp x. Vn đ chúng tôi quan tâm là tính sai s ca phép xp x và tính th nguyên chnh hóa trong phng pháp cht. tng và dãy các đa thc Lagrange không hi t trong 2 H . Mt trong nhng cách gii quyt vn đ này là loi b hay chｐt cつt các s hng bc cao ca a thc Lagrange. ó là mt phng pháp. mt đa thc Lagrange bお chｐt cつt. Ta chú ý rng nu 1  thì )v(L m  chính là đa thc Lagrange. Theo s hiu bit ca chúng tôi thì cách tip cn trong chng này là mi. Trong [8, 28], đa