DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau a. 3, 8, 15, 24, 35, b. 3, 24, 63, 120, 195, c. 1, 3, 6, 10, 15, d. 2, 5, 10, 17, 26, e. 6, 14, 24, 36, 50, f. 4, 28, 70, 130, 208, g. 2, 5, 9, 14, 20, h. 3, 6, 10, 15, 21, i. 2, 8, 20, 40, 70, Đáp số: a. n(n + 2) b. 3n(3n – 2) c. n(n + 1)/2 d. 1 + n² e. n(n + 5) f. (3n – 2)(3n + 1) g. n(n + 3)/2 h. (n + 1)(n + 2)/2 i. n(n + 1)(n + 3)/3 Bài 2: Tính a. A = 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n b. A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Đáp số: a. n(n + 1)/2 b. 3A = 1.2.3 + 2.3(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + + 99.100.(101 – 98) 3A = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + 99.100.101 – 98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.… + (n – 1)n = (n – 1)n(n + 1)/3 Bài 3: Tính A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101 Hướng dẫn: A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1) A = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + + 99.100 + 99 A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + 2 + 3 + + 99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + (n – 1)(n + 1) = (n – 1)n(2n + 1)/6 Bài 4: Tính A = 1.4 + 2.5 + 3.6 + + 99.102 Bài 5: Tính: A = 4 + 12 + 24 + 40 + + 19800 Hướng dẫn: (1/2)A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100 A= 666600 Bài 6: Tính A = 1 + 3 + 6 + 10 + + 4851 + 4950 Hướng dẫn: 2A = 333300 Bài 7: Tính A = 6 + 16 + 30 + 48 + + 19998 Bài 8: Tính A = 2 + 5 + 9 + 14 + + 4949 + 5049 Bài 9: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + + 98.99.100.(101 – 97) 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 – 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n – 2)(n – 1)n A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)/4 Bài 10: Tính A = 1² + 2² + 3² + + 99² + 100² Hướng dẫn: A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + + 99(98 + 1) + 100(99 + 1) A = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + + 98.99 + 99 + 99.100 + 100 A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + 2 + 3 + + 99 + 100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 1² + 2² + 3² + + (n – 1)² + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6 Bài 11: Tính A = 2² + 4² + 6² + + 98² + 100² Hướng dẫn: A = 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²) Bài 12: Tính A = 1² + 3² + 5² + + 97² + 99² Hướng dẫn: A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²) Bài 13: Tính A = 1² – 2² + 3² – 4² + + 99² – 100² Hướng dẫn: A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2(2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) Bài 14: Tính A = 1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99² Hướng dẫn: A = 1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1) A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99 A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) Bài 15: Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 + 99.101 Hướng dẫn: A = 1(1 + 2) + 3(3 + 2) + 5(5 + 2) + + 97(97 + 2) + 99(99 + 2) A = (1² + 3² + 5² + + 97² + 99²) + 2(1 + 3 + 5 + + 97 + 99) Bài 16: Tính A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 + 100.102 Hướng dẫn: A = 2(2 + 2) + 4(4 + 2) + 6(6 + 2) + + 98(98 + 2) + 100(100 + 2) A = (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) + 4(1 + 2 + 3 + + 49 + 50) Bài 17: Tính A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 99 3 + 100 3 Hướng dẫn: A = 1²(1 + 0) + 2²(1 + 1) + 3²(2 + 1) + + 99²(98 + 1) + 100²(99 + 1) A = (1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99² + 99.100²) + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = [1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1)] + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99 + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) Bài 18: Tính A = 2 3 + 4 3 + 6 3 + + 98 3 + 100 3 Bài 19: Tính: A = 1 3 + 3 3 + 5 3 + + 97 3 + 99 3 Bài 20: Tính: A = 1 3 – 2 3 + 3 3 – 4 3 + + 99 3 – 100 3 Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC – TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số a c b d  . Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: Tính chất 1: Nếu a c b d  thì ad = bc Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau a c b d  , a b c d  , d c b a  , d b c a  Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU – Tính chất: a c a c a c b d b d b d        – Tính chất trên còn mở rộng: a c e a b c a b c b d f b d f b d f              (với giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c 2 3 5   ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. Có thể viết a: b: c = 2: 3: 5. DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết x y 2 3  và x + y = 20. Cách 1: Đặt ẩn phụ Đặt x y k 2 3   , suy ra: x = 2k, y = 3k Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = 4 Do đó: x = 8 và y = 12 Cách 2: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau x y x y 20 4 2 3 2 3 5       Do đó: x = 8 và y = 12 Cách 3: Phương pháp thế x y 2y x 2 3 3    mà x + y = 20 suy ra 5y/3 = 20 nên y = 12 Do đó: x = 8 Ví dụ 2: Tìm ba số x, y, z biết x y 3 4  , y z 3 5  và 2x – 3y + z = 6 x y x y 3 4 9 12    (1) và y z y z 3 5 12 20    (2) Từ (1) và (2) suy ra: x y z 9 12 20   (*) Ta có: x y z 2x 3y z 2x 3y z 6 3 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2             Do đó: x = 27, y = 36, z = 60 Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng x y 2 5  và xy = 40. Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt x y k 2 5   , suy ra x = 2k, y = 3k Theo giả thiết: xy = 40 suy ra 10k² = 40 hay k² = 4 suy ra k = 2 hoặc k = –2 + Với k = 2 ta có: x = 4, y = 10 + Với k = –2 ta có: x = –4, y = –10 Cách 2: Hiển nhiên x ≠ 0 Nhân cả hai vế của x y 2 5  với x ta được: 2 x xy 40 8 2 5 5    Suy ra x² = 16 nên x = 2 hoặc x = –2 + Với x = 4 ta có y = 10 + Với x = –4 ta có y = –10 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng a. x y z 10 6 21   và 5x + y – 2z = 28 b. x y 3 4  , y z 5 7  và 2x + 3y – z = 124 c. 2x 3y 4z 3 4 5   và x + y + z = 49 d. x y 2 3  và xy = 54 e. x y 5 3  và x² – y² = 4 f. x y z x y z y z 1 z x 1 x y 2            Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng a. 3x = 2y, 7y = 5z, x – y + z = 32. b. x 1 y 2 z 3 2 3 4      và 2x + 3y – z = 50 c. 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95 d. x y z 2 3 5   và xyz = 810 e. y z 1 z x 2 x y 3 1 x y z x y z            f. 10x = 6y và 2x² – y² = –28 Bài 3: Tìm x, y biết rằng 1 2y 1 4y 1 6y 18 24 6x      Bài 4: Cho a + b + c + d ≠ 0 và a b c d b c d a c d a b d a b c            . Tìm giá trị của a b b c c d d a A c d a d a b b c             Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng a. x 7 y 3  và 5x – 2y = 87; b. x y 19 21  và 2x – y = 34 c. 3 3 3 x y z 8 64 216   và x² + y² + z² = 14. d. 2x 1 3y 2 2x 3y 1 5 7 6x       Bài 6: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 7: Tìm các số x, y, z biết a. x: y: z = 3: 4: 5 và 5z² – 3x² – 2y² = 594. b. x + y = x: y = 3(x – y) Đáp số: a. x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = – 9; y = – 12; z = – 15. b. x = 4/3; y = 2/3. Bài 8. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng? DS: a = –2,25; b = 0,75. Bài 9: Cho a b c b c c a a b      . Bi ết a + b + c ≠ 0. Tìm giá trị mỗi tỉ số đó. Bài 10. Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9; 10; 11; 8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó. Bài 11: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [ab(ab – 2cd) + c²d²][ab(ab – 2) + 2(ab + 1)] = 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Để chứng minh tỉ lệ thức: A C B D  ta thường dùng một số phương pháp sau Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số A B và C D có cùng giá trị. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: * a na b nb  (n ≠ 0) * n n a c a c b d b d                Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức a c b d  . Chứng minh rằng: a b c d a b c d      Cách 1: (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd (1); (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd (2) Từ giả thiết: a c ad bc b d    (3) Từ (1), (2), (3) suy ra (a + b)(c – d) = (a – b)(c + d) Suy ra a b c d a b c d      Cách 2: Đặt a c b d  = k suy ra a = bk, c = dk a b kb b b(k 1) k 1 a b kb b b(k 1) k 1            (1) c d kd d d(k 1) k 1 c d kd d d(k 1) k 1            (2) Từ (1) và (2) suy ra a b c d a b c d      (đpcm) Cách 3: Từ a c a b b d c d    Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có a b a b a b c d c d c d        Vậy a b c d a b c d      (đpcm) Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức a c b d  . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 ab a b cd c d    Từ giả thiết: 2 2 2 2 2 2 2 2 a c a b ab a b a b b d c d cb c d c d          Vậy 2 2 2 2 ab a b cd c d    (đpcm) BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho tỉ lệ thức: a c b d  . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau a. 3a 5b 3c 5d 3a 5b 3c 5d      b. 2 2 2 2 2 2 (a b) a b (c d) c d      c. a b c d a b c d      d.     2 2 a b ab cd c d    e. 2a 5b 2c 5d 3a 4b 3c 4d      f. 2005a 2006b 2005c 2006d 2006c 2007d 2006a 2007b      g. a c a b c d    h. 2 2 2 2 7a 5ac 7b 5bd 7a 5ac 7b 5bd      Bài 2: Cho a b c b c d   . Chứng minh 3 a b c a b c d d            Bài 3: Cho a b c 2003 2004 2005   . Chứng minh 4(a – b)(b – c) = (c – a)² Bài 4: Cho 3 2008 1 2 2 3 4 2009 a a a a a a a a     . Chứng minh 2008 1 2 3 2008 1 2009 2 3 4 2009 a a a aa a a a a a                Bài 5: Cho 8 9 1 2 2 3 9 1 a a a a a a a a     và a 1 + a 2 + + a 9 ≠ 0. Chứng minh a 1 = a 2 = = a 9 . Bài 6: Chứng minh nếu a b b d  thì 2 2 2 2 a b a b d d    Bài 7: Chứng minh nếu a b c a a b c a      thì a² = bc. Bài 8: Cho tỉ lệ thức 2 2 2 2 a b ab c d cd    . Chứng minh rằng: a c b d  . Bài 9: Chứng minh rằng nếu u 2 v 3 u 2 v 3      thì u v 2 3  Bài 10: Chứng minh nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 thì ta có y z z x x y a(b c) b(c a) c(a b)          Bài 11: Cho a c b d  . Các số x, y, z, t thỏa mãn xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0. Chứng minh xa yb xc yd za tb zc td      Bài 12: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn b² = ac; c² = bd và b³ + c³ + d³ ≠ 0. Chứng minh 3 3 3 3 3 3 a b c a b c d d      Bài 13: Cho 2 2 1 1 1 ax bx c P a x b x c      . Chứng minh rằng nếu 1 1 1 a b c a b c   thì giá trị của P không phụ thuộc vào x. Bài 14: Cho a b' 1 a ' b   và b c' 1 b ' c   . Chứng minh abc + a’b’c’ = 0. Bài 15: Cho tỉ lệ thức 2a 13b 2c 13d 3a 7b 3c 7d      . Chứng minh rằng a c b d  . Bài 16: Cho dãy tỉ số bz cy cx az ay bx a b c      . Chứng minh x y z a b c   . Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI * Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số thực a. * Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó. Nếu a ≥ 0 a a   a 0 a a     Nếu x ≥ a => x a  = x – a; và x ≤ a => x a  = a – x * Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm a = 0 <=> a = 0 a 0  <=> a ≠ 0 * Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. a b a b a b         * Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. a a a    và a a a 0;a a a 0        * Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn Nếu a b 0 a b     * Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn Nếu 0 a b a b     * Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối. a.b a . b  * Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối. a a b b  * Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó. 2 2 a a  * Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu. a b a b    và a b a b ab 0      Dạng 1: A(x) k  trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước. – Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức – Nếu k = 0 thì A(x) = 0 – Nếu k > 0 thì A(x) k A(x) k A(x) k         Bài 1: Tìm x, biết a. 2x 5 4   b. 1 5 1 2x 3 4 4    c. 1 1 1 x 2 5 3    d. 3 7 2x 1 4 8    Bài 2: Tìm x, biết a. 1 2 2x 3 2   b. 7,5 3 5 2x 4,5     c. 4 x 3,75 2,15 15       Bài 3: Tìm x, biết a. 2 3x 1 1 5    b. x 1 3 2   c. 2 1 x 3,5 5 2     Bài 4: Tìm x, biết a. 3 1 5 2 x 2 4 4     b. 3 4 3 7 x 2 5 4 4    c. 3 1 5 5 4,5 x 4 2 3 6    Bài 5: Tìm x, biết a. 9 1 6,5 : x 2 4 3    b. 11 3 1 7 : 4x 4 2 5 2    c. 15 3 1 2,5: x 3 4 4 2    d. 21 x 2 3: 6 5 4 3    Dạng 2: A(x) B(x)  trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x A(x) B(x) A(x) B(x) A(x) B(x)         Bài 1: Tìm x, biết a. 5x 4 x 2    b. 2x 3 3x 2 0     c. 2 3x 4x 3    d. 7x 1 5x 6 0     Bài 2: Tìm x, biết a. 3 1 x 4x 1 2 2    b. 5 7 5 3 x x 0 4 2 8 5     c. 7 5 1 x x 5 0 8 6 2     Dạng 3: A(x) B(x)  trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x * Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau: A(x) B(x)  (1) Điều kiện: B(x) ≥ 0 (*) (1) A(x) B(x) A(x) B(x)        và đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện (*) * Cách 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối A(x) B(x)  (1) Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành A(x) = B(x); đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện A(x) ≥ 0 Nếu A(x) < 0 thì (1) trở thành –A(x) = B(x); đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện A(x) < 0 Bài 1: Tìm x, biết a. 1 x 3 2x 2   b. x 1 3x 2    c. 7 x 5x 1    Bài 2: Tìm x, biết a. 9 x 2x   b. 5x 3x 2   c. x 6 9 2x    d. 2x 3 x 21    Bài 3: Tìm x, biết: a. 3x 1 2 x    b. 3x 1 2 x    c. x 15 1 3x    d. 2x 5 x 2    Bài 4: Tìm x, biết a. 2x 5 x 1    b. 3x 2 1 x    c. 3x 7 2x 1    Bài 5: Tìm x, biết a. x 5 5 x    b. x 7 x 7    c. 3x 4 4 3x    Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều giá trị tuyệt đối Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối A(x) B(x) C(x) m    Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán; đối chiếu điều kiện tương ứng Ví dụ: Tìm x biết rằng x 1 x 3 2x 1      (1) Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ đó sẽ tìm được x. x – 1 = 0 <=> x = 1 x – 3 = 0 <=> x = 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x – 1 và x – 3 dưới đây x 1 3 x – 1 – 0 + | + x – 3 – | – 0 + Xét x < 1 ta có: (1 – x) + (3 – x) = 2x – 1 <=> x = 5 4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét) Xét 1 ≤ x ≤ 3 ta có (x – 1) + (3 – x) = 2x – 1 <=> x = 3 2 (giá trị này thuộc khoảng đang xét) Xét x > 3 ta có: (x – 1) + (x – 3) = 2x – 1 <=> –4 = –1 Vậy x = 3 2 . Bài 1: Tìm x, biết a. 4 3x 1 x 2 x 5 7 x 3 12        b. 3 x 4 2x 1 5 x 3 x 9 5         c. 1 1 2 x x 8 1 5 5      d. 1 1 1 2 x 3 x 3 2 x 2 2 5      Bài 2: Tìm x, biết a. x 5 x 3 9     b. x 2 x 3 x 4 2       c. x 1 x 2 x 3 6       d. 2 x 2 4 x 11     Bài 3: Tìm x, biết a. x 2 x 3 2x 8 9       b. 3x x 1 2x x 2 12     c. x 1 3 x 3 2 x 2 4       d. x 5 1 2x x     e. x 2x 3 x 1     f. x 1 x x x 3      Bài 4: Tìm x, biết a. x 2 x 5 3     b. x 3 x 5 8     c. 2x 1 2x 5 4.     d. x 3 3x 4 2x 1      Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt. )    A(x) B(x) C(x) D(x (1) Điều kiện: D(x) ≥ 0 kéo theo A(x) ≥ 0; B(x) ≥ 0; C(x) ≥ 0 Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 1: Tìm x, biết a. x 1 x 2 x 3 4x 4        b. x 1 x 2 x 3 x 4 5x 1          c. 3 2 x 2 x x 4x 3 5 5        d. x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 5x 1          Bài 2: Tìm x, biết a. 1 2 3 100 x x x x 101x 101 101 101 101          b. 1 1 1 1 x x x x 100x 1.2 2.3 3.4 99.100          c. 1 1 1 1 x x x x 50x 1.3 3.5 5.7 97.99          d. 1 1 1 1 x x x x 101x 1.5 5.9 9.13 397.401          Dạng 6: Dạng hỗn hợp Bài 1: Tìm x, biết a. 1 4 2x 1 2 5    b. 2 2 1 x 2 x x 2 2     c. 2 2 3 x x x 4   Bài 2: Tìm x, biết a. 1 1 2x 1 2 5    b. 1 3 2 x 1 2 4 5    c. 2 3 x x x 4   Bài 3: Tìm x, biết a. 2 3 x x x 4   b. 1 3 3 x 2x 2x 2 4 4           c. 1 3 3 x 2x 2x 2 4 4     Bài 4: Tìm x, biết a. 2x 3 x 1 4x 1      b. x 1 1 2    c. 3x 1 5 2    Dạng 7: A B 0   Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức. Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0. Bước 1: Đánh giá A 0 A B 0 B 0           Bước 2: A 0 A B 0 B 0         Bài 1: Tìm x, y thỏa mãn a. 3x 4 3y 5 0     b. x y y 1 0     c. 3 2x 4y 5 0     Bài 2: Tìm x, y thỏa mãn a. 2 1 5 x y 3 0 3 7     b. 2 1 1 7 5 x 1,5 y 0 3 2 3 5 6       c. x 2012 y 2013 0     Chú ý: Bài toán có thể cho dưới dạng A B 0   nhưng kết quả không thay đổi Bài 3: Tìm x, y thỏa mãn a. 5x 10 6y 9 0     b. x 2y 2y 3 0     c. x y 2 2y 4 0      Bài 4: Tìm x, y thỏa mãn a. 12x 8 11y 5 0     b. 3x 2y 4y 1 0     c. x y 7 xy 10 0      Chú ý: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự. Bài 5: Tìm x, y thỏa mãn a. 11 12 x 3y (y 4) 0     b. 2013 (x y) 20012 y 1 0     c. 2012 x y 5 2013(y 3) 0      Bài 6: Tìm x, y thỏa mãn a. 2 4 (x 1) (y 3) 0     b. 5 6 2(x 5) 5 2y 7 0     c. 2012 3 1 (x 2y) y 0 4 2     d. 2014 x 3y 1 (3y 2) 0      Bài 7: Tìm x, y thỏa mãn a. 5 7 3 x y 10 y 2 0     b. 2014 3 1 12 4 6 x y 0 4 2 13 5 25           c. 2008 2007 2 2x y 3 y 4 0     Dạng 8: A B A B    Sử dụng tính chất: a b a b    Từ đó ta có: a b a b ab 0      Bài 1: Tìm x, biết a. x 5 3 x 8     b. x 2 x 5 3     c. x 5 x 1 6     d. 2 x 3 2x 5 11     e. x 1 2x 3 3x 2      f. x 3 5 x 12 x 4 2       Bài 2: Tìm x, biết a. x 4 x 6 2     b. x 1 x 5 4     c. 3x 7 3 2 x 13     d. 5x 1 3 2x 4 3x      e. x 2 3x 1 x 1 3       f. x 2 x 7 4     Tìm cặp giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: A B m   với m ≥ 0 * Nếu m = 0 thì A 0 A B 0 B 0         * Nếu m > 0 thì do A 0  nên 0 B m   từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng. Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn a. x y 2 y 3 0      b. 2 (x y) 2 y 1 0     Bài 2: Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn [...]... trong 3 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng và một mệnh đề sai a n có chữ số tận cùng là 2 b n + 20 là một số chính phương c n – 69 là một số chính phương Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 có số tận cùng là 2; từ mệnh đề (3) suy ra n – 69 có chữ số tận cùng là 3 Một số chính phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3 Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái giả thiết Vậy mệnh đề (1) sai... Bài 9 Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương Bài 10 Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần Bài 11 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập các số có 6 chữ số, mỗi số gồm các chữ số khác nhau... gọi là các số chính phương Một số tính chất a Số chính phương chỉ có thể tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi 2; 3; 7; 8 b Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục phải là 2 Giả sử M = (10a + 5)² = 100a² + 100a + 25 Vì chữ số hàng chục của 100a² và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M là 2 c Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục... chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1, 3, 5, 7, 9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² là số chính phương Cách 2 Nếu một số chính phương có M = a² có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của số a là số chẵn, do đó a chia hết cho 2 nên a² chia hết cho 4 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận... của nó là số lẻ Giả sử số chính phương N = a² có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6 Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự), Khi đó (10b + 4)² = 100b² + 80b + 16 Vì chữ số hàng chục của số 100b² và 80b là chẵn nên chữ số hàng chục của N là số lẻ d Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên... Bài 6: Cho 2 số chính phương liên tiếp Chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ Đáp số: n² + (n + 1)² + n²(n + 1)² = (n² + n + 1)² Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 + + n a Tính an b Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính phương Bài 8 Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1, số B chỉ gồm m chữ số 4 Chứng minh rằng: A + B + 1 là số chính phương... đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60, 84 Khi đó số 3n + 1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị 37; 73 ; 121; 181; 253 Trong các số trên chỉ có số 121 = 11² là một số chính phương Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n = 40 Ví dụ 4: Chứng minh nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p – 1 và p + 1 không thể là các số chính phương Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên... = 9k² là số chia hết cho 3, hoặc có dạng (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1, (3k – 1)² = 9k² – 6k + 1 là số khi chia cho 3 thì dư 1 Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1 Ví dụ 2: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6 Chứng minh tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương Cách 1 Ta biết rằng 1 số chính... thì A có giá trị là một số nguyên 9 9 x 1 Bài 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên 7 3 x 1 a A  b B  1  c C = 2  x x 1 x 3 a x  2 x  0 b x  x c (x  1)2  x 1 Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên x 3 1 1 1 1   49 49 (7 7) 2 Bài 16: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý A  2 64 4  2  4     2 7  7  343 Bài 17: Tính bằng cách hợp... minh rằng a Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 với n nguyên b Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n + 2 với n nguyên Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k, khi đó (2k)² = 4k² là số chia hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k + 1, khi đó (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 là số chia cho 4 dư 1 Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1 Một số tự nhiên . trị mỗi tỉ số đó. Bài 10. Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9; 10; 11; 8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh. – 3| + |5y + 7, 5| + 17, 5 f. Tìm giá trị lớn nhất của F = 4 – |5x – 2| – |3y + 12| CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI Bài 1: Viết các số thập phân dưới dạng phân số tối giản. là một số nguyên Bài 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên a. 7 A x  b. 3 B 1 x 1    c. C = x 1 2 x 3    Bài 15: Cho x 1 A x 3    Tìm số