GIỚI HẠN HÀM SỐ (Trích tạp chí THTT) LaTeX: phong36a@gmail.com 02/10/2012 Mục lục 1 Giới hạn hàm số của dạng vô định 0 0 2 1.1 Dạng 1: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Dạng 2: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai . . . 2 1.3 Dạng vô dịnh 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3 . . . . . . . . . . 3 1.4 Dạng 4: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao . . . 3 1.5 Dạng 5: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức không cùng bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.6 Dạng 6: Dạng vô định 0 0 của một hàm hàm số lượng giác . . . . . . . . . 4 1.7 Dạng 7: Dạng vô định 0 0 của hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . 4 1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Giới hạn hàm số của dạng vô định ∞ ∞ , ∞ −∞, 1 ∞ , 0.∞ 6 2.1 Dạng vô dịnh ∞ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Dạng vô định ∞ −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Dạng vô định 1 ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Dạng vô định 0.∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Một số dạng toán liên quan 7 3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 1 Giới hạn hàm số của dạng vô định 0 0 1.1 Dạng 1: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức đại số Tìm lim x→x 0 f(x) g(x) trong đó f(x), g(x) là các hàm đa thức khác 0 nhận x = x 0 là nghiệm Cách giải: Ta có lim x→x 0 f(x) g(x) = lim x→x 0 (x −x 0 )f 1 (x) (x −x 0 )g 1 (x) = lim x→x 0 f 1 (x) g 1 (x) = = lim x→x 0 f k (x) g k (x) = f k (x 0 ) g k (x 0 ) . Với điều kiện f 2 k (x 0 ) + g 2 k (x 0 ) Thí dụ 1: Tính lim x→1 x 3 + x 2 − 2 x 4 − x 3 + x 2 + x − 2 Bài tập tự luyện Tìm các giới hạn sau: a. lim x→ 1 2 8x 3 − 1 6x 2 − 5x + 1 b. lim x→1 2x 4 − 5x 3 + 3x 2 + x − 1 3x 4 − 8x 3 + 6x 2 − 1 c. lim x→ √ 2 2x 3 − (4 √ 2 + 1)x 2 + (4 + 2 √ 2)x − 2 x 3 − (2 √ 2 + 1)x 2 + (2 + 2 √ 2)x − 2 1.2 Dạng 2: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai Tìm lim x→x 0  f(x) − a g(x) trong đó  f(x 0 ) = a và g(x 0 ) = 0 Cách giải: Khi đó thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp  f(x) + a ta được lim x→x 0  f(x) − a g(x) = lim x→x 0 f(x) − a 2 g(x)(  f(x) + a) = lim x→x 0 (x − x 0 )f 1 (x) (  f(x) + a)(x −x 0 )g 1 (x) = lim x→x 0 f 1 (x) (  f(x) + a)g 1 (x) = f 1 (x 0 ) 2a.g 1 (x 0 ) Chú ý: Việc tìm các giới hạn lim x→x 0  f(x) − a  g(x) − b , lim x→x 0  f 1 (x) −  f 2 (x) g(x) , lim x→x 0  f 1 (x) −  f 2 (x)  g 1 (x) −  g 2 (x) hoàn toàn tương tự. Thí dụ 2: Tính lim x→1 √ x + 8 −3 x 2 + 2x − 3 Thí dụ 3: Tính lim x→1 √ x + √ x − 1 −1 √ x 2 − 1 Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa căn bậc 2 dạng 0 0 đôi khi ta tách thành tổng các phân thức dạng trên rồi nhân lượng liên hợp. Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau: a. lim x→2 √ x + 2 − √ 2x √ x − 1 − √ 3 − x b. lim x→1 x − 1 √ x 2 + 3 + x 3 − 3x c. lim x→2 √ x − 1 + x 4 − 3x 3 + x 2 + 3 √ 2x − 2 2 1.3 Dạng vô dịnh 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3 Tìm lim x→x 0 3  f(x) − a g(x) trong đó 3  f(x 0 ) = a và g(x 0 ) = 0 Cách giải: Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp 3  f 2 (x) + a 3  f(x) + a 2 Chú ý: Việc tìm các giới hạn dạng lim x→x 0 3  f(x) + a g(x) ; lim x→x 0 3  f(x) ± a 3  g(x) ± b ; lim x→x 0 3  f(x) ± a  g(x) − b ; lim x→x 0 3  f 1 (x) ± 3  f 2 (x)  g 1 (x) −  g 2 (x) ; lim x→x 0 3  f 1 (x) ± 3  f 2 (x) 3  g 1 (x) ± 3  g 2 (x) hoàn toàn tương tự. Thí dụ 4: Tính lim x→2 3 √ 4x − 2 x − 2 ĐS: 1 3 Thí dụ 5: Tính lim x→−1 3 √ x + x 2 + x + 1 x + 1 Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau: a. lim x→1 3 √ 2x − 1 − 3 √ x √ x − 1 b. lim x→1 √ 2x − 1 + x 2 − 3x + 1 3 √ x − 1 + x 2 − x + 1 1.4 Dạng 4: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao Dạng thường gặp: Tìm lim x→0 n √ 1 + ax −1 x Cách giải: Đặt t = n √ 1 + ax → t n = 1 + ax → x = t n − 1 a và khi x → 0 thì t → 1 Khi đó lim x→0 n √ 1 + ax −1 x = lim t→1 a(t − 1) t n − 1 = a n Thí dụ 6: Tính lim x→0 5 √ 1 + 5x −1 x Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau: a. lim x→0 4 √ 2x + 1 −1 x b. lim x→1 4 √ 4x − 3 −1 x − 1 c. lim x→1 7 √ 2 − x −1 x − 1 1.5 Dạng 5: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức không cùng bậc Cách giải: Thêm và bớt một số hạng thích hợp, tách ra thành hai giới hạn của dạng vô định 0 0 Thí dụ 7: Tính lim x→0 2 √ 1 + x − 3 √ 8 − x x (Hướng dẫn: thêm bớt 2 ở tử số) Thí dụ 8: Tính lim x→0 √ 1 + 2x − 3 √ 1 + 3x x 2 (Hướng dẫn: thêm bớt 1+x ở tử số) Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau: a. lim x→2 3 √ 8x + 11 − √ x + 7 x 2 − 3x + 2 b. lim x→0 3 √ 1 + x 2 − 4 √ 1 − 2x x + x 2 c. lim x→0 √ 1 + 4x − 3 √ 1 + 6x x 2 d. lim x→1 4 √ 2x − 1 + 5 √ x − 2 x − 1 3 e. lim x→0 (x 2 + 2004) 7 √ 1 − 2x −2004 x f. lim x→0 (x 2 + 2001) 9 √ 1 − 5x −2001 x 1.6 Dạng 6: Dạng vô định 0 0 của một hàm hàm số lượng giác Định lí: lim x→0 sin x x = 1 Hệ quả: lim x→a sin u(x) u(x) = 1 (nếu lim x→a = 0); lim x→0 x sin x = 1; lim x→0 tan x x = 1 Thí dụ 9: Tìm lim x→ π 2 ( 1 cos x − tan x) Làm theo 2 cách Thí dụ 10:Tìm lim x→ π 3 sin x − √ 3 cos x sin 3x . Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau: a) lim x→0 1 − cos x. √ cos 2x x 2 ; b) lim x→ π 4 sin x − √ 2 2 tan x − 1 . c) lim x→0 cos 4 x − sin 4 x − 1 √ x 2 + 1 − 1 d) lim x→0 1 − 3 √ cos x tan 2 x e) lim x→0 cos ( π 2 cos x) sin 2 x 2 g) lim x→0 1 − √ 2x + 1 + sin x √ 3x + 4 −2 −x h) lim x→0     1 − |1 + sin 3x| √ 1 − cos x     i) lim x→0  1 − cos 3x. cos 5x. cos 7x sin 2 7x  k) lim x→ π 4 3 √ tan x − 1 2 sin 2 x − 1 m) lim x→0 1 − cos x. cos 2x x 2 1.7 Dạng 7: Dạng vô định 0 0 của hàm số mũ và hàm số logarit Định lý: lim x→∞  1 + 1 x  x = e; lim x→∞ (1 + x) 1 x = e; lim x→0 ln 1 + x x = 1; lim x→0 e x − 1 x = 1 Thí dụ 11 : Tính lim x→0 e ax − e bx x Thí dụ 12: Tính lim x→0 ln tan  π 4 + ax  sin bx Thí dụ 13:Tính lim x→0 ln (sin x + cos x) x Bài tập luyện tập : Tính các giới hạn sau: a. lim x→0 e sin 2x − e sin x sin x ; . lim x→0 e 2x − 1 √ 1 + x − √ 1 − x c. lim x→0 e 3x 2 . cos 2 x − 1 x 2 ; d. lim x→0 3 x 2 − cos x x 2 e. lim x→0 e −2x 2 − 3 √ 1 + x 2 ln (1 + x 2 ) ; g. lim x→0 e cos x−cos 3x − cos 2x x 2 4 1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm Ta có f  (x 0 ) = lim x→x 0 f(x) − f (x 0 ) x − x 0 Thí dụ 14 :Tìm A = lim x→0 (x 2 + 2010) 9 √ 1 − 9x −2010 x Thí dụ 15 :Tìm B = lim x→0 1 − √ 2x + 1 + sin x √ 3x + 4 −2 Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau: a. lim x→1 4 √ 2x − 1 + 5 √ x − 2 x − 1 ; b. lim x→0 1 − √ 2x + 1 + sin x √ 3x + 4 −2 c. lim x→0 e sin 2x − e sin x sin x ; d. lim x→ π 4 3 √ tan x − 1 2 sin 2 x − 1 e. lim x→0 e −2x 2 − 3 √ 1 + x 2 ln (1 + x 2 ) Một số bài trong các đề thi Bài 1: lim x→1 √ 2x − 1 − √ x x − 1 (HVNH-98) Bài 2: lim x→1 x 3 − √ 3x − 2 x − 1 (ĐHQG-98) Bài 3: lim x→0 2 √ 1 + x − 3 √ 8 − x x (ĐHQG KA-97) Bài 4: lim x→1 4 √ 2x − 1 + 5 √ x − 2 x − 1 (ĐHSP II KA-99) Bài 5: lim x→0 1 − cos 2 2x x sin x (ĐH ĐN KD-97) Bài 6: lim x→0     1 − |1 + sin 3x| √ 1 − cos x     (ĐHQG KB 97) Bài 7: lim x→0  2 sin 2x − cot x  (ĐHL-98) Bài 8: lim x→0 tan x − sin x x 3 (HVKTQS-97) Bài 9: lim x→0 cos  π 2 cos x  sin 2 x 2 (ĐHTN-KA-97) Bài 10: lim x→0 1 − sin 2x −cos 2x 1 + sin 2x −cos 2x Bài 11: lim x→0 tan(a + x). tan(a −x) −tan 2 a x 2 (ĐHTN-98) Bài 12: lim x→0 98 83  1 − cos 3x. cos 5x. cos 7x sin 2 7x  (ĐHAN KA00) Bài 13: lim x→0 1 − √ 2x + 1 + sin x √ 3x + 4 −2 −x (ĐHGTVT 98) Bài 14: lim x→0 √ 1 + x 2 − cos x x 2 (ĐHTM-99) Bài 15: lim x→0 1 − √ cos x 1 − cos √ x (ĐHHH-97) Bài 16: lim x→0 √ 1 + tan x − √ 1 + sin x x 3 (ĐHHH 00) Bài 17: lim x→0 e sin 2x − e sin x sin x (ĐHHH 99) 5 Bài 18: lim x→1 x 3 + x 2 − 2 sin(x − 1) (ĐHQG KD-99) Bài 19: lim x→0 e −2x 2 − 3 √ 1 + x 2 ln(1 + x 2 ) (GTVT 01) Bài 20: lim x→0 √ 2x + 1 − 3 √ x 2 + 1 sin x (ĐHQG-00) Bài 21: lim x→1 √ 5 − x − 3 √ x 2 + 7 x 2 − 1 (TCKT-01) Bài 22: lim x→0 √ 1 + 2x − 3 √ 1 + 3x x 2 (ĐH Thủy Lợi -01) Bài 23: lim x→ π 4  tan 2x. tan  π 4 − x  (ĐHSP II-00) Bài 24: lim x→0 3 x 2 − cos x x 2 (ĐHSP II-00) Bài 25: lim x→0 cos 4 x − sin 4 x − 1 √ x 2 + 1 − 1 (ĐHHH-01) Bài 26: lim x→0 √ x + 1 + 3 √ x − 1 x (TK-02) Bài 27: lim x→1 x 6 − 6x + 5 (x − 1) 2 (TK-02) Bài 28: lim x→0 1 − √ 2x 2 + 1 1 − cos x (ĐHBK-01) 2 Giới hạn hàm số của dạng vô định ∞ ∞ , ∞− ∞, 1 ∞ , 0.∞ 2.1 Dạng vô dịnh ∞ ∞ Cách giải : Để khử dạng vô định ∞ ∞ ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của biến. Thí dụ 1 : Tính lim x→+∞  x + √ x √ x + 1 Thí dụ 2 : Tính lim x→+∞ x 2 + 2x + 1 x √ x + 1 Bài tập tự luyện : Tính các giới hạn: a. lim x→+∞ x + 1 x √ x + √ x ; b. lim x→+∞ √ x + 3 √ x + 4 √ x √ 2x + 1 2.2 Dạng vô định ∞ − ∞ Cách giải: Thực hiện phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞ − ∞. Đôi khi phải cùng thêm và bớt một số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞− ∞, rồi mới thực hiện phép nhân liên hợp như trên. Thí dụ 3: Tìm lim x→+∞ ( √ x 2 − 1 − x) Thí dụ 4 : Tìm lim x→+∞ ( 3 √ x 3 + 3x 2 − √ x 2 − x + 1) Bài tập tự luyện: Tìm các giới hạn sau: 6 a. lim x→+∞ ( √ x 2 + x + 1 − √ x 2 − x + 1) b. lim x→+∞ ( √ 4x 2 + 3x − 1 − 3 √ 8x 3 − 5x 2 + 3) 2.3 Dạng vô định 1 ∞ Tìm lim x→+∞  f(x) g(x)  x , trong đó lim x→+∞ f(x) g(x) = 1 Cách giải: Biến đổi f(x) g(x) = 1 + 1 t , khi đó x → +∞ ⇔ t → +∞. Đưa về giới hạn cơ bản lim t→+∞  1 + 1 t  t = e Thí dụ 5 : Tìm lim x→+∞  x + 3 x + 1  x Bài tập tự luyện: Tìm các giới hạn: a. lim x→+∞  2x + 3 2x − 1  x b. lim x→+∞  x + 3 x − 1  x 2.4 Dạng vô định 0.∞ Cách giải: Biến đổi đưa về dạng 0 0 hoặc ∞ ∞ Thí dụ 6: (Đưa về dạng 0 0 ) Tìm lim x→−1 + (x 3 + 1)  x x 2 − 1 Thí dụ 7: (Đưa về dạng ∞ ∞ Tìm lim x→+∞ (x − 2)  x + 1 x 3 − x Bài tập tự luyện: Tìm các giới hạn: a. lim x→4 + (x 2 − 16)  x x 3 − 64 b. lim x→+∞ x − 1 x 3 + 5 √ x + 2 3 Một số dạng toán liên quan 3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Cách giải (Sử dụng định nghĩa) • Hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x = x 0 khi và chỉ khi lim x→x 0 f(x) = f(x 0 ) • Đôi khi ta phải sử dụng đến tính liên tục từng phía tại điểm x = x 0 . Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x = x 0 khi và chỉ khi lim x→x + 0 f(x) = lim x→x − 0 f(x) = f(x 0 ). Thí dụ 8: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1 : f(x) =    3 √ x − 2 + √ 2x − 1 x − 1 khi x = 1 a khi x = 1 Thí dụ 9: Cho f(x) =  e x khi x < 0 a + x khi x ≥ 0 Hãy tìm a sao cho hàm số f (x) liên tục. Bài tập tự luyện: Tìm m để hàm số f(x) liên tục: 7 a. f(x) =    tan x − 3 cot x 3x − π khi x = π 3 m khi x = π 3 b. f(x) =  e x khi x < 1 mx − 1 khi x ≥ 1 3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm Thí dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0: y = f(x) =    e tan x−sin x − 1 x 2 khi x = 0 0 khi x = 0 Bài tập tự luyện: 1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0: y = f(x) =  ln (cos 2x) sin x khi x = 0 0 khi x = 0 2. Cho hàm số y = f (x) =  x 2 khi x ≤ 1 ax + b khi x > 1 Tìm a, b để f (x) có đạo hàm tại điểm x = 1 3. Chứng minh rằng hàm số y = x 2 − 2|x + 3| 3x − 1 liên tục tại x = −3 nhưng không có đạo hàm tại điểm này. —————– Hết ——————– 8 . GIỚI HẠN HÀM SỐ (Trích tạp chí THTT) LaTeX: phong36a@gmail.com 02/10/2012 Mục lục 1 Giới hạn hàm số của dạng vô định 0 0 2 1.1 Dạng 1: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức đại số . . 7: Dạng vô định 0 0 của hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . 4 1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Giới hạn hàm số của dạng vô định ∞ ∞ ,. đạo hàm của hàm số tại một điểm Thí dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0: y = f(x) =    e tan x−sin x − 1 x 2 khi x = 0 0 khi x = 0 Bài tập tự luyện: 1. Tính đạo hàm của hàm số