ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN PHAN THỊ THANH VÂN TÍNH THUẬN VÀ TÍNH NGHỊCH CỦA HỆ TAM PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU TRÊN ĐA TẠP TÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Hệ tam phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Hệ tam phân mũ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Hệ tam phân mũ không đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Không gian con tâm, ổn định và không ổn định . . . . . . 6 1.2 Đa tạp tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Sự tồn tại của đa tạp tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân trong không gian Banach 12 2.1 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Tính nghịch của phương trình vi phân không ôtônôm . . . . . . . 14 2.3 Tính nghịch của phương trình vi phân ôtônôm . . . . . . . . . . . 16 2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Tính thuận của phương trình vi phân trong không gian Banach . 22 3 Tính thuận và tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm 24 3.1 Tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm . . . 24 3.1.1 Xây dựng kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.2 Các kết quả phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.3 Chứng minh tính nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Tính thuận của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 i Lời nói đầu Luận văn đã trình bày được các khái niệm mới như hệ tam phân mũ đều và không đều, một số tính chất cơ bản của chúng, tập trung nghiên cứu hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm. Đối xứng thuận nghịch thời gian là một trong những đối xứng cơ bản được nghiên cứu trong khoa học tự nhiên, nó xuất hiện trong nhiều hệ vật lý, đặc biệt là cơ học cổ điển và lượng tử. Trong khuôn khổ của luận văn này tôi chỉ trình bày tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân có tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm trong không gian Banach vô hạn chiều. Luận văn được chia thành 3 chương: Chương 1: Giới thiệu sơ lược các khái niệm tam phân mũ đều, tam phân mũ không đều của phương trình vi phân, khái niệm đa tạp tâm. Chương 2: Trình bày tính thuận nghịch của phương trình vi phân trong không gian Banach vô hạn chiều. Chương 3: Trình bày tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân có tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm trong không gian Banach vô hạn chiều. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS. Lê Huy Tiễn - Giảng viên khoa Toán-Cơ-Tin học, trường ĐH Khoa học tự nhiên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học, những người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong suốt khóa học. Cuối cùng, tôi gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và đặc biệt là chồng tôi, đã luôn ở bên tôi, động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Phan Thị Thanh Vân 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ tam phân mũ 1.1.1 Hệ tam phân mũ đều Cho X là không gian Banach, xét một ánh xạ liên tục t → A(t) sao cho A(t) là toán tử tuyến tính bị chặn trên X với mỗi t ∈ R và phương trình v  = A(t)v (1.1) Nghiệm của (1.1) với v(s) = v s có thể được viết dưới dạng v(t) = T(t, s)v(s), với T (t, s) là toán tử tiến hóa liên kết. Ta có T (t, t) = Id và T (t, s)T (s, r) = T (t, r) với mọi t, s, r ∈ R, T (t, s) khả nghịch và T(t, s) −1 = T (s, t) với mọi t, s ∈ R. Giả sử A(t) có dạng chéo khối tương ứng với các thành phần hợp thành E, F 1 , F 2 (X = E ⊕F 1 ⊕ F 2 ), với E, F 1 , F 2 tương ứng là các không gian con tâm, ổn định và không ổn định. Khi đó nghiệm của (1.1) có thể được viết dưới dạng v(t) = (U(t, s), V 1 (t, s), V 2 (t, s))v(s) trong đó U(t, s), V 1 (t, s) và V 2 (t, s) là các toán tử tiến hóa liên kết tương ứng với ba khối của A(t), T (t, s) = (U(t, s), V 1 (t, s), V 2 (t, s)). Định nghĩa 1.1. Ta nói phương trình (1.1) có tam phân mũ đều nếu tồn tại các hằng số b > a ≥ 0, d > c ≥ 0, và D > 0 sao cho 2 1. Với mọi s, t ∈ R, t ≥ s, ||U(t, s)|| ≤ De a(t−s) , ||V 2 (t, s) −1 || ≤ De −b(t−s) , 2. Với mọi s, t ∈ R, t ≤ s ||U(t, s)|| ≤ De c(s−t) , ||V 1 (t, s) −1 || ≤ De −d(s−t) . 1.1.2 Hệ tam phân mũ không đều Hệ tam phân mũ không đều là một trường hợp mở rộng của hệ tam phân mũ đều, chúng ta tìm hiểu sự giống và khác nhau căn bản giữa chúng. Giả sử X là không gian Banach, và A : R → B(X) là một hàm liên tục, trong đó B(X) là tập hợp các toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Xét bài toán giá trị ban đầu v  = A(t)v, v(s) = v s , (1.2) với s ∈ R và v s ∈ X. Giả thiết rằng tất cả các nghiệm của (1.2) là toàn cục. Ta viết nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu trong (1.2) dưới dạng v(t) = T (t, s)v(s), ở đó T(t, s) là toán tử tiến hóa liên kết. Xét các hằng số 0 ≤ a < b, 0 ≤ c < d, (1.3) a  , b  , c  d  ≥ 0 (1.4) Định nghĩa 1.2. Ta nói rằng phương trình tuyến tính v  = A(t)v có một tam phân mũ không đều nếu tồn tại các hàm P, Q 1 , Q 2 : R → B(X) sao cho P(t), Q 1 (t) và Q 2 (t) là các phép chiếu với P (t) + Q 1 (t) + Q 2 (t) = Id, P (t)T (t, s) = T(t, s)P (s), Q i (t)T (t, s) = T (t, s)Q i (s), i = 1, 2 với mọi t, s ∈ R, và tồn tại các hằng số như trong (1.3)-(1.4) và D i > 0, 1 ≤ i ≤ 4 sao cho 1. Với mọi t, s ∈ R, t ≥ s, ||T (t, s)P (s)|| ≤ D 1 e a(t−s)+a  |s| , ||T(t, s) −1 Q 2 (t)|| ≤ D 3 e −b(t−s)+b  |t| ; (1.5) 3 2. Với mọi t, s ∈ R, t ≤ s, ||T (t, s)P (s)|| ≤ D 2 e c(s−t)+c  |s| , ||T(t, s) −1 Q 1 (t)|| ≤ D 4 e −d(s−t)+d  |t| . (1.6) Các hằng số trong a, b, c, d được coi như các số mũ Lyapunov, trong khi tính không đều của dáng điệu mũ được quyết định bởi các hằng số trong a  , b  , c  , d  . Khi ba thành phần của nghiệm tương ứng với các thành phần tâm, ổn định và không ổn định của A(t) ta có thể lấy a = c = 0 (do đó b > 0 và d > 0). Nhận xét 1.1. So sánh hai định nghĩa về tam phân mũ đều và tam phân mũ không đều ta thấy hệ tam phân mũ không đều có thêm một lượng mũ a  |s|, b  |t|, c  |s|, d  |t|. Khi a  = b  = c  = d  = 0 thì khái niệm tam phân mũ không đều trùng với khái niệm tam phân mũ đều. Ví dụ 1.1. Cho ω > ε > 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R 3 x  = 0, y  = (−ω −εt sin t)y, z  = (ω + εt sin t)z. (1.7) Hệ phương trình vi phân (1.7) có tam phân mũ không đều. Chứng minh. Ta thấy nghiệm của hệ (1.7) được viết dưới dạng x(t) = U(t, s)x(s), y(t) = V 1 (t, s)y(s), z(t) = V 2 (t, s)z(s), trong đó U(t, s) = 1, V 1 (t, s) = e −ωt+ωs+εt cos t−εs cos s−ε sin t+ε sin s , V 2 (t, s) = e ωt−ωs−εt cos t+εs cos s+ε sin t−ε sin s . Toán tử tiến hóa T (t, s) của hệ (1.7) được cho bởi T (t, s)(x, y, z) = (U(t, s)x, V 1 (t, s)y, V 2 (t, s)z). Giả sử P(t), Q 1 (t), Q 2 (t) : R 3 → R 3 là các phép chiếu được xác định bởi P (t)(x, y, z) = x, Q 1 (t)(x, y, z) = y, Q 2 (t)(x, y, z) = z Rõ ràng các phép chiếu này thỏa mãn các điều kiện về phép chiếu trong định nghĩa của hệ tam phân mũ không đều. Chọn b = d = ω − ε, b  = d  = 2ε 4 và các hằng số a, a  , c, c  > 0, a < ω − ε, c < ω − ε. Ta chỉ ra rằng tồn tại D 1 = D 2 = D 3 = D 4 = D > 1 sao cho ||U(t, s)|| ≤ De a(t−s)+a  |s| , ||V 2 (t, s) −1 || ≤ De −(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s ||U(t, s)|| ≤ De c(s−t)+c  |s| , ||V 1 (t, s) −1 || ≤ De −(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s Vì ||U(t, s)|| = 1 nên ta có ||U(t, s)|| ≤ De a(t−s)+a  |s| với t ≥ s ||U(t, s)|| ≤ De c(s−t)+c  |s| với t ≤ s với mọi a, a  , c, c  > 0, a < ω −ε, c < ω − ε; D > 1. Ta chứng minh ||V 1 (t, s) −1 || ≤ De −(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s (1.8) và ||V 2 (t, s) −1 || ≤ De −(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s (1.9) Ta viết lại V 1 (t, s) như sau: V 1 (t, s) = e (−ω+ε)(t−s)+εt(cos t−1)−εs(cos s−1)+ε(sin s−sin t) , suy ra V 1 (s, t) = e (−ω+ε)(s−t)−εt(cos t−1)+εs(cos s−1)−ε(sin s−sin t) . (1.10) Với 0 ≤ t ≤ s, từ (1.10) ta có V 1 (s, t) ≤ e 2ε e −(ω−ε)(s−t)+2εt , với t ≤ 0 ≤ s ta có V 1 (s, t) ≤ e 2ε e −(ω−ε)(s−t) , với t ≤ s ≤ 0 ta có V 1 (s, t) ≤ e 2ε e −(ω−ε)(s−t)+2ε|s| ≤ e 2ε e −(ω−ε)(t−s)+2ε|t| mà V 1 (s, t) = V 1 (t, s) −1 suy ra V 1 (t, s) −1 ≤ e 2ε e −(ω−ε)(t−s)+2ε|t| . Điều này cho ta (1.8). Để thu được (1.9) ta chứng minh tương tự. Từ V 2 (s, t) = e (−ω+ε)(t−s)−εs(cos s−1)+εt(cos t−1)+ε(sin s−sin t) ta có V 2 (t, s) −1 ≤ e −(ω−ε)(t−s)+2ε|t| Từ việc thỏa mãn (1.9) và (1.8) ta có hệ (1.7) có một tam phân mũ không đều. 5 1.1.3 Không gian con tâm, ổn định và không ổn định Giả sử rằng phương trình v  = A(t)v có một tam phân mũ không đều. Ta xét ba không gian con tuyến tính E(t) = P(t)X, F i (t) = Q i (t)X, i = 1, 2 với mỗi t ∈ R. Ta gọi E(t), F 1 (t) và F 2 (t) tương ứng là không gian con tâm, ổn định và không ổn định tại thời điểm t. Ta có: X = E(t) ⊕F 1 (t) ⊕F 2 (t) với mọi t ∈ R và dim E(t), dim F 1 (t), dim F 2 (t) không phụ thuộc vào thời điểm t. Nghiệm của (1.2) có thể được viết dưới dạng v(t) = (U(t, s)ξ, V 1 (t, s)η 1 , V 2 (t, s)η 2 ) với t ∈ R (1.11) với v s = (ξ, η 1 , η 2 ) ∈ E(s) × F 1 (s) ×F 2 (s), trong đó U(t, s) := T(t, s)P (s) = T(t, s)P (s) 2 = P(t)T (t, s)P (s) V i (t, s) := T (t, s)Q i (s) = T (t, s)Q i (s) 2 = Q i (t)T (t, s)Q i (s), i = 1, 2. Trong trường hợp đặc biệt, nếu không gian con tâm, ổn định và không ổn định không phụ thuộc vào t, tức là E(t) = E, F i (t) = F i , i = 1, 2 với mọi t, thì toán tử T (t, s) phải có dạng tương ứng với tổng trực tiếp E ⊕ F 1 ⊕ F 2 , hay T (t, s) có thể được biểu diễn dưới dạng T (t, s) =      U(t, s) 0 0 0 V 1 (t, s) 0 0 0 V 2 (t, s)      Ngoài ra, các toán tử U(t, s) : E(s) → E(t) và V i (t, s) = F i (s) → F i (t), i = 1, 2 là khả nghịch. Kí hiệu toán tử nghịch đảo tương ứng là U(t, s) −1 và V i (t, s) −1 , i = 1, 2 ta có: U(t, s) −1 = U(s, t) và V i (t, s) −1 = V i (s, t) với mọi t, s ∈ R. Chú ý rằng các bất đẳng thức ở (1.5)-(1.6) có thể viết lại thành: ||U(t, s)|| ≤ De a(t−s)+a  |s| , ||V 2 (t, s) −1 || ≤ De −b(t−s)+b  |t| 6 ||U(t, s)|| ≤ De c(s−t)+c  |s| , ||V 1 (t, s) −1 || ≤ De −d(s−t)+d  |t| . Tiếp theo ta định nghĩa góc giữa hai không gian con F 1 và F 2 , E và F 1 , E và F 2 tương ứng như sau α(t) = inf{||y − z|| : y ∈ F 1 (t); z ∈ F 2 (t); ||y|| = ||z|| = 1} (1.12) β 1 (t) = inf{||x −y|| : x ∈ E(t); y ∈ F 1 (t); ||x|| = ||y|| = 1} β 2 (t) = inf{||x −z|| : x ∈ E(t); z ∈ F 2 (t); ||x|| = ||z|| = 1} Mệnh đề 1.1. Với mọi t ∈ R ta có: 1 ||Q 1 (t)|| ≤ α(t) ≤ 2 ||Q 1 (t)|| , 1 ||Q 2 (t)|| ≤ α(t) ≤ 2 ||Q 2 (t)|| , 1 ||P (t)|| ≤ β 1 (t) ≤ 2 ||P (t)|| , 1 ||Q 1 (t)|| ≤ β 1 (t) ≤ 2 ||Q 1 (t)|| , 1 ||P (t)|| ≤ β 2 (t) ≤ 2 ||P (t)|| , 1 ||Q 2 (t)|| ≤ β 2 (t) ≤ 2 ||Q 2 (t)|| . Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp của góc giữa không gian con ổn định và không ổn định α(t). Các bất đẳng thức khác được chứng minh tương tự. Chú ý rằng Q 1 (t)(y − z) = y với y, z được cho bởi (1.12). Do đó, 1 = ||Q 1 (t)(y − z)|| ≤ ||Q 1 (t)||.||y − z||, suy ra 1 ||Q 1 (t)|| ≤ α(t). Tiếp theo ta chứng minh α(t) ≤ 2 ||Q 1 (t)|| . Thật vậy, với mỗi v, ω ∈ X mà ¯v = Q 1 (t)v = 0 và ¯ω = Q 2 (t)ω = 0 thì         ¯v ||v|| − ¯ω ||ω||         =   |(¯v − ¯ω)||ω|| + ¯ω(||¯ω|| −||¯v||)   | ||¯v||||¯ω|| ≤ 2||¯v − ¯ω|| ||¯v|| . Chú ý rằng Q 1 (t)(¯v − ¯ω) = ¯v. Cho trước ε ≥ 0 ta có thể chọn v và ω sao cho với z = ¯v − ¯ω ta có: ||z|| ||Q 1 (t)z|| ≤ 1 ||Q 1 (t)|| + ε. Suy ra         ¯v ||v|| − ¯ω ||ω||         ≤ 2||z|| ||Q 1 (t)z|| ≤ 2 ||Q 1 (t)|| + 2ε. Vì ε lấy tùy ý nên ta suy ra được chặn trên của α(t). 7 Như vậy ta đã tìm hiểu được định nghĩa của hệ tam phân mũ không đều, phân biệt nó với hệ tam phân mũ đều. Ngoài ra, ta còn nghiên cứu không gian con tâm, ổn định và không ổn định của hệ tam phân mũ không đều, Mệnh đề 1.1 cho ta biết rằng, tính bị chặn đều của các phép chiếu tương đương với điều kiện các góc giữa các không gian con tâm, ổn định và không ổn định tách khỏi 0. 1.2 Đa tạp tâm 1.2.1 Các khái niệm cơ bản Sự tồn tại của hệ tam phân mũ không đều là giả thiết yếu nhất để thiết lập sự tồn tại của đa tạp tâm, chính xác hơn là các đa tạp "trung gian". Ta đưa ra một vài giả thiết trên trường vectơ. Đặt β = max{(k + 1)a  + b  , (k + 1)c  + d  } (1.13) Ký hiệu ∂ là đạo hàm riêng ứng với biến thứ hai, giả thiết rằng tồn tại một số nguyên k ≥ 1 sao cho G1. A : R → B(X) thuộc lớp C k và thỏa mãn điều kiện nghiệm của (1.2) xác định với mọi t ∈ R. G2. f : R × X → X thuộc lớp C k và thỏa mãn 1. f(t, 0) = 0 và ∂f(t, 0) = 0 với mọi t ∈ R; 2. tồn tại δ > 0 và c j > 0 với j = 1, , k + 1 sao cho với mọi t ∈ R và u, v ∈ X ta có ||∂ j f(t, u)|| ≤ c j δe −β|t| với j = 1, , k, (1.14) ||∂ k f(t, u) − ∂ k f(t, v)|| ≤ c k+1 δe −β|t| ||u −v||. (1.15) Chú ý rằng với mọi j = 0, , k −1, t ∈ R, và u, v ∈ X ta có ||∂ j f(t, u) − ∂ j f(t, v)|| ≤ c j+1 δe −β|t| ||u −v||. (1.16) Xét các không gian con E(t) = P(t)X, F 1 (t) = Q 1 (t)X, F 2 (t) = Q 2 (t)X. (1.17) 8 [...]... chỉ ra rằng điều này xảy ra khi và chỉ khi ϕt ◦ S = S ◦ ϕt với mọi t ∈ R Tương tự trong trường hợp xét tính nghịch, nếu trong (2.25) hàm L (t, v ) không phụ thuộc vào t thì đặt St = S với mọi t ∈ R, đẳng thức (2.25) trở thành (2.26) 23 Chương 3 Tính thuận và tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm 3.1 Tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm 3.1.1 Xây dựng kết quả chính... hệ đối xứng đảo ngược đều có tính nghịch đảo được, nhưng không phải tất cả các hệ có tính nghịch đảo được đều là đảo ngược đối xứng 2.2 Tính nghịch của phương trình vi phân không ôtônôm Cho X là không gian Banach Xét một hàm liên tục L : R × X → X sao cho v = L (t, v ) là duy nhất và ánh xạ khả vi S : R × X → X Định nghĩa 2.2 Ta nói rằng phương trình v = L (t, v ) có tính nghịch đối với ánh xạ S nếu:... L như ở trong (2.19) thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.1 và 3.1 Đặc biệt, điều này cho phép chúng ta kết luận rằng phương trình v = L (t, v ) có một đa tạp tâm khả ngược toàn cục trên C k , điều kiện là ω > (k + 2) ε 2.5 Tính thuận của phương trình vi phân trong không gian Banach Trong mục này ta giới thiệu về khái niệm tính thuận của phương trình vi phân Cách tiếp cận tương tự như trong Mục 2.2... phân mũ không đều trên đa tạp tâm 3.1.1 Xây dựng kết quả chính Ta trình bày kết quả chính về tính nghịch trên đa tạp tâm, chỉ ra rằng tính nghịch của một phương trình vi phân đối với một ánh xạ S với St tuyến tính cho mỗi t ∈ R thường bắt nguồn từ đa tạp tâm Giả sử trong phần này rằng đối với một số c > 0 và θ ≥ 0 ta có 1 C −1 e−θ|t| ≤ St ≤ St ≤ Ceθ|t| , t ∈ R (3.1) Kí hiệu Vs = {v ∈ X : (s, v ) ∈... Mệnh đề 2.1, và thực tế là trong trường hợp ôtônôm Φ (t, τ ) = ϕt−τ với mọi τ ∈ R Mệnh đề 2.3 Phương trình v = L (v ) có tính nghịch đối với ánh xạ T khi và chỉ khi ϕt ◦ T = T ◦ ϕ−t với mọi t ∈ R Kết quả sau đây chỉ ra rằng khái niệm của tính nghịch trong Mục 2.2 là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tính nghịch của phương trình vi phân ôtônôm Mệnh đề 2.4 Phương trình v = L (t, v ) có tính nghịch đối... Chương 2 Tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân trong không gian Banach 2.1 Hệ đối xứng Đối xứng đảo ngược thời gian là một trong những đối xứng cơ bản được nghiên cứu trong khoa học tự nhiên Do đó nó xuất hiện trong nhiều hệ vật lý, đặc biệt là cơ học cổ điển và lượng tử Ở đây ta xét các phương trình vi phân thường Trong mục này ta trình bày định nghĩa toán học chính xác hơn của hệ đối xứng... có tính thuận đối với ánh xạ T : R × X → R × X xác định bởi T (t, v ) = (t, S (t, v )) Mệnh đề chỉ ra rằng khái niệm tính thuận của phương trình không ôtônôm ở trên là một sự tổng quát hóa tự nhiên của khái niệm về tính thuận trong trường hợp hệ ôtônôm Thật vậy, cho L : X → X là hàm liên tục mà phương trình v = L (v ) xác định một dòng (ϕt )t∈R trong X Phương trình v = L (v ) được gọi là có tính thuận. .. vs ∈ X 1.2.2 Sự tồn tại của đa tạp tâm Trong mục này ta giới thiệu sơ lược về định lý đa tạp tâm cho điểm gốc của phương trình v = A(t)v + f (t, v ) Đa tạp tâm thu được có dạng như một đồ thị Kí hiệu ∂ là đạo hàm riêng tương ứng với biến thứ hai Giả sử X là không gian các hàm liên tục ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) : {(s, ξ ) ∈ R × X : ξ ∈ E (s)} −→ X thuộc lớp C k sao cho với mọi s ∈ R và x, y ∈ E (s) ta có 1 ϕ(s,... (t) |t=0 = v (0) Áp dụng định lý về tính duy nhất của nghiệm ta có (S−t ◦ St ) v (t) = v (t) với mọi t ∈ R Suy ra S−t ◦ St = Id với mọi t ∈ R 2.3 Tính nghịch của phương trình vi phân ôtônôm Ở đây ta chỉ ra rằng khái niệm về tính nghịch trong Mục 2.2 là một mở rộng tự nhiên của khái niệm về tính nghịch trong trường hợp hệ ôtônôm Cho L : X → X là hàm liên tục trong không gian Banach X , như vậy phương... E (s), τ ∈ R, và j = 0, , k , nếu τ ≥ 0 thì j j ¯ ||∂ξ (Ψτ (ps,ξ )) − ∂ξ (Ψτ (ps,ξ ))|| ≤ De(j+1)[(a+α1 )τ +a |s|] ||ξ − ξ||, ¯ (1.27) và nếu τ ≤ 0 thì j j ¯ ||∂ξ (Ψτ (ps,ξ )) − ∂ξ (Ψτ (ps,ξ ))|| ≤ De(j+1)[(c+α2 )τ +c |s|] ||ξ − ξ|| ¯ (1.28) Ta gọi đa tạp V trong (1.23) là đa tạp tâm cho điểm gốc của phương trình (1.19) Ta thấy rằng V là đa tạp tâm duy nhất Chú ý rằng các hằng số α1 và α2 trong (1.27)-(1.28) . 18 2.5 Tính thuận của phương trình vi phân trong không gian Banach . 22 3 Tính thuận và tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm 24 3.1 Tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên. các khái niệm mới như hệ tam phân mũ đều và không đều, một số tính chất cơ bản của chúng, tập trung nghiên cứu hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm. Đối xứng thuận nghịch thời gian là một trong. De −d(s−t) . 1.1.2 Hệ tam phân mũ không đều Hệ tam phân mũ không đều là một trường hợp mở rộng của hệ tam phân mũ đều, chúng ta tìm hiểu sự giống và khác nhau căn bản giữa chúng. Giả sử X là không gian