Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp các đầy đủ công thức và phương pháp tính nguyên hàm thường gặp trong các bài toán thi tuyển sinh. Có chia dạng rõ ràng, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích... Tổng hợp các đầy đủ công thức và phương pháp tính nguyên hàm thường gặp trong các bài toán thi tuyển sinh. Có chia dạng rõ ràng, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích...
Trường THPT Nguyễn Trãi Lương Công Sự NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG d x x C 1 d 1 x x x C d ln | | x x C x d 2 x x C x d x x e x e C d ln x x a a x C a sin d cos x x x C cos d sin x x x C tan d ln | cos | x x x C cot d ln | sin | x x x C 2 tan cos dx x C x 2 cot sin dx x C x dx 1 ln | | ax b C ax b a 1 d ax b ax b e x e C a 1 cos( )d sin( ) ax b x ax b C a 1 sin( )d cos( ) ax b x ax b C a 2 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C a ax b 2 1 cot( ) sin ( ) dx ax b C a ax b 1 tan( )d ln | cos( ) | ax b x ax b C a 1 cot( )d ln |sin( ) | ax b x ax b C a 2dx ax b C a ax b Các tính chất của nguyên hàm +) ( )d ' ( ) f x x f x +) ( )d ( )d af x x a f x x +) ( ) ( ) d ( )d ( )d f x g x x f x x g x x +) [ ( )] '( )d [ ( )] f u x u x x F u x C Một số phương pháp đổi biến Dạng 1: Dấu hiệu Cách đặt 2 2 a x | | sin x a t với 2 2 t Hoặc | | cos x a t với 0 t 2 2 x a | | sin a x t với ; \{0} 2 2 t Hoặc | | cos a x t với [0 ; ]\ 2 t 2 2 a x | | tan x a t với 2 2 t Hoặc | |cot x a t với 0 t a x a x hoặc a x a x cos2 x a t ( )( ) x a b x 2 ( )sin x a b a t Dạng 2: Dấu hiệu Cách đặt Hàm số có mẫu t là mẫu số Hàm số , ( ) f x x ( ) t x Hàm số sin cos ( ) sin cos a x b x f x c x d x e tan 2 x t (với cos 0 2 x ) Hàm số 1 ( ) ( )( ) f x x a x b Với 0 x a & 0, x b đặt t x a x b Với 0 x a & 0, x b đặt t x a x b Dạng 3: Nguyên hàm từng phần ( ). d x P x e x ( ).cos d P x x x ( ).sin d P x x x ( ).ln d P x x x u ( ) P x ( ) P x ( ) P x ln x d v d x e x cos d x x sin d x x ( ) P x Dạng 4: 1 ( )( ) A B x a x b x a x b 2 2 1 ( )( ) A Bx C x m x m ax bx c ax bx c 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D x a x b x a x b x a x b Tính chất tích phân +) ( )d 0 a a f x x +) ( )d ( )d b a a b f x x f x x +) ( )d ( )d b b a a kf x x k f x x Trường THPT Nguyễn Trãi Lương Công Sự +) [ ( ) ( )]d ( )d ( )d b b b a a a f x g x x f x x g x x +) ( )d ( )d ( )d b c b a a a f x x f x x f x x Nếu ( ) 0 f x trên [ ; ] a b thì ( )d 0. b a f x x Nếu ( ) ( ) f x g x trên [ ; ] a b thì ( )d ( )d . b b a a f x x g x x Phương pháp tích phân từng phần: d d b b b a a a u v uv v u Một số tích phân đặc biệt Dạng 1: Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ Nếu hàm số ( ) f x liên tục và là hàm số lẻ trên [ ; ] a a thì ( )d 0. a a f x x Nếu hàm số ( ) f x liên tục và là hàm số chẵn trên [ ; ] a a thì 0 ( )d 2 ( )d . a a a f x x f x x Dạng 2: Nếu ( ) f x liên tục và là hàm số chẵn trên thì 0 ( ) d ( )d . 1 x f x x f x x a Dạng 3: Nếu ( ) f x liên tục trên 0 ; 2 thì 2 2 0 0 (sin )d (cos )d . f x x f x x ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình phẳng Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: - Đồ thị ( ) C của hàm số ( ) y f x liên tục trên đoạn [ ; ]. a b - Trục hoành. - Hai đường thẳng , x a . x b Là | ( ) | d b a S f x x Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: - Đồ thị của các hàm số ( ), y f x ( ) y g x liên tục trên đoạn [ ; ]. a b - Hai đường thẳng , x a . x b Là | ( ) ( ) | d b a S f x g x x Chú ý: Nếu trên đoạn [ ; ] a b hàm số ( ) f x không đổi dấu thi | ( ) | d ( )d . b b a a f x x f x x Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: - Đồ thị của ( ), x g y ( ) x h y - Hai đường thẳng , y c . y d Là | ( ) ( ) | d d c S g y h y x 2. Thể tích khối tròn xoay Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ): ( ), C y f x trục hoành, , x a y b ( ) a b sinh ra khi quay quanh trục là 2 [ ( )] d b a V f x x Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục : Oy ( ): ( ), C x g y trục tung, , y x y d là 2 [ ( )] d d c V g y y . Phương pháp tích phân từng phần: d d b b b a a a u v uv v u Một số tích phân đặc biệt Dạng 1: Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ Nếu hàm số ( ) f x liên tục và là hàm số lẻ. DỤNG TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình phẳng Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: - Đồ thị ( ) C của hàm số ( ) y f x liên tục trên đoạn [ ; ]. a b - Trục hoành. - Hai. Trường THPT Nguyễn Trãi Lương Công Sự NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG d x x C 1 d 1 x x x C d ln | | x x C x