BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC Bài 1. Cho hình vẽ . Hãy so sánh : PA và CA, CP và CB, AP và BO, CP và nửa chu vi tam giác ABC Nói thêm với HSG Lấy M nằm trong tam giác ABC. So sánh MA + MB + MC và nửa chu vi tam giác ABC và với chu vi tam giác ABC Kẻ AH và BK vuông góc với CP. Chứng minh AH + BK < AB C A B P Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH BC ⊥ . Kẻ HP vuông góc với AB và kéo dài để có PE = PH. Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QF = QH a. Chứng minh APE APH, AQH AQF ∆ = ∆ ∆ = ∆ b. Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF c. Chứng minh BE//CF d. Cho AH = 3cm, AC = 4cm. Tính HC, EF F E Q P H B A C Bài 3. Cho hình bên, chứng minh µ 0 A 90 = M B A C Bài 4. Cho hình bên biết AB = BD, BE = 1/3BC. Chứng minh : a. DK = CK b. D, E và trung điểm M của AC thẳng hàng E B K A D C Bài 5. Tam giác ABC có AC > AB, trung tuyến AM Chứng minh : AC AB AC AB AM 2 2 − + < < M B C A Bài 6. Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Trên tia đối của tia AH lấy D sao cho AH = AD. Lấy trung điểm E của HC. Gọi F là giao điểm của AC và DE. Chứng minh : a. AF = 1/3AC b. H, F và trung điểm M của DC thẳng hàng c. HF = 1/3DC (câu b có thể hỏi gọi M là trung điểm của DC. Chứng minh DE, CA và HM đồng quy M F E B C A H D 1 BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC -> chỗ này nói với hsinh ) Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy D sao cho MD = MA. a. Chứng minh MAB MDC. Suy ra ACD ∆ = ∆ ∆ vuôn g b. Gọi K là trung điểm AC. Chứng minh KB = KD c. Gọi I là giao điểm của KD và BC, N là giao điểm của KB và AD. Chứng minh tam giác KNI cân d. Chứng minh ( ) 1 AM AB AC 2 < + . Điều này còn đúng không nếu tam giác ABC không là tam giác vuông N I K D M B A C Bài 8. Cho rABC có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm a. Tam giác ABC là tam giác gì ? b. Vẽ trung tuyến AM. Kẻ MH AC ⊥ . Trên tia đối của tia MH lấy K sao cho MK = MH • Chứng minh MHC MKB ∆ = ∆ . Suy ra BK//AC • BH cắt AM tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC • Tính độ dài AG G M B A C H K Bài 9. Cho tam giác ABC có µ 0 A 50 = . Phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại I a. Tính góc BIC b. Kẻ tia phân giác góc ngoài tại B cắt AI tại J. Chứng minh CJ là tia phân giác của góc ngoài tại C J I B C A 2 BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC Bài 10. Cho ABC ∆ có µ 0 A 120 = . Các phân giác AD và CE gặp nhau ở O. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh : a. BO BF ⊥ b. · · BDF ADF = c. Ba điểm D, E, F thẳng hàng E F O D A B C Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A. trên hai cạnh AB, AC và về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác đều ADB, AEC a. Chứng minh BE =CD b. Kẻ phân giác AH của tam giác cân. Chứng minh BE, CD, AH đồng quy E D H B C A Bài 12. Cho tam giác ABC. Trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh : a. ( ) 2 BE CF BC 3 + > b. ( ) 3 AD BE CF AB BC CA 4 + + > + + D F E A B C Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC. Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh : a. ABE HBE ∆ = ∆ b. BE là đường trung trực của AH c. EK = EC d. AE < EC e. BE KC ⊥ f. Cho AB = 3cm, BC = 5cm. Tính KC H E B A C K 3 BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC Bài 14. Cho góc vuông xOy, điểm A thộc tia Ox, B thuộc Oy. Đường trung trực của OA cắt Ox tại D, đường trung trực của OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh : a. CE = OD b. CE vuông góc với CD c. CA = CB d. CA//DE e. A, B, C thẳng hàng x y C D E O A B Bài 15. Cho tam giác DEF cân tại D có DE = DF = 5cm, EF = 8cm. M, N lần lượt là trung điểm DF và DE. Kẻ DH EF ⊥ . a. Chứng minh EM = FN và · · DEM DFN = b. Giao điểm của EM và FN là K. Chứng minh KE = KF c. Chứng minh DK là phân giác của góc EDF d. Chứng minh EM, FN, AH đồng quy e. Tính AH K N M H E F D Bài 16. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên AM lấy I, K sao cho AI = IK = KM. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC và AB a. Chỉ ra các điểm thẳng hàng b. D là giao điểm của BN và CI thì D là trọng tâm của tam giác nào ? c. Cho BN = 18cm. Tính DN D P I K N M B C A Bài 17. Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC, kẻ đường cao AH a. Chứng minh HB > HC b. Chứng minh µ $ C B > c. So sánh · · BAH vµ CAH B C A H 4 BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC Bài 18. Cho tam giác ABC vuông tại B. Trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy E sao cho ME = AM. Chứng minh : a. ABM ECM ∆ = ∆ b. AC > CE c. · · BAM MAC > E M A B C Bài 20. Cho M nằm trong góc xOy. Qua M vẽ MA Ox ⊥ cắt Oy tại C và vẽ MB Oy ⊥ cắt Ox tại D a. *Chứng minh OM vuông góc với DC b. Xác định trực tâm tam giác MCD c. Nếu M thuộc phân giác góc xOy thì tam giác OCD là tam giác gì ? Vẽ hình minh họa y x C D A B O M Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung trực của AB cắt AB tại E và BC tại F a. Chứng minh FA = FB b. Vẽ FH AC ⊥ , chứng minh FH EF ⊥ c. Chứng minh FH = AE d. Chứng minh EH//BC và EH = ½ BC F E B A C H Bài 22. Cho tam giác ABC vuông ở C có µ 0 A 60 = . Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ EK AB, BD AE ⊥ ⊥ . Chứng minh : a. AC = AK và AE vuông góc với CK b. KA = KB c. EB > AC d. AC, BD, KE cùng đi qua một điểm D K E C B A 5 BI TP CC NG NG QUY TRONG TAM GIC Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 5cm, BC = 13cm. Ba đờng trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại O. a. Tính AM, BN, CE. b. Tính diện tích tam giác BOC O E N M C A B Bài 24.Cho tam giác đều AOB, trên tia đối của tia OA, OB lấy theo thứ tự các điểm C và D sao cho OC = OD.Từ B kẻ BM vuông góc với AC, CN vuông góc với BD. Gọi P là trung điểm của BC.Chứng minh: a.Tam giác COD là tam giác đều b.AD = BC c.Tam giác MNP là tam giác đều M N P D O A B C Bài 25. Cho tam giác cân ABC, AB = AC, đ- ờng cao AH. Kẻ HE vuông góc với AC. Gọi O là trung điểm của EH, I là trung điểm của EC. Chứng minh: a. IO vuông góc vơi AH b. AO vuông góc với BE O I E H B C A Bài 26.Cho tam giác nhọn ABC. Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF ở B và C. Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh: a) Tam giác ABI bằng tam giác BEC b) BI = CE và BI vuông góc với CE. c) Ba đờng thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm. F E B C A 6 . BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC Bài 1. Cho hình vẽ . Hãy so sánh : PA và CA, CP và CB, AP và BO, CP và nửa chu vi tam giác ABC Nói thêm với HSG Lấy M nằm trong tam giác ABC. So sánh. trung điểm của DC. Chứng minh DE, CA và HM đồng quy M F E B C A H D 1 BÀI TẬP CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC -> chỗ này nói với hsinh ) Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trung tuyến AM. Trên. Cho tam giác ABC cân tại A. trên hai cạnh AB, AC và về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác đều ADB, AEC a. Chứng minh BE =CD b. Kẻ phân giác AH của tam giác cân. Chứng minh BE, CD, AH đồng quy E D H B C A Bài