ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mở đầu Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 4 Đạo hàm suy rộng 1.1.2 ˚1 Không gian W2 (Ω) W2 (Ω) 1.1.3 1.2 ˚1 Khơng gian W2 (Ω), W2 (Ω) tính chất 1.1.1 1.1 Các tính chất Nghiệm suy rộng toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 18 1.2.1 Nghiệm suy rộng W2 (Ω) Bất đẳng thức thứ 18 1.2.2 Tính giải tốn Dirichlet khơng gian W2 (Ω) Ba định lý Fredholm 22 Phương pháp sai phân giải gần toán biên Dirichlet 33 2.1 Hàm lưới Tỉ số sai phân 33 2.2 Nội suy hàm lưới Các định lý nhúng 38 2.3 Phương trình sai phân toán biên Dirichlet 45 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Mở đầu Bài toán biên Dirichlet thường xuất nhiều toán ứng dụng lý thuyết học chất lỏng, điện-từ trường v v Đa số tốn tương đối phức tạp thường khơng có phương pháp giải Chúng ta thường tồn nghiệm theo nghĩa nghiệm suy rộng Nghiệm có ý nghĩa mặt lý thuyết mà không áp dụng vào thực tiễn Do thực tế để sử dụng nghiệm phải tìm nghiệm xấp xỉ chúng Để đáp ứng phần nhỏ yêu cầu việc tìm nghiệm gần toán biên Trong luận văn trình bày "phương pháp sai phân giải gần tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Nội dung luận văn chủ yếu dựa theo tài liệu tham khảo [8] O.A Ladyzhenskaya Luận văn với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" trình bày phương pháp sai phân để đưa toán biên toán đại số (hệ đại số tuyến tính) Bài tốn đại số có phương pháp giải tìm nghiệm gần cho tốn ban đầu phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Bài tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Trong chương trình bày số khái niệm, tính chất đạo hàm suy rộng dựa tài liệu tham khảo [3] Nguyễn Mạnh Hùng, khái niệm ˚1 không gian W2 (Ω) W2 (Ω) dựa tài liệu [8] O.A Ladyzhenskaya Đây kiến thức để nghiên cứu nghiệm suy rộng toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Bài tốn có nghiệm suy rộng W2 (Ω) Chương 2: Phương pháp sai phân giải gần tốn biên Dirichlet Trong chương trình bày hàm lưới, hàm nội suy mối quan hệ chúng dựa tài liệu [8] O.A Ladyzhenskaya Phương trình sai phân toán biên Dirichlet dựa theo tài liệu [8] thực sau: Bước thứ xây dựng hàm lưới, nội suy hàm lưới Bước hai chuyển từ toán vi phân sang toán sai phân Bước ba khảo sát ổn định hội tụ sơ đồ sai phân Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam) Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi trân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phịng Sau Đại Học, Khoa TốnCơ-Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ suốt q trình giáo dục đào tạo Nhà trường Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Chương Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 ˚1 Khơng gian W2 (Ω), W2 (Ω) tính chất 1.1.1 Đạo hàm suy rộng Với hai hàm số u(x) v(x) tùy ý, khả vi vô hạn miền Ω ⊂ Rn v(x) ˙ triệt tiêu miền biên (nghĩa là, v ∈ C ∞ (Ω)), cách tích phân phần k lần ta có: u Ω ∂kv ∂xk1 ∂xkn n + (−1)k+1 v ∂ku ∂xk1 ∂xkn n dx = Định nghĩa 1.1.1 [3]Cho Ω miền không gian Rn Một hàm số ωk1 kn ∈ L1 (Ω) gọi đạo hàm suy rộng cấp k u(x) ∈ L1 (Ω) nếu: u Ω ∂kv ∂xk1 ∂xkn n + (−1)k+1 vωk1 kn dx = 0, ˙ với v ∈ C ∞ (Ω), k = (k1 , , kn ), |k| = k1 + · · · + kn Kí hiệu hàm ωk1 kn ∂ k u/∂xk1 ∂xkn , Dk u Cách kí hiệu thứ n khơng gây hiểu lầm u ∈ C k (Ω) ωk1 kn = ∂ k u/∂xk1 ∂xkn Rõ n ràng khái niệm phần mở rộng khái niệm cổ điển đạo hàm riêng liên tục dạng ∂ k u/∂xk1 ∂xkn n Nếu hàm u(x) có đạo hàm thơng thường liên tục cấp k có đạo hàm suy rộng cấp k Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy hàm u(x) có khơng q đạo hàm suy rộng Một hàm có đạo hàm suy rộng khơng có đạo hàm theo thơng thường Tính chất 1.1.1 Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp k miền Ω có đạo hàm suy rộng cấp k miền Ω ⊂ Ω Tính chất 1.1.2 Nếu u1 u2 có đạo hàm suy rộng Ω c1 u1 + c2 u2 có đạo hàm suy rộng Ω và: ∂ k (c1 u1 + c2 u2 ) ∂xk1 ∂xkn n = c1 ∂ k u1 ∂xk1 ∂xkn n + c2 ∂ k u2 ∂xk1 ∂xkn n k Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy ∂ k /∂x11 ∂xkn độc lập với thứ n tự lấy đạo hàm Đạo hàm suy rộng bảo tồn nhiều tính chất đạo hàm cổ điển Tuy nhiên bảo tồn tất cả, chẳng hạn từ tồn đạo hàm suy rộng cấp k không suy tồn đạo hàm suy rộng cấp nhỏ k 1.1.2 ˚1 Không gian W2 (Ω) W2 (Ω) Định nghĩa 1.1.2 [3] Không gian W2 (Ω) không gian bao gồm tất hàm u(x) ∈ L2 (Ω) cho tồn đạo hàm suy rộng cấp α, |α| 1, thuộc L2 (Ω) trang bị chuẩn: 1/2 (1) ||u||2,Ω = (u2 + u2 )dx x Ω ˚1 ˙ Định nghĩa 1.1.3 [3] Không gian W2 (Ω) bao đóng C ∞ (Ω) chuẩn không gian W2 (Ω) ˚1 Không gian Hilbert W2 (Ω) đóng vai trị việc nghiên cứu tốn biên thứ với phương trình cấp hai dạng khác ˚1 Tích vơ hướng không gian W2 (Ω) W2 (Ω) xác định bởi: (1) (u, v)2,Ω = Qui ước: ux vx = n k=1 uxk vxk , (uv + ux vx )dx (1.1.1) Ω n i=1 uxi u2 = x ˚1 Giả sử Ω miền bị chặn Rn Trong W2 (Ω) ta đưa vào tích vơ hướng mới: [u, v] = ux vx dx (1.1.2) Ω Ta chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu Để tương đương ta ˚1 phải thiết lập bất đẳng thức sau ∀u(x) ∈ W2 (Ω) Ta có: u2 dx c2 Ω Ω u2 dx, x (1.1.3) Ω (bất đẳng thức Poincare-Friedichs), cΩ số phụ thuộc Ω ˙ Ta chứng minh (1.1.3) với u(x) ∈ C ∞ (Ω), sau thu (1.1.3) với ˚1 ∀u(x) ∈ W2 (Ω) "sự đóng đơn theo chuẩn W2 (Ω)" Ta giải thích ˚1 sau Cho u(x) phần tử W2 (Ω) xấp xỉ theo ˙ chuẩn W2 (Ω) dãy hàm u(m) (m=1,2, ) C ∞ (Ω) Giả sử (1.1.3) chứng minh u(m) Nếu ta lấy (1.1.3) cho u(m) lấy giới hạn m −→ ∞ theo chuẩn W2 (Ω) Ta (1.1.3) với u(x) Ta thường xuyên sử dụng tính chất đóng chứng minh bất đẳng thức: u B1 c u B2 , (1.1.4) với u ∈ B2 , B1 , B2 hai không gian Banach Trước tiên, ta chứng minh (1.1.4) với tập M (gồm phần tử thường hàm trơn) trù mật B2 đóng theo chuẩn B2 ˙ Bây ta trở lại với chứng minh (1.1.3) với u(x) ∈ C ∞ (Ω) Ta bao Ω hình hộp Π, khơng tính tổng qt giả sử Π = {x : < xi < li } Rõ ràng chứng minh theo Π nhiều thuận lợi cho tất cách chọn Giả sử l1 cạnh Π có chiều dài nhỏ Ta viết u(x) dạng: x1 u(x1 , x1 ) = ∂u(y1 , x1 ) dy1 , ∂y1 (1.1.5) x1 = (x2 , , xn ) ∈ Π1 = {x1 : < xi < li ; i = 2, , n} giả sử u(x) = với x ∈ Ω / Bình phương hai vế (1.1.5), lấy tích phân Π áp dụng bất đẳng thức Cauchy vế phải ta được: x1 l1 dx1 u (x)dx = Π Π1 l1 l1 ≤ x1 dx1 ∂u(y1 , x1 ) dy1 ∂y1 Π1 ∂u ∂y1 dy1 dx1 l2 dx1 = Π ∂u ∂x1 dx Do (1.1.3) với c2 = l1 /2, suy tương đương chuẩn [u, u]1/2 Ω u (1) 2,Ω tương ứng với (1.1.2) (1.1.1) Trong (1.1.3) số cΩ rút dạng c2 |Ω|2/n , với |Ω| số ˚1 điểm lưới Ω c số tuyệt đối phụ thuộc n, nghĩa ∀u ∈ W2 (Ω) ||u||2,Ω ≤ c|Ω|1/n ||ux ||2,Ω 1.1.3 (1.1.6) Các tính chất Định lý 1.1.1 [8] (Định lý F-Rellich): Giả sử Ω miền bị chặn Khi ˚1 tập bị chặn W2 (Ω) tiền compact L2 (Ω) ˚1 Định lý thường phát biểu: W2 (Ω) nhúng compact L2 (Ω) Chứng minh [8] ˚1 Ta mở rộng tất phần tử W2 (Ω) cách đặt chúng bên Ω ta xét chúng hình Π = {x : < xi < li }, với Ω ⊂ Π ˚1 Ta thu cho phần tử mở rộng W2 (Ω) chuẩn || · ||2,Π (1) (1) || · ||2,Π trùng với || · ||2,Ω || · ||2,Ω tương ứng Ta phân tích Π thành hình hộp ωi với cạnh lk /N (k = 1, 2, , n) mặt song song với mặt phẳng tọa độ Áp dụng bất đẳng thức Poincare với hàm tùy ý u(x) W2 (ωi ): u dx ≤ |ωi | ωi 2 udx ωi n n + ωi k=1 lk N u2 k dx x (1.1.7) lk u2 k dx x (1.1.8) Từ ta thấy rằng: Nn 2 u dx ≤ u dx = Ω Π i=1 |ωi | udx ωi n + 2N n Ω k=1 Lấy ||u(m) ||(1) ≤ c, tập u(m) tiền compact yếu L2 (Ω) Khơng 2,Ω tính tổng qt ta giả sử phần tử u(m) hội tụ yếu L2 (Ω) Với u(p) u(q) từ (1.1.8) ta có: Nn (p) ||u − u(q) ||2 2,Ω = i=1 |ωi | (p) (u (q) −u )dx ωi n + 2N n (p) (q) lk ||uxk − uxk ||2 2,Ω k=1 (1.1.9) Số hạng cuối vế phải (1.1.9) làm nhỏ tùy ý với p, q cách chọn ωi nhỏ (tức cho N đủ lớn), số hạng tiến p, q tiến ∞ với phân hoạch cố định Π u(m) hội tụ yếu L2 (Π) Hay ||u(p) − u(q) ||2 tiến p, q tiến 2,Ω Do u(m) hội tụ L2 (Π) Định lý chứng minh Cơng thức tích phân phần lý thuyết toán biên với ˚1 ˚1 phần tử W2 (Ω), với u(x) ∈ W2 (Ω) v(x) ∈ W2 (Ω) ta có: uxi vdx = − Ω uvxi dx, i = 1, 2, , n (1.1.10) Ω Công thức tổng quát hơn: Ω ∂w dx = 0, ∂xi (1.1.11) Định nghĩa 2.2.3 [8] Dạng hàm nội suy thứ ba xác định bởi: uxr (xr − kr hr ) + · · · u(m) (x) = uh + r=1 r=m n (xr − kr hr ) + ux1 xm−1 xm+1 xn (2.2.3) r=1 r=m với x ∈ ω(kh) ; uh tất tỉ sai phân tính đỉnh kh Hàm số u(m) (x) hàm theo xm bên ω(kh) , tuyến tính theo xj lại, trùng với uh đỉnh ω(kh) nằm mặt phẳng xm = km hm và: ∂uh (x) = (uxm )(m) (x), ∂xm x ∈ ω(kh) (2.2.4) Từ trở nội suy dạng (2.2.1) cho tỉ sai phân uxi hàm lưới uh ký hiệu (uxi )(x), uxi Cho số dương h1 , , hn phạm vi số dãy số có giới hạn Ta xét lưới tương ứng với chúng tập Ωh Giả sử có hàm uh xác định Ωh , ta định nghĩa hàm điểm lưới không thuộc Ωh xây dựng hàm số nội suy uh (x), uh (x), u(m) (x) Bổ đề 2.2.1 [8] Cho u2 ≤ c, h ∆h ∆h = h1 hn (2.2.5) Ωh Nếu dãy {uh }, uh , u(m) hội tụ yếu L2 (Ω) tới hàm u(x) h1 , , hn → 0, dãy cịn lại hội tụ yếu đến u(x) L2 (Ω) Chú ý: Hằng số c đây, số c ci chứng minh đây, không phụ thuộc vào bước lưới h = (h1 , · · · , hn ) Chứng minh Trước tiên, ta ý (2.2.5) chứng tỏ chuẩn uh (x) uh (x) L2 (Ω) , u(m) (x) L2 (Ω) L2 (Ω) , hàm số uh (x), uh (x), u(m) (x) bị chặn 39 ô nằm giá trị nhỏ lớn uh đỉnh ωkh Do đó, dãy dãy compact yếu L2 (Ω) Từ suy để chứng minh hội tụ, điều kiện đủ chứng minh hội tụ phép chiếu (trong L2 (Ω)) hàm tương ứng với hàm Φ(x) ˙ C ∞ (Ω) Nếu Ω uh Φdx → Ω uΦdx, ta chứng minh Ω uh Φdx → Ω uΦdx Các trường hợp khác chứng minh tương tự Xây dựng cho Φ(x) hàm số số-từng mảnh Φh (x) trùng với Φ(x) tất điểm lưới Dễ dàng thấy Ω uh Φh dx → Ω uΦdx Ta lấy hi , i = 1, , n đủ nhỏ để Φh = Sh bên ngồi Ωh Khi đó: R≡ (uh − uh )Φh dx = Ω (kh) ω(kh) (kh) tổng tất ω(kh) ⊂ Ωh Khơng khó để tính được: Φh ux1 xn R =∆h (uh − uh )dx, Φ(kh) ∆h 2n Ωh + ∆h Φh    Ωh n ux1 xr−1 xr+1 xn r=1 n 2n−1 hi + · · · + r=1 i=r   uxr hr ,  Φh giá trị Φ đỉnh lưới Ta biến đổi số hạng tỉ sai phân dấu ngoặc ux1 xn ∆h từ uh thành Φh sử dụng (2.1.11) thì: 2n Φx1 ux2 xn h2 · · · hn n h1 + · · · + R = −∆h Ωh n r=1 Mà: (uxi1 xis hi1 his )2 |(kh) ≤ c1 u2 , h ω (kh) và: (Φxr )2 ≤ c2 , ∆h Ωh r=1 40 Φxr uh hr R → h1 , , hn → Ta rằng: uh Φh dx → uΦdx Ω Ω Vì vậy: uh Φdx = uh (Φ − Φh )dx → uh Φh dx + Ω Ω uΦdx Ω Ω Bổ đề chứng minh Ta có ký hiệu viết tắt sau sử dụng phần uxi ≡ (uxi )2 , u2 i ≡ (uxi )2 , x n u2 x n u2 i , x ≡ u2 i x u2 i , x ≡ i=1 |ux | ≡ (u2 )1/2 , x i=1 1/m  uh |uh |m  ≡ ∆h m,Ωh (2.2.6) , Ωh 1/m  uxi |uxi |m  ≡ ∆h , (2.2.7)   m,ω (kh) (2.2.8) (i) ω(kh) 1/m n u m,ω (kh) ≡ uxi m m,ω(kh) i=1 Trong (2.2.7) (i) ω(kh) tổng lấy đỉnh ô ω(kh) thuộc mặt: xi = ki hi Hơn nữa, 1/m  uxi m,Ωh = uxi m  m,ω (kh) , (2.2.9) ω (kh) ∈Ωh 1/m n ux m,Ωh = uxi m m,Ωh (2.2.10) , i=1 uh Các đại lượng ux m,Ωh (1) m,Ωh = uh uh (1) m,Ωh m m,Ωh + ux m m,Ωh 1/m (2.2.11) gọi chuẩn khơng gian Lm (Ωh ) Wm (Ωh ) hàm lưới xác định Ωh 41 ∗ Ta giả sử hàm uh xác định tập lưới Ωh chứa đỉnh ô ω (kh) giao với Ω Bổ đề 2.2.2 [8] Cho uh (1) ∗ 2,Ωh ≤ c Nếu dãy {uh }, uh , u(m) hội tụ L2 (Ω) tới hàm u(·) hi → 0, hai dãy lại hội tụ L2 (Ω) đến u(·) Chứng minh Trước tiên, ta giá trị lớn |uh (x) − um (x)| ω (kh) đạt đỉnh ω(kh) giá trị tích |uxm |hm lấy đỉnh ω(kh) nằm mặt phẳng xm = km hm Thật vậy, hàm số uh (x) um (x) nằm mặt xm = km hm ô ω(kh) cho Dọc theo khoảng song song với trục xm xuất phát từ điểm biên hàm số uh tuyến tính theo xm u(m) Do đó: uh − um = ∂uh ∂xm xm =km hm (xm − km hm ) = (uxm )(m) |xm =km hm (xm − km hm ), max |uh − um | = hm ω (kh) max xm =km hm ki hi ≤xi ≤(ki +l)hi i=m |(uxm )(m) | Mà hàm số (uxm )(m) tuyến tính theo biến xi với i = m mặt xm = km hm vậy, giả sử giá trị lớn đạt đỉnh mặt này, mặt (uxm )(m) = uxm Vì vậy, ta có: max |uh − um | = hm ω (kh) max xm =km hm |uxm |, (2.2.12) giá trị lớn lấy đỉnh ω(kh) nằm mặt xm = km hm Ta chứng minh trường hợp đề cập bổ đề, trường hợp khác chứng minh tương tự Cho Ω (uh − u)2 dx → hi → 0, i = 1, · · · , n (uh − u(m) )2 dx ≤ R≡ Ω (uh − u(m) )2 dx, (kh) 42 ω(kh) (2.2.13) với tổng ∗ lấy tất ω(kh) ∈ Ωh (kh) Sử dụng (2.2.12), ta làm trội vế phải (2.2.13) ∗ 2,Ωh R ≤ h2 uxm m ≤ h2 c2 → 0, m hm → Vì vậy: (uh − u(m) )2 + (uh − u)2 dx → (u(m) − u)2 dx ≤ Ω Ω h1 , · · · , hn → Bổ đề 2.2.3 [8] Cho uh (1) ∗ 2,Ωh ∗ ≤ c, với Ωh giống tập lưới Bổ đề 2.2.2 Giả sử h1 = · · · = hn = h → biên S Ω trơn Nếu uh (·) hội tụ theo chuẩn L2 (S) tới u(·), {uh (·)} hội tụ theo chuẩn L2 (S) tới u(·) Bổ đề chứng minh giống Bổ đề 2.2.2, cần nhận xét h S∩ω (kh) ≤ chn với c số độc lập với h Ta chứng minh định lý tính compact mạnh tập hàm nội suy hàm lưới L2 (Ω) Định lý 2.2.1 [8] Cho dãy hàm uh với uh xác định lưới Ωh nó, thỏa mãn [u2 + u2 ] ≤ c x h jh ≡ ∆h (2.2.14) Ωh giả sử uh triệt tiêu điểm biên Sh bên ngồi Ωh ˚1 Khi tập hàm nội suy uh (·) bị chặn W2 (Ω), tiền compact ˚1 mạnh L2 (Ω) tiền compact yếu W2 (Ω) Chứng minh Để chứng minh định lý 2.2.1, ta (2.2.14) chứng tỏ uh (x) (1) 2,Ω bị chặn Thật vậy, ta ý hàm số uh (x) biểu diễn hình hộp ω(hh ) dạng ω(kh) ω(kh) uh (sh).XS (x1 /h1 , xn /hn ), với XS đa thức bậc n tổng lấy tất đỉnh ω(kh) Từ biểu diễn có: (uh (x))2 dx = ∆h ω(kh) (ˆh (y))2 dy ≤ c∆h u ω(k) 43 u2 , h ω(kh) với yi = xi /hi , i = 1, , n, uh (y) = uh (x) Mà: ˆ (uh (x))2 dx ≤ 2n c∆h Ωh u2 h (2.2.15) Ωh Đạo hàm ∂uh (x)/∂xi ω(kh) có dạng uxi (sh)Xs (x1 /h1 , , xn /hn ), (i) ω(kh) với Xs đa thức bậc n − 1, tổng (i) ω(kh) lấy tất đỉnh ω(kh) nằm mặt xi = ki hi Vì vậy: ω(kh) ∂uh ∂xi Ωh ∂uh ∂xi Ωh ∂uh ∂xi (uxi )2 , dx ≤ c1 ∆h (2.2.16) (i) ω(kh) dx ≤ c1 uxi 2,Ωh dx ≤ c1 ux 2,Ωh (2.2.17) ˚1 Mỗi hàm số uh ∈ W2 (Ω) triệt tiêu Ω − Ωh Các bất đẳng thức (2.2.15), (2.2.17) (2.2.14) chứng tỏ tính bị chặn chuẩn uh (1) 2,Ω Do (2.2.14) chứng tỏ tính bị chặn tập uh W2 (Ω) Vì uh ∈ ˚1 ˚1 W2 (Ω), từ định lý F Rellich: Một tập bị chặn W2 (Ω) tiền compact L2 (Ω) (xem [8], trang 25) định lý 1.1.2 Chương I ta có định lý 2.2.1 chứng minh Chú ý 2.2.1 Ta giả sử định lý cạnh biên ô lưới Ωh tiến đến 0, áp dụng cho trường hợp hi → Nếu hi → 0, i = 1, , n, theo định lý 2.2.1, bổ đề 2.2.1 2.2.2, ta rút kết luận sau: Cho u hα dãy uh ˚1 hội tụ đến hàm u ∈ W2 (Ω) đó, ˚1 hội tụ mạnh theo chuẩn L2 (Ω) yếu theo chuẩn W2 (Ω); tất 44 hàm nội suy khác uhα hội tụ L2 (Ω) tới u(x) hàm số uxi (x), (uxi )(m) (x) (uxi )hα (x) hình thành từ uhα hội tụ yếu L2 (Ω) tới ∂u/∂xi (để chứng minh khẳng định cuối cùng, cần phải dùng (2.2.4)) Định lý 2.2.1 tổng quát cho trường hợp hàm uh không triệt tiêu ∗ Sh theo cách sau Giả sử có dãy miền Ωh (giống bổ đề N i=1 Ωi , 2.2.2) chứa Ω thỏa mãn điều kiện: Ω biểu diễn dạng: Ωi miền Ω cho phép mở rộng W2 (Ωi ) Giả ∗ sử thêm hàm số uh xác định tập lưới Ωh (tức là, đỉnh ∗ ô ω(kh) Ωh ) Ta có định lý sau: Định lý 2.2.2 [8] Cho dãy hàm {uh } xác định dãy tập lưới ∗ Ωh , thỏa mãn điều kiện miêu tả trên, cho uh (1) ∗ 2,Ωh ≤ c (2.2.18) Khi hàm nội suy uh (x) bị chặn theo chuẩn W2 (Ω) tiền compact L2 (Ω) Tập hàm nội suy tiền compact L2 (∂Ω) ∂Ω trơn Chứng minh định lý suy từ so sánh số hạng vế trái (2.2.18) với chuẩn uh (x) L2 (Ω) W2 (Ω) thực biến đổi tương tự (2.2.15)-(2.2.17) chứng minh định lý 2.2.1 2.3 Phương trình sai phân toán biên Dirichlet Bài toán: Cho toán biên Dirichlet Lu ≡ ∂ ∂xi aij (x) ∂u + (x)u ∂xj + bi (x) ∂u ∂fi (x) + a(x)u = f (x) + ∂xi ∂xi (2.3.1) u|S = 45 Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn giải gần toán biên Dirichlet, miền bị chặn tùy ý Ω ⊂ Rn Giả sử hệ số phương trình hàm số bị chặn, đo thỏa mãn điều kiện n aij ξi ξj + (ai − bi )ξi ξ0 − aξ0 ξi ≥ v1 (2.3.2) i=1 Trong v1 số dương ξ0 , ξ1 , , ξn số thực tùy ý Giả sử f fi hàm thuộc L2 (Ω) Chia nhỏ Rn thành ô ω(kh) mặt phẳng : xk = mhk , k = 1, , n, hk > sử dụng kí hiệu phần 2.1, 2.2 chương Ta xây dựng sơ đồ sai phân ổn định cho tốn (2.3.1) Dựa sở khơng gian W2 (Ω) bất đẳng thức lượng (1) ||u||2,Ω ≤ c1 (||f ||2,Ω + ||fi ||2,Ω ), (2.3.3) cho nghiệm suy rộng u(x) toán (2.3.1) W2 (Ω) Điều đảm bảo tính ổn định tốn (2.3.1), đặc biệt thỏa mãn tính nghiệm toán (2.3.1) lớp nghiệm suy rộng W2 (Ω) Ta nhớ lại nghiệm tổng quát (2.3.1) W2 (Ω) xác định ˚1 phần tử W2 (Ω) thỏa mãn đồng tích phân : L(u, η) ≡ aij Ω = fi Ω ∂u + u ∂xj ∂η − ∂xi bi ∂u + au η dx ∂xi ∂η − f η dx, ∂xi (2.3.4) ˚1 với η ∈ W2 (Ω) Điều kiện bị chặn (2.3.3) dễ dàng tìm thấy từ (2.3.4) ta thay η = u (2.3.4) sử dụng (2.3.2) Ta xây dựng sơ đồ sai phân với (2.3.3) Để làm điều này, ta (2.3.4) xây dựng xấp xỉ Tích phân Ω thay tổng tích phân ô ω(kh) chứa 46 Ω bên ô, u η thay hàm số mảnh uh ηh , đạo hàm ∂u/∂xi ∂η/∂xi thay hàm nội suy số mảnh tương ứng dạng tỉ sai phân dạng mà xấp ˚1 xỉ chúng; ví dụ uxi ηxi Yêu cầu u, η ∈ W2 (Ω) thay hàm lưới uh , ηh triệt tiêu biên Sh Do (2.3.4) thay Lu(uh , ηh ) ≡ [(aij uxj + uh )ηxi − (bi uxi + auh )ηh ]dx Ωh (fi ηxi − f ηh )dx = (2.3.5) Ωh [(aijh uxj aih uh ) − (bih uxi + ah uh )ηh ] Lh (uh , ηh ) = ∆h Ω+ h (fih ηxi − fh ηh ), = ∆h (2.3.6) Ω+ h Trong Ω+ tập hợp đỉnh x = (kh) ô ω(kh) thuộc vào Ω h (chú ý ω(kh) = {x : ki hi < xi < (ki + 1)hi } ô ω(kh) liên kiết với đỉnh x = (kh) nó, tập Ω+ phần Ωh ) h Các tổng ∆h mở rộng cho tất Ωh đặt điều kiện uh ηh định nghĩa bên Ωh (chúng Sh ) tất hàm số lại aijh , , fk đặt điểm Sh mà chúng không xác định, cách mơ tả Các hàm lưới aijh có giá trị nút (kh) = (k1 h1 , , kn hn ) với giá trị trung bình ∆−1 h ω(kh) aij (x)dx lấy ô ω(kh) điều lấy cho trường hợp hệ số số hạng tự (2.3.1) "Độ lệch" hàm số lấy (nghĩa hệ số số hạng tự do) lưới thực Ví dụ hàm số liên tục việc tính tốn đơn giản lấy giá trị chúng nút lưới Nếu chúng không liên tục ta phải lấy vài giá trị trung bình khác chúng Đồng thức (2.3.6) phải thỏa mãn tất hàm lưới ηh xác định 47 Ωh Sh bên Ωh (2.3.6) chứa số hạng độc lập, biến thiên tự điểm "ở phía trong" lưới Ωh , tức số đỉnh Ωh = Ωh \ Sh Ta biến đổi (2.3.6) công thức "tổng phần" (2.1.11) dạng: [(aijh uxi + aih uh )xi + (bih uxi + ah uh )]ηh = ∆h ∆h Ωh (fihxi + fh )ηh , (2.3.7) Ωh sử dụng ηh tùy ý điểm Ωh Điều cho ta hệ phương trình sai phân Lh uh ≡ (aijh uxi + aih uh )xi + bih uxi + ah uh = fihxi + fh , (2.3.8) thỏa mãn điểm lưới Ωh Ta phải xét (2.3.8) với điều kiện biên uh |Sh = (2.3.9) Phương trình (2.3.8), (2.3.9) (2.3.6), (2.3.9) cho ta sơ đồ sai phân mong muốn Những phương trình tạo thành hệ đại số tuyến tính chứa nhiều ẩn (các giá trị uh ) số phương trình Tính giải hệ tính ổn định sơ đồ suy từ tiên đoán giới hạn cho uh , ta thực sau: Ta đặt ηh = uh (2.3.6) tính tốn, theo (2.3.2) cách xây dựng hàm lưới aijh , điểm Ω+ , h n aijh uxj uxi + (aih − bih )uxi uh − ah u2 h u2 i ≡ v1 u2 x x ≥ v1 i=1 Do u2 ≤ Lh (uh , uh ) = ∆h x v1 ∆h Ω+ h (fih uxi + fh uh ) Ω+ h ≤ fh 2,Ω+ h ux 2,Ω+ h 48 + fh 2,Ω+ h uh |2,Ω+ , h (2.3.10)  fh 2,Ω+ h 1/2 n fih  = ∆h Ω+ h 1/2  , vh vh  = ∆h 2,Ω+ h Ω+ h i=1 Mặt khác với hàm lưới uh Sh ta có: u2 ≤ c2 ∆h h ∆h Ω+ h u2 x (2.3.11) Ω+ h Đây trường hợp sai phân tương tự bất đẳng thức Poincare-Friedrichs (2.2.19) Nếu hệ (2.3.9), (2.3.8) nhất, nghĩa vế phải (2.3.8) điểm Ωh , hiển nhiên từ (2.3.10), (2.3.11) có nghiệm uh = Nói cách khác hệ (2.3.8), (2.3.9) nhiều nghiệm Nhưng theo định lý đại số tuyến tính hệ có nghiệm uh với fih fh tùy ý bất đẳng thức (2.3.10), (2.3.11) cho uh Ta có: u2 ≤ ||fh ||2,Ω+ + c||fh ||2,Ω+ ||ux ||2,Ω+ x v1 ∆h h h h Ω+ h tức là: ||ux ||2,Ω+ ≤ h (||fh ||2,Ω+ + ||fh ||2,Ω+ ) h h v1 (2.3.12) Từ định nghĩa fh bất đẳng thức Cauchy ta có: ∆h fh = ∆h ||fh ||2,Ω+ = ∆h h ω(kh) ∈Ωh Ω+ h f dx = ≤ ω(kh) ∈Ωh ω(kh) f dx ω(kh) f dx ≤ ||f ||2 , 2,Ω (2.3.13) Ωh tương tự: n ||fh ||2 + 2,Ωh ≤ ||f ||2 2,Ω fi2 dx = (2.3.14) Ω i=1 Các bất đẳng thức (2.3.12), (2.3.11) chứng tỏ tính ổn định sơ đồ xây dựng theo chuẩn lưới, tương ứng với chuẩn lượng 49 Chúng ta có cách khác xây dựng bất đẳng thức (2.3.3) Bắt đầu từ nguyên tắc xấp xỉ đồng thức (2.3.4), xây dựng sơ đồ sai phân khác ổn định theo (2.3.11), (2.3.12) Sơ đồ khác (2.3.5) cách thay đạo hàm ∂/∂xi tỉ sai phân cách chọn hàm lưới aijh , , fh từ hàm aij , , f Ví dụ ta thay uxj ηxi (2.3.5) uxj ηxi Ta chứng minh hội tụ sơ đồ (2.3.8), (2.3.9) với hi , i = 1, , n, tiến tới 0, nghĩa ta chứng minh nội suy nghiệm uh hệ (2.3.8), (2.3.9) mô tả phần 2.2 hội tụ hàm u(x) nghiệm suy rộng (2.3.1) Chúng ta không sử dụng tồn nghiệm suy rộng u(x) (2.3.1) Thay vào ta chứng minh kết cách sử dụng nghiệm xấp xỉ uh Theo phần 2.2 (2.3.11), (2.3.12), (2.3.9) ta có nội suy uh (x) tập bị ˚1 chặn W2 (Ω) (ở ta giả thiết uh = bên Ωh ) Ta chọn dãy tùy ý uhα (x) mà hội tụ yếu L2 (Ω) với đạo hàm ˚1 ∂uhα /∂xi , i = 1, , n tới hàm u(x) ∈ W2 (Ω) đạo hàm ∂u/∂xi tương ứng Ta thấy giới hạn hàm số nghiệm suy rộng W2 (Ω) toán (2.3.1) Từ (2.3.1) điều kiện (2.3.2) có nhiều nghiệm suy rộng W2 (Ω) ˚1 Ta chứng minh tồn điểm giới hạn W2 (Ω) với tập uh (x) , hội tụ yếu L2 (Ω) uh (x) ˚1 ∂uh /∂xi u ∈ W2 (Ω) ∂u/∂xi tương ứng Theo định lý 1.1.1 chương 1, suy hàm uh (x) hội tụ mạnh L2 (Ω) tới u(x) Do vậy, ta cần hàm giới hạn u(x) dãy uhα (x) nghiệm suy rộng (2.3.1), để chứng minh điều ta sử dụng khẳng định chứng minh phần 2.2 Áp dụng Bổ đề 2.2.1, Chú ý 2.2.1 Định lý 2.2.1 cho dãy {hα }, suy hàm nội suy {uhα (x)} hội tụ mạnh tới u(x) L2 (Ω) hàm {uxi (x)} hội 50 tụ yếu tới ∂u/∂xi L2 (Ω) Do ta lấy giới hạn (2.3.5) với dãy {hα } với điều kiện ta lấy chúng ˙ giá trị ηh lưới Ωh hàm cố định η(x) tùy ý C ∞ (Ω) (bởi với hi đủ nhỏ hàm số ηh = Sh bên Ωh , hi tiến tới dạng nội suy η ηh (x) ηxi (x) hội tụ Ω đến η(x) ∂η/∂xi ) Miền lấy tích phân Ωh (2.3.5) thay miền Ω không phụ thuộc vào h, với ηh , ηxi bên Ωh Kết việc lấy giới hạn ˚1 (2.3.5) với dãy hα ta chứng minh giới hạn u ∈ W2 (Ω) thỏa mãn ˙ (2.3.4) với hàm η(x) ∈ C ∞ (Ω) mà ta lấy Vì u(x) nghiệm suy rộng (2.3.1) W2 (Ω) với η phần ˙ ˙ ˚1 tử C ∞ (Ω), C ∞ (Ω) trù mật W2 (Ω) Do ta chứng minh định lý 2.3.1 Định lý 2.3.1 [8] Hệ phương trình sai phân (2.3.8), (2.3.9) ổn định chuẩn lượng hàm nội suy uh (x) hình thành từ nghiệm uh (2.3.8), (2.3.9) hội tụ mạnh L2 (Ω) đến nghiệm suy rộng u ∈ W2 (Ω) toán (3.2.1) đạo hàm ∂uh /∂xi hội tụ yếu L2 (Ω) tới ∂u/∂xi , i = 1, , n Trong hệ số (2.3.1) hàm số đo bị chặn thỏa mãn (2.3.2) f, fi ∈ L2 (Ω) với miền Ω bị chặn 51 Kết luận Luận văn "Phương pháp sai phân giải gần tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" trình bày vấn đề sau: Nghiệm suy rộng tốn biên phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Một số khái niệm tính chất hàm lưới, nội suy hàm lưới Phương pháp sai phân tốn biên Dirichlet: tính nghiệm, ổn định sơ đồ Mặc dù cố gắng, vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp khản năng, thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong muốn nhận góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh 52 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (1995), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật [3] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất Đại học Sư phạm [4] Đặng Anh Tuấn (2007), Giáo trình lý thuyết hàm suy rộng [5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Godunov, S K Rjaben’kii, V S (1962), Introduction to the Theory of Difference Schemes, Gos Isdat Fiz Mat Lit., Moscow, tr 340 [7] Sobolev, S L (1950), Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, Izdat Leningrad Gos Univ, tr 255 [8] O.A Ladyzhenskaya (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical physics, Springer- Verlag New York Berlin 53 ... tài "Phương pháp sai phân giải gần tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" trình bày phương pháp sai phân để đưa toán biên toán đại số (hệ đại số tuyến tính) Bài tốn đại số có phương. .. pháp giải tìm nghiệm gần cho toán ban đầu phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. .. HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG