SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC (Thời gian làm bài 120 phút) Năm học 2012-2013 Câu 1: (4 điểm) Cho parabol (P) 2 2 2 x y x= − + và họ đường thẳng (dm) có hệ số góc k = m và luôn đi qua gốc tọa độ. 1). Tìm điều kiện của m để (dm) cắt (P) tại 2 điểm. 2). Khi (dm) cắt (P) tại 2 điểm A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi. Câu 2: (6 điểm) 1). Cho bất phương trình: a x2 1 x2 x2 5 x5 ++<+ (a là tham số) a). Giải bất phương trình với a = 4. b). Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x > 0. 2) Giải hệ phương trình sau: ( ) ( ) 2 2 4 1 7 15 6 3 1 x x y x y x y  − + − = −   − =   Câu 3: (3 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + Câu 4: (3 điểm) Tính diện tích hình bình hành biết hình bình hành đó có tọa độ một đỉnh là (4 ; -1) và phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x -3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. Câu 5: (4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có phương trình hai cạnh là ( ) ( ) : 2 2 0, : 2 1 0AB x y AC x y+ − = + + = , điểm ( ) 1;2M thuộc đoạn thẳng BC . Tìm tọa độ điểm D sao cho .DB DC uuur uuur có giá trị nhỏ nhất. Hết SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐÁP ÁN THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC (Thời gian làm bài 120 phút) Năm học 2012-2013 Câu 1: (4 điểm) Cho parabol (P) 2 2 2 x y x= − + và họ đường thẳng (dm) có hệ số góc k = m và luôn đi qua gốc tọa độ. 1). Tìm điều kiện của m để (dm) cắt (P) tại 2 điểm. 2). Khi (dm) cắt (P) tại 2 điểm A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi. 1.KL : ( ] [ ) ; 3 1; .m = −∞ − ∪ +∞ 2.Tọa độ điểm I thỏa mãn 2 1 3 x m y m m = +   = + −  KL: Quỹ tích cần tìm là hai phần thuộc hai nhánh parabol 2 3y x x= − − với 2.x ≥ Câu 2: (6 điểm) 1). Cho bất phương trình: a x2 1 x2 x2 5 x5 ++<+ (a là tham số) a). Giải bất phương trình với a = 4. b). Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x > 0. 2) Giải hệ phương trình sau: ( ) ( ) 2 2 4 1 7 15 6 3 1 x x y x y x y  − + − = −   − =   HDC 1) Đặt x2 1 x + =t . Tìm ra Đk: 2t ≥ Đưa )1t(2 x2 1 x2 2 −=+ BPT ⇔ 2t 2 -5t+a-2 > 0 (2) a) Với a = 4: giải 2t 2 -5t+2 > 0 ⇔ t >2; t<1/2 (loại do đk) Giải x2 1 x + >2 ra      +> −<< 2 2 3 x 2 2 3 x0 b) (1) đúng ∀x>0 ⇔ (2) đúng ∀t 2≥ (2) ⇔2t 2 -5t > 2-a (t 2≥ ) Lập bảng biến tiên tìm ra kết quả: a> 225 − . 2) Hệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) 1;0 , 2; 1 .− − Câu 3: (3 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + . HDC Ta chứng minh được: 3 2 2 2 3 a a b a ab b − ≥ + + (hs phải Cm) Lập luận tương tự: … cộng vế với vế ta được ĐCM. Câu 4: (3 điểm) Tính diện tích hình bình hành biết hình bình hành đó có tọa độ một đỉnh là (4 ; -1) và phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x -3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. HDC Tìm được các đỉnh của HBH là : ( ) 9 3 17 20 18 6 4; 1 , ; , ; , ; 11 11 11 11 11 11       − − − −  ÷  ÷  ÷       Diện tích cần tìm : S= 63/11. Câu 5: (4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có phương trình hai cạnh là ( ) ( ) : 2 2 0, : 2 1 0AB x y AC x y+ − = + + = , điểm ( ) 1;2M thuộc đoạn thẳng BC . Tìm tọa độ điểm D sao cho .DB DC uuur uuur có giá trị nhỏ nhất. HDC Tìm tọa độ điểm D sao cho .DB DC uuur uuur có giá trị nhỏ nhất - Phương trình các đường phân giác góc A là 3 0 2 2 2 1 3 3 1 0 5 5 − + = + − + +  = ⇔  + − =  x y x y x y x y - Do Δ ABC cân tại A nên phân giác trong ( a l ) của góc A vuông góc với BC - 1 :TH a (l ): x y 3 0− + = , khi đó BC đi qua M(3;0) và có vtpt 1 (1;1)= ur n ; ⇒Phương trình cạnh BC : 3 0+ − =x y Tọa độ B : 2 2 0 4 (4; 1) 3 0 1 x y x B x y y + − = =   ⇔ ⇒ −   + − = = −   l a C B A M Tọa độ C : 2 1 0 4 ( 4;7) 3 0 7 x y x C x y y + + = = −   ⇔ ⇒ −   + − = =   Khi đó ( ) 3; 3MB = − uuur ; ( ) 5;5MC = − uuuur ngược hướng ; B,C nằm hai phía ( a l ) ( thỏa mãn) - 2 :TH a (l ):3x 3y 1 0+ − = , khi đó BC đi qua M(1;2) và có vtpt 2 (1; 1)= − uur n ;BC AD M BC⊥ ∈ ⇒Phương trình cạnh BC : 1 0x y− + = Tọa độ B : 2 2 0 0 (0;1) 1 0 1 x y x B x y y + − = =   ⇔ ⇒   − + = =   Tọa độ C : 2 2 1 0 2 1 3 ( ; ) 1 0 1 3 3 3 x x y C x y y  = −  + + =   ⇔ ⇒ −   − + =   =   Khi đó ( ) 1; 1MB = − − uuur ; 5 5 ; 3 3 MC   = − −  ÷   uuuur cùng hướng (loại) Với (4; 1)B − ; ( ) 4;7C − . Đặt ( ) ( ) ( ) ; 4 ; 1 , 4 ;7D x y DB x y DC x y⇒ = − − − = − − − uuur uuur ( ) 2 2 2 2 . 6 23 3 32 32DB DC x y y x y⇒ = + − − = + − − ≥ − uuur uuur . Dấu 0 '' '' 3 x y =  = ⇔  =  Vậy (0;3)D thì .DB DC uuur uuur nhỏ nhất bằng -32. Hết . sau: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + . HDC Ta chứng minh được: 3 2 2 2 3 a a b a ab b − ≥ + + (hs phải Cm) Lập luận tương tự: … cộng vế với vế ta được. x y x y x y  − + − = −   − =   Câu 3: (3 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + Câu 4: (3 điểm) Tính. SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐÁP ÁN THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC (Thời gian làm bài 120 phút) Năm học 2012-2013 Câu 1: (4 điểm) Cho parabol (P) 2 2 2 x y x= − + và họ đường thẳng (dm)