Nam Định 1) Tìm để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2) Giải hệ phương trình : Lời giải. 1) ĐK: Nhận thấy nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu là nghiệm duy nhất của hệ thì , hay là nghiệm của phương trình (1) Vì vế trái của (1) là hàm số đồng biến và nhận giá trị trên , nên (1) có nghiệm duy nhất . Xét thỏa Trừ hai phương trình của hệ ta có: Khi đó hệ trở thành: Vì phương trình này có nghiệm duy nhất nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất Vậy là những giá trị cần tìm. 2) Đặt , ta có: Thay vào hệ ta có: So với điều kiện ta có nghiệm của hệ là: . Nhận xét: 1) Câu 1 thuộc hệ đối xứng loại 2, đây là dạng tóan quen thuộc 2) Câu 2 tương tự như bài VMO m 2 2 2 1 2 1 x y m y x m  + − = +   + − = +  4 2 2 2 1 x y x y x y x y  + + + =   + + + =   , 2x y ≥ • 0 0 ( ; )x y 0 0 ( ; )y x 0 0 ( ; )x y 0 0 x y= 0 x 2 2 1x x m+ − = + ) 2;  +∞  2 1 2 2 1m m⇔ + ≥ ⇔ ≥ − • m 2 1m ≥ − 2 2 0x y y x− + − − − = 2 2 ( 2) ( 2)x y y x x y y x⇔ + − = + − ⇔ − = − x y⇔ = 2 2 1x x m+ − = + 2 1m ≥ − t x y = + 2 2 4 1 2 4 1 2 1 2 2 4 2 1 1 1 x y t t x y t x y t t x t x y t t  + = + +   + = +   ⇔ + = − + ⇒ =   + = −    − ≤ ≤   2 4( ) 2x x y x y⇔ = + ⇔ = − 2 5 21 5 1 0 2 y y y − ± + + = ⇔ = 5 21 5 21 2 x y  = −   − + =   7 2 5 2 2 x y x y x y x y  + + + =   + + − =   2001 sau: TP HCM Giải hệ phương trình : Lời giải. Điều kiện: Đặt Ta có: Suy ra . Ta có: (*) Trong đó Vì nên nghịch biến, đồng biến. Do đó (*) nếu có nghiệm thì có duy nhất cặp nghiệm . Mặt khác ta thấy là một nghiệm của hệ Vậy là nghiệm duy nhất của hệ. Hải Phòng Giải hệ phương trình : Lời giải. Cách 1: Đặt ta có hệ Lấy ta có được thay vào (2) ta có: Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là: . Cách 2. Nhân phương trình thứ hai của hệ với và cộng hai phương trình theo vế ta có 1 2 2 2 ( 1) 2 9 6 4 18 20 1 2 9 8 y x x y x x x x y x x +  = +    − + − + − + = +   − +  2 2 1 0 1 4 18 20 0 5 2 2 2 9 8 0 y y x x x x x  + >  > −    − + − ≥ ⇔   ≤ ≤    − + ≠   2 2 1 9 1 4 18 20 4 0 4 4 2 t x x x t   = − + − = − − ⇒ ≤ ≤  ÷   2 2 2 2 2 9 6 4 1 4 18 20 1 ( ), 0; 2 2 9 8 4 x x x x t f t t x x t   − + − + − + = + + = ∈     − + + 2 2 8 1 1 83 5 '( ) 1 0, 0; 2 (0) ( ) ( ) 2 2 34 2 ( 4) t f t t f f t f t   = − > ∀ ∈ ⇒ = ≤ ≤ = <     + 1 2 1 4y y+ ≥ ⇒ + ≥ ( ) 1 ln ln( 1) 1 ( ) ( 1) 1 x y x y x y g x g y x y + + = + ⇔ = ⇔ = + + 2 ln 1 ln ( ) , '( ) '( ) 0 t t g t g t g t t e t t − = = ⇒ > ⇔ < 1x e y< < + ( )g x ( 1)g y + 2; 3x y= = ( ) ( ) ; 2; 3x y = 3 2 2 2 3 6 3 49 8 10 25 9 x xy xy x x xy y y x  + = − −   − + = − −  ,x a b y a b= + = − 3 3 2 2 2 2 4 4 6 6 3 3 49 0 (1) 6 10 15 35 9 0 (2) a b a b a b a b a b  + − + + + + =   − + + + + =  (1)x2 (2)x6+ ( ) ( ) 3 2 3 2 8 48 96 64 8 72 216 216 0a a a b b b− + − + + + + = 3 3 (2 4) (2 6) 0 1a b b a⇔ − + + = ⇔ = − − 2 4 2a a= ⇔ = ± ( ; ) ( 1;5), ( 1; 3)x y = − − − 3 (*) Do và không có đẳng thức xảy ra nên (*) tương đương với . Thay vào hệ ta tìm được . Nhận xét: Bài toán này tường tự với bài VMO 2004: Hải Phòng Giải hệ phương trình Lời giải. Đặt Hệ nên ta có: giải hệ này ta tìm được và Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ: . TP Hà Nội 1) Giải phương trình : 2) Giải hệ phương trình : Lời giải. 1) Điều kiện: Phương trình 2) Từ phương trình thứ nhất, ta có: thay vào phương trình thứ hai ta có: 3 2 2 3 3 ( 1) 24 6 30 78 76x x y x xy xy y x+ + + − = + − − 2 2 ( 1)( 2 76) 3 ( 1) 30 ( 1) 0x x x y x y x⇔ + + + + + − + = 2 2 ( 1)( 2 3 30 76) 0x x x y y⇔ + + + − + = 2 2 2 2 2 3 30 76 ( 1) 3( 5) 0x x y y x y+ + − + = + + − ≥ 1x = − 3, 5y y= − = 3 2 2 2 3 49 8 8 17 x xy x xy y y x  + = −   − + = −  2 2 2 5 8( ) 4 13 ( ) 1 2 1 x y xy x y x x y  + + + =   +   + =  +  1 ,a x y b x y x y = + + = − + 2 2 2 1 5 ( ) 3( ) 13 ( ) 1 ( ) 1 x y x y x y x y x y x y     + + + − =      +   ⇔   + + + − =  +  2 2 2 2 5( 2) 3 13 5 3 23 1 1 a b a b a b a b     − + = + = ⇔   + = + =     4 3 a b  =  = −  5 2 7 2 a b  = −     =   ( ) 1 3 5 3 3 11 3 ; ; , ; , ; 2 2 2 4 4 2 x y       − ± ± = − −  ÷  ÷  ÷  ÷       4 2 1 1x x+ − = 2 2 5 3 2 1 1 0 x y xy x y  + = +   + + =  1x ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x x x⇔ − = − + ⇔ − = − + 4 2 1 1 5 1 (1 )(1 ) 1 0, 2 x x x x x x  = ±  = ±  ⇔ ⇔   − − + =  = = ±    1x y− = ± • 1y x= − thay vào phương trình thứ hai ta có: Vậy nghiệm của hệ là: . NGhệ an 1) Giải hệ phương trình 2) Giải phương trình : Lời giải. 1) Từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra: . Ta có (*) Do thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có Mặt khác, do nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Suy ra phương trình thứ hai của hệ Do đó hệ đã cho hoặc là nghiệm của hệ. 2) Phương trình xác định với mọi ( ) 5 3 4 2 ( 1) 1 0 3 3 0 0 1x x x x x x x y+ − + = ⇔ + − + = ⇔ = ⇒ = − • 1y x= + 5 3 4 3 2 2 ( 1) 1 0 ( 1) 1 ( 1) 0 1 0x x x x x x x x x y   + + + = ⇔ + − + − + + + = ⇔ = − ⇒ =     ( ; ) (0; 1), ( 1; 0)x y = − − 2 2 2 3 2 8 16 2 8 3 3 4 2 xy x y x y x x x x y y y  + + =  +    + = + −   3 2 2 3 2 2 4 1 2 3 2 9 4 4x x x x x x x− + + = − + − + 2 2 0 0 8 3 2 3 0 1 0 4 3 4 x x y y y x y x y    + + ≥ >   ⇔   + ≥   + ≥    2 2 2 8 8 16 ( ) 16 2 0 xy xy x y x y xy x y x y + + = ⇔ + − − + = + + ( ) 2 4 ( ) 4( ) 2 0x y x y x y xy   ⇔ + − + + + − =     ( ) 2 2 4 4( ) 0x y x y x y   ⇔ + − + + + =     3 0 (*) 4 4 x y x y x y+ > + ≥ ⇒ ⇔ + = 2 2 3 0 3 2 3 4 x y x y   + = + >  ÷   2 2 3 2 2 2 2 8 3 2 8 3 2 3 4 x x y x x y x x y y y     + + ≥ + = +  ÷  ÷     2 2 8 3 2 x x y y ⇔ = + 2 2 2 4 4 4 2 2 6 , 3 16 12 0 3 8 3 2 x y x y x y x x y x y x y x xy y y  + =  + =  + =    ⇔ ⇔ ⇔    = = − = + − − =       24 7 4 7 x y  =   ⇔   =   8 12 x y  = −  =  x ∈ ¡ Ta thấy là một nghiệm của phương trình Xét , chia hai vế phương trình cho và đặt ta được phương trình . Đặt Ta được: (*) Xét hàm số Ta thấy nếu nên ta chỉ xét . Khi đó: nên là hàm đồng biến Mà là nghiệm duy nhất của (*) Từ đó ta tìm được . Xét , làm tương tự như trên ta có phương trình với Ta có Nên . Vậy là nghiệm của phương trình đã cho. Ninh Bình Giải hệ phương trình Lời giải. Từ phương trình thứ nhất, suy ra . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với Do loại 0x = • 0x > x 1 t x = 3 2 2 2 4 2 3 2 1 4 4 9t t t t t− + + = − + − + 3 2 1a t= − 6 6 6 6 15 2 3 8 3 8 15 2 0a a a a a a+ + = + + ⇔ + + − + − = 6 6 ( ) 3 8 15 2f a a a a= + + − + − 0 ( ) 0a f a< ⇒ < 0a > 5 6 6 1 1 '( ) 3 3 0 8 15 f a a a a    ÷ = + − >  ÷ + +   ( )f a (1) 0 1f a= ⇒ = 1x = • 0x < 6 6 ( ) 8 3 15 2 0f a a a a= + − − + + = 1a < − 5 6 6 1 1 '( ) 3 3 0 8 15 f a a a a    ÷ = − − <  ÷ + +   ( ) ( 1) 2f a f> − = 0, 1x x= = 3 3 4 3 3 2 2 ( ) 7 9 9 x y x x x y y y x x y x  − =   + + = + +  0x y− ≠ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 9( ) 0x x y xy x y x y− + − − − = 2 2 3 3 ( ) ( ) 9 0 ( ) 9 0 0 x y y x x x y xy x y x x y x x x x   + = ± = − ±   ⇔ + + + − = ⇔ + = ⇔ ⇔     > >   3 3 3 0 0y x y x y x x − > ⇒ > > ⇒ = − − Với thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có . Đặt ta được (*) Ta có: và Nên (*) có nghiệm duy nhất Vậy là nghiệm của hệ. Nhận xét: Đây là bài toán VMO 1996: Biện luận số nghiệm của hệ: Cần Thơ Giải hệ phương trình Lời giải. Điều kiện: Ta thấy không là nghiệm của hệ nên hệ đã cho tương đương với Suy ra . Đặt ta có: Từ đó ta tìm được. Nhận xét: Đây là dạng toán quen thuộc, bài VMO 1996 cũng có nội dung như trên Hà Tĩnh Cho các số thực thỏa . Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất : . 3 y x x = − 3 3 3 7x x x x       − − =  ÷       t x= 3 2 2 6 9 6 3 3 7 ( ) 2 9 27 7 27 0t t t f t t t t t t       − − = ⇔ = − + + − =  ÷       8 5 2 8 2 5 '( ) 18 54 81 7 2 18 .81 54 7 0f t t t t t t t= − + + ≥ − + > (1) 0f = 1 1 2t x y= ⇒ = ⇒ = ( ; ) (1; 2)x y = 3 4 2 2 2 3 2 2 x y y a x y xy y b  − =   + + =  4 4 2 1 ( ) 2 4 2 1 ( ) 1 4 x y x x y x y y x y  + + =  +   +  − =  +  , 0 0 x y x y  ≥  + ≠  0 ( 0)x y= = 4 4 4 4 4 4 2 1 2 2 2 1 2 4 1 2 1 2 1 1 2 4 x y x y x y x y yx x x y x y y y x   + + + =  = −  + +   ⇔   +   = + − =   +   4 4 4 4 2 2 1 2 1 4 1 x y x y y y x y x x    +  ÷ ÷ = − + = −  ÷ ÷ +    2 2 4 0x x x y y x y y⇔ − + − = x t y = 3 2 2 2 4 0 2 4t t t t x y− + − = ⇔ = ⇔ = ( ) ( ) 4 4 2 1 4 2 1 16 x y  +  =     +  =   1 3 1 2 1 7 1 4 2 x x y y x y    + =   ÷ +        − =  ÷  +    , ,a b c 0a b c> > > 0 a b x a x b x c − − − − + = − Lời giải. Điều kiện: Phương trình Xét hàm số Ta có là hàm đồng biến và , Nên phương trình có duy nhất nghiệm. Từ đó ta có đpcm. Bình Định 1) Giải phương trình 2) Giải hệ phương trình : Lời giải. 1) Điều kiện: Phương trình Ta có: . Mặt khác vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:. 2) Điều kiện: Ta có Ta có: Xét hàm số có x a≥ 0 0 b a a b x a x b x c x a x b x c − − ⇔ + = ⇔ − + − − − = − + − − 1 0 x a x b x c x c − − ⇔ + − = − − ( ) 1, x a x b f x x a x c x c − − = + − ≥ − − f ( ) 1 0 a b f a a c − = − < − lim ( ) 1 0 x f x →+∞ = > ( ) 0f x = 2 2 4 2 5 1x x x x− + − = − − 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 2 0 x y y x x x y y − + − − = + − − − + =      2 4x≤ ≤ 2 2 1 4 1 2 5 3x x x x⇔ − − + − − = − − 3 3 ( 3)(2 1) 2 1 4 1 x x x x x x − − ⇔ − = − + − + − + 3 1 1 2 1 (*) 2 1 4 1 x x x x  =  ⇔  − = +  − + − +  1 1 1 1; 2 1 (*) 2 2 2 1 4 1 2 1 VT x x ≤ ≥ = − ⇒ ≤ − − + − + + 2 (*) 2 1 5 (*)x VP x≥ ⇒ = + ≥ ⇒ 3x = 1 1 0 2 x y  − ≤ ≤  ≤ ≤  3 3 2 3 3 2 2 22 2 2 3 3 2 0 3 2 ( 1 1) 3( 1) 2 (1) 1 3 2 2 0 1 3 2 0( 1) (2) x y y x x x y y x x y y x yx  − + − − = − − = − − − − + − − − + = + −    ⇔    − −− + =    1, 1;1y x   − ∈ −   3 ( ) 3 2, 1;1f t t t t   = − − ∈ −   ( ) 2 '( ) 3 1 0 (1) 1f t t x y= − ≤ ⇒ ⇔ = − Thay vào (2) ta được: Vậy nghiệm của hệ: . 2 2 2 1 2 0 0 1x x x y− − + = ⇔ = ⇒ = 0 1 x y  =  = 