SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - lỚP 12 THPT Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số 3 2 2 3= + −y x mx x (1) và đường thẳng ( ) : 2 2∆ = −y mx (với m là tham số). 1) Khi 0=m . Gọi đồ thị của hàm số đã cho là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2. 2) Tìm m để đường thẳng ( )∆ và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 3 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ). Câu 2. (5 điểm) 1) Giải phương trình 2sin 2 2sin 2 3 3 4cos4 cos x x x x π   − + +  ÷   = . 2) Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 4 .  + = +   + + + + = −   xy y x y x x x x x (với ; ∈¡x y ) Câu 3. (3 điểm) 1) Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB AD CD,= < điểm B(1;2) , đường thẳng BD có phương trình 2y = . Biết rằng đường thẳng ( ): 7 25 0d x y− − = lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM BC ⊥ và tia BN là tia phân giác của góc MBC. Tìm toạ độ đỉnh D (với hoành độ của D là số dương). 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm ( ) ( ) A 1;2;1 ,B 1; 2;4− và mặt phẳng ( ) : 2 0P y z+ = . Tìm toạ độ điểm C ( )P∈ sao cho tam giác ABC cân tại B và có diện tích bằng 25 2 . Câu 4. (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AB 2a = . Tam giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng ϕ với 1 sin 3 ϕ = . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo a . Câu 5. (3 điểm) 1) Tính tích phân ( ) 2 3 32 4 1 ln 1+ + + = ∫ x x x x I dx x . 2) Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6 . Câu 6. (2 điểm) Cho các số thực , ,x y z thay đổi thoả mãn điều kiện 2 2 2 1.+ + =x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 2 8 2 2 = + + − + + − − + P xy yz xz x y z xy yz . Họ và tên thí sinh :……………………… Chữ ký của Giám thị 1 : ………………………… Số báo danh : ……………………… Chữ ký của Giám thị 2 : ………………………… ĐỀ CHÍNH THỨC . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 -2013 Môn: Toán - lỚP 12 THPT Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (4 điểm)