ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN  GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN QUA CÁC VÍ DỤ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THEO SÁCH “DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA” Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Đăng Minh Phúc Nhóm sinh viên: Đỗ Viết Lân Nguyễn Thị Thùy Trang Hoàng Việt Cường Võ Thị Diệu Trang Huế, tháng 9 năm 2013 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN  GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN QUA CÁC VÍ DỤ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THEO SÁCH “DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA” Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Đăng Minh Phúc Nhóm sinh viên: Đỗ Viết Lân Nguyễn Thị Thùy Trang Hoàng Việt Cường Võ Thị Diệu Trang Huế, tháng 9 năm 2013 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Ma trận là một công cụ hữu hiệu cho cuộc sống. Nhiều trường hợp cụ thể trong cuộc sống được mô tả bằng ma trận. Và như vậy, khi có ma trận cùng các phép toán trên nó ta có thể giải quyết nhiều vấn để một các đơn giản. Sách “Discovering Advanced Algebra – Khám phá đại số nâng cao” cho chúng ta làm quen với khái niệm đơn giản về ma trận và các phép toán của nó, phục vụ cho cuộc sống thường nhật. Nhóm chúng tôi đã đọc và tìm hiểu chương 6 của cuốn sách. Sau đây xin trình bày lại về nội dung “Giới thiệu ma trận qua hệ phương trình” qua các phần sau: I. Giới thiệu về tác giả cuốn sách II. Giới thiệu về ma trận III. Nhận xét và so sánh với sách về ma trận ở Việt Nam IV. Kết luận Từ nội dung được trình bày ở đây và ở các sách về Đại số tuyến tính, hi vọng các bạn khám phá được những điều bổ ích về ma trận. Huế, tháng 9 năm 2013 Nhóm tác giả I. GIỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH 1. Giới thiệu về tác giả Các tác giả của cuốn sách này là Jerry Murduck, Ellen Kamischke và Eric Kamischke. Họ đều là các chuyên gia nổi tiếng của nền khoa học giáo dục Mỹ. Họ đều đã được vinh danh tại nhiều cuộc thi, giải thuởng lớn ở Mỹ và được xem là những người đi đầu trong công tác dạy học Toán. Cả ba đều là những giáo viên có nhiều năm kinh nghiệm và tham gia cộng tác viết rất nhiều sách phục vụ cho việc dạy học Toán. Trong đó ba nguời là đồng tác giả của bộ sách “Discovering Algebra – Tìm hiểu về Ðại số” cơ bản, nâng cao bao gồm cả lý thuyết và bài tập. ERIC KAMISCHKEELLEN KAMISCHKE JERRY MURDUCK 2. Giới thiệu về cuốn sách Tên cuốn sách là: “Discovering Advanced Algebra: An Investigative Approach – Khám phá Ðại số nâng cao: Cách tiếp cận bằng khảo sát ” được viết bởi ba nhà giáo có uy tín và kinh nghiệm Jerry Urdock, Ellen Kamischke và Eric Kamischke. Cuốn sách này là một trong ba quyển của bộ sách “Discovering Mathematics – Khám phá Toán học” viết về các vấn đề nâng cao của đại số. Kiến thức được trình bày trong cuốn sách là những kiến thức bổ sung và nâng cao hon so với cuốn sách “Discovering Algebra: An Investigative Approach” (của cùng tác giả). Cuốn sách gồm 13 chương: Chương 0: Các cách giải quyết vấn dề Chương 1: Các mô hình và phương pháp đệ quy Chương 2: Mô tả dữ liệu Chương 3: Mô hình và hệ thống tuyến tính Chương 4: Ánh xạ, quan hệ và các phép biến dổi Chương 5: Hàm mũ, hàm lũy thừa và hàm Lô-ga-rit Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính Chương 7: Hàm bậc hai và các hàm đa thức khác Chương 8: Phương trình tham số và Lượng giác Chương 9: Các đường Conic và Hàm phân thức Chương 10: Hàm lượng giác Chương 11: Chuỗi Chương 12: Xác suất Chương 13: Ứng dụng của Khoa học thống kê Bên cạnh những vấn đề đại số cơ bản thì cuốn sách này cũng trình bày các vấn đề về đại số nâng cao. Tuy nhiên những kiến thức này được tác giả trình bày có hệ thống với ví dụ minh họa rõ ràng. Nên bạn đọc có thể nắm bắt kiến thức một cách tự nhiên và sẽ không gặp nhiều khó khăn. Cuốn sách này đưa ra một cách tiếp cận vấn đề mới đó là “Investigative Approach – cách tiếp cận bằng khảo sát”. Do đó phần trọng tâm trong cuốn sách này chính là “Investigation” II. GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN Trong chương 6: “Matrics and linear systems”, tác giả giới thiệu về ma trận và hệ thống tuyến tính. Ở đây chúng ta sẽ tìm hiểu về ma trận và hệ phương trình tuyến tính. Ở chương này ta sẽ: • Sử dụng ma trận để tổ chức thông tin. • Cộng, trừ và nhân ma trận. • Giải hệ phương trình tuyến tính với ma trận. Sau đây ta sẽ tìm hiểu con đường đi đến ma trận thông qua các bài toán thực tế. Ngoài ra, chúng ta còn tìm hiểu các phép toán ma trận, phép biến đổi ma trận, ma trận nghịch đảo thông qua các bài toán thực tế, các bài ở lĩnh vực khác như hình học với phép biến hình và hệ phương trình tuyến tính. Ma trận đã được nghiên cứu từ xa xưa. Thời tiền sử đã có khái niệm hình vuông Latin và hình vuông kì diệu. Lịch sử hiện đại của ma trận gắn liền với việc giải hệ phương trình tuyến tính. Gottfried Leibniz đã phát triển lý thuyết về định thức từ năm 1693. Gabriel Cramer tiếp nối sự nghiệp, với Quy tắc Cramer năm 1750. Carl Friedrich Gauss và Wilhelm Jordan đã phát triển phép khử Gauss vào những năm 1800. Từ "ma trận" (trong tiếng Anh là matrix) được dùng chính thức lần đầu vào năm 1848 bởi J. J. Sylvester. George Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius và John von Neumann là một vài trong số những tên tuổi gắn liền với sự phát triển của lý thuyết ma trận. 1. Ma trận biểu diễn Vào thứ 7, Karina khảo sát du khách đến núi tuyết và dịp cuối tuần thì thấy rằng 75% số người trượt tuyết vào hôm sau và 25% số đó trượt ván vào hôm sau. Trong khi đó 95% số người trượt ván sẽ tiếp tục trượt ván và chỉ 5% quyết định trượt tuyết vào hôm sau. Để mô tả thông tin này cô ấy dùng sơ đồ như sau: Các mũi tên và kí hiệu biểu thị kế hoạch ngày hôm sau của du khách. Chẳng hạn, vòng tròn mũi tên với kí hiệu . 75 chỉ rằng có 75% du khách trượt tuyết sẽ trượt tuyết vào hôm sau. Mũi tên với kí hiệu .25 diễn tả rằng có 25% số người trượt tuyết sẽ trượt ván vào hôm sau. Sơ đồ như trên được gọi là sơ đồ chuyển đổi bởi nó mô tả sự thay đổi của sự vật trong thời gian tiếp theo. Cùng thông tin đó đôi khi cũng được biểu diễn bởi ma trận gọi là ma trận chuyển đổi. Ma trận là một hình chữ nhật với sự sắp xếp các con số. Chẳng hạn trong ví dụ trên ma trận chuyển đổi có dạng sau: Trong khi điều tra, ta sẽ tạo ra một sơ đồ chuyển đổi và ma trận chuyển đổi biểu diễn sự thay đổi đó. Ta cũng có thể sử dụng thông tin để xác định số lượng người cụ thể trong khoảng thời gian đã qua. KHẢO SÁT Bài toán: Nhà ăn của trường đưa ra cho học sinh lựa chọn giữa kem hoặc sữa chua đông lạnh cho món tráng miệng. Trong tuần đầu tiên có 220 học sinh chọn kem, nhưng chỉ có 20 học sinh chọn sữa chua đông lạnh. Trong những tuần tiếp theo có 10% ăn sữa chua chuyển sang kem và có 5% học sinh ăn kem chuyển sang ăn sữa chua.  Các bước tiến hành:  Bước 1: Hoàn thành sơ đồ chuyển đổi với những thông tin đã cho.  Bước 2: Hoàn thành ma trận chuyển đổi biểu diễn thông tin đó. Các dòng chỉ các đăng kí hiện tại, các cột chỉ các đăng kí sau khi thay đổi.  Bước 3: Trong tuần thứ hai, có bao nhiêu học sinh chọn kem và bao nhiêu chọn sữa chua?  Bước 4: Trong tuần thứ ba, mỗi loại có bao nhiêu học sinh chọn?  Bước 5: Viết chương trình đệ quy cho tuần bất kì và giá trị của tuần kế tiếp.  Bước 6: Điều gì sẽ xảy ra với dãy dài các số chỉ số học sinh chọn kem và chọn sữa chua. Ta có thể sử dụng ma trận để tổ chức nhiều loại thông tin khác nhau. Chẳng hạn ma trận dưới đây dùng để biểu diễn số sách giáo khoa toán, khoa học và lịch sử được bán trong tuần này của tiệm sách và chi nhánh của nó. Các dòng từ trên xuống lần lượt biểu diễn sách toán, khoa học, lịch sử và các cột từ trái qua phải biểu thị số sách bán ở nhà sách chính và ở chi nhánh. Kích thước ma trận cho biết số lượng hàng và cột, trong trường hợp này là 23 × (đọc là “3 nhân 2”). Mỗi con số trong ma trận được gọi là một phần tử và được kí hiệu là ij a trong đó i chỉ số hàng và j chỉ số cột tương ứng. Trong ma trận [ ] A ở bên, 65 21 = a vì 65 ở hàng 2 và cột 1. Ví dụ sau đây cho ta cách biểu diễn tọa độ của các hình hình học trên mặt phẳng tọa độ Ví dụ 1: Biểu diễn tứ giác ABCD bằng một ma trận. [...]... 2x + y = 5  Ví dụ: cho hệ phương trình  5 x + 3 y = 13 GIẢI: Ta có thể giải hệ phương trình sử dụng ma trận hoặc các phương trình Chúng ta hãy so sánh việc sử dụng phương pháp ma trận giảm hàng với phương pháp khử các phương trình Bởi vì các phương trình ở dạng chuẩn, ta có thể sao chép các hệ số và hằng số từ mỗi phương trình vào hàng tương ứng của ma trận bổ sung chúng ta hãy gọi ma trận bổ sung... đảo của ma trận hệ số là:  7  6   [ X ] Và đó cũng  0.8 − 0.6  − 0.2 0.4    Hệ có thể giải như sau: Có thể kiểm tra (2,1) là nghiệm của hệ III NHẬN XÉT VÀ SO SÁNH VỚI SÁCH VỀ MA TRẬN Ở VIỆT NAM 1 Cách dẫn dắt vấn đề Cách dẫn dắt và tiếp cận vấn đề về ma trận của sách “Discovering Advanced Algebra” có một số khác biệt so với các sách về ma trận ở Việt Nam: Sách “Discovering Advanced Algebra”. .. toán và cũng được đưa ra từ những ví dụ thực tế, ma trận nghịch đảo từ các hệ phương trình 2 Về nội dung kiến thức Tuy nhiên, về nội dung cơ bản thì sách “Discovering Advanced Algebra” có nội dung đơn giản và ít hơn Các nội dung khác nhau cụ thể như sau: Các loại ma trận khác như ma trận chéo, ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dưới, … trong các sách ở Việt Nam thì không được đề cập trong sách “Discovering. .. đổi Một cách tương tự, để giải một hệ phương trình, ta có thể sử dụng ma trận nghịch đảo Nếu tồn tại một ma trận nghịch đảo, thì ta có thể nhân nó với ma trận của hệ để được một ma trận tương đương với 1, mà ta gọi là ma trận đơn vị Với ma trận vuông bất kì nào đó mà khi nhân ma trận đơn vị cùng cấp vào 2 phía của nó thì ma trận đó không thay đổi Trong ví dụ sau đây, ta tìm ma trận đơn vị của ma trận. .. = 2 Thay 1 vào a ở phương trình 1 để tìm c c= 0 Giải c Hệ phương trình này cho ra a = 1 và c = 0 Bằng cách tương tự ta có thể tìm được b = 0 và d = 1 Vậy ma trận đơn vị 2× 2  1 0   là  0 1 Ma trận đơn vị trong ví dụ A là ma trận đơn vị cho mọi ma trận [ I ].[ A] [ A].[ I ] 2× 2 khác 2× 2 bất kì Với các Dành ra 1 phút để kiểm chứng và với ma trận ma trận vuông lớn hơn ta cũng có ma trận đơn vị... Nam thì không được đề cập trong sách “Discovering Advanced Algebra” Ngoài ra cách tính ma trận nghịch đảo được đưa ra trong sách “Discovering Advanced Algebra” thì lại dựa vào hệ phương trình Còn ở cách sách Việt Nam có nhiều phương pháp hơn Cũng giống với các sách ở Việt Nam về ma trận thì “Discovering Advanced Algebra” cũng có hệ thống bài tập áp dụng phong phú Không những thế nó còn có phần “Khảo... giống ma trận [ B] , hay 3 Phương pháp giảm hàng Chúng ta đã học cách để giải quyết hệ phương trình sử dụng phương pháp khử (cộng đại số) Ta cộng phương trình, đôi khi nhân cả hai vế bởi một thừa số thích hợp, làm giảm hệ phương trình để có một phương trình một biến Trong bài này ta sẽ học cách sử dụng ma trận để đơn giản hóa phương pháp khử để giải quyết hệ phương trình, đặc biệt là hệ phương trình. .. niệm ma trận từ những bài toán thực tế, dễ hiểu, giúp học sinh có thể thành lập được ma trận tùy ý theo yêu cầu của đề bài Đưa ra ví dụ, từ ví dụ hình thành các khái niệm trong ma trận như kích thước, dòng, cột Các phép toán và ma trận nghịch đảo Sách về ma trận ở Việt Nam Đưa ra một khái niệm trừu tượng về ma trận Đưa ra khái niệm kích thước, dòng, cột dựa trên định nghĩa ở trên Đưa ra công thức về các. .. chứa các cột cho các hệ số của các biến và cột cuối cùng cho hằng số  2x + y = 5 →  5 x + 3 y = 13  2 1 5     5 3 13 Ta có thể sử dụng các ma trận bổ sung để thực hiện một quá trình tương tự như khử (cộng đại số) Các phương pháp giảm hàng biến đổi một ma trận bổ sung thành một ma trận giải Thay vì kết hợp các phương trình và bội số của phương trình cho đến khi vế trái là một phương trình. .. ma trận bổ sung này là [M] Chỉ sử dụng các thao tác hàng cơ bản, ta có thể chuyển đổi ma trận này vào ma trận giải Ta cần hai giá trị m 21 và m12 bằng 0 và hai giá trị m 11 và m22 bằng 1 Phương pháp khử phương trình: Phương pháp ma trận giảm hàng: Nhân phương trình 1 bởi -2,5 và cộng vào hàng 2 để loại bỏ x: Cộng -2,5 lần hàng 1 vào hàng 2 để m21 = 0 Nhân phương trình 2 bởi 2 ta tìm được y: Nhân hàng . của [ ] B , Đáp án là 29, giá trị của c 22 trong ma trận kết qua [ ] C . Ma trận ban đầu Ma trận tiếp theo Ma trận kết qua [ ] A . [ ] B = [ ] C [220 20] .       90.10. 05.95. . của ma trận [ ] A với 2 phần tử trong cột 1 của ma trận [ ] B rồi cộng các tích đó lại. Kết qua là 211, là giá trị của c 11 trong ma trận kết qua [ ] C . Ma trận. William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius và John von Neumann là một vài trong số những tên tuổi gắn liền với sự phát triển của lý thuyết ma trận. 1. Ma trận biểu diễn Vào