Đang tải... (xem toàn văn)
Những năm gần đây, Tích phân là một câu không thể thiếu trong mỗi đề thi Đại học và để lấy trọn vẹn 1 điểm câu Tích phân không phải là quá khó. Theo bảng phân tích cấu trúc đề thi đại học môn Toán từ năm 2010 – 2013 thì câu Nguyên hàm, Tích phân có mức độ khó trung bình, thậm chí năm 2013 còn là khá dễ. Tuy nhiên, các bạn cũng không nên chủ quan và mất điểm “vô duyên” khi gặp câu này. Sau đây là bài phân tích và tổng hợp của Hocmai.vn để các bạn có thể lấy trọn vẹn 1 điểm phần Tích phân trong kỳ thi đại học.
Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012 ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail: Moonflower35@gmail.com 1 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1 ðịnh nghĩa 2 3 1 3 2 x x dx x x + + − + ∫ 2 4 sin x.cos xdx ∫ 3 dx sin x.cos x ∫ 1 x x 0 dx 4 2 − + ∫ x x e e 2dx − + − ∫ x 3 (e 1) .dx + ∫ x x x x 2 .3 dx 9 4 − ∫ 2 2 cos2x dx cos x.sin x ∫ 2x x dx e e + ∫ ( ) 4 4 1 x dx x x 1 − + ∫ ( ) 2 5 2x 3x 9 dx x 1 − + − ∫ 2 sin cos dx x x + − ∫ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 3 2 2 3 3 1 2 1 x x x f x x x + + − = + + biết rằng ( ) 1 1 3 F = Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 1 sin 1 cos x f x x + = + biết rằng F(0) = 2 Tìm hàm số f(x) có ñồ thị ñi qua ñiểm A(- 1; 2) và thỏa mãn: ( ) 2 ' b f x ax x = + ở ñây f(1) = 4 và f’(1) = 0. Tìm hàm số f(x) có ñồ thị ñi qua ñiểm A(1; 0), ñạt cực trị tại x = e và có ( ) 1 f '' x x = Bài 2 Biến ñổi vi phân, tính trực tiếp ( ) 2 1 dx x x + ∫ sin 1 sin 2 x dx x + ∫ 4 dx sin x.cosx ∫ 3 5 4 sin .cos dx x x ∫ 3 2 4 4 5 x x dx x + + ∫ . Nhân thêm x 2 3 2 0 2 x x xdx − + ∫ 2 3 2 cos cos cos x x xdx π π − − ∫ 3 2 2 2 4 2 3 1 x x x dx x x − + − − + ∫ ( ) ( ) 2 3 1 1 3 x dx x x + − + ∫ ( ) 1 4 2 2 2 1 2 5 4 2 x x dx x x + + + ∫ 20 2 1 3 2 x dx x x − − + ∫ 1 2 0 x 4 dx x 4x 5 + + + ∫ ( ) 3 2 2 dx x 1 x 2x 2 − − + ∫ ( ) 1 2 2 0 dx x 2 x 3 − + ∫ 2 2 2 0 x 5 dx x 2 + + ∫ ( )( )( ) dx x 1 x 1 x 4 − + + ∫ 3 dx x 3x − ∫ 7 3 dx x 10x − ∫ 1 3 2 4 0 x dx x 1 − ∫ 6 53 3 dx sin x.cosx π − π − ∫ ( ) 2 tan x 2cot x dx − ∫ 2 3 sin x dx cos x ∫ 2 0 cos x.sin8xdx π ∫ Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012 ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail: Moonflower35@gmail.com 2 2 2 . x x x x e dx x e e − + ∫ Bài 3 ðổi biến số Loại thứ nhất: ñặt u theo x. 3 xdx ∫ 1 3 1 3 1 x dx x + ∫ (1 sinx)dx sinx(1 cosx) + + ∫ cosx.sin x.dx sin x cosx + ∫ cosx.dx 13 10sinx cos2x − − ∫ 1 2 0 1 1 dx x x + + + ∫ sin2 2sin dx x x − ∫ 6 12 1 x dx x + ∫ 2 2 2 1 3 1 xdx x x − + − ∫ ( ) 2 1 2 2 dx x x x + + + ∫ 1 1 dx x x + + + ∫ 2 2 sin cos 2sin 2sin2 5cos x x dx x x x + − + ∫ sin cos 1 cos2 2cos 4 x x x x e dx π + + + + ∫ 4 1 3 dx x x + ∫ ( ) 2 1 2 0 ln 1 1 x x x dx x x + + + + ∫ 1 2 0 1 ln 1 x x dx x + − ∫ 33 3 x x dx − ∫ . 2 2 3 3 4 1 2011 x x x dx x − + ∫ 2 cos 8 sin 2 cos2 2 x dx x x π + + + ∫ . 2 4 4 2 4 sin cos (tan 2tan 5) xdx x x x π π − − + ∫ ∫ + 3 0 2 sin3cos sin π dx xx x 2 2 0 3 sin 2 7 5sin cos x dx x x π π − − − ∫ . ð/s: ln3 – ln4 ( ) 4 3 0 5sin cos sin cos x x dx x x π − + ∫ . ð/s: 1. 3 5 3 2 0 2 1 x x dx x + + ∫ ( ) 1 1 0 2 2 9 3 2 x x x dx − − − ∫ 4 2 4 3 2 1 2 2 5 4 4 x dx x x x x − + + + + ∫ 2 3 2 2 0 2 3 1 x x x dx x x − + − + ∫ . ð/s: 4/3. 2 cos 8 sin 2 cos2 2 x dx x x π + + + ∫ cos 4 2 3sin 2 x dx x π − − ∫ 1 0 2 I 1 x dx x = + ∫ ð/s: 10/3 – 4ln2 5 2 1 1 3 1 x dx x x + + ∫ . ð/s: 100/27 + ln9/5 2 6 sin 2 1 sin 8 sin − + ∫ x x dx x π π . 9 2 2 3 ln ln 1 e e xdx x x − ∫ 2 2 4 2 1 1 2 1 x dx x x − + + ∫ . ð/s: 1/10 2 3 1 ln 2 ln e x x dx x + ∫ . ( ) 2 3 0 3sin 2cos sin cos x x dx x x π − + ∫ . ð/s: ½ 1 2 3 0 ( sin ) 1 x x x dx x + + ∫ . 6 0 tan( ) 4 os2x x I dx c π π − = ∫ . ð/s: 1 3 2 − I ( ) ∫ ++ + = 4 0 2 211 1 dx x x . 3 0 3 3. 1 3 x dx x x − + + + ∫ . 3 6 cotx dx sinx.sin x 4 π π π + ∫ . Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012 ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail: Moonflower35@gmail.com 3 2 0 sin 2 3cos 2sin 1 x x dx x π − + ∫ . 4 2 3 6 cos sin .sin 4 x dx x x π π π + ∫ 6 1 10 3 2 x dx x x − + + ∫ cos3 cos2 2sin 3 x dx x x − + ∫ 1 1 x dx e + ∫ 1 x e dx + ∫ 1 4 3 x x dx e e − − + ∫ 2 ln ln x dx x x x − ∫ ( ) ( ) 2 ln 1 ln 1 ln x x x dx x x + + + ∫ 3 3 sin cos dx x x + ∫ ( )( ) 0 4 sin4 1 sin 1 cos x dx x x π − + + ∫ 3 2 98 100 1 3 1 dx x x x + + + ∫ . ðặt t = 1/x ( ) ( ) 2 5 1 5 2 x x dx − + ∫ ( ) 1 2 2 0 1 1 1 dx x x x + + + + ∫ 2 2 1 x dx x x + − ∫ ( ) 2 6 1 dx x x + ∫ ( ) ( ) 1 3 0 1 3 1 dx x x + + ∫ 2 tan cos 1 cos x dx x x + ∫ 2 2 sin sin2 3cos dx x x x + − ∫ ( ) 2 2 2 1 1 dx x x x + + ∫ 2 3 4 cos 5cos 1 dx x x π π − ∫ 1 3 3 6 1 3 2011 x x x dx x − + ∫ ( ) 6 2 2 0 sin 2 cos sin cos x x dx x x π + − ∫ . ln3 2 ln2 x x x e dx e e − − ∫ 3 4 2 4 1 1 5sin dx x π π − ∫ 3 4 x x dx + ∫ 3 3 3 2 sin sin .cot sin x x xdx x π π − − − ∫ 4 0 cot 1 .sin 1 x x dx e x π + + ∫ sin 1 sin 2 x e x dx x + ∫ ( ) 1 1 ln ln e x dx x x x − + ∫ Loại thứ hai: ñặt x theo t. ( ) 5 2 1 8 1 3 1 x dx x + ∫ 8 2 4 16 x dx x − ∫ 4 0 sin cos 2 sin2 x x dx x π − + ∫ 2 2 2 1 4 x x dx − ∫ ( ) 2 0 2 4 x I x dx x = − − ∫ . ð/s: 4 π − 1 2 2 0 3 2 x dx I x x = + − ∫ . ð/s: 3 3 4 2 2 π + − 2 0 2 2 x dx x x + + − ∫ 1 2 0 1 dx x x + − ∫ 3 cos cos sin x dx x x − ∫ 3 2 3 3 4 x x dx x x − − ∫ 3ln 2 2 0 1 3 1 x x e e + + ∫ ( ) ln5 ln 2 10 1 1 x x dx e e − − − ∫ Bài 4 Tính từng phần Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012 ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail: Moonflower35@gmail.com 4 0 cos2 x e xdx π − ∫ ( ) 2 x 2 x x 1 e dx x 1 + + + ∫ 1 2 3 2 0 4 ln 4 − = + ∫ x I x dx x . ð/s: 15 3 I ln 2 4 5 = − − 2 2 1 1 ln ln e x x dx x x x + + ∫ 4 2 0 x sin(x )dx 4 π π + ∫ . 4 3 0 .sin cos x x dx x π ∫ ( ) 4 0 sin 2 .ln tan 1 x x dx π + ∫ ( ) 2 2 1 ln 1 e x x dx x+ ∫ 1 0 4 ln 4 x x dx x − + ∫ I = 4 0 tan .ln(cos ) cos x x dx x π ∫ . 3 6 ln tan xdx π π ∫ ( ) 0 2 2 4 x .sin cos x d x x x π − + ∫ Bài 5 Phối hợp ñổi biến và từng phần 2 2 1 1 ln 4 ln e x dx x x + − ∫ . 2 0 sin 1 cos x x dx x π + + ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 ln 4 x x x dx − + + ∫ 2 1 1 ln e x dx x + ∫ ( ) 2 0 cos x x dx π − ∫ ( ) ln2 2 0 . 1 x x x e dx e + ∫ dx x x ∫ + 3 1 2 2 1ln ∫ + + = e dxxx xx x I 1 2 ln3 ln1 ln . ( ) 2 3 1 ln 2 ln 1 ln x x x x x dx x x + + + + + ∫ ( ) 2 sin ln x x dx ∫ 3 2 3 1 3 1 x x x x e dx x e x x − + + + + + ∫ 2 cos 0 ( sinx).sin 2 . x e xdx π + ∫ ( ) 4 1 ln 9 x I dx x − = ∫ . ( ) ( ) 2 2 1 1 ln 1 e x x x dx x x + + + ∫ . 4 3 2 1 (5 ) . 5 ln x x x dx x − + − ∫ . 1 1 ln 1 3ln e x x dx x x + + ∫ Bài 6 Cận ñặc biệt ðối ( ) 2 2 1 1 ln 1 2 1 x x x dx − + + ∫ Bù 2 0 1 sin 1 cos x x e dx x π + + ∫ 3 2 0 cos cos sin ( ) 1 cos x x x x dx x π + + + ∫ . ( ) 4 0 ln 1 tan x dx π + ∫ 3 0 sin .sin 2 .sin3 x x xdx π ∫ ( ) 3 6 cos sin x x dx π π − ∫ Nghịch ñảo 2 2 1 2 ln 1 x dx x + ∫ . ð/s: 0 Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012 ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail: Moonflower35@gmail.com 5 Bài 7 Diện tích hình phẳng Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị ( ) 2 ln 2 4 x x y x + = − và trục hoành. ð/s: 2ln2 2 3 3 π − + − Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường 4 x x y e e − = − và y = 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 ñường y = x – x 2 và y = x 3 – x. ð/s: 37/12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường 1 x y e = + ,trục hoành, x = ln3 và x = ln8. ð/s: 2 + ln(3/2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường 2 2 16; 3 12 y x x y x x = − = − . ð/s: 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường 3 1 1 x y e = − ,trục hoành, x = ln3 và x = ln8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hai hàm số 2 1 y x = − và 5 y x = + A02. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường: 2 4 3 y x x = − + và y = x + 3. A07. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường: ( ) 1 y e x = + và ( ) 1 x y e x = + B02. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường 2 4 4 x y = − và 2 4 2 x y = Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 x0; x va 12 1y ; 2 3 sin21 2 π π ==+=−= xx y Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 5 ( 1) ; y ; x 1 x y x e = + = = Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 342:(C) ;0 23 −+−== xxxyy và tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường y = 0 và ( ) 2 1 1 x x y x − = + Bài 8 Thể tích khối tròn xoay Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số ln e y x x = − , trục hoành và ñường thẳng 1 x = . ð/s: ( ) 2 2 e e π − − Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số . 1 = + x x x e y e , trục hoành và ñường thẳng 1 x = quanh trục Ox Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số ( ) 3 ln 1 y x x = + và các ñường thẳng y = 0, x = 1. ð/s: ( ) 2ln 2 1 3 π − B08. Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các ñường ln , 0, y x x y x e = = = khi quay quanh Ox. Cho hình phẳng { } xyxyD === ; 2 quay quanh Ox. Tính thể tích tạo thành. Bài 9 ðề thi D11. 4 0 4 1 2 2 1 x dx x − + + ∫ D10. 1 3 2 ln e x xdx x − ∫ D10.1. 1 ln 2 ln e x dx x x x − + ∫ Tài liệu ôn thi ñại học năm 2011 - 2012 ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail: Moonflower35@gmail.com 6 D10.2. 2 2 0 sin 1 cos x dx x π + ∫ D09. 3 1 1 x dx e − ∫ D08. 2 3 1 ln x dx x ∫ D07. 3 2 1 ln e x xdx ∫ D06. ( ) 1 2 0 2 x x e dx − ∫ D05. ( ) 2 sin 0 cos cos x e x xdx π + ∫ D04. ( ) 3 2 2 ln x x dx − ∫ D03. 2 2 0 x x dx − ∫ B11. 3 2 0 1 sin cos x x dx x π + ∫ B10. ( ) 2 1 ln 2 ln e x dx x x+ ∫ B10.1. 2 2 4 1 2 4 3 x dx x − − ∫ B10.2 1 2 0 2 1 5 6 x dx x x − − + ∫ B09. ( ) 3 2 1 3 ln 1 x dx x + + ∫ B08. ( ) 4 0 sin 4 sin 2 2 1 sin cos x dx x x x π π − + + + ∫ B06. ln5 ln3 2 3 x x dx e e − + − ∫ B05. 2 0 sin 2 .cos 1 cos x x dx x π + ∫ B04. 1 1 3ln .ln e x x dx x + ∫ A11. ( ) 4 0 . sin 1 cos . sin cos x x x x I dx x x x π + + = + ∫ A10. 2 2 2 0 2 1 2 x x x x e x e dx e + + + ∫ A09. ( ) 2 3 2 0 cos 1 cos x xdx π − ∫ A08. 6 4 0 tan cos2 x dx x π ∫ A06. 2 2 2 0 sin 2 cos 4sin x dx x x π + ∫ A05. 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x dx x π + + ∫ A04. 2 1 1 1 x dx x+ − ∫ A03. 2 3 2 5 4 dx x x + ∫ CD11. ( ) 2 1 2 1 1 x dx x x + + ∫ CD10. 1 0 2 1 1 x dx x − + ∫ CD09. ( ) 1 2 0 x x e x e dx − + ∫ . Ngọc Nam_THPT Trung Giã Phone: 0949088998 Mail: Moonflower35@gmail.com 1 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1 ðịnh nghĩa 2 3 1 3 2 x x dx x x + + − + ∫ 2 4 sin x.cos xdx ∫ 3 dx sin. Moonflower35@gmail.com 5 Bài 7 Diện tích hình phẳng Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị ( ) 2 ln 2 4 x x y x + = − và trục hoành. ð/s: 2ln2 2 3 3 π − + − Tính diện tích hình phẳng giới. diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hai hàm số 2 1 y x = − và 5 y x = + A02. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường: 2 4 3 y x x = − + và y = x + 3. A07. Tính diện tích