Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán Chuyên đề 2: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT PHẦN I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN I/-LŨY THƯA VÀ CĂN THỨC Các định nghĩa Các tính chất  { n n a a.a a thöøa soá = (n , n 1, a ) + ∈ ≥ ∈¢ ¡  m n m n a .a a + =  1 a a= a∀  0 a 1= a 0∀ ≠  m m n n a a a − =  n n 1 a a − = { } (n , n 1, a \ 0 ) + ∈ ≥ ∈¢ ¡  m n n m m.n (a ) (a ) a= =  m n m n a a= (a 0; m, n , n 2) > ∈ ≥¥  n n n (a.b) a .b=  m n m n m n 1 1 a a a − = =  n n n a a b b   =  ÷   II/-HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 1). Hàm số mũ: y = a x ( a > 0, a ≠ 1 )  Tập xác định : D = ¡  Tập giá trị : T + = ¡ ( Vì: x a 0, x > ∀ ∈¡ )  Tính đơn điệu: + a > 1 : Hàm số đồng biến: 1 2 x x 1 2 x x a a> ⇒ > + 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến: 1 2 x x 1 2 x x a a> ⇒ < 2). Hàm số lôgarít: y = log a x a). lôgarít  ÐN M a log N M a N (0 a 1, N 0)= = < >Û ¹  a log N có nghĩa khi a 0 a 1 N 0 >   ≠   >  b). Các tính chất :  a log 1 0=  a log a 1=  M a log a M=  a log N a N=  a 1 2 a 1 a 2 log (N .N ) log N log N= +  1 a a 1 a 2 2 N log log N log N N   = −  ÷    a a log N .log N α = α  Đặc biệt: 2 a a log N 2.log N= c). Công thức đổi cơ số :  a a b log N log b.log N=  a b a log N log N log b = Hệ quả:  a b 1 log b log a =  a a log N log N β α α β = d). Hàm số lôgarít: y = log a x ( a > 0, a ≠ 1 )  Tập xác định: D + = ¡ Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán  Tập giá trị T = ¡  Tính đơn điệu: + a > 1 : hàm số a y log x= đồng biến: 1 2 a 1 a 2 x x 0 log x log x> > ⇒ > + 0 < a < 1 : hàm số a y log x= nghịch biến 1 2 a 1 a 2 x x 0 log x log x> > ⇒ < Một số điểm cần lưu ý: Mũ Lôgarít 0 a 1< ≠ M N a a M N= ⇔ = 0 a 1 < ≠ ; M, N 0> a a log M log N M N= ⇔ = a 1> M N a a M N> ⇔ > a 1> a a log M log N M N> ⇔ > 0 a 1< < M N a a M N> ⇔ < 0 a 1< < a a log M log N M N> ⇔ < e). Đạo hàm số mũ, lôgarít Hàm số sơ cấp Hàm hợp  2 1 1 x x ′   = −  ÷    1 (x )' .x α α − = α  2 1 u u u ′ ′   = −  ÷    1 (u )' .u .u α α − ′ = α  ( ) 1 x 2 x ′ =  ( ) n n n 1 1 x n x − ′ =  ( ) u u 2 u ′ ′ =  ( ) n n n 1 u u n u − ′ ′ =  x x (e )' e=  x x (a )' a ln a=  u u (e )' u .e ′ =  u x (a )' u .a .ln a ′ =  ( ) 1 ln x (x 0) x ′ = ≠  ( ) a 1 log x ' (x 0) x.ln a = ≠  ( ) u ln u (u 0) u ′ ′ = ≠  ( ) a u log u (u 0) u.lna ′ ′ = ≠  1 (ln x) (x 0) x ′ = >  a 1 (log x) (x 0) xln a ′ = >  u (lnu) (u 0) u ′ ′ = >  a u (log u) (u 0) u.ln a ′ ′ = > III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1). PHƯƠNG TRÌNH MŨ a). Phương trình mũ cơ bản: Với: a 0,a 1,b 0> >¹ ta có: x b a b x a= =Û b). Một số phương pháp giải phương trình mũ: Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số: Với: a 0,a 1> ¹ : f (x) g(x) a a f(x) g(x)= =Û Phương pháp 2: Lôgarit hoá: a 0,a 1,b 0> >¹ : ( ) f (x) g(x) a a b f (x) g(x). log b= =Û Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ Thông thường biến đổi PT (nếu cần) sau đó đặt ẩn phụ f (x) t a= , nhớ điều kiện t 0> 2). PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT a). Phương trình lôgarit cơ bản:  b a a 0,a 1:log x b x a> = =¹ Û  a b f (x) 0 a 0,a 1:log f (x) b f (x) a ì > ï ï > =¹ Û í ï = ï î b). Một số phương pháp giải phương trình lôgarit: Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số: a a f (x) g(x) a 0,a 1:log f (x) log g(x) f (x) 0 hay : g(x) 0 ì = ï ï > =¹ Û í ï > > ï î Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán (Thông thường chọn hàm số đơn giản hơn để đặt điều kiện dương) Phương pháp 2: Phương pháp mũ hóa: a g(x) f (x) 0 a 0,a 1:log f (x) g(x) f (x) a ì > ï ï > =¹ Û í ï = ï î Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ Thông thường biến đổi PT (nếu cần) sau đó đặt a t log f (x)= Nếu f(x) xác định thì không cần đặt điều kiện cho t ( t Î ¡ ) III/-PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1). Bất phương trình mũ cơ bản: a > 1 0 < a < 1 x a b> a b 0 : x log b> > x a b> a b 0 : x log b> < b 0 : £ BPT có nghiệm Î ¡x" b 0 : £ BPT có nghiệm Î ¡x" x a b< a b 0 : x log b> < x a b< a b 0 : x log b> > b 0 : £ BPT vô nghiệm b 0 : £ BPT vô nghiệm 2). Bất phương trình logarit: a > 1 0 < a < 1 ( ) a log f x b> ( ) b f x a> ( ) a log f x b> ( ) ( ) ì ï ï ï í ï ï ï î b f x a f x 0 < > ( ) a log f x b< ( ) ( ) ì ï ï ï í ï ï ï î b f x a f x 0 < > ( ) a log f x b< ( ) b f x a> 3). Một số phép biến đổi cần thiết: a). Bất phương trình mũ: ( ) ( )f x g x a a<  Nếu a > 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a < a f x g x<Û  Nếu 0 < a < 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x< >Û b). Bất phương trình lôgarit: ( ) ( ) a a log f x log g x<  Nếu a > 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ì ï ï í ï ï î a a f x g x log f x log g x f x 0 < < > Û  Nếu 0 < a < 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ì ï ï í ï ï î a a f x g x log f x log g x g x 0 > < > Û PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG.  BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI 1. Giải phương trình x x 1 x 2 x x 1 2 2 2 5 2.5 + + - + + = + . GIẢI: Ta có: x x 1 x 2 x x 1 2 2 2 5 2.5 + + - + + = + x x x 2 x x 1 2 2 .2 2 .2 5 2.5 . 5 + + = +Û ( ) x x x x x 5 2 2 7 5 1 2 4 .2 1 .5 7.2 .5 5 x log 5 5 5 2 æ ö æö ÷ ÷ ç ç + + = + = = =Û Û Û Û ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là 5 2 x log 5= . BÀI 2. Giải phương trình 2 x 2 x x 2 1 3 9 - - - æö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø . GIẢI: Ta có 2 x 2 x x 2 1 3 9 - - - æö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø ( ) 2 x 2 x x 2 2 3 3 - - - - =Û 2 x x 2 2x 4 3 3 - - - + =Û 2 x x 2 2x 4- - =- +Û 2 x x 6 0+ - =Û x 2 x 3 é = ê Û ê =- ë . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 2, x 3= = - . BÀI 3. Giải phương trình x x 25 30.5 125 0- + = . GIẢI: Phương trình đã cho tương đương: ( ) 2 x x 5 30.5 125 0- + = . Đặt x t 5= , điều kiện t 0> . Khi đó phương trình trở thành: 2 t 30t 125 0- + = t 5 t 25 é = ê Û ê = ë (nhận) + Với x t 5 5 5 x 1= = =Û Û . + Với x x 2 t 25 5 25 5 5 x 2= = = =Û Û Û . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 1, x 2= = . BÀI 4. Giải phương trình x 2 x 3 3 10 + - + = . GIẢI: Ta có x 2 x 3 3 10 + - + = x x 1 9.3 10 3 + =Û Đặt x t 3= , điều kiện t 0> . Khi đó phương trình trở thành: 1 9t 10 t + = 2 9t 10t 1 0- + =Û t 1 1 t 9 é = ê Û ê ê = ê ë (nhận)  Với x t 1 3 1 x 0= = =Û Û .  Với x 2 1 t 3 3 x 2 9 - = = =-Û Û . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 0, x 2= =- . BÀI 5. Giải phương trình x x x 3.9 7.6 6.4 0+ - = . GIẢI: Phương trình đã cho tương đương: 2x x 3 3 3. 7. 6 0 2 2 æö æö ÷ ÷ ç ç + - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Đặt x 3 t 2 æö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø , điều kiện t 0> . S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn Khi ú phng trỡnh tr thnh: 2 3t 7t 6 0+ - = ( ) 2 t 3 t 3 loaùi ộ ờ = ờ ờ ờ =- ở Vi x x 1 2 3 2 3 3 t x 1 3 2 3 2 2 - ổử ổử ổử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = = = =- ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ . Vy phng trỡnh ó cho cú 1 nghim l x 1=- . BAI 6. Gii phng trỡnh 2 x 4 x 2 5 7 - + = . GIAI: Ta cú: 2 2 x 4 x 2 x 4 x 2 5 5 5 7 log 5 log 7 - + - + = = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 5 x 4 x 2 log 7 x 2 x 2 x 2 log 7 0- = + - + - + = ( ) ( ) 5 5 x 2 x 2 x 2 log 7 0 x 2 log 7 ộ =- ờ + - - = ờ = + ở . Vy phng trỡnh ó cho cú 2 nghim l 5 x 2, x 2 log 7=- = + . BAI 7. Gii phng trỡnh x 3 11 x= - . GIAI: Ta cú x 2= l nghim ca phng trỡnh cho. Mt khỏc, hm s x y 3= luụn ng bin trờn Ă , hm s y 11 x= - luụn nghch bin trờn Ă nờn x 2= l nghim duy nht ca phng trỡnh ó cho. Vy phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht l x 2= . BAI 8. Gii phng trỡnh ( ) x x 1 1 3x 11 . 3x 10 0 4 2 ổử ổử ữ ữ ỗ ỗ - + + + = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . GIAI: t x 1 t 2 ổử ữ ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ , iu kin t 0> . Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh: ( ) 2 t 3x 11 t 3x 10 0- + + + = t 1 t 3x 10 ộ = ờ ờ = + ở Vi x 1 t 1 1 x 0 2 ổử ữ ỗ = = = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Vi x 1 t 3x 10 3x 10 2 ổử ữ ỗ = + = + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ (*). Ta cú x 2=- tha món phng trỡnh (*) nờn l nghim ca phng trỡnh (*). M hm s x 1 y 2 ổử ữ ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ luụn nghch bin trờn Ă , hm s y 3x 10= + luụn ng bin trờn Ă . Do ú x 2=- l nghim duy nht ca phng trỡnh (*). Vy phng trỡnh ó cho cú 2 nghim l x 0, x 2= =- . BAI TP CO AP Sễ BAI 1: Gii phng trỡnh: S GD T Bỡnh Thun Trng THPT Bc Bỡnh T: Toỏn a). 2 x 1 x 6x 2 1 25 5 + - + ổử ữ ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ S: 1 x 5;x 2 = = b). x 1 x x x 1 5 10 .2 .5 - - + = S: x 2=- BAI 2: Gii bt phng trỡnh: a). 2x 1 x 2 17.2 8 0 + - + Ê S: [ ] S 1;3= - b). ( ) ( ) x x 4 15 4 15 8+ + - > S: ( ) ( ) S ; 1 1;= - Ơ - + ƠU BAI 4: Gii cỏc phng trỡnh sau: a). x 1 x x 1 5 6.5 3.5 52 + - + - = b). x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 3 3 3 9.5 5 5 + + + + + + + = + + c). x x 1 3 .2 72 + = d). 2 2 2 x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7 4 4 4 1 - + + + + + + = + BAI 2: Gii phng trỡnh: a). ( ) ( ) ( ) ln x 3 ln x 1 ln 3x 7- + - = - S: x 5= b). ( ) ( ) 4 2 2 4 log log x log log x 2+ = S: x 16= BAI 3: Gii bt phng trỡnh v h phng trỡnh sau: a). ( ) ( ) 3 1 3 2log x 2 log 2x 19 0+ + + Ê S: ( ] S 2;3= - b). 8 8 8 8 8 8 log (xy) 3log x.log y log x x 4log y log y ỡ = ù ù ù ù ớ ù = ù ù ù ợ S: ( ) 1 8;2 2 , ; 2 2 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ BAI TP: Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau: 1). x x 1 x 2 3 3 3 351 + + + + = 2). x 1 x 2 x 2 x 3 2 2 3 3 + + - - + = + 3). x x 1 7.5 2.5 11 - - = 4). x 2x 2x x 14.7 4.3 19.3 7+ = - Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau: 1). ( ) 2 x x 6x 10 0,2 5 - - = 2). 2 x x 5 2x 3 3 2 2 3 - - + ổử ổử ữ ữ ỗ ỗ = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ 3). ( ) ( ) 4x 1 2x 3 3 2 2 3 2 2 - + + = - 4). ( ) 2 x x x 1 9. 3 81 - - = Bai 3. Giai cac phng trinh sau: 1). 2x 2x 9 3 6 0- - = 2). x x 1 2 4 1 - - = 3) x x 25 5 12 0- - = 4). 2x 8 x 5 3 4.3 27 0 + + - + = Bai 4. Giai cac phng trinh sau: 1). x x x 10.25 29.10 10.4 0- + = 2). x x x 5.36 3.16 2.81= + 3). x x x 25 3.15 2.9 0+ + = 4). x x x 4.9 12 3.16+ = Bai 5. Giai cac phng trinh sau: 1). x 1 x 3 5 5 26 - - + + = 2). x 1 2 x 7 2 2 2 - - - = 3). x 1 2 x 3 3 28 + - + = 4). 2 2 2x x 1 2x x 7 7 8 0 - + + - + - = Bai 6. Giai cac phng trinh sau: 1). 2 x 2x 8 x 2 4 5 + - - = 2). x 1 x 1 x 3 .8 1 - - = Sở GD – ĐT Bình Thuận Trường THPT Bắc Bình Tổ: Toán 3). 2 x 9 x 2 .3 8 - = 4). x 1 2x 1 4.9 3 2 - + = Bài 7. Giải các phương trình sau: 1). x x x 8 2.4 2 2 0- - + = 2). 2 2 x x 2 x x 2 2 3 - + - - = 3). x x x x 3.8 4.12 18 2.27 0+ - - = 4). 2 2 x x x x 2x 2 4.2 2 4 0 + - - - + = Bài 8. Giải các phương trình sau: 1). 2 3 4 20 log x log x log x log x+ + = 2). ( ) ( ) 2 (x 3) 1 3x 1 2 log x 1 log 2 + - + = + + 2 log 3). ( ) 2 2 9 3 3 1 x 1 log x 5x 6 log log (x 3) 2 2 - - + = + - 4). ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3+ + + + + = + Bài 9. Giải các phương trình sau: 1). 8 2 4 16 log 4x log x log 2x log 8x = 2). x 3 3 x 1 log 3 log x log 3 log x 2 + = + + 3). ( ) ( ) x 1 x 2 2 log 4 4 .log 4 1 3 + + + = 4). ( ) 3 9x 3 4 2 log x log 3 1 1 log x - - = - Bài 10. Giải các bất phương trình sau: 1). 2 x 3x 2 4 - + < 2). 2 2x 3x 7 9 9 7 - ³ æö ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 3). x 2 x 1 3 3 28 + - + £ 4). x x 4 3.2 2 0- + > 5). 2x 1 2x 2 2x 3 2 2 2 448 - - - + + ³ 6). x x 22 3 0 - + - < 7). ( ) ( ) x x 1 0, 4 2,5 1,5 + - > 8). x x x 5.4 2.25 7.10+ £ Bài 11. Giải các bất phương trình sau: 1). 1 3 3x 1 log 1 x 2 - > + 2). 4 4 log (x 7) log (1 x)+ > - 3). 2 2 log (x 5) log (3 2x) 4+ - -£ 4). 2 2 log (x 4x 5) 4- - < 5). x 5 log (26 3 ) 2- > 6). x 3 log (13 4 ) 2- > 1). ( ) log 4 2x 2 8 - ³ 2). ( ) ( ) log 3x 5 log x 1 1 1 5 5 - > + 3). ( ) log x log x 2 log 3 0,2 5 0,2 - - < 4). 2 log x 5log x 6 0 3 3 - + = 5). 1 1 1 1 log x log x + > - 6). 2 0,2 0,2 log x 5log x 6- < - . 2 1 3 9 - - - æö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø . GIẢI: Ta có 2 x 2 x x 2 1 3 9 - - - æö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø ( ) 2 x 2 x x 2 2 3 3 - - - - =Û 2 x x 2 2x 4 3 3 - - - + =Û 2 x x 2 2x 4- - =- +Û 2 x x 6 0+ -. 2 3 2 2 - + + = - 4). ( ) 2 x x x 1 9. 3 81 - - = Bai 3. Giai cac phng trinh sau: 1). 2x 2x 9 3 6 0- - = 2). x x 1 2 4 1 - - = 3) x x 25 5 12 0- - = 4). 2x 8 x 5 3 4.3 27 0 + + - + = Bai. 3 2 2 3 3 + + - - + = + 3). x x 1 7.5 2.5 11 - - = 4). x 2x 2x x 14.7 4.3 19.3 7+ = - Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau: 1). ( ) 2 x x 6x 10 0,2 5 - - = 2). 2 x x 5 2x 3 3 2 2 3 - - + ổử ổử ữ