Tuyển tập toán hay Mặt phẳng tọa độ tọa độ khơng gian BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) : x − y − =  cho giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S) : 2x − z − = x + y + z + 2x − 2y + 2z − = đường tròn có bán kính r = Câu 2: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt bên hình vuông cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' GIẢI Câu 1: Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = ⇔ (P) : (m + 2n)x − my − nz − 2m − 6n = ° ° Maët cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = (P) cắt (S) theo đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = ⇔ d(I; P) = R − r = ⇔ −m − 2n − m + n − 2m − 6n 2 (m + 2n) + m + n = ⇔ −4m − 7n = 2m + 5n + 4m.n ⇔ 5m + 22m.n + 17n = ° Cho n = ⇒ 5m + 22m + 17 = ⇔ m = −1 hay m = − ° (P1 ) : x + y − z − = Vậy, có mặt phẳng (P):  (P2 ) : 7x − 17y + 5z − = Câu 2: Cách 1: ° Vì mặt bên lăng trụ hình vuông ⇒ AB = BC = CA = A / B/ = B/ C/ = C/ A / = a ⇒ caùc tam giaùc ABC, A/B/C/ tam giác / / / / / ° Ta coù: B C // BC ⇒ B C //(A BC) ⇒ d(A / B; B/ C/ ) = d(B/ C / ; (A / BC)) = d(F; (A / BC)) 1|Page 17 A/ C/ B/ F H C A B D ° ° ° BC ⊥ FD ⇒ BC ⊥ (A / BC) Ta coù:  / / / BC ⊥ A D (∆A BC cân A ) Dựng FH ⊥ A / D / / Vì BC ⊥ (A BC) ⇒ BC ⊥ FH ⇒ H ⊥ (A BC) 1 a 21 = / 2+ = + = ⇒ FH = 2 FH AF FD 3a a 3a a 21 ° Vaäy, d(A / B; B/ C/ ) = FH = Cách 2: ° Vì mặt bên lăng trụ hình vuông C/ z ⇒ ∆ABC, ∆A/B/C/ tam giác cạnh a A/ a ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az B/ đôi vuông góc, A(0; 0; 0), a a   a a  / B ; ; ÷, C  − ; ; ÷, A (0; 0; a), 2   2  ° ° ° ° ° ° ° ∆A/FD vuông có: A   / a a  / a a D B ; ; a ÷, C  − ; ; a÷ 2   2  x B / / / / / Ta coù: B C // BC, B C // (A BC) ⇒ d(B/ C/ ; A / B) = d(B/ C / ; (A / BC)) = d(B/ ; (A / BC)) uuuu  a a r r  uuuu  a a  A/ B =  ; ; − a ÷, A / C =  − ; ; − a÷ 2   2  uuuu uuuu  r r  a 3 3 3 r  2 r [A / B; A / C] =  0; a2 ; ÷ = a  0; 1; ÷ = a n, với n =  0; 1; ÷       r Phương trình mp (A/BC) qua A/ với pháp vectô n : 0(x − 0) + 1(y − 0) + (z − a) = a ⇔ (A / BC) : y + z− =0 2 a 3 a a + a − 2 = = a 21 d(B/ (A / BC)) = 7 1+ a 21 Vaäy, d(A / B; B/ C/ ) = BÀI 2|Page C y Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) đường thẳng x −1 y + z − = = (∆) : −1 Tìm điểm M thuộc (∆) để thể tích tứ diện MABC Tìm điểm N thuộc (∆) để thể tích tam giác ABN nhỏ Câu 2: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác cạnh a SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc GIẢI Câu 1: x = + 2t  Phương trình tham số cuûa (D): y = −2 − t z = + 2t  M ∈ (∆) ⇒ M(1 + 2t; − − t; + 2t) ° uuu r uuu r ° AB = (2; 1; 2), AC = (−2; 2;1) uuu uuu r r r r ° [AB; AC] = (−3; − 6; 6) = −3(1; 2; − 2) = −3.n , với n = (1; 2; − 2) r ° Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ n : (ABC): x + 2y – 2z – = r r 1 uuu uuu SABC = [AB; AC] = (−3)2 + (−6)2 + 62 = ° 2 ° Đường cao MH tứ diện MABC khoảng từ M đến (ABC): + 2t + 2(−2 − t) − 2(3 + 2t) − −4t − 11 MH = d(M(ABC)) = = 1+ + 4t + 11 =3 ° Thể tích tứ diện MABC ⇔ V = 3 17 ⇔ 4t + 11 = ⇔ t = − hay t = − 4  3 1  15 11  ° Vậy, có điểm M cần tìm là: M  − ; − ; ÷ hay M  − ; ; ÷  2  2 N ∈ (∆ ) ⇒ N(1 + 2t; − − t; + 2t) r r uuu uuu 32t + 128t + 146 = (4t + 8)2 + ≥ ° SABN = [NA; NB] = 2 2 ⇒ max SABN = ⇔ 4t + = ⇔ t = −2 ° Vậy, điểm N cần tìm N(-3; 0; 1) 3|Page Câu 2: Cách 1: ° Gọi O tâm ∆ABC SA = SB = SC ° Ta coù:  OA = OB = OC (∆ABC đều) A ⇒ SO trục đường tròn (ABC) ⇒ SO ⊥ (ABC) ° Maø : AO ⊥ BC; SO ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOA) ⇒ BC ⊥ SA ° Dựng BI ⊥ SA , suy ra: SA ⊥ (IBC) ⇒ SA ⊥ IC · ⇒ BIC laø góc phẳng nhị diện (B, SA, C) ° ∆SOA vuông coù: SA = SO2 + OA = h + ° S I C O M B a2 3h + a2 3h + a2 = ⇒ SA = 3 Gọi M trung điểm BC Ta coù: BM ⊥ (SOA), BI ⊥ SA ⇒ IM ⊥ SA (định lý đường vuông góc) ⇒ ∆MIA : ∆SOA AM a 3 3ah = h = SA 3h + a2 3h + a2 ∆SAB = ∆SAC (c.c.c) ⇒ IB = IC ⇒ ∆IBC cân I (SAB) ⊥ (SAC) ⇔ ∆IBC vuông cân I ⇔ IM = BC 3ah ⇔ = a ⇔ 3h = 3h + a2 3h + a2 ⇒ MI = SO ° ° ⇔ 9h = 3h + a2 ° Vaäy, h = ⇔ h= a Cách 2: ° Gọi H tâm ∆ABC M trung điểm BC SA = SB = SC ° Ta coù:  HA = HB = HC (∆ABC đều) ° ° a z S H Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az z đôi vuông góc A(0; 0; 0), B a a   a a   a   a  B ; ; ÷, C  − ; ; ÷, H  0; ; ÷, S  0; ; h ÷ 2   2      uuu  a  uur  a a r u  uur  a a  SA =  0; ; h ÷, SB =  ; ; − h ÷, SC =  − ; ; − h÷   2    4|Page C A M y ° ° ° ° ° uuu uur  ah ah a2  r a a r [SA; SB] =  − ; ;− ÷ = − (3h 3; − 3h; a 3) = − n1 , 2  6  r với n1 = (3h 3; − 3h; a 3) uuu uur r u  ah ah a2  a a r [SA; SC] =  − ;− ; ÷ = − (3h 3; 3h; − a 3) = − n , 2  6  r với n = (3h 3; 3h; − a 3) uuu uur r Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ phương SA; SB nên có pháp vectơ uuu uur r u Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ phương SA; SC nên có pháp vectơ r r (SAB) ⊥ (SAC) ⇔ cos(n1; n ) = r n1 r n2 ⇔ 3h 3.3h − 3h.3h + a 3(−a 3) = ⇔ 27h − 9h − 3a = ⇔ 18h = 3a2 ⇔ h = ° Vaäy: h = a a BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) mặt cầu (S): 2x − 2y − z + = (d) :  ; x + 2y − 2z − = (S) :x + y + z + 4x − 6y + m = Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho MN = Câu 2: Cho tứ diện OABC có đáy ∆OBC vuông O, OB = a, OC = a 3, (a > 0) đường cao OA = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM GIẢI Câu 1: 2 Mặt cầu (S): (x − 2) + (y − 3) + z = 13 − m có tâm I(-2; 3; 0), bán kính R = IN = 13 − m , với m < 13 5|Page M H I N ° ° ° ° ° ° ° Dựng IH ⊥ MN ⇒ MH = HN = ⇒ IH = IN − HN = 13 − m − 16 = − m − , với m < -3 x = t   Phương trình tham số đường thẳng (d):  y = + t   z = −1 + t  r   (d) có vectơ phương u =  1; ; 1÷ = (2; 1; 2) qua điểm A(0; 1; -1)   uu r uu r r AI = (−2; 2; 1); [AI; u] = (3; 6; − 6) Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d): uu r r [AI; u] 32 + 62 + 62 81 h= = = = r 2 u +1 + Ta coù: IH = h ⇔ − m − = ⇔ − m − = ⇔ m = −12 (thỏa điều kiện) Vậy, giá trị cần tìm: m = -12 Câu 2: Cách 1: ° Gọi N điểm đối xứng C qua O ° Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình) ⇒ OM // (ABN) ° ° ⇒ d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)) Dựng OK ⊥ BN, OH ⊥ AK (K ∈ BN; H ∈ AK) Ta coù: AO ⊥ (OBC); OK ⊥ BN ⇒ AK ⊥ BN BN ⊥ OK; BN ⊥ AK ⇒ BN ⊥ (AOK) ⇒ BN ⊥ OH OH ⊥ AK; OH ⊥ BN ⇒ OH ⊥ (ABN) ⇒ d(O; (ABN) = OH ° Từ tam giác vuông OAK; ONB có: 1 1 1 1 a 15 = + = + + = + + = ⇒ OH = 2 2 2 OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a ° Vaäy, d(OM; AB) = OH = z a 15 a A Cách 2: ° N Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz đôi vuông goùc O(0; 0; 0), A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), B x 6|Page C O a M a y a a   a a 3 M ; ; ÷ N  0; ; ÷ 2  2   trung điểm AC ° MN đường trung bình ∆ABC ⇒ AB // MN ° ⇒ AB // (OMN) ⇒ d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)) uuuu  a a  uuu  a a  r r OM =  ; ; ÷, ON =  0; ; ÷ 2 2     uuuu uuu r r  3a2 a2 a2  a2 a2 r r [OM; ON] =  ; ; 3; 1; = n , với n = ( 3; 1; 1) ÷= 4  4  r Phương trình mp (OMN) qua O với pháp vectơ n : 3x + y + z = ° Ta có: d(B; (OMN)) = ° Vậy, d(AB; OM) = ° ° ( 3.a + + +1+1 = ) a a 15 = 5 a 15 BÀI Caâu 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến (α) mặt phẳng (xOy) (P) tạo với mặt phẳng 125 tọa độ tứ diện tích 36 Câu 2: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G ∆ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) 60 o GIẢI Câu 1: Phương trình mặt phẳng (xOy): z = ° Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định (α) (xOy) có dạng: m(2x – y + z – 5) – nz = ⇔ (P) : 2mx − my + (m + n)z − 5m = ° Giao điểm A, B, C (P) trục Ox, Oy, Oz có tọa độ: 5m  5   A  ; 0; ÷, B(0; − 5; 0), C  0; 0; ÷ m+n 2   7|Page 125 36 1 5m 125 ⇔ V = OA.OB.OC = = 6 m+n 36  m + n = 3m  m = 1, n = ⇔ m+n =3m ⇔  ⇒  m + n = −3m  m = 1, n = −4 ° Thể tích tứ diện OABC ° Vậy, có phương trình mặt phẳng (P): (P1 ) : 2x − y + 3z − = (m = 1; n = 2) (P ) : 2x − y − 3z − = (m = 1; n = −4)  Câu 2: Cách 1: ° Gọi M trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC (∆ABC vuông cân) ° Ta có: SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC Suy ra: BC ⊥ (SAM) ° Dựng BI ⊥ SA ⇒ IM ⊥ SA IC ⊥ SA · ⇒ BIC góc phẳng nhị diện (B; SA; C) ° ∆SAB = ∆SAC (c.c.c) ⇒ IB = IC ⇒ ∆IBC cân I ° ° I 3ax 2 9x + 2a2 C A M G B a a BC = a 2; AM = BM = MC = BC = ; AG = 2 AM a ∆AIM ~ ∆AGS ⇒ IM = SG = x = AS SG + AG ⇔ IM = ° S ax 2 x2 + 2a2 a 3.3ax o o · · = Ta coù: BIC = 60o ⇔ BIM = 30 ⇔ BM = IM.tg30 ⇔ 2 9x + 2a2 ⇔ 9x + 2a2 = 3x ⇔ 9x + 2a2 = 27x ⇔ 18x = 2a2 a Vậy, x = Cách 2: ° BC = a ° Gọi M trung ñieåm BC a a ⇒ AM = ; AG = a ⇔ 9x = a2 ⇔ x = ° z x F A y G 8|Page E B x C M ° ° ° ° ° ° ° ° ° Goïi E, F hình chiếu G AB, AC Tứ giác AEGF hình vuông a ⇒ AG = AE ⇒ AE = AF = Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), a a  a a  C(0; a; 0), G  ; ; ÷, S  ; ; x ÷ 3  2  uuu  a a  uur  2a a r u  uur  a 2a  SA =  ; ; x ÷, SB =  ; − ; − x ÷, SC =  − ; ; − x ÷ 3     3  uuu uur  r a  a a r r   [SA; SB] =  0; ax; − ÷ = a  0; x; − ÷ = a.n1 , với n1 =  0; x; − ÷ 3 3 3    uuu uur r u a r  a2 a r  [SA; SC] = (−ax; 0; ) = −a  x; 0; − ÷ = −a.n , với n =  x; 0; − ÷ 3 3   uuu uur r Maët phẳng (SAB) có cặp vectơ phương SA, SB nên có pháp vectơ uuu uur r u Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ phương SA, SC nên có pháp vectơ Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) 60o a a a2 0.x + x.0 + 3 ⇔ cos60o = = 2 9x + a2 a a + x2 + x2 + + 9 a a2 ⇔ 9x2 = a2 = 2a2 ⇔ 9x = a2 ⇔ x = ⇔ = 9x + a2 a Vaäy, x = r n1 r n2 BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x −1 y z + = = mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z = 2 Câu 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vuông góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SE AF 9|Page GIẢI Câu 1: Gọi A(a; 0; 0) ∈ Ox ° ° ° ° ° 2a 2a = Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) : d(A; α) = 22 + 12 + 22 r (∆) qua M (1; 0; − 2) vaø có vectơ phương u = (1; 2; 2) uuuuuu r r Đặt M M1 = u Do đó: d(A; ∆) đường cao vẽ từ A tam giaùc AM M1 uuuuu r r [AM ; u] 2.SAM0M1 8a2 − 24a + 36 ⇒ d(A; ∆ ) = = = r M M1 u Theo giả thiết: d(A; α) = d(A; ∆) 2a 8a2 − 24a + 36 ⇔ = ⇔ 4a2 = 8a2 − 24a + 36 ⇔ 4a2 − 24a + 36 = 3 ⇔ 4(a − 3) = ⇔ a = ° Vậy, có điểm A(3; 0; 0) Câu 2: Cách 1: ° Gọi M trung điểm BF ⇒ EM // AF · · · ⇒ (SA; AF) = (EM; AF) = SEM ° ° ∆SAE vuông A có: SE2 = SA + AE = a2 + 2a2 = 3a2 ⇒ SE = a AF = 2a =a a ; BF = a 2 SB2 = SA + AB2 = a2 + 8a2 = 9a2 ⇒ SB = 3a ⇒ EM = BM = MF = ° ° ° ° ° SF = SA + AF = a2 + 6a2 = 7a2 ⇒ SF = a Áp dụng định lý đường trung tuyến SM ∆SBF có: SB2 + SF = 2.SM2 + BF 2 15a2 2 2 ⇔ 9a + 7a = 2SM + 2a ⇔ SM = 2 Goïi α góc nhọn tạo SE AF Áp dụng định lý hàm Côsin vào ∆SEM có: 10 | P a g e S H K A C F E M B 3a2 15a2 3a + − ES2 + EM − SM2 2 = − = · cos α = cosSEM = = 2.ES.EM 2 a .a o ⇒ α = 45 a Dựng AK ⊥ ME; AH ⊥ SK Ta có: AK = MF = AH ⊥ (SME) ° Vì AF // ME ⇒ d(SE; AF) = d(AF; (SME)) = AH 1 1 a = + = + = ⇒ AH = ° ∆SAK vuông có: AH SA AK a a a a ° Vaäy, d(SE; AF) = z Cách 2: a S ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0; 0; 0), B(a 2; a 6; 0), C(−a 2; a 6; 0), S(0; 0; a), ° a a  E ; ; ÷; F(0; a 6; 0) 2   a  ; a 6; ÷ vaø M    ° ° C A x E M F y B uur  a a r uuu  a r  uuu  SE =  ; ; − a ÷; AF = (a; a 6; 0), SM =  ; a 6; − a ÷     Gọi α góc nhọn tạo SE AF.ta coù: uur uuu r cos α = cos(SE; AF) = a a + a 0(−a) 3a2 2 = = 2 a 6.a a 3a + 6a2 + + + a2 2 ° ⇒ α = 45o uur uuu r  a2 r a2  a2 a2 r [SE; SM] =  ; 0; = ( 2; 0; 1) = n, với n = ( 2; 0; 1) ÷  2  2 r Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x + z − a = ° Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM) = ° Vì AF // EM ⇒ AF //(SEM) ⇒ d(SE; AF) = d(A; SEM) a Vaäy, d(SE; AF) = ° ° 11 | P a g e 0+0−a +1 = a ĐỀ Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S): (P): 2x + 2y + z − m − 3m = ; (S) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = Tìm m để (P) tiếp xúc (S) Với m tìm xác định tọa độ tiếp điểm Câu : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông taïi B, AB = a, BC = 2a, caïnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh ∆MAB cân tính diện tích ∆MAB theo a LỜI GIẢI Câu 1: (P) : 2x + 2y + z − m − 3m = (S) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (x − 1)2 = có tâm I(1; -1; 1) bán kính R = (P) tiếp xúc (S) ⇔ d[I, (P)] = R  m + 3m − = m = ⇔ = ⇔ m + 3m − = ⇔  ⇔   m + 3m − = −9  m = −5 22 + 22 + 12  ° Vậy, (P) tiếp xúc (S) m = -5 hay m = 2, (P): 2x + 2y + z – 10 = ° Đường thẳng (d) qua I vuông góc với (P) có phương trình: x −1 y +1 z −1 = = 2 x = 2x + 2y + z − 10 =   ° Tọa độ tiếp điểm nghiệm hệ:  x − y + z − ⇒ y = z =  = =   2.1 + 2.(−1) + 1.1 − m − 3m ° Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2) S Câu 2: Cách 1: ° Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AC Do ∆SAC vuông A có AM trung tuyến neân MA = SC SA ⊥ (ABC) ° Ta lại có:  AB ⊥ BC (∆ABC vuông B) 12 | P a g e M A H K B C ⇒ SB ⊥ BC (định lý đường vuông góc) ° ° ° ° Do ∆SBC vuông B có BM trung tuyến nên MB = SC Suy ra: MA = MB ⇒ ∆MAB cân M Dựng MH // SA HK // BC (H ∈ AC; K ∈ AB)  MH = SA = a  SA ⊥ (ABC) MH ⊥ (ABC)  ⇒ ⇒  vì:  BC ⊥ AB HK ⊥ AB HK = BC = a   2 2 2 ∆MHK vuông H có: MK = MH + HK = a + a = 2a ⇒ MK = a Diện tích ∆MAB: SMAB 1 a2 = MK.AB = a 2.a = 2 Caùch 2: ° ∆ABC vuông B có: AC2 = AB2 + BC2 = a2 + 4a2 = 5a2 ° ° ° 2a S ⇒ AC = a Dựng BH ⊥ AC (H ∈ AC), ta coù: 2 M AB a a = = AC a 5 y C H A 1 a = + = ⋅ 2 K BH AB BC 4a x a B 2a ⇒ BH = 5 Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc  2a a  A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B  ; ; 0÷  5   a  ; Tọa độ trung điểm M SC laø M  0;   uuuu  a  r 3a ; a ÷ ⇒ MA = Ta coù: MA =  0;   uuur  2a 3a 3a  MB =  − ; ; a ÷ ⇒ MB = 5   ⋅ ° z AH = suy ra: MA = MB ⇒ ∆MAB cân M uuuu uuur  a2 r uuuu uuur r 2a2  [MA; MB] =  ;− ; a ÷ ⇒ [MA; MB] = a2 ° Ta coù:   r uuuu uuur a2 ° Diện tích ∆MAB: SMAB = [MA; MB] = a = 2 13 | P a g e BÀI Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc o o ϕ (0 < ϕ < 90 ) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Câu 2: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng: x = t x + y − =  (d1) : y = t ; (d2) :  4x + 4y + 3z − 12 = z =  Chứng minh (d1) (d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vuông góc chung (d1) (d2) GIẢI Câu 1: S Cách 1: ° Gọi H trung điểm BC ° Do S.ABC ∆ABC nên chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường cao trực tâm O ∆ABC có ∆SBC cân S · suy ra: BC ⊥ SH, BC ⊥ AH, neân SHA = ϕ ° A O H B a Ta coù: OH = AH = ∆SHO vuông góc: SO = HO.tgϕ = HO a a = tgϕ vaø SH = cos ϕ 6.cos ϕ ° 1 a a2 a3tgϕ tgϕ = Thể tích hình chóp S.ABC: V = SO.SABC = 3 24 ° a2 SSBC = SH.BC = Diện tích ∆SBC: 12.cos ϕ ° Gọi h khoảng cách từ A đến (SBC), ta coù: 3.V a3tgϕ a2 a V = h.SSBC ⇒ h = = : = sin ϕ SSBC 24 12 cos ϕ Caùch 2: 14 | P a g e C ϕ ° ° Vì S.ABC hình chóp nên chân đường cao đỉnh S trùng với tâm O đường tròn (ABC) Gọi M trung điểm BC Ta có: - a a AO = AM = vaø OM = 3 · AM ⊥ BC, SM ⊥ BC ⇒ SMA = ϕ z S C A - ° ° ° ° ° a3tgϕ Thể tích hình choùp: V = SO.SABC = 24 uur  a a a r  uuu ; tgϕ ÷, BC = (−a; 0; 0) Ta coù: BS =  − ; − 6   uur uuu  r a2 a2  r [BS; BC] =  0; − tgϕ; − ÷= n 6   r Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến n :  a  a2 a  a2  O  x − ÷− tgϕ  y − (z − 0) = ÷− 2    a tgϕ = Khoảng cách d từ A ñeán (SBC): tgϕ.O + O − d= a tgϕ tg2 ϕ + a tgϕ a = = sin ϕ cos ϕ Caâu 2: r u1 = (2; 1; 0) (d1) ñi qua điểm A(0; 0; 4) có vectơ phương r (d2) qua điểm B(3; 0; 0) có vectơ phương u2 = (3; − 3; 0) uuu r ° AB = (3; 0; − 4) uuu r r r uuu r r r ° AB.[u1; u2 ] = 36 ≠ ⇒ AB, u1 , u khoâng đồng phẳng ° ϕ M y ∆SOM vuông có: B a x SO = OM.tgϕ = tgϕ Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0; 0; 0), a a   a a   a   a   a a  B ; ; ÷,C  − ; ; ÷,M  0; ; ÷, O  0; ; ÷, S  0; ; tg ϕ ÷ 3 2   2        ⇔ (SBC) : tgϕy + z − ° O Vậy, (d1) (d2) chéo 15 | P a g e ° ° ° ° ° ° x = + t /  / (d2) có phương trình tham số: y = −t z =  Gọi MN đường vuông góc chung (d1) (d2) M ∈ (d1 ) ⇒ M(2t; t; 4) , N ∈ (d ) ⇒ N(3 + t / ; − t / ; 0) uuuu r ⇒ MN = (3 + t / − 2t; − t / − t; − 4) uuuu r r / / MN ⊥ u1   t / = −1 M(2; 1; 4)  2(3 + t − 2) − (t + t) = ⇒ ⇔ ⇒ r Ta coù:  uuuu r / / N(2; 1; 0) 3 + t − 2t + (t + t) = MN ⊥ u2 t =   MN = 2 2 Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x − 2) + (y − 1) + (z − 2) = Tọa độ trung điểm I MN: I(2; 1; 2), bán kính R = BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz có mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + = đường thẳng: (d1): x+ y − z +1 = = ; −4 (d ) : x − y +1 z − = = −2 Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P) (Q), cắt hai đường thẳng (d1) (d2) Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N trung điểm AB C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN) GIẢI Câu 1: r r/ r/ r (P) có pháp vectơ n P = (3; 12; − 3) = 3(1; 4; − 1) = 3n P , với n P = (1; 4; − p n 1) P r ° (Q) có pháp vectơ n Q = (3; − 4; 9) r ° (d1) có vectơ phương u1 = (2; − 4; 3) r P/ r ° (d2) có vectơ phương u2 = (−2; 3; 4) 16 | P a g e u1 A d1 ∆/ r nq Q ∆ r u Q/ r u2 B d ° ° ° ° ° (∆ / ) = (P) ∩ (Q)  / / (P )//(P), (Q )//(Q) Goïi:  / / (d1 ) ⊂ (P ), (d ) ⊂ (Q ) r r /  u = u∆ Suy (∆) giao tuyến hai mặt phẳng (P/) vaø (Q/), vaø (∆) // (∆/) r r/ r r/ (∆) có vectơ phương u = [n P ; n Q ] = (32; − 12; − 16) = 4(8; − 3; − 4) = 4u , r/ với u = (8; − 3; − 4) r r/ mp (P/) có cặp vectơ phương u1 u nên có pháp vectơ: r r r/ n P / = [u1; u ] = (25; 32; 26) r Phương trình mp (P/) chứa (d1) qua điểm A(-5; 3; -1) ∈ (d1 ) với n P / là: 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = ⇔ (P ) : 25x + 32y + 26z + 55 = r r/ mp (Q/) coù cặp vectơ phương u2 u nên có pháp vectô: r r r/ n Q/ = [u2 ; u ] = (0; 24; − 18) r Phương trình mp (Q/) chứa (d2) qua điểm B(3; -1; 2) ∈ (d ) với n Q/ là: 0(x − 3) + 24(y + 1) − 18(z − 2) = / ⇔ (Q ) : 4y − 3x + 10 = / ° ° ° / / Ta coù: (∆) = (P ) ∩ (Q ) ° 25x + 32y + 26z + 55 = Vậy, phương trình đường thẳng (∆) :  4y − 3z + 10 = Câu 2: Cách 1: ° / / / / Bốn tam giác vuông AA M, BCM, CC N, A D N baèng (c.g.c) / ⇒ A M = MC = CN = NA / ⇒ A / MCN hình thoi ° A/ Hai hình chóp B/A/MCN B/.A/NC có chung đường cao vẽ từ đỉnh B/ SA/ MCN = 2.SA / NC nên: VB/ A / MCN = 2.VB/ A / NC Maø: VB/ ANC = VC.A/ B/ N ° / / / Ta có: SA/ MCN = A C.MN, với A C = a 3; MN = BC = a 2 C/ N B/ D A M 1 a3 a3 / = CC SA / B/ N = a .a.a = ⇒ VB/ A / MCN = 3 ° 17 | P a g e D/ C B ⇒ SA/ MCN = ° a2 / Gọi H hình chiếu B/ (A/MCN), ta có: VB/ A / MCN = B H.SA / MCN 3.VB/ A/ MCN a3 a a ⇒ B/ H = = : = SA / MCN 3 Caùch 2: ° ° ° Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz đôi vuông góc, A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0), D(0; 0; 0), A/(a; 0; a), B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a),  a   a  M  a; ; ÷, N  0; ; a ÷     uuuu r uuuu r Ta coù: A / C = (−a; a; − a), MN = ( −a; 0; a) uuuu uuuu r r / [A C; MN] = (a2 ; 2a2 ; a2 ) = a2 (1; 2; 1) r r = a2 n với n = (1; 2; 1) z / a D N C/ A/ C a y D A x a M B r Phương trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) với pháp vectơ n : 1(x − 0) + 2(y − a) + 1(z − 0) = ⇔ (A / MCN) : x + 2y + z − 2a = ° Khoảng cách d từ B/(a; a; a) ñeán mp(A/MCN): d= a + 2a + a − 2a 1+ +1 = 2a a = ĐỀ Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng: x = t x = t '   (d1) : y = + t ; vaø (d2) : y = 3t ' − z = + t z = t ' −   Gọi K hình chiếu vuông góc điểm I(1; -1; 1) (d 2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vuông góc với (d1) cắt (d1) Câu 2: 18 | P a g e Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên lại tạo với đáy góc α GIẢI Câu 1: r (d1) có vectơ phương u1 = (1; 1; 2) r (d2) có vectơ phương u2 = (1; 3; 1) ° ° ° ° ° ° uu r K ∈(d ) ⇒ K(t / ; 3t / − 6; t / − 1) ⇒ IK = (t / − 1; 3t / − 5; t / − 2) uu r r 18  18 12  IK ⊥ u2 ⇔ t / − + 9t / − 15 + t / − = ⇔ t / = ⇒ K ; − ; ÷ 11  11 11 11  Giả sử (∆) cắt (d1) H(t; + t; + 2t), (H ∈ (d1 )) uuu  18 r 56 59  HK =  − t; − − t; − − 2t ÷ 11 11  11  uuu r r 18 56 118 26 HK ⊥ u1 ⇔ −t− −t− − 4t = ⇔ t = − 11 11 11 11 uuur  30 7 ⇒ HK =  4; − ; − ÷ = (44; − 30; − 7) 11 11  11  18  x = 11 + 44λ  12  Vaäy, phương trình tham số đường thẳng (∆): y = − − 30λ 11   z = 11 − 7λ  Câu 2: Cách 1: ° Dựng SH ⊥ AB ° Ta coù: (SAB) ⊥ (ABC), (SAB) ∩ (ABC) = AB, SH ⊂ (SAB) ⇒ SH ⊥ (ABC) SH đường cao hình chóp ° Dựng HN ⊥ BC, HP ⊥ AC · · ⇒ SN ⊥ BC, SP ⊥ AC ⇒ SPH = SNH = α ° ° ° S B H ∆SHN = ∆SHP ⇒ HN = HP a ∆AHP vuoâng coù: HP = HA.sin 60o = a tgα ∆SHP vuông có: SH = HP.tgα = 19 | P a g e A ϕ N C P 1 a a a3 S.ABC : V = SH.SABC = tgα = tgα ° Thể tích hình chóp 3 4 16 Cách 2: ° Dựng SH ⊥ AB ° Ta có: (SAB) ⊥ (ABC), (SAB) ∩ (ABC) = B, SH ⊂ (SAB) ⇒ SH ⊥ (ABC) ° Vì (SAC) (SBC) tạo với (ABC) góc α ∆ABC đều, nên suy H trung điểm AB ° Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz z H(0; 0; 0), đôi vuông góc, h S a   a  A  ; 0; ÷; B  − ; 0; ÷, 2     a  C  0; ; ÷, S(0; 0; h), (h > 0) B   C ° Phương trình mp (ABC): H r a z = 0, với pháp vectơ n1 = (0; 0;1) A a ° Phương trình mp (SAC): x x y z + + =1 a a h r ⇔ (SAC) : 2h 3x + 2hy + a 3z − ah = với n = (2h 3; 2h; a 3) ° ° (SAC) tạo với (ABC) góc α: 0+0+a a cos α = = 2 + + 12h + 4h + 3a 16h + 3a2 16h + 3a2 ⇔ = + tg α = cos2 α 3a2 3a2 tg2α a ⇔ h2 = ⇔ h= tgα 16 1 a a a3 tgα = tgα Thể tích hình chóp S.ABC: V = h.SABC = 3 4 16 ĐỀ 10 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng: x − y −1 z −1 x−7 y−3 z −9 = = ; (∆ ): = = (∆1) : −7 −1 Lập phương trình tắc đường thẳng (∆3) đối xứng với (∆2) qua (∆1) 20 | P a g e y Xét mặt phẳng (α) : x + y + z + = Viết phương trình hình chiếu (∆2) theo phương (∆1) lên mặt phẳng (α) uuuu r uuuu r Tìm điểm M mặt phẳng (α) để MM1 + MM đạt giá trị nhỏ biết M 1(3; 1; 1) M2(7; 3; 9) Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, goùc · BAC = 120o , cạnh bên BB' = a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh ∆AB'I vuông A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) GIẢI Caâu 1: ° ° ° ° ° x = − 7t1 r  (∆1 ) : y = + 2t1 có vectơ phương u1 = (−7; 2; 3) z = + 3t  x = + 7t  (∆ ) : y = + 2t z = − t  qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) r có vectơ phương u = (1; 2; − 1) Gọi H hình chiếu A (∆1) H ∈ (∆1 ) ⇒ H(3 − 7t1; + 2t1; + 3t1 ) uuu r ⇒ AH = (−4 − 7t1; − + 2t1; − + 3t1 ) uuu r r AH ⊥ u1 ⇔ − 7(−4 − 7t1 ) + 2(−2 + 2t1 ) + 3(−8 + 3t1 ) = ⇔ t1 = ⇒ H(3; 1; 1) B A r u1 H K ∆2 ∆1 A/ B/ ∆3 Goïi A/ điểm đối xứng A qua H ⇒ A/(-1; -1; -7) Gọi K hình chiếu B (∆1) B/ điểm đối xứng B qua K Tương tự ta tìm được: 105 204   114 25 22  /  20 K ; ; ;− ÷ ⇒ B − ; − ÷ 31 31   31 31 31   31 uuuuu  11 74 13  r r r / / ° A B =  ; − ; − ÷ = (11; − 74; 13) = a , với a = (11; − 74; 13) 31  31 31 31  31 ° Phương trình đường thẳng (∆3) đối xứng với (∆2) qua (∆1) phương trình r đường thẳng A / B/ qua A/ với vectơ phương a x +1 y +1 z + = = ° Vậy, phương trình tắc (∆3): 11 −74 13 Mặt phẳng (β) chứa (∆2) (β) // (∆1) r r ⇒ (β) có cặp vectơ phương u1 = (−7; 2; 3), u2 = (1, 2, − 1) r r r r ⇒ [u1; u2 ] = (−8; − 4; − 16) = −4(2; 1; 4) = − 4nβ , với nβ = (2; 1; 4) ° ° 21 | P a g e ° r Phương trình mp (β) qua A(7; 3; 9) ∈(∆ ) với pháp tuyến nβ : (β) : 2x + y + 4z − 53 = / Ta coù: (α) ∩ (β) = (∆ ) hình chiếu (∆2) lên (α) theo phương (∆1) x + y + z + = / ° Vậy, phương trình hình chiếu (∆ ) :  2x + y + 4z − 53 = (∆) Gọi I trung điểm M1M ⇒ I(5; 2; 5) uuuu uuuu r r uuu r I MM1 + MM = 2MI ° Ta coù: uuuu uuuu r r uuu r M1 ⇒ MM1 + MM nhỏ ⇔ 2MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I (α) M0 ° Phương trình đường thẳng (∆) qua I α vuông góc với (α) là: x = + t  y = + t z = + t  ° ° ° ° ° r uα M Goïi M giao điểm (∆) (α) M ∈ (∆) ⇒ M(5 + t; + t; + t) M ∈ (α) ⇒ + t + + t + + t + = ⇔ t = −5 ⇒ M(0; − 3; 0) Vậy, điểm M cần tìm: M(0; -3; 0) Câu 2: Cách 1: ° Gọi H trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC ° M2 ∆ABH nửa tam giác cạnh AB = a ⇒ AH = a vaø a ⇒ BC = a ∆IB/ C/ vuoâng coù: a2 13a2 IB/ = IC/ + B/ C/ = + 3a2 = 4 BH = ° ° ° ° ° B/ C/ A/ a2 5a2 ∆AIC vuông có: AI = IC + AC = + a2 = 4 2 5a2 13a2 + 2a = = IB/ Ta coù: AI + AB = 4 (AB/ đường chéo hình vuông AA/B/B cạnh a) Vậy, ∆AB/I vuông A Ta coù: SAB/ I /2 1 a a2 10 / = AI.AB = a = 2 1 a a2 SABC = AH.BC = a = 2 22 | P a g e B H 30o A I C ° Gọi α góc hai mặt phẳng (ABC) (AB/I), theo công thức chiếu, ta có: cos α = SABC a2 a2 10 30 = : = SAB/ I 4 10 Caùch 2: ° Gọi H trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC z ° ∆ABH nửa tam giác cạnh AB = a A/ a a a B/ ⇒ AH = vaø BH = ⇒ BC = a 2 ° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az A đôi vuông góc, A(0; 0; 0), 60 a a   a a  / z B B ; ; ÷, C  − ; ; ÷, A (0; 0; a),  2   2  a a  / a a   a a a B/  ; ; a ÷, C  − ; ; a ÷, I  − ; ; ÷ 2  2   2 2   uuu /  a a  uu  a a a  r r AB =  ; ; a ÷, AI =  − ; ; ÷ ° 2  2 2   uuu / uu a  a  a a r r a 3a2 a2 2a2  − + + =0 ÷+ + a = − ° Ta có: AB AI =   2 4 uuu / uu r r Vaäy, ∆AB/I vuông A ⇒ AB ⊥ AI r * Phương trình mp(ABC): z = có pháp vectơ n1 = (0; 0; 1) uuu / uu r r * mp (AB/I) có cặp vectơ phương AB , AI , nên có pháp vectơ: o uuu / uu r r  a2 3a2 2a2  a2 a2 r [AB ; AI] =  − ; − ; ÷ = − (1; 3; − 3) = − n 4  4  r với n = (1; 3; − 3) ° Gọi α góc (ABC) (AB/I), ta coù: 0+0−2 3 30 cos α = = = 10 + + 1 + 27 + 12 40 23 | P a g e C/ I C H y ... 15 = 5 a 15 BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phaúng (α) : 2x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến (α) mặt phẳng (xOy) (P) tạo với mặt phẳng 125 tọa độ tứ diện tích... không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S): (P): 2x + 2y + z − m − 3m = ; (S) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = Tìm m để (P) tiếp xúc (S) Với m tìm xác định tọa độ. ..  MN = 2 2 Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x − 2) + (y − 1) + (z − 2) = Tọa độ trung điểm I MN: I(2; 1; 2), bán kính R = BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz có mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – = 0,