Chương 4 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang

14 1.1K 0
Chương 4 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 1 1 BÀI GiẢNG MÔN HỌC SỨC BỀN VẬT LiỆU GV: TRẦN HỮU HUY Tp.HCM, tháng 10 năm 2009 (Lưu hành nội bộ) 2 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG  ĐỊNH NGHĨA  CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG CHƯƠNG 4:  MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN  CÁC CÔNG THỨC BiẾN ĐỔI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ  VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH.  BÀI TẬP Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 2 3 ĐỊNH NGHĨA Trong những trường hợp như thanh chịu uốn, xoắn… thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích A mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghĩa là phụ thuộc vào các yếu tố khác gọi chung là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang. y P z y P z 4 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen tĩnh của diện tích A đối với trục x (hay y) nào đócủa mặt cắt là biểu thức tích phân sau: Mômen tĩnh x y y x M dA A xy AA S ydA;S xdA== ∫∫ Trong đó: -x, y tọa độ của điểm M – tâm của phân tố diện tích dA. Mômen tĩnh có thứ nguyên là [chiều dài 3 ]. Mômen tĩnh có thể có giá trị âm, dương hoặc bằng không. Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 3 5 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG -Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của diện tích A đối với trục đóbằng không. Mômen tĩnh Từ đó suy ra cách xác định trọng tâm đối với diện tích A như sau: -Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm của mặt cắt. - Như vậy, mômen tĩnh đối với trục đi qua trọng tâm là bằng không. 6 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen tĩnh co co xx x yy y =+ =+ Gọi C là trọng tâm của tiết diện cần tìm. Qua C dựng hệ trục tọa độ x 0 Cy 0 song song với hệ trục tọa độ oxy ban đầu 0 0 0 C C 0 A dA M y x X Y y X Y C x y x Ta có được quan hệ sau: Thay vào công thức tính mômen tĩnh () () Xco A Yco A SyydA SxxdA =+ =+ ∫ ∫ Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 4 7 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen tĩnh () () xco c ocxo AAA yco c ocyo AAA S y ydAy dA ydAyAS SxydAxdAxdAxAS =+ = + =+ =+ = + =+ ∫∫∫ ∫∫∫ Triển khai biểu thức trên: Vì x 0 và y 0 là trục trung tâm nên 00 xy S= S 0 = Từ đó ta có: xcyc SyA;SxA== Tọa độ của điểm C là (x C ,y C ) được xác định như sau: y x cc S S y;x AA == 8 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen tĩnh Nếu mặt cắt có một trục đối xứng, trọng tâm của tiết diện sẽ nằm trên trục này vì mômen tỉnh của tiết diện đối với trục này bằng không. Nếu mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm sẽ nằm ở giao điểm hai trục đối xứng. xii112y nn yii112y nn SAyAyAy Ay SAxAxAx Ax ==+++ ==+++ ∑ ∑ Trong thực tế, ta hay gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều hình đơn giản. Ta có thể tính mômen tỉnh của hình phức tạp bằng tổng mômen tĩnh của các hình đơn giản. Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 5 9 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen quán tính Mômen quán tính của diện tích A đối với trục x (hay y) là các biểu thức tích phân sau: 22 xy AA IydA;IxdA== ∫∫ - Mômen quán tính có thứ nguyên là [chiều dài 4 ]. - Mômen quán tính luôn mang giá trị dương. x y y x M dA A 10 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Bán kính quán tính Một đặc trưng hình học hay được dùng để tính toán kết cấu đó là bán kính quán tính được xác định như sau: y x xy I I i;i AA == Bán kính quán tính đối với các trục chính được gọi là bán kính quán tính chính và có thứ nguyên là [chiều dài]. Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 6 11 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen quán tính độc cực Mômen quán tính độc cực của diện tích A đối với góc tọa độ 0 là biểu thức tích phân sau: 2 p A IdA=ρ ∫ Trong đó, ρ là khoảng cách từ điểm M – tâm của phân tố diện tích dA đến góc tọa độ 0. A dA M x y y x ρ Từ đó ta có quan hệ: 222 pxy xy III ρ= + =+ 12 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen quán tính ly tâm Mômen quán tính ly tâm của diện tích A đối với hệ trục xoy là biểu thức tích phân sau: xy A IxydA= ∫ Mômen quán tính ly tâm có thứ nguyên là [chiều dài 4 ]. Và có giá trị âm, dương hoặc bằng không. A dA M x y y x ρ Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 7 13 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Hệ trục quán tính chính Hệ trục quán tính chính là hệ trục có mômen quán tính ly tâm bằng không. Một hệ trục tọa độ bất kỳ trong đócómột trục nào đólà trục đối xứng của diện tích A là hệ trục quán tính chính của mặt cắt đó. Vì mômen quán tính ly tâm của hai nữa diện tích đối xứng với trục đối xứng có giá trị bằng nhau nhưng ngược dấu nhau nên mômen quán tính của cả hình bằng không. Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục quán tính chính có gốc tọa độ đặt tại trọng tâm của tiết diện. 14 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình chữ nhật Cho hình chữ nhật b x h. Xác định các mômen quán tính I x , I y đối với trục đối xứng x và y Ta có: Tương tự: dy y dA y x b h dA b.dy= h2 h2 33 22 x Ah2 h2 b ybh I y dA y bdy 312 − − ⇒= = = = ∫∫ 3 y hb I 12 = Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 8 15 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình tam giác Ta có: y hy bb h − = h 22 xy A0 hhh 223 x 000 hh 34 3 x 00 IydAybdy hy b Iyb dybydy ydy hh by by bh I 34h12 == − ==− =−= ∫∫ ∫∫∫ y b x y dA dy y h b 16 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình tròn Ta có: dA 2 .d=πρρ R R 4 2 p 0 0 44 4 p 2 I2d 4 RD I0,1D 232 π ρ =ρ πρρ= ππ ==≈ ∫ Cho hình tròn bán kính R (D=2R). Xác định mômen quán tính độc cực I p của hình tròn. ρ ρ d d A 0 Vì tính chất đối xứng nên: 4 p 4 xy I D II 0,05D 264 π === ≈ Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 9 17 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình vành khăn () 4 44 4 p 4 4 p DdD d I1 32 32 32 D D I1 32 ⎛⎞ πππ ⎛⎞ =−= − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ π =−η Coi diện tích hình vành khăn bằng diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ, ta được: Với: dD η = 0 d D () () 4 p 444 xy I D II 1 0,05D1 264 π === −η≈ −η 18 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức chuyển trục song song Xxa;Yyb=+ =+ -Biết I x , I y , I xy . -Tìm I X , I Y , I XY Ta có các liên hệ sau: () () 2 2 X AA 22 X A 22 X AAA I Y dA y b dA Iy2bybdA IydA2bydAbdA ==+ =++ =+ + ∫∫ ∫ ∫∫∫ A dA M y x X Y y x Y X 0 a b Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 10 19 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức chuyển trục song song 2 Xx x 2 Yy y XY xy x y II2bSbA II2aSaA I I aS bS abA =+ + =+ + =+ + + -Vậy ta có: A dA M y x X Y y x Y X 0 a b Trong đóa, b làtọa độ của gốc tọa độ ban đầu trong hệ trục tọa độ mới XOY. 20 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức chuyển trục song song xy SS0== Trong trường hợp đặc biệt khi gốc tọa độ ban đầu nằm tại trọng tâm mặt cắt. A dA M y x X Y y x Y X 0 a b Ta có các công thức sau: 2 Xx 2 Yy XY xy IIbA IIaA IIabA =+ =+ =+ [...]... một hình phẳng bất kỳ: Trong trường hợp tổng quát, khi hình phẳng A không có trục đối xứng, hệ trục QTCTT được xác định theo trình tự như sau: - Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu Xác định trọng tâm của hình trong hệ trục này - Chuyển trục song song về trọng tâm của hình Tính các mômen quán tính đối với hệ trục trung tâm - Xoay trục để tìm phương chính đi qua trọng tâm 27 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 14. .. trên có dạng tương tự với công thức ứng suất trên mặt cắt nghiêng Nên: 2 Ix + Iy ⎛ Ix − Iy ⎞ 2 I max = + ⎜ ⎟ + I xy 2 ⎝ 2 ⎠ I min = Ix + Iy 2 ⎛ Ix − Iy ⎞ 2 − ⎜ ⎟ + I xy ⎝ 2 ⎠ Với phương quán tính chính: ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 2 tg2α = − 2I xy Ix − Iy 24 12 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH Công thức xoay trục Về toán học ta nhận thấy có sự tương đồng giữa phương . có: y hy bb h − = h 22 xy A0 hhh 223 x 000 hh 34 3 x 00 IydAybdy hy b Iyb dybydy ydy hh by by bh I 34h12 == − ==− =−= ∫∫ ∫∫∫ y b x y dA dy y h b 16 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình tròn Ta có: dA 2 .d=πρρ R R 4 2 p 0 0 44 4 p 2 I2d 4 RD I0,1D 232 π ρ =ρ. Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 9 17 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình vành khăn () 4 44 4 p 4 4 p DdD d I1 32 32 32 D D I1 32 ⎛⎞ πππ ⎛⎞ =−= − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ π =−η Coi diện tích hình vành. tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ, ta được: Với: dD η = 0 d D () () 4 p 44 4 xy I D II 1 0,05D1 2 64 π === −η≈ −η 18 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức chuyển trục song

Ngày đăng: 18/01/2015, 08:09

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan