Bài tập Giải tích số (Có lời giải)

30 1.2K 15
Bài tập Giải tích số (Có lời giải)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Rất nhiều bài tập môn Giải tích số kèm theo Lời giải chi tiết. Chương 1: Nội suy và xấp xỉ hàm số Chương 2 Tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến Chương 3 Các phương pháp trong đại số tuyến tính Chương 4: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

f(x) = 2 x x k T 4 (x) x k = cos π + k2π 2n , n = 4, k = 0, 1, 2, 3. x 1 = cos Π 8 ≈ 0, 924 → f (x 1 ) = 1, 897 x 2 = cos 3Π 8 ≈ 0, 383 → f (x 2 ) = 1, 304 x 3 = cos 5π 8 ≈ −0, 383 → f (x 3 ) = 0, 767 x 4 = cos 7π 8 ≈ −0, 924 → f (x 4 ) = 0, 527 P 3 (x) = 3  i=0 f(x i )P i (x) = 1, 897 (x −0, 383)(x + 0, 383)(x + 0.924) (0, 924 − 0, 383)(0, 924 + 0, 383)(0, 924 + 0, 924) + 1, 304 (x −0.924)(x + 0, 383)(x + 0, 924) (0, 383 − 0.924)(0, 383 + 0, 383)(0, 383 + 0, 924) + 0.767 (x −0.924)(x −0, 383)(x + 0.924) (−0, 383 − 0.924)(−0, 383 − 0, 383)(−0, 383 + 0, 924) + 0, 527 (x −0.924)(x −0, 383)(x + 0, 383) (−0, 924 − 0, 924)(−0, 924 − 0, 383)(−0, 924 + 0, 383) = 0, 86x 3 + 0, 25x 2 + 0, 58x − 1, 1 f(x) ξ f(x) = cos x [0, π 2 ], ξ = π 12 f(x) = x cos x [0, π 2 ], ξ = π 6 {0, π 4 , π 2 } π 4 π 2 √ (2) 2 P 2 (x) = (x − π 2 )(x − π 4 ) π 4 × π 2 − √ 2 2 × (x − π 2 )x π 4 × π 4 = −0, 3357x 2 − 0, 1092x + 1 ⇒ P 2 ( π 12 ) = 8(1 − √ 2) π 2 12 2 + 2(2 √ 2 −3) π 2 12 + π 2 π 2 = 40 √ 2 + 80 12 2 = 0, 948 f(x) = cos x P 2 (x) = −0, 3357x 2 − 0, 1092x + 1 π 12 | P 2 ( π 12 ) −f( π 12 ) |≤ M 3 3! | ω 3 ( Π 12 ) | M 3 = max [0, Π 2 ] | y (3) (x) |= max [0, Π 2 ] | sin x |= 1 ω 3 ( Π 12 ) =| ( Π 12 − 0)( Π 12 − Π 4 )( Π 12 − Π 2 ) | ⇒| P 2 ( π 12 ) −f( π 12 ) |≤ 0, 0299 cos ( Π 12 ) = 0, 9484 ± 0, 0299 0, π 4 , π 2 π 4 π 2 √ (2) 8 π P 2 (x) = − √ 2 8 × (x − π 2 )x π 4 × π 4 = − 2 √ 2 π x 2 + √ 2x ⇒ P 2 ( π 6 ) = √ 2 9 π = 0, 4936 π 6 | P 2 ( π 6 ) − f ( π 6 ) |≤ M 3 3! | ω 3 ( Π 6 ) |≤ 0, 0718 f(x) = x cos x P 2 (x) = − 2 √ 2 π x 2 + √ 2x S n = 1 + 2 3 + 3 3 + + n 3 S n = S n+1 − S n = (n + 1) 3  2 S n = S n+1 − S n = (n + 2) 3 − (n + 1) 3 = 3n 2 + 9n + 7  3 S n =  2 S n+1 −  2 S n = 6n + 12  4 S n =  3 S n+1 −  3 S n = 6 = const S n S n S n  2 S n  3 S n  4 S n x 0 = 1 ⇒ S n = 1 + 8(n −1) + 19 2 (n − 1)(n −2) + 18 3! (n − 1)(n −2)(n −3) + 6 3! (n − 1)(n −2)(n −3)(n −4) = n 4 + 2n 3 + n 2 4 = n 2 (n + 1) 2 4 S n = n 2 (n+1) 2 4 A = x 2 +6x+1 (x+1)(x−1)(x−4)(x−6) B = 3x 2 +x+1 (x−1)(x−2)(x−3) f(x) = x 2 + 6x + 1 −1, 1, 4, 6 −1 −4 x 0 = −1 f(x) = −4 + 6(x + 1) + (x − 1)(x + 1) ⇒ A = 4 (x+1)(x−1)(x−4)(x−6) + 6 (x−1)(x−4)(x−6) + 1 (x−4)(x−6) A = 4 (x + 1)(x −1)(x −4)(x −6) + 6 (x − 1)(x −4)(x −6) + 1 (x − 4)(x −6) g(x) = x 2 + 6x + 1 1, 2, 3 f(x)  2 f(x) x 0 = 1 g(x) = 5 + 10(x − 1) + 6 2! (x − 1)(x −2) = 5 + 10(x −1) + 3(x −1)(x −2) ⇒ B = 5 (x−1)(x−2)(x−3) + 10 (x−2)(x−3) + 3 (x−3) B = 5 (x − 1)(x −2)(x −3) + 10 (x − 2)(x −3) + 3 (x − 3) f(x) = 0 f(x) = 0 f(x) = x 4 − 3x − 20 g(x) = x 3 − 2x − 5 (x > 0) k(x) = x + ln x − 2 h(x) = x 2 − sin πx f(2) = −10 f(3) = 3 4 − 3 = 52 f(2)f(3) < 0 f  (x) = 4x 3 − 3 > 0 ∀x ∈ (2, 3) x = x + λf (x) = ϕ(x) M = max [2,3] f  (x) = 105 m = min [2,3] f  (x) = 29 q = 1 − m M = 76 105 λ = −1 M = −1 105 ⇒ ϕ(x) = x − x 4 − 3x − 20 105 = − x 4 105 + 36x 35 + 4 21 ϕ  (x) | ϕ  (x) | =| −4x 3 105 + 36x 35 |≤ 1 ϕ(x) ∈ [2, 3] ∀x ∈ [2, 3] ⇒ ϕ(x) = − x 4 105 + 36x 35 + 4 21 x ∗ x 0 = 2, 2 x n = − 1 105 x 4 n−1 + 36 35 x n−1 + 4 21 | x n − x ∗ |= q 1−q | x n − x n−1 |= 76 29 | x n − x n−1 | x n | x n − x n−1 | 2, 2 0, 0097 ≤ 0, 01 | x n − x ∗ |≤ q n 1 − q | x 1 − x 0 |≤ 0, 01 ⇒ ( 76 105 ) n 29 105 | 2.23 −2.2 |< 0, 01 ⇒ n > 7, 34 x ∗ = 2, 27 ± 0, 0097 g(2) = −1 g(3) = 16 f(2)f(3) < 0 x = x + λg(x) = ϕ(x) g  (x) = 3x 2 − 2 > 0 ∀x ∈ [2, 3] M = max [2,3] g  (x) = 25 m = min [2,3] g  (x) = 10 λ = − 1 25 q = 1 − m M = 1 − 10 25 = 3 5 ⇒ ϕ(x) = x − 1 25 (x 3 − 2x − 5) = − 1 25 x 3 + 27 25 x + 1 5 ϕ  (x) = − 3 25 x 2 + 27 25 | ϕ(x) |< 1 ∀x ∈ [2, 3] ϕ(x) ∈ [2, 3] ∀x ∈ [2, 3] x ∗ | x n − x ∗ |≤ q 1−q | x n − x n−1 |= 1.5 | x n − x n−1 | x 0 = 2 x n = − 1 25 (x n−1 ) 3 + 27 25 x n−1 + 1 5 x n | x n − x ∗ | 2 2, 04 0, 0266 2, 0636 0, 035 2, 077 0, 02 2, 0848 0, 0116 2, 089 0, 0065 < 0, 01 | x n − x ∗ | ≤ q n 1 − q | x 1 − x 0 |< 0, 01 ⇔ (0, 6) n < 0, 1 ⇒ n > 5 x ∗ = 2, 089 ±0, 0065 k(1) = −1 k(2) > 0 f(1)f(2) < 0 (1, 2) k  (x) = 1 + 1 x x = x + λk(x) = ϕ(x) M = max [1,2] k  (x) = max [1,2] (1 + 1 x ) = 2 m = min [1,2] k  (x) = 3 2 q = 1 − m M = 1 − 3 4 = 1 4 λ = −1 M = −1 2 ⇒ ϕ(x) = x − x + ln x − 2 2 = x − ln 2 + 2 2 ⇒ ϕ  (x) = 1 2 − 1 2x ϕ  (x) | ϕ  (x) |≤ 1 ∀x ∈ [1, 2]ϕ(x) ∈ [ 1 2 , 1] ∀x ∈ [1, 2] x ∗ x 0 = 1, 6 x n = x n−1 − ln x n−1 + 2 2 | x n − x ∗ |= q 1 − q | x n − x n−1 |= 1 3 | x n − x n−1 | x n 1 3 | x n − x n−1 | 1, 6 2.10 −3 < 10 −2 x ∗ = 1, 559 ± 2.10 −3 h( 1 2 ) = − 3 4 h( 3 2 ) = 1 f( 1 2 )f( 3 2 ) < 0 ( 1 2 , 3 2 ) h  (x) = 2x − π cos πx x = x + λh(x) = ϕ(x) M = max [ 1 2 , 3 2 ] h  (x) = 2 + π ≈ 5, 14 m = min [ 1 2 , 3 2 ] h  (x) = 1 q = 1 − m M = 1 + π 2 + π λ = −1 M = −1 5, 14 ⇒ ϕ(x) = x − x 2 − sin πx 5, 14 = −x 2 + sin πx + 5, 14x 5, 14 ⇒ ϕ  (x) = −2x + π cos πx + 5, 14 5, 14 ϕ  (x) | ϕ  (x) | =|≤ 1 ∀x ∈ [ 1 2 , 3 2 ] ϕ(x) ∈ [ 1 2 , 3 2 ] ∀x ∈ [ 1 2 , 3 2 ] x ∗ x 0 = 0, 8 x n = −x 2 n−1 +sin πx n−1 +5,14x n−1 5,14 | x n − x ∗ |= q 1−q | x n − x n−1 |= 4, 14 | x n − x n−1 | x n 4, 14 | x n − x n−1 | 0, 8 8, 69.10 −3 < 10 −2 [...]... xỉ của hệ phương trình là :(-1,00138, 0 , 1,001687) với sai số là 8, 3.103 và số lần lặp thực tế là 9 lần Tính số lần lặp ước lượng, ta sử dụng công thức đánh giá sai số tiền nghiệm : x(n) x qn 1q n 15 Vậy số lần lặp ước lượng 15 lần 19 x1 x 0 102 Bài 4: Tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp khử Gauss - Seidel với sai số là 0,001 Bài giải a) 5 0 1 1 3 -3 -3 2 11 10 A= b = 4 6 1 2... (1) f (1, 05) f (1, 1) f (1, 15) f (x0 ) f (1) f (1, 05) f (1, 1) Bài 2: Dùng các hình cn trung tâm, hình thang, Simson để tính gần đúng tích phân với số đoạn n = 5, n = 10 và đánh giá sai số so sánh đánh giá sai số với sai số thực sự 1 a)A = 0 dx 1+x 1 x b)B = x.e dx cos3 xdx c)C = 0 0 Bài giải a) Đầu tiên ta sẽ tính tích phân bằng cách tính thông thường : 1 1+x A= 1 dx 0 1+x = ln(x + 1) |1... 103 2 2 1,167 0,583 Vậy nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình là :(-1 , 0 , 1 ) với sai số là lần lặp thực tế là 7 lần Bài 5: Cho hệ phương trình Ax=b với 2 0 -1 A = -1 3 1 1 -1 4 b = -3 2 3 a) Tìm nghiệm của phương trình bằng phương pháp khử Gauss; b) Giải hệ bằng phương pháp Choleski Bài giải 21 5.104 và số a) Xét ma trận mở rộng sau : 2 -1 0 -1 -1 2 -1 5 0 -1 2 3 -1 2 -1 5... = (1 1, 1, 0) Bài 2+3: Kiểm tra điều kiện để có thể áp dụng phương pháp lặp Jacobi cho mỗi hệ trên trong trường hợp có thể áp dụng hãy xác định số lần lặp n để đạt đươc nghiệm gần đúng x( n) với sai số đúng của hệ, nếu chọn xấp xỉ ban đầu x(n) x < 102 , trong đó x là nghiệm x = (0, 0, 0)T Dùng đánh giá hậu nghiệm đối với phương pháp Jacobi , tìm nghiệm gần đúng với sai số 0,01 Bài giải a) 0 1 1... sai số ước lượng hcn là: | E | M2 (b a)h2 = 3, 34.103 24 Sai số thực sự hcn là | ln 2 0, 6919 |= 1, 247.103 Phương pháp hình thang n1 IHT = h( hi + i=0 y0 + yn ) = 0, 6956 2 Sai số ước lượng hình thang là : | E | Sai số thực sự hình thang là M2 (b a)h2 = 6, 67.103 12 | ln 2 0, 6956 |= 2, 4528.103 Phương pháp Simpson 2 1 IS = ICN + IHT = 0, 6931333 3 3 27 Sai số ước lượng Simpson là : | E | Sai số. .. phương trình có nghiệm xấp xỉ duy nhất là x với đánh giá sai số: = | xn x | Chọn q 20 | xn xn1 |= | xn xn1 | 1q 7 x0 = 1, lập bảng tính toán: 20 7 | xn xn1 | n 0 1 1 17 18 0,1587 2 0,9404 0,0115 3 0,9398 4, 28.103 4 Kết luận: xn 0,9397 2, 589.104 cos 200 0, 9397 2, 589.104 15 Chương 3 Các phương pháp số trong đại số tuyến tính Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss: a) 0... x3 = 0 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = (1, 3, 0) 22 -1 2 -1 5 0 -1 2 -3 0 0 4 0 Chương 4 Tính gần đúng đạo hàm và tích phân Bài 1: Tính gần đúng đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của các hàm số tại các điểm với giá trị cho trong bảng sau: a) y = ex Ta sẽ giải bài toán bằng cách nội suy đa thức Newton tiến trên lưới đều với khoảng cách h = 0, 05 x y 1 2 y y 3 y 4 2,7183 0,1394 1,05 7, 1.103... i=0 Suy ra sai số ước lượng hcn là: | E | M2 (b a)h2 = 1, 226.103 24 28 Sai số thực sự hcn là | 0, 735759 0, 6919 |= 1, 66.103 Phương pháp hình thang n1 IHT = h( hi + i=0 y0 + yn ) = 0, 260914 2 Sai số ước lượng hình thang là | E | Sai số thực sự hình thang là M2 (b a)h2 = 2, 4525.103 12 | 0, 735759 0, 260914 |= 3, 32.103 Phương pháp Simpson 1 2 IS = ICN + IHT = 0, 264238 3 3 Sai số ước lượng Simpson... thức đánh giá sai số x(n) x q 1q (n) x(n) x(n1) (n) (n) = 2 x(n) x(n1) 2 x(n) x(n1) n x1 x2 x3 0 0 0 0 1 2,2 1,33333 0,6 4,4 2 2,08 0,8 0,993 1,067 3 2,0014 0,971 1,064 0,342 4 1,9872 1,02087 1,0062 0,1156 5 1,99876 1,0063 0,99199 0,029 6 2,0016 0,9977 0,99837 0,017 7 2 0,9989 1 5, 14.103 < 102 Vậy nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình là :(2, 0,9989 , 1) với sai số là 5, 14.103 và số lần lặp thực... 5, 14.103 < 102 Vậy nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình là :(2, 0,9989 , 1) với sai số là 5, 14.103 và số lần lặp thực tế là 7 lần Tính số lần lặp ước lượng, sử dụng công thức đánh giá sai số tiền nghiệm : x(n) x qn 1q x1 x 0 2 ( )n ì 3 ì 2, 2 102 3 n 16 Suy ra số lần lặp ước lượng 16 lần b) 2 0 -1 A = -1 3 1 1 -1 4 18 b = -3 2 3 102 1 2 1 2 q = max( , , ) = < 1 2 3 2 3 Suy ra

Ngày đăng: 03/01/2015, 17:28

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan