Phương trình và bất phương trình Lôgarit 191 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA: ( ) ( ) 0 1 log a m a f x m f x a < ≠   = ⇔  =   Bài mẫu. GPT: ( ) 2 3 1 log 3 2 1 2 x x x + − − + = (1) (1) ⇔ ( ) 3 3 log 3 1 log 3 x x x x + + − − = + . Điều kiện: 0 3 1 2 4 3 1 0 x x x < + ≠   ⇔ − < <  − − >   (1) ⇔ ( ) 2 2 3 1 3 3 7 6 1 0 x x x x x − − = + ⇔ − + − − = . Xét hai khả năng: Nếu 2 1 x − < ≤ thì (1) ⇔ ( ] 2 3 5 3 1 0 2;1 2 x x x − + + + = ⇔ = ∈ − Nếu 1 4 x < < thì (1) ⇔ ( ) 2 9 29 9 13 0 1; 4 2 x x x − − + = ⇔ = ∈ Bài tập. ( ) 2 2 log 4 7 2 x x − + = ; ( ) 2 log 2 3 4 2 x x x − − = ; ( ) 2 log 2 4 3 2 x x x − + = ; ( ) ( ) 2 2 2 6 8 2 2 3 log log 2 0 x x x x x x + + + + − = ; ( ) ( ) 2 4 3 4 2 2 1 log 9 16 2 log 3 4 x x x − − = + − 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 log log 0 a a a f x g x f x g x < ≠  = ⇔  = >  Bài mẫu. GPT: ( ) ( ) 3 2 2 log 4 1 log 2 6 x x x + + = + − (1) Điều kiện: 3 2 3 3 2 6 0 2 log 4 4 x x x + − > ⇔ > ⇔ > (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 log 4 1 log 2 log 2 6 log 2 2 6 x x x x x+ + + = + − = − ⇔ ( ) ( ) ( ) 3 2 4 1 2 2 6 7 2 6 2 1 0 2 1 7 2 1 0 2 1 0 0 x x x x x x x x x + + = − ⇔ ⋅ − ⋅ − = ⇔ − ⋅ + = ⇔ − = ⇔ = Bài tập. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 log 1 log 1 log 1 log 1 x x x x x x x x + + + − + = + + + − + ; ( ) ( ) ( ) 2 3 1 9 3 log 2 54 log 3 2 log 4 x x x − + + = − ; 2 1 2 2 2 log log log 9 x x x + + = ; 2 2 1 2 2 log 3log log 2 x x x + + = ; 2 5 5 5 log log 1 x x x + = ; 2 4 1 2 log log log 3 x x+ = ; www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương 192 2 2 4 log 1 2 2 log x x x x + = + ; 3 27 3 log 2 4 log x x x x + = + ; 5 1 1 3 log 5 log 5 x x + − + = ; ( ) ( ) 2 3 2 1 2 lg 36 lg 3 3 1 lg 6 2 lg 3 lg 2 3 x x x x x− + + + + = + + + ; ( ) 2 lg 1 lg 5 4 x x = − ; 3 1 3 3 log log log 6 x x x + + = ; ( ) ( ) 3 9 log 1 log 4 3 4 1 x x x x + − = − + − ; ( ) 2 2 2 2 6 1 6 log 5 2 3 log 5 2 3 2 x x x x x x x x − − − − − = + ; 4 lg 3 lg x x − = ; ( ) ( ) lg 5 1 lg 2 1 lg 6 x x − = + − ; ( ) ( ) 1 lg lg 2 lg 1 2 lg 6 2 x x+ + + = ; ( ) ( ) 2 2 log 4.3 6 log 9 6 1 x x − − − = ; ( ) 3 1 3 log 2 log 2 1 0 x x − + − = ; 2 4 8 11 log log log 2 x x x + + = ; ( ) 2 1 8 log 2 2 6 log 3 5 x x − = + − ; ( ) ( ) 3 2 2 2 4 6 log 4 log 4 x x x x x + − − = − ; ( ) ( ) 3 2 2 2 4 6 log 3 log 3 x x x x x + − − = − ; 3. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ: Công thức đổi cơ số: log log log log .log log ; log ; log m m b a m a b a a m b b c c b a b a = = = Bài mẫu. GPT: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 6 log 1 log 1 log 1 * x x x x x x− − + − = − − Giải ĐK: Tập các giá trị của x thỏa mãn 2 2 1 0 1 1 0 x x x x  − − >  ⇔ ≥  − ≥   Với 1 x ≥ thì ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 3 6 * log 1 log 1 log 1 x x x x x x − − ⇔ + − + − = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 6 log 1 log 1 log 1 x x x x x x ⇔ + − + − = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 6 3 6 log 6 log 1 log 1 log 1 x x x x x x ⇔ ⋅ + − ⋅ + − = + − Xét ( ) 2 6 log 1 0 x x + − = ⇔ ( ) 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 x x x x x x − ≥   + − = ⇔ ⇔ =   − = −  www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình Lôgarit 193 Xét ( ) ( ) 6 log 2 2 2 2 2 3 3 6 log 6.log 1 1 log 1 log 2 1 3x x x x x x+ − = ⇔ + − = ⇔ + − = Để ý 6 6 log 2 2 log 2 2 1 1 1 3 3 1 x x x x − − − = = = + − nên ( ) 6 6 log 2 log 2 1 3 3 1 2 x − = + ≥ Bài tập. 2 3 log log 1 x x + = ; 3 5 log log lg15 x x+ = ; 4 7 log 2 log 0 6 x x − + = ; 2 3 3 2 2 1 log 2 log .log log 4 x x x x − = + ; 2 3 16 4 2 log 14 log 40log 0 x x x x x x − + = ; 2 2 4 2 2 2 log log log 1 x x x x ⋅ + = ; ( ) 2 2 3 4 4 log 8 14 log 9 1 x x x x + + − − − = ; 2 3 2 9 9 9 5log log 9 log 2 x x x x x x + + = ; 3 3 3 2 3 1 1 log log log log 2 2 3 x x x x ⋅ − = + ; ( ) 5 log 20 log 5 1 x x + = ; ( ) ( ) 2 2 1 2 1 3 log 6 5 1 log 4 4 1 2 x x x x x x − − − + − − + = ; ( ) ( ) 2 2 3 7 2 3 log 4 12 9 log 6 23 21 4 x x x x x x + + + + + + + = ; 2 2 log 16 log 64 3 x x + = ; ( ) 2 log 2.log 6 1 x x + = ; 2 3 3 2 log log log log x x = ; 2 2 5 5 log log log log x x = ; ( ) ( ) 4 2 2 4 log log log log 2 x x + = ; 2 3 4 4 3 2 log log log log log log x x = ; 3 5 7 3 5 7 log log log log .log .log x x x x x x + + = 4. ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƠN ĐIỆU: Bài mẫu. GPT: ( ) 2 5 log 1 log x x − = (1) Đặt ( ) ( ) 5 2 2 log 5 5 2 1 4 2.2 1 5 log 1 1 2 u u u u u u u u x u x x u x =   =   ⇔ ⇒ = + ⇔ + + =     − = − =   ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 1 2 1 5 5 5 u u u f u ⇔ = + + = . Ta có: ( ) f u giảm và ( ) 2 1 f = nên ( ) ( ) ( ) 1 2 2 f u f u f u = ⇔ = ⇔ = ⇔ 25 x = Bài tập. ( ) ( ) 2 2 2 3 8 4 3 log 8 7 log 8 8 x x x x + + − − = − − ( ) 2 4 3 log 8 log 3 x x x − − = ; ( ) 2 3 2 log 3 13 log x x x − − = ; ( ) ( ) 3 3 2 log 5 log 4 x x + = − ; ( ) 3 2 7 log 1 log x x + = ; 3 2 2 log cot log cos x x = ; ( ) 3 3 2 3log 1 2 log x x x + + = ; ( ) ( ) ( ) 2 3 2 log 3 log 2 1 x x x x   − − + − = +   www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương 194 5. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 3 2 log 3 log 2 1 x x x x   − − + − = +   Giải Điều kiện: 3 x > . Biến đổi phương trình ( ) ( ) 2 3 1 log 3 log 2 2 x x x x + ⇔ − + − = − Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 log 3 log 2 0 3 3 ln 2 2 ln 3 f x x x f x x x x ′ = − + − ⇒ = + > ∀ > − − ( ) ( ) ( ) 2 1 3 0 2 2 x g x g x x x + ′ = ⇒ = − < − − . Như vậy ( ) f x đồng biến và ( ) g x nghịch biến nên phương trình ( ) ( ) f x g x = có không quá một nghiệm. Mặt khác ( ) ( ) 5 2; 5 2 f g = = nên ( ) ( ) f x g x = có nghiệm duy nhất 5 x = . Bài 2. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 3 log 1 5 5 log 5 7 2 x x x x + − + + − + = Giải Đặt 2 2 2 5 5 0 2 5 7 u x x u x x = − + ≥ ⇒ + = − + . Khi đó phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 3 log 1 log 2 2 f u u u ⇔ = + + + = . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 ln 2 2 ln 3 u f u u u ′ = + > + + ( ) f u ⇒ đồng biến. Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 5 5 1 5 4 0 f u f u f u x x x x = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + = 1 4 x x =  ⇔  =  Bài 3. Tìm m để phương trình ( ) ( ) 2 1 2 1 ln 1 0 2 2 1 m mx x mx m + − − − = − + có nghiệm. Giải Nếu 0 m = thì hiển nhiên phương trình vô nghiệm. Xét 0 m ≠ . Đặt ( ) 2 1 1 2 u u m x x m = − ⇔ − = . Khi đó phương trình trở thành ( ) ( ) 1 1 ln 1 0 ln 2 2 1 1 u u u u m m u u + + − = ⇔ = − − . Xét hàm số ( ) ( ) 1 ln ; 1 1 1 u f u u u u + = − < < − Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 4 ln ; 0 1 1 1 1 1 1 u u u u f u f u u u u u u u + + − ′ ′′ = + = ⋅ + = > − + − − − − ( ) f u ′ ⇒ tăng mà ( ) 0 0 f ′ = nên phương trình ( ) 0 f u ′ = có nghiệm duy nhất 0 u = và hàm ( ) y f u = đạt cực tiểu tại 0 x = . Lập bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm 0 m ⇔ > www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình Lôgarit 195 II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ Bài mẫu. GBPT: ( ) 1 3 2 1 3 1 1 log 1 log 2 3 1 x x x > + − + (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 1 log 2 3 1 0 log 1 0 2 3 1 1 1 2 3 0 log 2 3 1 log 1 1 2 3 1 1 1 2 2 3 1 1 1 5 log 2 3 1 log 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x   − + > > + < <   − + < < +        < − + < + ⇔ > − + > + ⇔ < <         − + > + > >    − + < + <   Bài tập. 2 2 log 64 log 16 3 x x + ≥ ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log 3 1 1 log 1 log 1 x x x x x + + > − + − + ; ( ) ( ) 1 5 5 log 1 log 2 x x + ≤ − ; ( ) log 3 2 1 x x − > ; 3 log 2 8 2 x x > − − ; 2 2 1 log 2 3 x x x ≤ − ; ( ) 2 log 9 1 1 x x x − − − ≥ ; ( ) ( ) 2 2 1 4 log 2 8 log 2 5 x x − − − ≥ ; 3 9 log 2 log 2 x x − > ; 7 7 2 log log 4 x x − > ; 3 2 4 3log 4log 2 x x − > ; 2 2 4 1 1 1 log log 4 x x + − > ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 log 3 1 2 1 log 3 1 3 log 3 1 x x x − < + − + − ; 2 2 1 1 4 log 3 log 1 2 x x > − − ( ) 2 3 1 1 3 3 1 log 5 6 log 2 log 3 2 x x x x − + + − > + 2. SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài mẫu. Giải BPT: ( ) 2 3 3 2 log .log 2 log .log 3 0 1 x x x x+ ≥ Nếu 1 x ≥ thì 2 3 3 2 log 0, log 2 0; log 0;log 3 0 x x x x ≥ > ≥ > nên (1) thỏa mãn Nếu 2 3 2 3 0 1 log 0, log 0 log log 0 x x x x x < < ⇒ < < ⇒ > . Khi đó biến đổi (1) ta có www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương 196 ( ) 2 3 3 2 2 3 3 2 log log 2 log log 3 1 0 log 2 log 3 0 log log log log x x x x x x x x x x x x ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ 1 log 2 1 log 3 0 log 6 2 x x x + + + ≥ ⇔ ≥ − 2 6 1 0 0 6 6 x x⇔ < ≤ ⇔ < ≤ (do 0 1 x < < ) Vậy nghiệm của (1) là ( ) 6 1 0 6 x x   ≥ ∨ < ≤     Bài tập. 4 16 3log 4 2 log 4 3log 4 0 x x x + + ≤ ; ( ) ( ) 3 2 2 3 log log log log x x < ; 2 4 log 2 log 2 log 2 x x x ⋅ > ; 1 4 5 log log 1 x x + ≥ ; 2 2 log 16 log 64 3 x x + ≤ ; ( ) ( ) 2 3 2 3 2 log 1 log 1 0 3 4 x x x x + − + > − − ; ( ) ( ) 2 3 2 2 5 11 2 log 4 11 log 4 11 0 2 5 3 x x x x x x − − − − − ≥ − − ( ) ( ) 5 8 2 2 2 3 2 log 2 7 log 2 7 0 3 13 4 x x x x x x − − − − − ≤ − + ; 3 9 1 5 1 log 3.log 6 4 6 x x x − ≤ − 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP: Bài mẫu. Giải BPT: ( ) ( ) 2 log log 4 6 1 1 x x   − ≤   Từ điều kiện 4 6 0 1 x x − > ⇒ > nên ( ) ( ) ( ) 2 2 log 4 6 0 4 6 1 1 4 6 2 log 4 6 x x x x x x   − > − >   ⇔ ⇔   − ≤ − ≤     ( ) 2 2 7 2 2 6 0 x x x  >  ⇔  − − ≤   2 2 2 7 1 7 2 3 log 7 log 3 2 2 2 3 x x x x  >  ⇔ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤  − ≤ ≤   . Bài tập. ( ) 2 log log 4 6 1 x x − ≥ ; 2 2 log 1 3 1 3 2 log log 2 3 0 2 x x −     + + ≤         ; 3 4 1 1 3 4 3 1 1 log log log log 1 3 1 x x x x − + ≤ + − ; 2 3 3 log log 3 0 x − ≥ ; 1 3 2 1 log log 0 1 x x + ≥ − ; ( ) 2 3 9 16 log log 4 3 0 x x − + ≤ ; ( ) 2 8 1 2 3 log log 6 0 x x − − ≥ ; 1 2 2 2 1 log log 0 3 x x x + − < + ; ( ) 2 2 log 2 log 10 22 0 x x x − + > ; ( ) 5 2 log log 5 7 0 x x x − + > ; 4 2 2 2 1 log log 0 3 x x x + − < + ; ( ) 2 7 11 16 13 11 log log 0 32 8 x x − − < ; ( ) ( ) 2 2 1 5 3 1 3 5 log log 1 log log 1 x x x x + + > + − www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình Lôgarit 197 4. SỬ DỤNG PHÉP LOGARIT HÓA Bài mẫu. Giải bất phương trình ( ) ( ) 4 2 1 4 log log 3 1 1 x x x −  + + ≥     Điều kiện là 0 x > . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 log log log 3 log 1 4 log log 0 2 3 x x x x x x   ⇔ − − + ≥ ⇔ − ≥   + Nếu 4 x = thì (2) được nghiệm đúng nên 4 x = là 1 nghiệm của (1) Nếu 4 x > thì (1) ⇔ 2 2 2 4 4 4 6 log log 0 log 1 2 3 3 3 x x x x x x x x x x > > >       ⇔ ⇔ ⇔ ≥    ≥ ≥ ≥    + + +    Nếu 4 x < , thì (1) ⇔ 2 2 2 4 4 4 1 13 4 log log 0 0 log 1 1 2 2 3 3 3 x x x x x x x x x x < < <       + ⇔ ⇔ ⇔ < <    ≤ < ≤ < ≤    + + +    Vậy nghiệm của (1) là 1 13 4 2 x + < ≤ hoặc 6 x ≥ . 5. ĐƯA VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƠN ĐIỆU: Bài mẫu. Giải BPT: ( ) 7 3 log log 2 x x < + (1) Đặt 7 log u x = ⇒ 7 u x = . Ta có: (1) ⇔ ( ) ( ) 3 log 2 3 2 7 u u u x< + ⇔ < + ( ) ( ) 7 1 2 1 3 3 u u f u   ⇔ = + >     . Do ( ) f u giảm và ( ) 2 1 f = nên bất phương trình ( ) ( ) ( ) 7 1 2 2 log 2 0 49 f u f u f u x x > ⇔ > ⇔ < ⇔ < ⇔ < < Bài tập. ( ) 5 16 log 1 log x x + > ; ( ) ( ) 2 3 3 5 log 7 log 2 3 x x + > − 6. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP ( ) 2 2 5 1 1 4 3 log 1 8 2 6 0 5 x x x x x x   + − + + + − − ≤   ; ( ) ( ) 3 log 2 log 2 x x x x ≤ ; 2 2 4 3 5 6 10 2 12 3log 3 x x x x x x − + + + − − + ≥ ; 3 log 3log 3 2 0 x x − − ≤ ; www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương 198 2 2 4 7 10 9.log 2 14 20 2 13 8 x x x x x x − + + ≥ + − − − ; 4 5 6 2 2 3 4 2 4 12 3 4 4 .log 3 3 4 4 4 log x x x x x x x x x + + − > + − + ( ) 2 3 4 2 2 2 2 5 6 .log log 5 5 6 x x x x x x x x x x + + − > − + + + − ; ( ) 5 3 5 3 log 2 log log log 3 log x x x x x x − + < ; 2 3 3 3 log 4 log 9 2 log 3 x x x − + ≥ − ; ( ) ( ) 2 3 4 16 7 log 3 0 x x x − + − > ; ( ) ( ) 2 2 2 3 log 1 5 5 log 5 7 2 x x x x + − + + − + ≤ ; ( ) 2 2 6 log 2.log 2 1 x x x + − − ≥ ; ( ) ( ) 2 2 9 3 log 3 4 2 1 log 3 4 2 x x x x − + + > − + ; ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 log log 4 log 1 log 8 1 x x x x x + ≤ − − − − ; ( ) 2 3 1 2 2 3 27 log 3 log 3 9 9 5 2 x x x x x − < + − − + − + ; ( ) 2 2 1 2 2 2 log 4 3 log 1 4 1 1 x x x x x − + > + − + + + ( ) 2 5 1 2 5 25 log 4 2 log 2 2 1 2 x x x x x + + − > + + − + − + ; ( ) 2 1 4 2 2 4 16 log 3 2 3 1 log 2 3 2 1 1 x x x x x − + + + < − − + + − + ; ( ) ( ) 2 4 12 2 32 log 2 1 0 x x x − ⋅ − − ≤ ; ( ) 2 2 2 2 1 4 2 log log 3 5 log 3 x x x + − > − ; ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 log 4 4 2 1 log 2 x x x x x + − + > − + − ; ( ) ( ) 2 3 log 2 1 log 4 2 2 x x + + + ≤ ; ( ) ( ) 2 2 9 3 log 3 4 2 1 log 3 4 2 x x x x + + + > + + ; ( ) ( ) 2 3 2 3 2 log 1 log 1 0 3 4 x x x x + − + > − − ( ) ( ) 2 2 4 log 2 3 2 1 2 3 2 x x x x + + + > + + ; 3 4 2 2 2 1 2 1 2 2 2 32 log log 9 log 4 log 8 x x x x − + < ; Tìm m để BPT sau đúng ∀ x : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 1 1 2 .log 2 .log log 0 1 4 m m m x x m m m + + + + > + Chứng minh rằng: ( ) ( ) 1 log 1 log 2 n n n n + + > + ; ( ) ( ) 2 3 log 1 2 log 1 3 x x + > + www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình Lôgarit 199 www.VNMATH.com . Phương trình và bất phương trình Lôgarit 191 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA: ( ) ( ) 0 1 log a m a f.  − − + − = +   www.VNMATH.com Chương VI. Phương trình và bất phương trình – Trần Phương 194 5. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 3 2 log 3 log 2 1 x x x. log 1 x x x x + + > + − www.VNMATH.com Phương trình và bất phương trình Lôgarit 197 4. SỬ DỤNG PHÉP LOGARIT HÓA Bài mẫu. Giải bất phương trình ( ) ( ) 4 2 1 4 log log 3 1 1 x x x − 