A ) Các công thức cơ bản: I)Các hằng đẳng thức: (a b) 2 =a 2 2ab +b 2 ( a b) 2 = a 2 3a 2 b +3ab 2 b 2 (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 ( a+ b )( a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3 ( a - b ) (a 2 + ab +b 2 ) = a 3 - b 3 (a b) 4 =a4a 3 + 6a 3 b 3 4ab 3 +b 4 II) Các bất đẳng thức: (a b) 2 0 với a ,b a 2 0 với a . B)Các ví dụ minh hoạ : I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức: Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a 4 + b 4 162 Giải Do a + b = 6 nên có thể đặt = += mb ma 3 3 với m tuỳ ý Ta có : a 4 + b 4 = (3 + m) 4 + (3 - m) 4 = 432234432234 34363433436343 mm.m.m.mm.m.m . +++++++= = 1622108162 42 ++ mm Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0 Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a 4 + b 4 32 Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt = += mb ma 2 2 với m tuỳ ý Ta có : a 4 + b 4 = (2 + m ) 4 + (2- m) 4 = 32 + 48m 2 +2m 4 32 Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM. Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng ứng nh trên với 3 = += m c b m c a 2 2 Với m tuỳ ý Bài 3: Cho x + y + z = 3 Chứng mỉnh rằng: x 2 + y 2 + z 2 +xy +yz +zx 6 Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt = += += baz by ax 1 1 1 Với a,b tuỳ ý Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có: x 2 + y 2 + z 2 +xy +yz +zx = (1 + a) 2 + (1 + b ) 2 + (1 - a - b) 2 + + (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a 2 + ab + b 2 6 4 3 2 6 2 2 + ++ bb a Với mọi a , b . Dấu = xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM . Nhận xét 2 : Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt: = += += nm k z n k y m k x 3 3 3 Hoặc += += += c k z b k y a k x 3 3 3 với a +b +c = 0 Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên . Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng : ( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd 2 1 Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt : zyd;zyc;zxb;zxa =+=+=++= 4 1 4 1 4 1 4 1 Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có: (a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd = ++ + +++ ++= zyzxzyzxyxyx 4 1 4 1 2 4 1 4 1 2 2 1 2 1 4 ( ) 2 1 4 2 1 2 2 = zyx Vớii mọi x , y . z . Dấu = xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM. Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k . Ta có thể đặt theo 2 cách : = += += ++= zy k d zy k c zx k b zx k a 4 4 4 4 Hoặc += += += += q k d p k c n k b m k a 4 4 4 4 với m + n + p + q = 0 Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng. a 2 + d 2 + cd 3ab a 2 + b 2 + ab 3cd Giải Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a. Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt = += xbd xac Với x tuỳ ý Ta có ( ) ( ) ( )( ) =++++=++ xbxaxbxacddc 22 22 abab xx ba 33 4 3 2 2 2 ++ += a,b,x Dấu = xảy ra khi x = a - b + 2 x = 0 hay a = b = c = d Với c 2 + d 2 +cd 3ab với a, b thoả mãn a + b = c + d Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a 2 + b 2 + c 2 + d 2 1 Vì a + b + c + d = 2 nên đặt td;yb zc;xa +=+= +=+= 2 1 2 1 2 1 2 1 Với : x + y + z + t = 0 Ta có: =+++ 2222 dcba 5 2222 4 2 4 2 4 2 4 2 ++ ++ ++ += tzyx ttzzyyxx +++++++++++ 2222 4 1 4 1 4 1 4 1 ( ) ( ) tzyxtzyx ++++++++ +++= 2222 4 1 4 1 4 1 4 1 01 2222 ++++= tzyx Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t Khi đó a = b = c = d = 2 1 Nhận xét 4 : Nếu cho điều kiện là ka aaaa n =+++++ 4321 CMR: n k a aaaa n 2 22 4 2 3 2 2 2 1 +++++ Ta nên đặt ,x n k a 11 += ,x n k a 22 += ,x n k a 33 += ,x n k a nn += II. Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất đẳng thức . Bài 7: Cho x + y =3 và y 2 .Chứng minh rằng: a) x 3 + y 3 9 b) 2x 4 + y 4 18 Giải: Do y 2 nên đặt y =2 + t 0 với t 0 Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t Thay x = 1 - t và y = 2 + t vào vế trái ta có: x 3 + y 3 = (1 -t ) 3 + ( t + 2) 3 = 9 +9 t +9t 2 9 vì t 0 Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM b) 2x 4 + y 4 =2 (1 - t) 4 + ( 2 + t) 4 =18 +24t + 36 t 2 + 3t 4 18 vì t 0 Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM 6 Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y l (hay x n) thì nên đặt y = 1 + m với m 0 ( hay x = n - m với m 0) Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m) suy ra: += = mly mlkx Hay = = mnky mnx Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 8: Cho x < 2 và x + y > 5 . Chứng minh rằng: 5x 2 + 2y 2 + 8y > 62 Giải Do x < 2 và x + y > 5 nên ta đặt +=+ = kyx tx 5 2 Với t ,k > 0 Suy ra ++= = kty tx 3 2 Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có 5x 2 +2y 2 +8y = 5 (2 - t ) 2 + 2(3 + k + t ) 2 +8 (3 + k + t) = = 62 + 2 (k + t ) 2 +5t 2 +20 k > 62 k , t Suy ra ĐPCM . Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng: 27a 2 +10 b 3 > 945 Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt +=+ += kba tb 8 3 Với k,t > 0 += += tb tka 3 5 Thay vào vế trái của BĐT ta có: 27a 2 + 10b 3 = ( ) ( ) =+++= 32 310527 ttk ( ) 945109027027945 32 2 ++++= ttktk Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là: 7 + vx uyx Ta nên đặt = +=+ mvx nuyx Với m,n > 0 từ đó = ++= mvx nuvmy Thay vào BĐT suy ra ĐPCM Nếu điếu kiện cho là: + lb kba Thì ta đặt += +=+ nlb mkba với n,m > 0 += += nlb nlmka Thay vào BĐT suy ra ĐPCM Bài10: Cho a + b + c 3 .Chứng minh rằng a 4 +b 4 +c 4 a 3 + b 3 + c 3 Giải: Do a + b + c 3 nên ta đặt : += += += zc yb xa 1 1 1 Thoả mãn x + y + z 0 Xét hiệu : =++ 333444 cbacba ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++++++= 333444 111111 zyxzyx ( ) 0 4 333 2 3 2 3 2 3 222 2 2 22 2 ++ + ++ ++ ++++ + zyxz z y y x xzyx Vậy: 333444 cbacba ++++ Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1 Nhận xét 7 Đây là đề thi học viện bu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học sinh vẫn có thể chứng minh đợc đối với học sinh THCS III)các bài toán có điều kiện phức tạp: Bài11: cho : a 3 + b 3 < 2 Chứng minh rằng: a + b < 2 Giải Phơng pháp phản chứng. Giả sử 2+ ba ta đặt += += yb xa 1 1 với 0+ yx 8 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3322 33 33 33211 yxyxyxyxba ++++++=+++=+ = ( ) ( ) ( ) ( ) 2332 2222 +++++++ yxyxyxyxyx Vì 0+ yx Suy ra 2 33 + ba Trái giả thiết.Vậy a + b < 2 Bài 12 Cho a 4 + b 4 < a 3 + b 3 Chứng minh rằng: a + b < 2 Giải Phơng pháp phản chứng: Giả sử 2+ ba .Đặt += += yb xa 1 1 với 0+ yx Xét hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) 3344 3344 1111 yxyxbaba +++++=+ ( ) ( ) ( ) 3322 33 yxyxyx +++++= ( ) ( ) ( ) ( ) 033 2222 ++++++= yxyxyxyxyx y;x hay + 0 3344 baba với a + b 2 Thì: a 4 + b 4 a 3 + b 3 Trái với giả thiết . Vậy a + b < 2 Bài toán 13 Cho a,b,c là 3 số dơng Chứng minh : 2 3 + + + + + ba c ca b cb a Giải: Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó: 2 zyx cba ++ =++ 2 2 2 zyx c zyx b zyx a + = + = ++ = Cho nên 9 ( ) 2 3 3222 2 1 3 2 1 111 2 1 222 =++ ++ ++ += ++++++= + + + + ++ = = + + + + + z y y z z x x z y x x y z y z x y z y x x z x y z zyx y zyx x zyx ba c ac b cb a (áp dụng BĐT CÔ SI ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Hay a = b = c Bài toán 14 Cho u,v là các số dơng và u+v=1. chứng minh rằng 2 2511 22 ++ + v v u u Giải Đặt a = u + u 1 và v vb 1 += Ta có a > 0, b > 0 Và 2 2 + ba < 2 22 ba + (1) Vì ( ) 44 222 22 2 222222 2 babababababa = ++ = + + < 0 áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 4 25 2 41 2 1 1 2 11 2 11 11 2 1 2 2 2 22 22 22 = + + = +++ = +++ ++ += + uv vu vu v v u u v v u u ba vì uv 2 1 2 2 = + vu do đó 4 1 uv ) Dấu đẳng thức xảy ra khi : u = v = 2 1 bài toán:15 Cho a.b 0 Chứng minh rằng: 10 043 2 2 2 2 + ++ a b b a a b b a Giải : Đặt x = a b b a + ta có : 2 2 2 2 2 2 ++= a b b a x 2 2 2 2 2 2 =+ x a b b a Bất đẳng thức trở thành: 0432 2 + xx 023 2 + xx ( )( ) 021 xx Nếu ab< 0 Thì ta có 02 22 ++ baba abba 2 22 + Chia cả hai vế cho ab ta đợc 2 22 + ab ba Vậy x 2 Trong cả hai trờng hợp thì ( )( ) 021 xx Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b 11