PHÒNG GD – ĐT LỘC HÀ TRƯỜNG THCS TÂN LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 2 MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian làm bài: 120 phút Đề ra: Bài 1: Tính: a) 11124 956 63.8 120.)6(9.)4( − −−− , b) 10 3 5,0 4 3 2,0 3 1 2 1 7 3 5 3 375,0 7 1 5 1 125,0 −+ −+ + +− +− c) 2012 1 3 2010 2 2011 1 2012 2013 1 4 1 3 1 2 1 +++ ++++ Bài 2: a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: xy – 6x – 5y = 7. b) Tìm các số x, y, z thoả mãn: 32 , 52 zyyx == và x.y.z = -4800. Bài 3: a) Cho đa thức f(x) = ax 3 – bx + c với a, b, c là các số nguyên. Biết rằng giá trị của đa thức chia hết cho 13 với mọi giá trị nguyên x. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 13. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1 3 22 22 ++ ++ yx yx . Bài 4: Một công ty lúc đầu định chi tiền thưởng cho 3 tổ A, B, C với tỉ lệ 7; 6; 5. Nhưng sau đó lại chia theo tỉ lệ 6; 5; 4. Biết rằng nếu chia theo cách sau thì có một tổ được lợi 1.200.000 đồng so với cách chia ban đầu. Tính số tiền thưởng của mổi tổ trong cách chia sau. Bài 5: Cho tam giác ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DEF đều. Bài 6: Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a . MH là đường vuông góc kẽ từ M đến a. MP, MQ là các đương xiên kẽ từ M đến a sao cho góc MPH bằng 60 0 và góc MQH bằng 30 0 . Biết MP = 2cm. Tính hình chiếu của MP và MQ trên a./. Bài giải: Bài 1: Tính: a) 5 6 )13.2(3.2 )51(3.2 3.23.2 5.3.2.3.23.2 63.8 120.)6(9.)4( 1012 11111212 3991012 11124 956 = − + = − + = − −−− , b) 1 3 2 3 1 ) 5 1 3 1 2 1 ( 2 3 5 1 3 1 2 1 ) 7 1 5 1 8 1 (3 7 1 5 1 8 1 10 3 5,0 4 3 2,0 3 1 2 1 7 3 5 3 375,0 7 1 5 1 125,0 =+= −+ −+ + +− +− = −+ −+ + +− +− 2013 1 ) 2013 1 3 1 2 1 (2013 2013 1 3 1 2 1 2013 2013 2012 2013 3 2013 2 2013 2013 1 3 1 2 1 11 2012 1 1 3 2010 1 2 2011 2013 1 3 1 2 1 2012 1 3 2010 2 2011 1 2012 2013 1 4 1 3 1 2 1 ) = +++ +++ = ++++ +++ = +++++++ +++ = +++ ++++ c Bài 2: a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: xy – 6x – 5y = 7. Ta có: xy – 6x – 5y = 7 x(y-6) – 5(y-6) = 37  (x-5)(y-6)=37 Do x, y là các số nguyên (gt) nên x – 5, y - 6 là các số nguyên. Suy ra (x-5) và (y-6) thuộc các ước của 37, mà Ư(37)={-37; -1; 1; 37} Ta có bảng giá trị tương ứng của x – 5 và y – 6 là: x - 5 -37 -1 1 37 y - 6 -1 -37 37 1 x -32 4 6 42 y 5 -31 43 7 Vậy các cặp số (x, y) nguyên cần tìm là (-32; 5), (4; -31), (6; 43), (42; 7) b) Tìm các số x, y, z thoả mãn: 32 , 52 zyyx == và x.y.z = -4800. Ta có: 15104 1510 104 )( 32 )( 52 zyx zy yx gt zy gt yx ==⇔        = = ⇔        = = Đặt 3 60015;10;4 15104 kxyzkzkykxk zyx =⇒===⇒=== mà xyz = -4800 =>600k 3 = - 4800 => k 3 = -8 => k = -2 Vậy x = 4.(-2) = -8; y = 10.(-2) = -20; z = 15.(-2) = -30. Bài 3: a) Do đa thức f(x) = ax 3 – bx + c với a, b, c là các số nguyên, chia hết cho 13 với mọi giá trị nguyên x nên ta có      = ⇒      −⇒      − =−⇒      − −⇒      +− +−⇔      13 13 )1)13;6((13 136 13 13 1328 )1)13;2((1322 13 1328 13 13 1328 13 13 13)2( 13)1( 13)0(                   c b via a ba c ba viba c ba ba c cba cba c f f f b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1 3 22 22 ++ ++ yx yx . Ta có: P = 1 2 1 1 21 1 3 2222 22 22 22 ++ += ++ +++ = ++ ++ yxyx yx yx yx . P lớn nhất khi và chỉ khi Q = 1 2 22 ++ yx lớn nhất. Do 2 > 0 không đổi và x 2 + y 2 + 1 > 0 với mọi x, y nên Q lớn nhất khi và chỉ khi x 2 + y 2 + 1 nhỏ nhất. Ta có 11 0 0 22 2 2 ≥++⇒      ≥ ≥ yx y x . Dấu “=” xãy ra khi x = y = 0. Vậy MaxP = 1+2=3  x = y = 0. Bài 4: Gọi S là tổng số tiền thưởng của cả ba tổ. Gọi x, y, z thứ tự là số tiền thưởng của tổ A, B, C theo cách chia ban đầu. Gọi a, b, c thứ tự là số tiến thưởng của tổ A, B, C theo cách chia sau. Theo bài ra, ta có: czbyax SS c SS b SS a SS z SS y SS x Scbacba Szyxzyx >=<⇒        ====== ====== ⇒        = ++ === = ++ === ;; 90 24 15 4 , 315 5 , 90 36 15 6 90 25 18 5 , 318 6 , 90 35 18 7 1515456 1818567 Ta thấy, so với cách chia ban đầu thì tổ C được lợi, tổ A bị thiệt, tổ B không đổi. Ta có: z – c = 1200000  10800000090.12000001200000 90 24 90 25 ==⇒=− S SS .  a = …, b=…., c=…. . các ước của 37, mà Ư( 37) ={- 37; -1; 1; 37} Ta có bảng giá trị tương ứng của x – 5 và y – 6 là: x - 5 - 37 -1 1 37 y - 6 -1 - 37 37 1 x -32 4 6 42 y 5 -31 43 7 Vậy các cặp số (x, y). = 7. Ta có: xy – 6x – 5y = 7 x(y-6) – 5(y-6) = 37  (x-5)(y-6)= 37 Do x, y là các số nguyên (gt) nên x – 5, y - 6 là các số nguyên. Suy ra (x-5) và (y-6) thuộc các ước của 37, . 5 6 )13.2(3.2 )51(3.2 3.23.2 5.3.2.3.23.2 63.8 120.)6(9.)4( 1012 11111212 3991012 11124 956 = − + = − + = − −−− , b) 1 3 2 3 1 ) 5 1 3 1 2 1 ( 2 3 5 1 3 1 2 1 ) 7 1 5 1 8 1 (3 7 1 5 1 8 1 10 3 5,0 4 3 2,0 3 1 2 1 7 3 5 3 375 ,0 7 1 5 1 125,0 =+= −+ −+ + +− +− = −+ −+ + +− +− 2013 1 ) 2013 1