1 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN LÝ THUYẾT TẬP HỢP (Dùng cho sinh viên đại học sư phạm Toán) 2 MỤC LỤC CH ƯƠNG 1. Những cơ sở của lý thuyết tập hợp 3 1.1. Tập hợp 3 1.1.1. Tập hợp và phần tử của tập hợp 3 1.1.2. Cách xác định một tập hợp 3 1.1.3. Tập hợp rỗng, tập hợp đơn tử, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 3 1.1.4. Tập con và quan hệ bao hàm 3 1.1.5. Tập hợp bằng nhau 4 1.1.6. Các phép toán và tính chất trên tập hợp 4 1.1.7. Tích Đềcác của các tập hợp 5 1.2. Quan hệ 6 1.2.1. Quan hệ hai ngôi 6 1.2.2. Quan hệ tương đương 6 1.2.3. Quan hệ thứ tự 7 1.3. Ánh xạ 8 1.3.1. Định nghĩa ánh xạ và ví dụ 8 1.3.2. Đồ thị của ánh xạ 9 1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ 9 1.3.4. Ảnh và tạo ảnh 10 1.3.5. Tích ánh xạ 11 1.3.6. Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh 11 1.3.7. Ánh xạ ngược 12 1.4. Giải tích tổ hợp 13 1.4.1. Chỉnh hợp lặp 13 1.4.2. Chỉnh hợp không lặp 13 1.4.3. Hoán vị 14 1.4.4. Tổ hợp 14 1.4.5. Nhị thức Newtơn 15 CHƯƠNG 2. Những cơ sở của lôgíc Toán 23 2.1. Lôgic mệnh đề 23 2.1.1 Mệnh đề 23 2.1.2. Các phép toán lôgic trên mệnh đề 23 2.1.3. Công thức của lôgic mệnh đề 25 2.1.4. Giá trị của công thức 25 2.1.5. Sự bằng nhau của hai công thức 26 2.1.6. Phép biến đổi công thức 27 2.1.7. Luật của lôgic mệnh đề 28 2.2. Lôgic vị từ 28 2.2.1. Hàm mệnh đề 28 2.2.2. Các phép toán trên các hàm mệnh đề 29 2.2.3. Lượng từ 30 2.2.4. Quy tắc suy luận trong lôgic vị từ 30 2.3. Suy luận và chứng minh 31 2.3.1. Suy luận 31 2.3.2. Chứng minh 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 3 CHƯƠNG 1 Những cơ sở của lý thuyết tập hợp Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết) *) Mục tiêu: - Sinh viên cần hiểu được một số khái niệm về tập hợp, cách xác định một tập hợp, các phép toán trên trên tập hợp; Quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, ánh xạ (ánh xạ tích, đơn ánh, toàn ánh, song ánh); lôgíc lượng từ. - Vận dụng vào giải các bài toán liên quan. 1.1. Tập hợp 1.1.1. Tập hợp và phần tử của tập hợp - Khái niệm “ Tập hợp” là một trong những kháI niệm cơ bản nhất của Toán học. Ví dụ. Tập hợp các số tự nhiên, tập các điểm cách đều một điểm cho trước, tập nghiệm của một phương trình… - Khái niệm tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ không định nghĩa. Quan niệm tập hợp như sự tụ tập các đối tượng có chung những tính chất nào đó. Các cá thể tạo thành tập hợp gọi là phần tử của tập hợp. - Để chỉ: a là phần tử của tập A ta viết: a A ∈ , đọ c là a thu ộ c A. a không là ph ầ n t ử c ủ a t ậ p h ợ p A, ta vi ế t a A ∉ , đọ c là a không thu ộ c A. 1.1.2. Cách xác định một tập hợp a, Ph ươ ng pháp li ệ t kê - Li ệ t kê đầ y đủ các ph ầ n t ử c ủ a t ậ p h ợ p - Li ệ t kê không đầ y đủ : Li ệ t kê m ộ t s ố ph ầ n t ử c ủ a t ậ p h ợ p đủ để bi ế t các ph ầ n t ử nào đ ó có thu ộ c t ậ p h ợ p hay không. Ví dụ. { } { } B = 1, 2, 3, 4 C = 0, 2, 4, 6, 8, b, Ph ươ ng pháp ch ỉ rõ thu ộ c tính đặ c tr ư ng - Thu ộ c tính đặ c tr ư ng là thu ộ c tính mà d ự a vào đ ó có th ể bi ế t đố i t ượ ng thu ộ c t ậ p h ợ p hay không. Ví dụ. { } A = x N / x 12 ∈ ⋮ { } E = M (P) : OM = r ∈ v ớ i O c ố đị nh. 1.1.3. Tập hợp rỗng, tập hợp đơn tử, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn. - T ậ p r ỗ ng . - T ậ p h ợ p đơ n t ử . - T ậ p h ợ p h ữ u h ạ n. - T ậ p h ợ p vô h ạ n. 1.1.4. Tập con và quan hệ bao hàm 4 Định nghĩa 1. Cho hai t ậ p h ợ p A và B. N ế u m ọ i ph ầ n t ử c ủ a t ậ p A c ũ ng là ph ầ n t ử c ủ a t ậ p B thì ta nói r ằ ng A bao hàm trong B hay A là tập con c ủ a B. Kí hi ệ u: A B ⊂ Ta có: x x A B A B ⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ Ví dụ. ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ Tính chất. - Tính ph ả n x ạ : A ∀ ta có A A ⊂ - Tính b ắ c c ầ u: N ế u A B ⊂ và B C ⊂ thì A C ⊂ - Tính ph ả n x ạ : N ế u A B ⊂ và B A ⊂ thì A = B Định nghĩa 2 . Gi ả s ử A là m ộ t t ậ p h ợ p, t ấ t c ả các t ậ p con c ủ a A là ph ầ n t ử c ủ a m ộ t t ậ p h ợ p m ớ i, kí hi ệ u: p ( ) A , đượ c g ọ i là t ậ p t ấ t c ả các t ậ p con c ủ a A. Ví dụ. { } A= a,b . Khi đ ó: p { } { } { } { } ( ) , a , b , a,b A = ∅ 1.1.5. Tập hợp bằng nhau Định nghĩa 3. Hai t ậ p A và B đượ c g ọ i là b ằ ng nhau khi và ch ỉ khi m ỗ i ph ầ n t ử c ủ a A đề u là ph ầ n t ử c ủ a B và ng ượ c l ạ i m ỗ i ph ầ n t ử c ủ a B đề u là ph ầ n t ử c ủ a A. Kí hi ệ u: A = B. Ví dụ. 1, { } A = x : 0 < x < 5 ∈ ℕ , { } B = 1, 2, 3, 4 Ta có: A = B. 2, { } X = x : x 2, x 3 ∈ ℕ ⋮ ⋮ , { } Y = x : x 6 ∈ ℕ ⋮ Ta có: X = Y 1.1.6. Các phép toán và tính chất trên tập hợp a, Phép hợp Định nghĩa 4 . Cho hai t ậ p h ợ p A và B. H ợ p c ủ a hai t ậ p h ợ p A và B, ký hi ệ u là A B ∪ là m ộ t t ậ p h ợ p g ồ m các ph ầ n t ử ho ặ c thu ộ c A ho ặ c thu ộ c B. V ậ y { } / A B x x A x B ∪ = ∈ ∨ ∈ . Ví dụ. 1, { } A = a, b, c, d, e , { } B = c, d, e, f Suy ra: { } A B = a, b, c, d, e, f ∪ 2, { } A = x : x = 2k + 1, k∈ ∈ ℤ ℤ , { } B = x : x = 2k, k∈ ∈ ℤ ℤ Suy ra: { } A B = ∪ ℤ b, Phép giao Định nghĩa 5 . . Cho hai t ậ p h ợ p A và B. Giao c ủ a hai t ậ p h ợ p A và B, ký hi ệ u là A B , ∩ là m ộ t t ậ p h ợ p g ồ m các ph ầ n t ử v ừ a thu ộ c A v ừ a thu ộ c B. V ậ y { } A B = x x A, x B ∩ ∈ ∈ . Ví dụ. { } A = a, b, c, d, e , { } B = c, d, e, f 5 Suy ra: { } A B = c, d, e ∩ c, Tính chất của phép hợp và phép giao. ( Xem tài liệu [1]) d. Hiệu và phần bù của hai tập hợp Định nghĩa 6 . + Cho hai t ậ p h ợ p A và B. Hi ệ u c ủ a hai t ậ p h ợ p A và B là m ộ t t ậ p h ợ p, kí hi ệ u: A – B ho ặ c A\B g ồ m t ấ t c ả các ph ầ n t ử thu ộ c A mà không thu ộ c B. V ậ y { } A B = x: x A, x B − ∀ ∈ ∉ + Cho B A ⊂ khi đ ó hi ệ u c ủ a A và B đượ c g ọ i là ph ầ n bù c ủ a t ậ p B đố i v ớ i t ậ p A. Kí hi ệ u: A C (B) Ví dụ. 1. { } A= a, b, c, d, e , { } B= c, d, e, f { } A B = a, b ⇒ − , { } B A = e, f − 2. { } X= x : x < 5 ∈ ℝ { } C (X) = x : x 5 ⇒ ∈ ≥ ℝ ℝ Chú ý. + A B B A − ≠ − + x B x A B x A ∈  ∉ − ⇔  ∉  1.1.7. Tích Đềcác của các tập hợp - Cặp sắp thứ tự. Cho hai đố i t ượ ng a, b b ấ t k ỳ , t ừ hai đố i t ượ ng này ta có th ể l ậ p thành đố i t ượ ng th ứ ba kí hi ệ u: (a, b) và g ọ i là c ặ p (a, b). Chú ý: Hai c ặ p (a, b) và (c, d) g ọ i là b ằ ng nhau khi và ch ỉ khi a = c, b = d. N ế u a ≠ b thì c ặ p (a, b) ≠ (b, a) Ta nói r ằ ng: M ộ t c ặ p (a, b) là m ộ t dãy có th ứ t ự c ủ a hai ph ầ n t ử a, b. - Tích Đềcác của hai tập hợp. Cho hai t ậ p h ợ p X và Y khác r ỗ ng. Ta g ọ i t ậ p g ồ m t ấ t c ả các c ặ p s ắ p th ứ t ự (x, y) v ớ i x thu ộ c X và y thu ộ c Y là tích Đề các c ủ a t ậ p X và t ậ p Y. Kí hi ệ u: X x Y ho ặ c X.Y { } X Y = (a, b) a X, b Y × ∈ ∈ N ế u X = Y: 2 X Y = X X= X × × Quy ướ c: A = A = ×∅ ∅× ∅ - Tích Đềcác của nhiều tập hợp. Ta g ọ i tích Đề các c ủ a n t ậ p h ợ p 1 2 3 n A ,A ,A , ,A là t ậ p h ợ p g ồ m t ấ t c ả các dãy s ắ p th ứ t ự ( ) 1 2 3 n a ,a ,a , ,a trong đ ó 1 1 2 2 a A ,a A , , ∈ ∈ n n a A ∈ . Kí hi ệ u: 1 2 3 n A A A A × × × × N ế u 1 2 3 n A A A A = = = = thì tích Đề các c ủ a chúng đượ c kí hi ệ u: n A . Ví dụ. 1. { } { } A = 1, 2, 3 ; B= a, b Suy ra: { } A B= (1, a);(1, b);(2, a);(2, b);(3, a);(3, b) × 2. { } { } { } A = 1, 2 ; B= 3 ; C = a, b Suy ra: { } A B C= (1, 3, a);(1, 3, b);(2, 3, a);(2, 3, b) × × 6 3. 3 ℝ : T ậ p bi ể u th ị t ậ p các đ i ể m c ủ a không gian ba chi ề u. 1.2. Quan hệ 1.2.1. Quan hệ hai ngôi Định nghĩa 7. Gi ả s ử X và Y là hai t ậ p h ợ p tu ỳ ý khác r ỗ ng. Ta g ọ i m ỗ i t ậ p con R c ủ a t ậ p tích Đề Các X Y × là m ộ t quan h ệ trên X Y × . N ế u (x, y) R ∈ ta nói “ x có quan h ệ R v ớ i y” và vi ế t xRy . N ế u (x, y) R ∉ ta nói “ x không có quan h ệ R v ớ i y” và vi ế t xRy . Ví dụ. Cho X là t ậ p h ợ p nh ữ ng ng ườ i đ àn bà, Y là t ậ p nh ữ ng ng ườ i đ àn ông c ủ a làng n ọ . R là t ậ p các c ặ p s ắ p th ứ t ự (x, y) trong đ ó , x X y Y ∈ ∈ sao cho x là m ẹ đẻ c ủ a y. Định nghĩa 8 . Cho X là t ậ p không r ỗ ng tu ỳ ý. Ta g ọ i m ỗ i t ậ p con R c ủ a bình ph ươ ng Đề Các X X × là m ộ t quan h ệ hai ngôi xác đị nh trên t ậ p X. N ế u 1 2 (x , ) R x ∈ ta nói “ 1 x có quan h ệ R v ớ i 2 x ” và vi ế t 1 2 x Rx .N ế u 1 2 (x , ) R x ∉ ta nói “ 1 x không có quan h ệ R v ớ i 2 x ” và vi ế t 1 2 x Rx . Ví dụ . Quan h ệ nh ỏ h ơ n ho ặ c b ằ ng thông th ườ ng trên t ậ p s ố th ự c R xác đị nh b ở i t ậ p con { } 2 ( , ) / R x x R x y = ∈ ≤ là m ộ t quan h ệ hai ngôi trên R Một số tính chất thường gặp. Gi ả s ử R là m ộ t quan h ệ trên m ộ t t ậ p h ợ p X. Ta b ả o: 2. R có tính ch ấ t ph ả n x ạ trong X n ế u và ch ỉ n ế u x X, (x, x) R ∀ ∈ ∈ (ii) R có tính ch ấ t đố i x ứ ng trong X n ế u và ch ỉ n ế u x X, y X ∀ ∈ ∀ ∈ , (x, y) R (y, x) R ∈ ⇒ ∈ (iii) R có tính ch ấ t ph ả n đố i x ứ ng trong X n ế u và ch ỉ n ế u x X, y X ∀ ∈ ∀ ∈ , (x, y) R; (y, x) R x = y ∈ ∈ ⇒ (iv) R có tính ch ấ t b ắ c c ầ u trong X n ế u và ch ỉ n ế u x X, y X, z X ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ , (x, y) R; (y, z) R (x, z) R ∈ ∈ ⇒ ∈ (v) R có tính ch ấ t toàn ph ầ n trong X n ế u và ch ỉ n ế u x X, y X ∀ ∈ ∀ ∈ , (x, y) R hay(y, x) R ∈ ∈ Ví dụ. 1. Quan h ệ “ b ằ ng nhau” trong m ộ t t ậ p h ợ p X nào đ ó có tính ph ả n x ạ . 2. Quan h ệ “ chia h ế t cho” trong t ậ p N các s ố t ự nhiên có tính ph ả n x ạ . 3. Quan h ệ “ nguyên t ố cùng nhau” trong t ậ p N các s ố t ự nhiên không có tính ph ả n x ạ . 4. Quan h ệ “ ≤ ” trên t ậ p R các s ố th ự c có tính ph ả n x ạ . 1.2.2. Quan hệ tương đương Định nghĩa 9 . Gi ả s ử X là m ộ t t ậ p h ợ p , S là m ộ t b ộ ph ậ n c ủ a X X × . Th ế thì S g ọ i là m ộ t quan h ệ t ươ ng đươ ng trong X n ế u và ch ỉ n ế u các đ i ề u ki ệ n sau đ ây tho ả mãn: 1. Tính ph ả n x ạ : a X, aSa ∀ ∈ . 2. Tính đố i x ứ ng: a, b X, a Sb ∀ ∈ thì b S a . 3. Tính b ắ c c ầ u: a, b, c X, a Sb, b S c ∀ ∈ thì a S c . N ế u S là m ộ t quan h ệ t ươ ng đươ ng thì ng ườ i ta kí hi ệ u S b ằ ng “ ∼ ” và th ườ ng đọ c là “ a t ươ ng đươ ng v ớ i b”. 7 Ví dụ. 1. Quan h ệ “=” là quan h ệ t ươ ng đươ ng. 2. G ọ i X là t ậ p các đườ ng th ẳ ng trong m ặ t ph ẳ ng, quan h ệ cùng ph ươ ng là m ộ t quan h ệ t ươ ng đươ ng. 3. G ọ i X là t ậ p các tam giác khi đ ó quan h ệ đồ ng d ạ ng gi ữ a các tam giác là m ộ t quan h ệ t ươ ng đươ ng. Định nghĩa 10 . Gi ả s ử S là m ộ t quan h ệ t ươ ng đươ ng trong X và a X ∈ . T ậ p h ợ p: { } C(a) = x X x S a ∈ g ọ i là l ớ p t ươ ng đươ ng c ủ a a đố i v ớ i quan h ệ t ươ ng đươ ng S. Vì S là ph ả n x ạ nên a C(a) ∈ . Ta th ấ y C(a) có các tính ch ấ t sau: 1. C(a) ≠ ∅ 2. x, y C(a) x S y ∈ ⇒ . 3. x C(a), y Sx y C(a) ∈ ⇒ ∈ . Bổ đề. V ớ i hai ph ầ n t ử b ấ t kì a và b ta đề u có ho ặ c C(a) C(b) = ∩ ∅ ho ặ c C(a) C(b) = . Định nghĩa 11 . Ta b ả o ta th ự c hi ệ n m ộ t s ự chia l ớ p trên m ộ t t ậ p h ợ p X khi ta chia nó thành nh ữ ng b ộ ph ậ n A, B, C, … khác ∅ , r ờ i nhau t ừ ng đ ôi m ộ t sao cho m ọ i ph ầ n t ử c ủ a X thu ộ c m ộ t trong các b ộ ph ậ n đ ó. Định lý 1. Gi ả s ử X là m ộ t t ậ p h ợ p, S là m ộ t quan h ệ t ươ ng đươ ng trong X. Th ế thì các l ớ p t ươ ng đươ ng phân bi ệ t c ủ a X đố i v ớ i S thành l ậ p m ộ t s ự chia l ớ p trên X. Định nghĩa 12. Gi ả s ử X là m ộ t t ậ p h ợ p, S là m ộ t quan h ệ t ươ ng đươ ng trong X. T ậ p h ợ p các l ớ p t ươ ng đươ ng phân bi ệ t c ủ a X đố i v ớ i S g ọ i là t ậ p th ươ ng c ủ a X trên quan h ệ t ươ ng đươ ng S và kí hi ệ u là X/S. Ví dụ. Cho X là t ậ p ng ườ i trên trái đấ t. N ế u chia X thành các t ậ p con U, V, W,… sao cho các t ậ p con đ ó là t ậ p các ng ườ i cùng qu ố c t ị ch, coi r ằ ng không có ai có hai qu ố c t ị ch và b ấ t kì ng ươ ig nào c ũ ng thu ộ c m ộ t qu ố c t ị ch nào đ ó thì ta có m ộ t s ự phân l ớ p trên t ậ p X. 1.2.3. Quan hệ thứ tự Định nghĩa 13 . Gi ả s ử X là m ộ t t ậ p h ợ p, S là m ộ t b ộ ph ậ n c ủ a X X × . Th ế thì S đượ c g ọ i là m ộ t quan h ệ th ứ t ự trong X n ế u và ch ỉ n ế u các đ i ề u ki ệ n sau đ ây tho ả mãn: 1. Tính ph ả n x ạ : a X, aSa ∀ ∈ . 2. Tính ph ả n đố i x ứ ng: a,b X, a Sb ∀ ∈ , b S a thì a = b . 3. Tính b ắ c c ầ u: a,b, c X, a Sb, b S c ∀ ∈ thì a S c . Ng ườ i ta b ả o m ộ t t ậ p h ợ p X là s ắ p th ứ t ự n ế u trong X có m ộ t quan h ệ th ứ t ự . Ví dụ. 1. Quan h ệ “ ≤ ” trong t ậ p N là m ộ t quan h ệ th ứ t ự . 2. Quan h ệ “chia h ế t” trong N không là m ộ t quan h ệ th ứ t ự . 3. Quan h ệ bao hàm gi ữ a các b ộ ph ậ n c ủ a m ộ t t ậ p h ợ p X. - N ế u S là m ộ t quan h ệ th ứ t ự trong X thì ng ườ i ta th ườ ng kí hi ệ u S b ằ ng “ ≤ ” và đọ c “ a b ≤ ” là “a bé h ơ n b”. Định nghĩa 14 . Gi ả s ử X là m ộ t t ậ p h ợ p s ắ p th ứ t ự . M ộ t ph ầ n t ử a X ∈ g ọ i là ph ầ n t ử t ố i ti ể u ( ph ầ n t ử t ố i đạ i) c ủ a X n ế u quan h ệ x a ≤ ( a x ≤ ) kéo theo x = a . 8 Ví dụ. 1. Trong t ậ p h ợ p các s ố t ự nhiên th ự c s ự l ớ n h ơ n 1, s ắ p th ứ t ự theo quan h ệ chia h ế t, các ph ầ n t ử t ố i ti ể u là các s ố nguyên t ố . 2. T ậ p h ợ p các s ố th ự c v ớ i quan h ệ th ứ t ự thông th ườ ng, không có ph ầ n t ử t ố i đạ i c ũ ng không có ph ầ n t ử t ố i ti ể u. 3. Trong t ậ p h ợ p các h ệ vect ơ độ c l ậ p tuy ế n tính c ủ a không gian vect ơ n ℝ s ắ p th ứ t ự theo quan h ệ bao hàm, các h ệ vect ơ g ồ m n vect ơ là t ố i đạ i. Định nghĩa 15. Gi ả s ử X là m ộ t t ậ p h ợ p s ắ p th ứ t ự . M ộ t ph ầ n t ử a X ∈ g ọ i là ph ầ n t ử bé nh ấ t ( ph ầ n t ử l ớ n nh ấ t) c ủ a X n ế u v ớ i m ọ i x X ∈ ta có a x ≤ ( x a ≤ ). Ví dụ. 1. T ậ p h ợ p các s ố t ự nhiên s ắ p th ứ t ự theo quan h ệ “ chia h ế t” có ph ầ n t ử bé nh ấ t là 1 và ph ầ n t ử l ớ n nh ấ t là 0. N ế u s ắ p th ứ t ự theo quan h ệ th ứ t ự thông th ườ ng, t ậ p h ợ p các s ố t ự nhiên có ph ầ n t ử bé nh ấ t là 0 và không có ph ầ n t ử l ớ n nh ấ t. 2. T ậ p h ợ p các s ố th ự c v ớ i quan h ệ th ứ t ự thông th ườ ng không có ph ầ n t ử bé nh ấ t c ũ ng không có ph ầ n t ử l ớ n nh ấ t. Định nghĩa 16 . Ta b ả o m ộ t t ậ p h ợ p X là s ắ p th ứ t ự t ố t n ế u nó là s ắ p th ứ t ự và n ế u m ọ i b ộ ph ậ n khác r ỗ ng c ủ a X có m ộ t ph ầ n t ử bé nh ấ t. 1.3. Ánh xạ 1.3.1. Định nghĩa ánh xạ và ví dụ Định nghĩa 17 . Gi ả s ử X và Y là hai t ậ p h ợ p tu ỳ ý. Ánh x ạ f đ i t ừ X đế n Y là m ộ t quy t ắ c nào đ ó cho ứ ng m ỗ i ph ầ n t ử x X ∈ v ớ i m ộ t ph ầ n t ử duy nh ấ t y Y ∈ . Kí hi ệ u: ( ) f: X Y x y f x → = ֏ ho ặ c ( ) f X Y, x y f x → = ֏ trong đ ó, y = f(x) : y là giá tr ị c ủ a f t ạ i x. T ậ p X: T ậ p ngu ồ n (mi ề n xác đị nh) c ủ a ánh x ạ f. T ậ p Y: T ậ p đ ích (mi ề n giá tr ị ) c ủ a ánh x ạ f. Ví dụ. 1. Khi ch ấ m bài ng ườ i th ầ y giáo đ ã th ự c hi ệ n m ộ t ánh x ạ t ừ t ậ p bài đế n t ậ p các s ố {0,1,2,…,10}. Qui t ắ c ứ ng v ớ i m ỗ i bài v ớ i m ộ t đ i ể m chính là tiêu chu ẩ n cho đ i ể m. 2. Phép c ộ ng trên t ậ p các s ố t ự nhiên là m ộ t ánh x ạ : × → ℕ ℕ ℕ .Ánh x ạ này ứ ng v ớ i m ỗ i c ặ p s ố t ự nhiên (x, y) v ớ i s ố x + y: f: × → ℕ ℕ ℕ (x, y) x+y ֏ Phép tr ừ không ph ả i ánh x ạ t ừ × → ℕ ℕ ℕ . T ạ i sao? Phép tr ừ là m ộ t ánh x ạ t ừ × → ℤ ℤ ℤ hay × → ℝ ℝ ℝ ? T ươ ng t ự xét v ớ i phép nhân và phép chia. 9 3. X là m ộ t t ậ p h ợ p b ấ t k ỳ . T ươ ng ứ ng m ỗ i ph ầ n t ử x X ∈ v ớ i chính nó là m ộ t ánh x ạ t ừ t ậ p X đế n X. Ta th ườ ng kí hi ệ u ánh x ạ này là 1 X hay X id và g ọ i là ánh x ạ đồ ng nh ấ t. 4. Cho X = {1, 2, 3}, Y = {1, b, c, d} 1 2 3 f: b b c       là m ộ t ánh x ạ . 5. Các hàm s ố mà ta g ặ p ở ph ổ thông đề u là nh ữ ng ánh x ạ mà mi ề n xác đị nh và mi ề n giá tr ị là t ậ p các s ố th ự c R hay m ộ t b ộ ph ậ n c ủ a nó. Chú ý. + M ộ t phép t ươ ng ứ ng các ph ầ n t ử c ủ a X v ớ i các ph ầ n t ử c ủ a Y s ẽ không là ánh x ạ t ừ X đế n Y khi có nh ữ ng ph ầ n t ử c ủ a X không có ph ầ n t ử t ươ ng ứ ng trong Y ho ặ c khi có ph ầ n t ử c ủ a X ứ ng v ớ i h ơ n m ộ t ph ầ n t ử trong Y. + Trong m ộ t ánh x ạ m ỗ i ph ầ n t ử thu ộ c ngu ồ n đề u có ả nh duy nh ấ t đ i ề u đ ó có ngh ĩ a là n ế u: f:X Y → là m ộ t ánh x ạ thì t ừ 1 2 1 2 x x (x , x X) = ∈ 1 2 f(x ) f(x ) ⇒ = ho ặ c t ừ 1 2 f(x ) f(x ) ≠ ta ph ả i có 1 2 x x ≠ . + Tuy m ỗ i ph ầ n t ử c ủ a ngu ồ n có m ộ t ả nh duy nh ấ t nh ư ng có th ể x ả y ra tr ườ ng h ợ p hi hay nhi ề u ph ầ n t ử có chung m ộ t ả nh. C ũ ng nh ư v ậ y, có th ể x ả y ra tr ườ ng h ợ p m ộ t ph ầ n t ử c ủ a t ậ p đ ích không ph ả i là ả nh c ủ a b ấ t kì ph ầ n t ử nào c ủ a ngu ồ n. 1.3.2. Đồ thị của ánh xạ Định nghĩa 18 . Ánh x ạ f:X Y → . T ậ p F các c ặ p (x, y) sao cho y = f(x) g ọ i là đồ th ị c ủ a ánh x ạ f. Ví dụ. Xác đị nh đồ th ị c ủ a 2 y = x . 1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ Định nghĩa 19 . Gi ả s ử f và g là hai ánh x ạ t ừ X đế n Y. ánh x ạ f g ọ i là b ằ ng nhau n ế u f (x) g(x) = v ớ i x X ∀ ∈ . Ví dụ. 1. f: → ℝ ℝ ; g: → ℝ ℝ 2 x x 1 − ֏ x (x 1)(x+1) − ֏ Là hai ánh x ạ b ằ ng nhau. 2. f: → ℝ ℝ ; [ ] g: 1, 1 → − ℝ x sin x ֏ x sin x ֏ Là hai ánh x ạ không b ằ ng nhau. - Sự thu hẹp một ánh xạ. Gi ả s ử cho ánh x ạ f:X Y → , A X ⊂ . Khi đ ó ta xác đị nh m ộ t ánh x ạ g:A Y → sao cho x A: g(x) = f(x). ∀ ∈ Ánh x ạ g xác đị nh nh ư v ậ y g ọ i là ánh x ạ thu h ẹ p c ủ a f vào t ậ p con A và th ườ ng đượ c kí hi ệ u: A g = f . Ví dụ . Ánh x ạ : , 2 1 f g n n A = → + ℕ ℤ ֏ là thu h ẹ p c ủ a ánh x ạ : , 2 1 f n n → + ℤ ℤ ֏ 10 - Sự mở rộng một ánh xạ. Gi ả s ử g:A Y → là ánh x ạ xác đị nh trên t ậ p con A c ủ a X và gi ả s ử có f:X Y → sao cho A f g. = Khi đ ó ta nói r ằ ng ánh x ạ f là m ở r ộ ng c ủ a ánh x ạ g trên toàn t ậ p X. Ví dụ. M ở r ộ ng ánh x ạ g trong ví d ụ trên. 1.3.4. Ảnh và tạo ảnh Cho ánh x ạ f:X Y → . Gi ả s ử x và y là các ph ầ n t ử c ủ a X và Y sao cho y = f(x). ta g ọ i ph ầ n t ử y là ả nh c ủ a ph ầ n t ử x qua ánh x ạ f, còn ph ầ n t ử x g ọ i là m ộ t t ạ o ả nh c ủ a ph ầ n t ử y. a, Ảnh của một tập hợp Định nghĩa 20 . Cho ánh x ạ f:X Y → và A là m ộ t t ậ p con c ủ a X. T ậ p con c ủ a Y g ồ m ả nh c ủ a t ấ t c ả các ph ầ n t ử c ủ a A g ọ i là ả nh c ủ a A qua ánh x ạ f, kí hi ệ u f(A). T ừ đị nh ngh ĩ a ta th ấ y r ằ ng: y Y, y f(A) x A: y = f(x) ∈ ∈ ⇔ ∃ ∈ . hay: { } f(A) = y Y x A: y = f(x) ∈ ∃ ∈ Imf = f(X): Ả nh toàn ph ầ n c ủ a X qua ánh x ạ f. Ví dụ. X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d, e, f} f: 1 2 3 4 a d c d       ; A = {1, 2, 3} ; B = {2, 3, 4} ; C = {2, 4} Suy ra: f(A) = {a, d, c}, f(B) = {c, d}, f(C) = {d}, f(X) = {a, c, d} Chú ý. Ánh x ạ f:X Y → : + A , A X ≠ ∅ ⊂ thì f(A) ≠ ∅ . + { } A= a thì { } f(A) f(a) = . Định lý 2. Cho ánh x ạ f: X Y → v ớ i hai t ậ p con tu ỳ ý A, B c ủ a X ta có: f(A B) = f(A) f(B) f(A B) f(A) f(B) ∪ ∪ ∩ ⊂ ∩ b, Tạo ảnh của một tập hợp Định nghĩa 21. Cho ánh x ạ f:X Y → và U là m ộ t t ậ p h ợ p con tu ỳ ý c ủ a Y. T ậ p h ợ p con c ủ a X g ồ m t ấ t c ả các ph ầ n t ử x X ∈ sao cho f (x) U ∈ g ọ i là t ạ o ả nh toàn ph ầ n c ủ a U qua ánh x ạ f và đượ c kí hi ệ u b ở i 1 f (U) − . { } 1 f (U) = x X f(x) U − ∈ ∈ Ví dụ. X = {a, b, c, d}; Y ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} f:X Y → cho b ở i b ả ng: a b c d 2 1 2 5       Cho: B = {1, 3} thì { } 1 f (B) = b − B = {1, 2} thì { } 1 f (B) = a, b, c − Chú ý. + N ế u B là t ậ p con khác r ỗ ng c ủ a Y thì 1 f (B) − là t ậ p con c ủ a X, t ậ p này có th ể là t ậ p r ỗ ng. + N ế u 1 2 1 2 y , y Y; y y ∈ ≠ thì 1 1 f (y ) − và 1 2 f (y ) − là hai t ậ p con r ờ i nhau c ủ a X: [...]... chỉnh hợp lặp chập 3 của 10 phần tử Vậy số biển đăng ký có thể có là, 103 = 1000 10 1.4.2 Chỉnh hợp không lặp Cho tập X gồm có n phần tử, k là một số nguyên dương 1 ≤ k ≤ n Định nghĩa 28 Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp X theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp không lặp chập k của n phân tử đã cho k Kí hiệu: An Ví dụ + Cho tập hợp X = {a, b, c} Hãy viết tất cả các chỉnh hợp chập... Hách, Nhập môn lý thuyết tập hợp và lôgic, NXB Giáo dục [2] Ngô Thúc Lanh (1995), Đại số và số học, NXB Giáo dục [3] Vương Thụy (2001), Giáo trình tập hợp và lôgic , Đại học Sư phạm Hà Nội II *) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 1.1 Các tập dưới đây được cho bằng cách chỉ rõ thuộc tính đặc trưng Hãy xác định tập hợp đó bằng cách liệt kê a) A = {x ∈ N | x có 2 chữ số và chữ số hàng chục của... mệnh đề là tập hợp các mệnh đề Tuy nhiên trong toán học có những câu không phải là mệnh đề Chẳng hạn câu “n là ước của 12” Các câu như trên tuy không phải là mệnh đề nhưng đều là các khẳng định về một phần tử chưa xác định nào đó trong mỗi tập hợp đã cho Mỗi khẳng định này sẽ trở thành mệnh đề khi nói tới một phần tử cụ thể của tập hợp nào đó Ta gọi các câu như thế là những hàm mệnh đề một biến( vị... mệnh đề ∀P ( n ) là đúng nghĩa là P(n) đúng ∀ n = n0, ở bước 1 ta n∈ℕ chứng minh P(n0) là đúng Ví dụ Chứng minh rằng: 2n > n, ∀n ∈ N *) Tài liệu học tập [1] Phan Hữu Chân (1977), Trần Lâm Hách, Nhập môn lý thuyết tập hợp và lôgic, NXB Giáo dục [2] Ngô Thúc Lanh (1995), Đại số và số học, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Ngọc (1994), Nhập môn lý thuyết tập hợp và lôgic toán, ĐHSP Hà Nội 34 *) Câu hỏi, bài tập, ... Chứng minh A = B 1.5 Cho A là tập hợp gồm các ước số chung của a & b Gọi d là ước số chung lớn nhất của a & b và B là tập hợp các ước số của d Chứng minh A = B Cho ví dụ minh hoạ 1.6 Hãy xét quan hệ giữa các tập A & B cho dưới đây: a) A = {n ∈ N | n2 < 7} B = {n ∈ N | n3 < 10} b) A là tập hợp các đa giác có chu vi 4 m B là tập hợp các hình vuông có diện tích 1 m 2 c) A là tập hợp các nghiệm của phương... sao cho: 1 1 1 6 5 a, 3Cn = 4Cn −1 ; b, n − n = n C4 C5 C6 1.58 5 Tính ( x − 2 y ) 22 CHƯƠNG 2 Những cơ sở của lôgíc Toán Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10; Bài tập, thảo luận: 05) *) Mục tiêu: - Sinh viên cần nắm được những khái niệm cơ bản của lôgíc toán như: Mệnh đề, hàm mệnh đề và các phép toán trên mệnh đề và hàm mệnh đề - Ứng dụng vào các bài toán suy luận và chứng minh trong toán học 2.1 Lôgic mệnh đề. .. mệnh đề (2) bằng 1 Các mệnh đề đơn giản, tức là các mệnh đề không thể chia nhỏ thành các mệnh đề khác được gọi là các mệnh đề sơ cấp 2.1.2 Các phép toán lôgic trên mệnh đề Với các phép toán đại số, từ các số x, y nào đó ta có thể lập được các số mới – x, x + y, x – y, x.y, … Tương tự như thế trên tập hợp các mệnh đề với một vài mệnh đề cho trước bằng một qui tắc nhất định ta có thể lập được các mệnh đề. .. Số hoán vị của tập n phần tử bằng số các phép thế của tập đó và bằng n ! Ví dụ Có bao nhiêu số khác nhau gồm 4 chữ số được thiết lập từ {1, 2,3, 4} Giải: P4 = 4!= 24 số 1.4.4 Tổ hợp Định nghĩa 30 Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A k Kí hiệu: Cn Ví dụ X = {a, b, c} Tổ hợp chập 2 của 3 phần tử của X là:... X và g′:Y → X đều là ánh xạ ngược của ánh xạ f:X → Y Khi đó: g = g′ 1.4 Giải tích tổ hợp 1.4.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 27 Cho X là một tập hợp n phần tử Một bộ sắp thứ tự m các phần tử của X trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, gọi là một chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử của X Như vậy theo định nghĩa, hai chỉnh hợp lặp chập m được coi là khác nhau nếu chúng chứa những phần tử không hoàn... nhất, chặn dưới lớn nhất (nếu có) của các tập A, B d) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu của X 1.36 Xét tập hợp sắp thứ tự ℕ với quan hệ thứ tự ≤ và bộ phận của ℕ với A = {2, 3, 4 , 5 , 6, 7} Tìm phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, chặn trên, chặn dưới, chặn trên nhỏ nhất, chặn dưới lớn nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu của bộ phận A 19 1.37 Xét tập hợp sắp thứ tự ℕ * với quan hệ thứ tự “ chia