Lũy thừa bậc n của một ma trận vuông Đỗ Viết Lân Ngày 26 tháng 3 năm 2014 Đỗ Viết Lân Lớp: Toán 3A - Trường Đại học Sư Phạm Huế 1 Ví dụ 1: Cho ma trận sau: A =   −6 1 2 10 1 −2 −20 0 5   . Hãy tính A n . Giải: Để tìm đa thức đặc trưng của ma trận A ta dùng lệnh A.charpoly(’t’) Đa thức đặc trưng của A là: P A (t) = t 3 − t Do đó ta có A 3 = A. Khi đó ta có công thức tính A n như sau: Nếu n = 2k thì: A n = A 2 =   6 −5 −4 −10 11 8 20 −20 −15   Nếu n = 2k + 1 thì: A n = A =   −6 1 2 10 1 −2 −20 0 5   Ví dụ 2: Cho ma trận sau: A =   −1 4 −2 −3 4 0 −3 1 3   . Hãy tính A n . Giải: Ở đây ta cũng tìm đa thức đặc trưng của A là: P A (t) = t 3 − 6t 2 + 11t − 6 Tuy nhiên đa thức nãy không đặc biệt như trong ví dụ 1. Trong ví dụ này ta phải tính ma trận J là dạng chuẩn Jordan của A và tìm ma trận khả nghịch P sao cho J = P AP −1 Để tìm J và P ta dùng lệnh sau: J, P = A.eigenmatrix_left() Như vậy ta có dạng chuẩn Jordan của A là: J =   3 0 0 0 2 0 0 0 1   và ma trận khả nghịch P là: 2 P =   0 1 −1 1 −3 2 1 − 5 3 1   Lúc này ta có A = P −1 J P . Suy ra A n = P −1 J n P Ta tính được A n là: A n =   −2 2 n + 3 −3 n + 6 2 n − 5 3 n − 4 2 n + 3 −3 2 n + 3 −3 3 n + 9 2 n − 5 3 3 n − 6 2 n + 3 −3 2 n + 3 −4 3 n + 9 2 n − 5 4 3 n − 6 2 n + 3   Ví dụ 3: Cho ma trận sau: A =     1 4 1 3 4 1 3 1 1 3 1 4 3 1 4 1     . Hãy tính A n . Giải: Dạng chuẩn Jordan của A là: J =     9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −5     và ma trận khả nghịch P là: P =     1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 1 −1     Ta có A n = P −1 J n P Ta tính được A n là:     1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4     Ví dụ 4: Cho ma trận sau: A =   1 1 1 0 1 1 0 0 1   . Hãy tính A n . Giải: 3 Ta có A = I + J. Trong đó I =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   ; J =   0 1 1 0 0 1 0 0 0   Lúc này A n = (I + J) n = I n + C 1 n I n−1 J + C 2 n I n−2 J 2 = I + C 1 n J + C 2 n J 2 . Vì ta có J 3 =   0 0 0 0 0 0 0 0 0   Do do ta co A n =   1 n 1 2 (n + 1)n 0 1 n 0 0 1   4 . − 5 3 1   Lúc n y ta có A = P −1 J P . Suy ra A n = P −1 J n P Ta tính được A n là: A n =   −2 2 n + 3 −3 n + 6 2 n − 5 3 n − 4 2 n + 3 −3 2 n + 3 −3 3 n + 9 2 n − 5 3 3 n − 6 2 n + 3 −3 2 n + 3 −4 3 n +. ta cũng tìm đa thức đặc trưng của A là: P A (t) = t 3 − 6t 2 + 11t − 6 Tuy nhi n đa thức n y không đặc biệt như trong ví dụ 1. Trong ví dụ n y ta phải tính ma tr n J là dạng chu n Jordan của. A n là:     1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n − 1 4 1 4 9 n − 1 4 (−1) n − 1 4 (−5) n + 1 4 1 4 9 n + 1 4 (−1) n + 1 4 (−5) n + 1 4     Ví