TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ___________________________________ 153 Nguyễn Chí Thanh, Quận 5 ĐT: 39572477 TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN: TOÁN CÁC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2009 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1.a) Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: . b) Giải hệ phương trình: Câu 2. a) Giải bất phương trình: b) Cho là các số thuộc thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: Câu 3.a) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên sao cho b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên sao cho Câu 4. Cho đường tròn tâm , đường kính . là một điểm thay đổi trên đường tròn sao cho tam giác không cân tại . Gọi là chân đường cao của tam giác hạ từ . Hạ vuông góc với tương ứng. Các đường thẳng và cắt nhau tại . a) Tính theo diện tích tam giác và độ dài các đoạn trong trường hợp . b) Hạ vuông góc với . Chứng minh rằng đường tròn đường kính tiếp xúc với đường thẳng . c) Gọi là giao điểm của và đường tròn đường kính , . Chứng minh rằng và giao điểm của các đường thẳng và luôn thuộc một đường thẳng cố định. Câu 5.Trên một đường tròn, người ta xếp các số (mỗi số xuất hiện đúng một lần). a) Chứng minh không tồn tại một cách xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn 10. b) Tồn tại hay không một cách xếp mà tổng hai số kề nhau đều lớn hơn hoặc bằng 10? Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN (CHUNG CHO CÁC LỚP) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (2 điểm)a) Giải phương trình bằng cách đặt ẩn số : b) Cho phương trình . Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Câu 2. (2.5 điểm) Xét biểu thức: a) Rút gọn . b) Tìm số thực để . Tìm số tự nhiên là số chính phương sao cho là số nguyên. Câu 3. (2 điểm) a) Giải hệ phương trình: b) Cho là độ dài ba cạnh của tam giác . Giả sử phương trình có nghiệm kép. Tính số đo các góc của tam giác . Câu 4. (1.5 điểm) Cho tam giác , có . Dựng , và dựng . Gọi là trung điểm của . Biết , tính . Chứng minh là tứ giác nội tiếp. Câu 5. (1 điểm) Trong kỳ kiểm tra môn Toán một lớp gồm 3 tổ A, B, C, điềm trung bình của học sinh ở các tổ được thống kê ở bảng sau: Tổ A B C A và B B và C Điểm trung bình 9.0 8.8 7.8 8.9 8.2 Biết tổ A gồm 10 học sinh, hãy xác định số học sinh và điểm trung bình của toàn lớp. Câu 6. (1 điểm)Cho tứ giác lồi nội tiếp đường tròn , có đỉnh cố định và các đỉnh di chuyển trên sao cho . Kẻ tia vuông góc với cắt tại , kẻ tia vuông góc với cắt tại . Gọi là điểm đối xứng của qua . Chứng minh tứ giác nội tiếp được và đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định. Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu I 1. Cho phương trình 1. Chứng minh rằng (1) không thể có hai nghiệm đều âm 2. Giả sử là hai nghiệm phân biệt của (1). Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của m 3. Giải hệ phương trình Câu II. Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K. 1. Chứng minh các tam giác IDA và IJD đồng dạng 2. Chứng minh rằng KI vuông góc với AD. Câu III. Cho góc xAy vuông và hai điểm B, C lần lượt trên các tia Ay, Ay. Hình vuông MNPQ có các đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC và các đỉnh P, Q thuộc cạnh BC. 1. Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và đường cao AH = h của tam giác ABC. 2. Cho B, C thay đổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB. AC = k 2 ( k không đổi). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ. Câu IV. Một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phương các chữ số của nó. 1. Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim Câu V. Trong một giải vô địch bóng đá có 6 đội tham gia. Theo điều lệ của giải, hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua 0 điểm. Kết thúc giải, số điểm của các đội lần lượt là D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , D 5 , D 6 . Biết rằng đội bóng với số điểm D 1 thua đúng một trận và . Hãy tìm D 1 và D 6. Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2007 – 2008 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: a) Giải hệ phương trình: . 1. Cho . Chứng minh rằng a, b, là hai nghiệm của một phương trình bậc 2 với hệ số nguyên. 2. Cho . Chứng tỏ rằng c 2 , d 2 là hai nghiệm của một phương trình bậc 2 với hệ số nguyên. Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). P là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. Hạ AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC. 1. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi. 2. Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất. Câu 3: a) Cho a, b, c, d là các số thực dương thoả mãn: ab = cd =1. Chứng minh bất đẳng thức: . b) Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn điều kiện abcd = 1. Chứng minh rằng bất đẳng thức: . Câu 4: Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD. Đường tròn đường kính CD đi qua trung điểm các cạnh bên AD, BC tiếp xúc với AB. Hãy tìm số đo các góc của hình thang. Câu 5: 1. Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng trong 3 phương trình có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm. 2. Cho S là một tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: tổng hai phần tử tuỳ ý của S là một số chính phương( ví dụ S = {5, 20, 44}). Chứng minh rằng trong tập S có không quá một số lẻ. Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2006 - 2007 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Giải hệ phương trình: 2. Giải bất phương trình: 3. Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng . Câu 2: Cho phương trình với m là tham số. 1. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 2. Ký hiệu x 1 , x 2 là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho là một số nguyên. Câu 3: Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ P đến BC, AC và AB. 1. Biết rằng x =1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC. 2. Tìm quĩ tích những điểm P trong tam giác sao cho x + y = z Từ đó suy ra tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập thành 3 cạnh của một tam giác. Câu 4: Cho đường tròn (C )tâm O, AB là một dây cung của ( C). Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C 1 ) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP.Q không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B. Câu 5: 1. Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn một lượt( trong một trận, đội thắng được 1 điểm, đội thua 0 điểm, và đội hoà được 1 điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại đượt bao nhiêu điểm và giải thích tại sao?. 2. Cho 13 số thực thoả mãn điều kiện là tổng của 6 số bất kì trong chúng nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh rằng tất cả các số đều dương. Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2005 - 2006 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Cho . Chứng minh rằng: . 2. Giải hệ phương trình : Câu 2: 1. Cho là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6 và 2p 2 + 1 không phải là số nguyên tố. 2. Tìm tổng các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà trong đó cách viết thập phân của chúng không chứa chữ số 4 và chữ số 5. 3. Cho tam thức bậc hai thoả mãn điều kiện: . Chứng minh rằng với mọi x. Câu 3: Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi O 1 , O 2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD. 1. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AO 1 O 2 luôn đi qua một điểm cố định khác A. 2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AO 1 O 2 . Hãy xác định vị trí của điểm D trên BC sao cho IO là nhỏ nhất. Câu 4: 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là một điểm bất kì nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng . 2. Cho x, y, z, t là các số thực bất kì thuộc đoạn [ 0; 1]. Chứng minh rằng: . Câu 5: Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1, 9 chữ số 2, …, 9 chữ số 9. Hỏi có thể xếp được hay không tất cả các chữ số này thành một dãy, sao cho với mọi k = 1, 2, …, 9 trong mỗi khoảng giữa hai chữ số k liên tiếp có đúng k chữ số. Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2004 - 2005 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Giải hệ phương trình: 2. Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng: . 3. Tìm tất cả các số nguyên sao cho phương trình: có các nghiệm đều nguyên. Câu 2: 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho đa thức: chia hết cho đa thức . 2. Tìm số dư trong phép chia cho 91. Câu 3: Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ PA 1 , PB 1 , PC 1 vuông góc với BC, CA, AB tương ứng. Tìm tập hợp các điểm P sao cho tam giác A 1 B 1 C 1 là tam giác cân. Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (C ) và M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB. 1. Chứng minh trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường tròn cố định. 2. Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm J của HK. Câu 5: 1. Trong một giải bóng đá có k đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt ( 2 đội bất kì đấu với nhau một trận). Đội bóng nào thắng được 3 điểm, hoà được 1 điểm, thua không có điểm nào. Kết thúc giải, người ta nhận thấy rằng số trận thắng – thua gấp đôi số trận hoà và tổng số điểm của các đội là 176. Hãy tìm k. 2. Tìm tất cả các số nguyên dương A có hai chữ số sao cho số A chỉ thoã mãn đúng hai trong 4 tính chất sau: 1. A là bội số của 5. 2. A là bội số của 21. 3. A + 7 là số chính phương 4. A – 20 là số chính phương. Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2003 - 2004 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: a) Chứng minh rằng phương trình: có nghiệm với mọi a, b. b) Giải hệ phương trình . Câu 2: a) Với mỗi số nguyên dương n, đặt: . Chứng minh rằng với mọi n có chia hết cho 5 và không chia hết cho 5. b)Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng. Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AA 1 . Hạ A 1 H vuông góc AB, A 1 K vuông góc AC. Đặt A 1 B = x, A 1 C = y. 1. Gọi r và r’ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, và tam giác AHK tương ứng. Hãy tính tỉ số theo x và y. Suy ra giá trị lớn nhất của tỉ số đó 2. Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo x và y. [...]... Có ít nhất 3 học sinh chọn thi vào cả ba lớp Toán, Tý, Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Toán và Lý bằng số học sinh chỉ thi vào lớp Toán; Có 6 học sinh chọn thi vào lớp Toán và Hoá; Số học sinh chọn thi vào lớp Lý và lớp Hoá gấp 5 lần số học sinh chọn thi vào cả 3 lớp Toán, Lý, Hoá Hỏi số học sinh thi vào từng lớp là bao nhiêu Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2002 -... giác ABC đều Câu 5: Trong một kì thi học sinh giỏi của trường , nếu sắp xếp mỗi phòng thi 22 học sinh thì còn thi u một em, còn nếu giảm một phòng thi thì số học sinh được chia đều cho mỗi phòng Hỏi có bao nhiêu học sinh tham dự kì thi, biết rằng mỗi phòng không thể chứa quá 40 học sinh Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2004 - 2005 TRƯỜNG PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN AB Thời... nhóm học sinh cần chia đều một lượng kẹo thành các phần quà tặng để cho các em nhỏ ở một đơn vị nuôi trẻ mồ côi Nếu mỗi phần quà giảm 6 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa, còn nếu mỗi phần giảm 10 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 10 phần quà nữa Hỏi nhóm học sinh trên có bao nhiêu kẹo? Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2007 - 2008 TRƯỜNG PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN AB... các học sinh đạt thành tích cao trong một kì thi Olympic toán dành cho học sinh lớp 9, ban tổ chức đã trao 30 phần thưởng cho các học sinh với tổng giải thưởng là 2.700.000 đồng bao gồm: mỗi học sinh đạt giải nhất được 150.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải nhì được 130.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng 100 .000 đồng; mỗi học sinh đạt giải khuyến khích được thưởng 10. 00 đồng Biết rằng có 10. .. GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2001 - 2002 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN AB Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 1 Giải bất phương trình 2 Giải hệ phương trình: Câu 2 Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình: nghiệm chung đồng thời các phương trình và và có cũng có nghiệm chung Hãy tìm tổng a + b + c Câu 3 1 Trên các cạnh AB... thuyền vượt toàn bộ quãng đường Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2003- 2004 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN CD (Dành cho các lớp Văn, Anh) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 1 Vẽ Parabol Tìm các giá trị cùa x để 2 Cho Tìm m < 0 để Lúc đó tìm g(x) để có của phương trình và tìm các nghiệm còn lại, nếu Câu 2 1 Giải phương trình: 2 Rút... cả các hiệp sĩ có cùng màu tóc được không? Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2002 - 2003 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: Cho phương trình: (1) trong đó m là tham số 1 Giải phương trình khi m = 1 2 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Câu 2: Cho x, y, z là các. .. góc với BC, tìm tập hợp các điểm H Chứng minh rằng độ dài AH không lớn hơn 3 Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự câu a) và câu b) trong trường hợp C1, C2 tiếp xúc trong tại A Câu 5 Giải hệ phương trình : ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2000 - 2001 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu I 1 Cho... làm một mình thì bao nhiêu ngày mới xong công việc trên Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2002 - 2003 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN CD (Dành cho các lớp Văn, Anh) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 1 Tìm m để Parabol (P): tiếp xúc với đường thẳng 2 Tìm các giá trị của x để: Câu 2 1 Viết đa thức sau dưới dạng bình phương hay lập phương... số đó là 189 Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2001 - 2002 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN CD (Dành cho các lớp Văn, Anh) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 Cho parabol (P): 1 Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x – m tiếp xúc với (P) 2 Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: Tính Câu 2 Giải các phương trình: a) b) Câu 3 1 Giải hệ . TUYỂN TẬP ĐỀ THI MÔN: TOÁN CÁC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU 2 010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP. Chứng minh rằng tất cả các số đều dương. Hết ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2005 - 2006 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian. KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2004 - 2005 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Giải hệ phương trình: 2. Cho x, y là các số