Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 (7) Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: a/ Cho x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx= 0 và x + y +z= -1 Tính giá trị biểu thức M= xy zx yz z y x + + b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn 5 5 3 3 2x y x y+ = . Chứng minh H = 1 1 xy là bình phơng của một số hữu tỷ. Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x 2010 + x 3 +ax 2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x 2 + x +1 b/ Tìm x, y thoả mãn 2 2 2 2 1 1 4x y x y + = Bài 3: a/ Cm biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y M= 2 2 5 2 6 18 50x y xy x y+ + + b/Giải phơng trình ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 4 7 10 7 6x x x x = + Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt nhau tại N. Qua E vẽ đờng thẳng song song với AM cắt BC và BA tại K và H. a/ Chứng minh KE + KH = 2AM b/ Chứng minh 1 = NB BC NE BA c/ Phân giác AD của ABC cắt BE tai I, gọi G là trọng tâm ABC . Chứng minh nếu AB+ AC= 2BC thì IG//BC. Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: a/ Cho x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx=0 và x + y +z = - 1 Tính giá trị biểu thức M= xy zx yz z y x + + b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn 5 5 3 3 2x y x y+ = . Chứng minh H = 1 1 xy là bình phơng của một số hữu tỷ. Bài 2: a/Tìm a, b để G(x)= x 2010 + x 3 +ax 2 + x + b chia hết cho đa thức H(x)= x 2 + x +1 b/ Tìm x, y thoả mãn 2 2 2 2 1 1 4x y x y + = Bài 3: a/ Cm biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y M= 2 2 5 2 6 18 50x y xy x y+ + + b/Giải phơng trình ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 4 7 10 7 6x x x x = + Bài 4: Cho ABC có AB <AC, vẽ trung tuyến AM và phân giác BE cắt nhau tại N. Qua E vẽ đờng thẳng song song với AM cắt BC và BA tại K và H. a/ Chứng minh KE + KH = 2AM b/ Chứng minh 1 = NB BC NE BA c/ Phân giác AD của ABC cắt BE tai I, gọi G là trọng tâm ABC . Chứng minh nếu AB + AC= 2BC thì IG//BC. Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 (7) H ớng dẫn chấm Toán lớp 8 Bài 1: (2,5 điểm) Câu a=1,5 đ ; câu b=1 đ a/ Vì x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx=0 1 1 1 0 x y z + + = (0,25 đ) Nên M= xy zx yz z y x + + = xyz 2 2 2 1 1 1 x y z + + ữ (0,25 đ) = ( ) 2 1 1 1 2 xyz x y z x y z xyz + + + + ữ (0,5 đ) =xyz 2 2 0 ( 1) . 2xyz xyz xyz = = (0,5 đ) b/ Cho x, y là các số hữu tỷ khác không thoả mãn 5 5 3 3 2x y x y+ = nên ta có 5 5 5 5 2 3 3 6 6 ( ) 1 1 2 4 x y x y x y x y + + = = (0,25 đ) vậy H = 1 1 xy = ( ) 2 2 5 5 5 5 6 6 3 3 1 4 2 x y x y x y xy x y + = = ữ là bình phơng của một số hữu tỷ Bài 2: (2 điểm) mỗi câu 1 điểm a/Ta có G(x)= x 2010 + x 3 + ax 2 + x + b= (x 2010 - 1)+(x 3 - 1)+ ax 2 + x + b+ 2 Vì x 2010 - 1 = (x- 1) (x 2 + x +1)Q(x) và x 3 - 1=(x- 1) (x 2 + x + 1) chia hết cho x 2 + x + 1 nên để G(x) chia hết cho đa thức H(x)= x 2 + x + 1 Thì ax 2 + x + b+ 2 chia hết cho đa thức H(x)= x 2 + x +1 (0,25 đ) Ta có ax 2 + x + b+ 2 chia cho H(x)=x 2 + x + 1 đợc thơng là a và d (1- a)x+ b+ 2- a Vậy để ax 2 + x + b chia hết cho H(x)=x 2 + x +1 thi (1- a)x+ b+ 2- a= 0 với mọi x Nên 1- a= 0 và b+ 2- a= 0 1a = và b= -1 (0,5 đ) b/ Ta có 2 2 2 2 1 1 4x y x y + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 2 ) ( 2 ) 0 0x y x y x y x y + + + = + = ữ ữ (0,5 đ) nên ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 x y x x x y x x x x y y y y y y x y = = = = = ữ = = = = = = ữ = = = (0,5 đ) Bài 3: (2,5 điểm) Câu a =1 đ; câu b =1,5 đ a/ Chứng minh biểu thức sau luôn dơng với mọi giá trị của x, y Ta có M= 2 2 5 2 6 18 50x y xy x y+ + + = 2 2 2 2 6 6 9 4 12 9 32x xy x y y y y + + + + + + (0,25 đ) = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 3 32x x y y y + + + (0,5 đ) = ( ) ( ) 2 2 2 2 3 32 0x y y + + + > với mọi giá trị của x, y vì (0,25 đ) b/Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4 7 10 7 6 7 6 7 10 4 0x x x x x x x x = + + + + = (0,25 đ) đặt x 2 -7x+6=a ; 7x-10=b ; 4-x 2 =c ta có a+b+c=0 và a 3 + b 3 +c 3 =0 Ta chứng minh đợc a 3 + b 3 +c 3 =3abc nên ta có 3abc=0 nên a=0 hoặc b=0; c=0 (0,5 đ) xét các khả năng ta tìm đợc x=1 ; x=6 ; x= 10 ; 2 7 x = (0,75 đ) Bài 4: (3 điểm) mỗi câu đúng cho 1 điểm a/vì KH//AM nên ta có ; 2 2 KE KC KC KH BK KE KH KE KH AM AM MC MB AM MB AM MA = = = + = = + = b/ Trên tia AM lấy F sao cho MA=MF ta có tứ giác ACFB là hình bình hành nên BF =P AC. Nên ta có NB BF AC NE AE AE = = . Ta có BE là phân giác nên ta có 1 BC EC NB BC BA EA NE BA = = = Hoặc chứng minh cách khác: Ta có NB MB MC AC NE MK MK AE = = = ; 1 BC EC NB BC BA EA NE BA = = = c/ Ta tính đợc BD= 2 2 BC AB BC AB AB AB AC BC ì ì = = + ( vì AB+AC=2BC ). Ta có BI là phân giác nên ta có 1 2 2 BA ID BD IA BA BA = = = . Vì G là trọng tâm ABC nên 1 // 2 GM ID GM IG BC GA IA GA = = MÔN : TOáN 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Kì THI HọC SINH GIỏI LớP 8 Năm học: 2011 - 2012 Đề CHíNH THứC: (Đề này gồm có 1 trang). Bài 1:(2,0 điểm) 1. Tìm hai số tự nhiên ,a b sao cho 128a b+ = và ƯCLN(a,b)=16. 2. Tìm số nguyên tố p sao cho 10; 14p p+ + cũng là nguyên tố. Bài 2:(2,0 điểm) 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a. 2 2 2 6. 12 54z 6 +x xy y b. 20 1x x+ + 2. Cho đa thức bậc 3 , 3 2 ( ) . . = + + + f x x a x b x c . Xác định các hệ số , ,a b c biết rằng ( )f x chia hết cho 2x , ( )f x chia cho 2 1x thì d 2x . Bài 3: (2,0 điểm) 1. Cho biểu thức 3 2 2 3 2 2 8 2 4 1 3. 2 . : . 2 8 4 2 1 x x x x x x P x x x x x x + + + = ữ + + + + + tìm x để 0>p . 2. Cho , 0 1a b v a b> + = , chứng minh rằng 4 4 1 8 + a b Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, AD=6cm kẻ BH AC, H AC , gọi M, N, E, F lần lợc là trung điểm của AD, BC, AH và BH. a. Tính diện tích của tứ giác ABHD. b. Chứng minh CF EB . c. Trên tia đối của tia DC uuur lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q. C/ m ã ã QNM MNP= . Đề CHíNH THứC: (Đề này gồm có 1 trang). Bài 1:(2,0 điểm) 3. Tìm hai số tự nhiên ,a b sao cho 128a b+ = và ƯCLN(a,b)=16. 4. Tìm số nguyên tố p sao cho 10; 14p p+ + cũng là nguyên tố. Bài 2:(2,0 điểm) 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a. 2 2 2 6. 12 54z 6 +x xy y b. 20 1x x+ + 4. Cho đa thức bậc 3 , 3 2 ( ) . . = + + + f x x a x b x c . Xác định các hệ số , ,a b c biết rằng ( )f x chia hết cho 2x , ( )f x chia cho 2 1x thì d 2x . Bài 3: (2,0 điểm) 3. Cho biểu thức 3 2 2 3 2 2 8 2 4 1 3. 2 . : . 2 8 4 2 1 x x x x x x P x x x x x x + + + = ữ + + + + + tìm x để 0>p . 4. Cho , 0 1a b v a b> + = , chứng minh rằng 4 4 1 8 + a b Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8cm, AD=6cm kẻ BH AC, H AC , gọi M, N, E, F lần lợc là trung điểm của AD, BC, AH và BH. a. Tính diện tích của tứ giác ABHD. b. Chứng minh CF EB . c. Trên tia đối của tia DC uuur lấy điểm P, đờng thẳng PM cắt AC tại Q. C/ m ã ã QNM MNP= . HƯớNG DẫN VắN TắT ĐáP áN Và BIểU ĐIểM MÔN TOáN HSG LớP 8 Bài 1. (2.0đ) 1. (1.0đ) giả sử < a b ; 1 1 ,a b N , ƯC ( ) { } 1 1 ; 1a b = để 1 1 16a 16a v b b= = 0.25đ Thay vào 128a b + = ta đợc 1 1 8a b+ = 0.25đ Suy ra 1 1 1; 7a b= = hoặc 1 1 3; 5a b= = 0.25đ Vậy 16; 112a b= = hoặc 48; 80a b= = 0.25đ 2.(1,0đ) nếu 2p = (p nguyên tố) 10 12p + = không ngtố (loại) Nếu 3p = (nguyên tố) 10 13; 14 17p P + = + = nguyên tố 0.25đ Nếu 3;p k N> suy ra p có dạng 3 1; 3 2p k p k= + = + Khi 3 1 14 3 15 3( 5)p k p k k= + + = + = + chia hết cho 3 (loại) Khi 3 2 10 3 12 3( 5)p k p k k= + + = + = + chia hết cho 3 (loại) 0.5đ Vậy p=3 0.25đ Bài 2. ( 2.0đ) 1.(1.0đ) a. 2 2 2 6. 12 54z 6 6( 3z)( 3z)x xy y x y x y + = = + 0.5đ b. 20 20 2 2 2 2 9 6 3 1 1 ( 1) ( 1)( 1)( 1) 1x x x x x x x x x x x x x + + = + + + = = + + + + + + 0.5đ 2.(1.0đ) vì ( ) ( 2)f x x N nên (2) 0 8 4a 2 0(1)f b c= + + + = 0.25đ ( )f x chia cho 2 1x d 2x nên 2 ( ) 2 ( 1)f x x x N (1) 2 0 1f a b c = + + = (2) ( 1) 2 0 1f a b c + = + = (3) 0.25đ Từ (1); (2) và (3) suy ra 10 10 ; 1 3 3 a b v c = = = ; Kết luận đúng 0.5đ Bài 3 . (2.0đ) 1. 1.(1.0đ) 3 2 2 3 2 2 2 8 2 4 1 3. 2 4( 1) . : . 2 8 4 2 1 1 x x x x x x x P x x x x x x x x + + + + = = = ữ + + + + + + + (ĐK 2x ) 0.5đ Nhận xét 2 2 1 3 1 0 2 4 x x x + + = + + ữ với mọi x Đề p >0 4( 1) 0 1x x + > < ; Kết luận đúng. 1 2x v x< 0.5đ 2. (1.0đ) áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 b a b a b a aab a b a b b + + ++ + 0.5đ ( ) 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 1 1 2 2 2 8 a b b ba ba a ữ + + + + 0.5đ Bài 4 . (4.0đ) Vễ hình đúng 0.5đ a. (1.25đ) chứng minh đợc ABH CAB 0,25đ Tính đợc 24 32 ; 5 5 = =BH cm AH cm 0,25đ kẻ DK AC,K AC Chứng minh đợc DK BH= 0.25đ Tính đợc 2 ABHD ABH ADH 1 1 24 32 768 S S S AH.BH DK.AH AH.BH . (cm ) 2 2 5 5 25 = + = + = = = Kết luận đúng 0.5đ b. (0.75đ) Chứng minh đợc EF BC Chỉ ra đợc F là trực tâm của BEC Kết luận đợc CF BE 0.75đ c. (1.5đ) gọi O là giao điểm của MN và AC; qua O kẻ đờng thẳng song song với BC cắt QN tại I. Chỉ ra đợc Vì MO song song với PC nên QM QO PM OC = 0.25đ Tơng tự IO song song với NC nên QO QI OC IN = 0.25đ Nêu đợc QM QI PM IN = suy ra MI song song với PN 0.25đ Chỉ ra đợc ã ã NMI MNP= (so le trong) 0.25đ Chứng minh đợc MIN cân tại I; suy ra ã ã NMI INM= 0.25đ Kết luận đợc ã ã QNM MNP= 0.25đ Nếu học sinh giải theo cách khác, lập luận đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó. Điểm số đợc làm tròn theo quy định (h×nh vÏ) . GM IG BC GA IA GA = = MÔN : TOáN 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Kì THI HọC SINH GIỏI LớP 8 Năm học: 2011 - 2012 Đề CHíNH THứC: (Đề này gồm có 1 trang). Bài 1:(2,0. gọi G là trọng tâm ABC . Chứng minh nếu AB+ AC= 2BC thì IG//BC. Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: a/ Cho x, y, z khác không thoả. trọng tâm ABC . Chứng minh nếu AB + AC= 2BC thì IG//BC. Thi học sinh giỏi cấp cơ sở năm học 2009-2010 (7) H ớng dẫn chấm Toán lớp 8 Bài 1: (2,5 điểm) Câu a=1,5 đ ; câu b=1 đ a/ Vì x, y, z khác