Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ( ) − ∫ 1 dx A = x 2 x + 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 2 1 1 1 1 2 ln 7 2 5 7 5 5 7 5 x x x dx dx c x x x x x + − − −   = = − = +  ÷ − + − + +   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 4 x 5 dx 9 x 5 x 2 x 4 • + − − = − − + + ∫ ∫ 2 dx A = x 5 x + 2 x + 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 5 1 4 2 9 5 2 2 4 63 5 2 18 2 4 1 1 1 1 1 1 1 5 1 4 ln ln 63 5 2 18 4 2 63 2 18 2 x x x x dx dx dx x x x x x x x x x x dx dx c x x x x x x + − − + − +   = − = −   − + + + − + + +   − +     = − + − = + +  ÷  ÷ − + + + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC 1. Các bài tập mẫu minh họa: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx 1 x x 3 1 xdx dx dx 3 3 x x 3 x x 3 x x 3 1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3 ln x 3 ln x c ln c 3 2 x 3 2 6 x 3 x • − −   = = = −  ÷ − −   − −   − −   = − = − − + = +    ÷   −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 dx B = x 3x • ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 3 4 3 4 dx 1 x x 10 1 xdx dx dx 10 10 x 10 x x x 10 x x 10 − −   = = = −  ÷ − −   − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 7 3 dx B = x 10x ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 1 1 d x dx 1 1 x 10 1 ln c 10 2 20 x x 10 x 10 x 10     − = − = + +  ÷  ÷  ÷  ÷ +   −   ∫ ∫ 2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 2 3 4 5 3 9 4 11 5 6 7 dx dx dx dx dx B ; B ; B ; B ; B x 5x x 7x x 8x x 9x x 13x = = = = = + − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6 7 8 3 2 3 2 4 3 2 dx dx dx B ; B ; B x 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 7x 4 = = = + + + − + − + + + + ∫ ∫ ∫ 17 Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1 dx ln arctgx c 2 4 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 • + − − − = = = − + + − − + − + ∫ ∫ ∫ 1 4 dx C = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 d x 1 1 1 1 x 1 d x ln c 2 4 4 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 • −   = = − = +  ÷ − − + +   − + ∫ ∫ ∫ 2 4 xdx C = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x 1 1 1 1 dx dx 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 dx 1 dx 1 x 1 1 ln arctgx c 2 2 4 x 1 2 x 1 x 1 • + + −   = = +  ÷ − − +   + − − = + = + + + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 4 x dx C = x 1 • ( ) 4 4 4 1 d x 1 1 ln x 1 c 4 4 x 1 − = = − + − − ∫ ∫ 3 4 4 x dx C = x 1 ( ) 4 1 4 4 x 1 1 dx 1 x 1 1 dx dx x C x ln arctgx c 4 x 1 2 x 1 x 1 • − + − = = + = + = + − + + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 4 5 4 x dx C = x 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 d x 1 arctg x c 2 2 x 1 • = = + + ∫ ∫ 6 4 xdx C = x + 1 ( ) 4 4 4 1 d x 1 1 ln x 1 c 4 4 x 1 • + = = + + + ∫ ∫ 3 7 4 x dx C = x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 d x x 2 1 x x x dx ln c 1 1 2 2 1 x 2 x x 2 x x x • − + + − − = = = + + + + + − ∫ ∫ ∫ 2 8 4 x 1 C = dx x + 1 • ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 d x 1 x 1 x x dx arctg c 1 2 x 2 1 x x 2 x x + − − = = = + + − + ∫ ∫ ∫ 2 9 4 x + 1 C = dx x + 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 2 2 9 8 2 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 dx dx dx 2 2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1 C C arctg ln c 2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1 •   + − − + − = = −  ÷ + + +     − − + = − = − +  ÷  ÷ + +   ∫ ∫ ∫ ∫ 10 4 dx C = x + 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 2 2 9 8 2 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 dx dx dx 2 2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1 C C arctg ln c 2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1 •   + + − + − = = +  ÷ + + +     − − + = + = + +  ÷  ÷ + +   ∫ ∫ ∫ ∫ 2 11 4 x dx C = x + 1 18 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ ( ) 4 2 2 4 2 x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1 dx x arctg ln c 2 x 1 2 x 2 2 2 x x 2 1 •   + − − − + = = − − +  ÷  ÷ + + +   ∫ ∫ 4 12 4 x dx C = x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 dx d x x x 1 1 1 1 x 5 x 4 x 5 x 6 x x x x d u du 1 1 1 1 x 6x 1 du ln c 7 u 6 u 1 7 u 6 u 1 u 5u 6 x x 1 •   − +  ÷   = = − − − + − + − + − + − − +   = = = − = +  ÷ − + − +   − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 13 4 3 2 x - 1 dx C = x 5x 4x 5x + 1 • ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 dx dx dx 2 2 x x 1 x x 1 x x 1   + − − + − = = −   + + + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ 14 4 2 dx C = x + x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 dx 1 dx d x d x 1 1 x x x x 1 1 2 4 1 1 x 1 x 1 x 3 x 1 x x x x         + − − +  ÷  ÷         = − = −           + + + +   − + + −  ÷  ÷             ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 1 x x 1 1 1 1 x 1 1 x x 1 x x arctg ln c arctg ln c 1 4 4 x x 1 2 3 3 2 3 x 3 x 1 x − + − − − + = − + = − + + + + + IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 dx d x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3 − = =   − − + + − − + − +   ∫ ∫ ∫ 1 3 dx D = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt dt 3 3 t t 3t 3 t t 3t 3 t t 3t 3   + + − + + = = = −  ÷ + +   + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 3 t 2 2 t 3t 3 t 3t 3   + = − −  ÷ + + + +   ∫ ∫ ∫ 2 2 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg c 6 x x 1 2 3 3 − + + = − + + + • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 dx d x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3 + = =   + − + + + − + +   ∫ ∫ ∫ 2 3 dx D = x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt dt 3 3 t t 3t 3 t t 3t 3 t t 3t 3   − + − − − = = = −  ÷ − +   − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt 3 t 2 2 3 t 3t 3 3 t 2 4   − + = − + =  ÷ − +  ÷ − +  ÷   ∫ ∫ ∫ 19 Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 2 2 2 2 1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1 ln 3arctg c ln arctg c 3 2 6 t 3t 3 x x 1 3 2 3 3   − + + − + + = + +  ÷ − + − +   • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 xdx 1 x x 1 x 1 dx 3 x 1 x x 1 x 1 x x 1 + + − − = = − − + + − + + ∫ ∫ ∫ 3 3 xdx D = x 1 2 1 1 x 1 dx 3 x 1 x x 1 −   = −  ÷ − + +   ∫ ( ) ( ) 2 2 2 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx 3 x 1 2 2 x x 1 3 1 x 2 2   + = − +   − + +     + +  ÷       ∫ ∫ ∫ 2 1 1 2x 1 ln x 1 ln x x 1 3arctg c 3 2 3 +   = − − + + + +     • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 xdx 1 x x 1 x 1 dx 3 x 1 x x 1 x 1 x x 1 − − + − + = = + − + + − + ∫ ∫ ∫ 4 3 xdx D = x + 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx dx 3 x 1 3 x 1 2 2 x x 1 x x 1 3 1 x 2 2   − + − −   = − = − −  ÷   + + − + − +       − +  ÷       ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1 ln x 1 ln x x 1 3arctg c ln arctg c 3 2 6 x x 1 3 3 3 − − − + + −   = + − − + − + = − +   − +   V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6 • ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 3 3 dx 1 dx dx 1 D D 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1   = = − = −   − − +   − + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 6 dx E = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg ln arctg 2 6 6 x x 1 x x 1 2 3 3 2 3 3 1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 ln arctg arctg c 12 4 3 3 3 x 2x 1 x x 1       − + + + + − = − − +    ÷  ÷  ÷  ÷ + + − +         − + − + + −   = − + +  ÷ + + + +   • ( ) ( ) 2 1 3 3 2 1 d x 1 du 1 D 2 2 2 u 1 x 1 = = = − − − ∫ ∫ ∫ 2 6 xdx E = x 1 2 4 2 2 2 4 2 1 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg c ln arctg c 2 6 12 u u 1 x x 1 2 3 3 2 3 3   − + + − + + = − + = − +   + + + +   ( ) 3 3 3 6 3 3 1 d x 1 1 x 1 1 x 1 ln c ln c 3 3 2 6 x 1 x 1 x 1 • − − = = × + = + − − + + ∫ ∫ 2 3 6 x dx E = x 1 • ( ) ( ) ( ) 2 2 6 3 2 1 x d x 1 udu 1 udu 2 2 2 x 1 u 1 u 1 u u 1 = = = = − − − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ 3 4 6 x dx E = x 1 20 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ ( ) 2 4 2 2 2 4 2 1 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg c ln arctg c 12 12 u u 1 x x 1 2 3 3 2 3 3 − + − + + = + + = + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 4 2 6 2 4 2 x x 1 x 1 2 dx dx dx dx 2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 • + + − − − = = − − − − + + − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 5 6 x dx E = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x 1 ln arctg arctg arctg c 12 2 3 3 3 x 3 x 2x 1 x x 1   − + − + + − − = + + − +  ÷ + + + +   • ( ) 6 6 6 1 d x 1 ln x 1 c 6 6 x 1 = = − + − − ∫ ∫ 5 6 6 x dx E = x 1 • ( ) 6 1 6 6 x 1 1 dx dx dx x E x 1 x 1 − + = = + = + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 6 7 6 x dx E = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x ln arctg arctg c 12 4 3 3 3 x 2x 1 x x 1 − + − + + −   = + − + +  ÷ + + + +   • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 1 1 dx x 1 x 1 dx x 1 dx x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x   −  ÷ − + − −   = = =   − + + − + + −  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ 4 8 6 x 1 E = dx x + 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 d x x 3 1 1 x x 3 1 x x ln c ln c 1 2 3 2 3 x x 3 1 1 x 3 x 3 x x + + − − + = = + = + + + + + + − ∫ • ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 6 2 4 2 x x 1 x dx x dx dx x 1 x 1 x 1 x x 1 − + + = = + + + + − + ∫ ∫ ∫ ∫ 4 9 6 x + 1 E = dx x + 1 ( ) ( ) 3 3 2 6 dx 1 d x 1 arctgx arctg x c 3 3 x 1 x 1 = + = + + + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 9 8 6 2 3 2 1 x 1 x 1 1 dx E E 2 2 x 1 1 1 1 x x 3 1 arctgx arctg x ln c 2 3 2 3 x x 3 1 • + − − = = − = +   − + = + − +  ÷  ÷ + +   ∫ ∫ 10 6 dx E = x + 1 • ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 6 6 6 1 d x 1 d x 1 d x 1 D 3 2 3 2 x 1 x 1 x 1 = + = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 11 6 x + x E = dx x + 1 (thay x 2 vào D 2 ) ( ) 4 2 2 3 4 2 1 1 1 x 2x 1 1 2x 1 arctg x ln arctg c 3 2 6 x x 1 2 3 3   + + − = + + +  ÷ − +   21 Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR • Đa thức P n (x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x = a là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 2 n n n n n n P a P a P a P x P a x a x a x a 1! 2! n! ′ ′′ = + − + − + ×××+ − 1. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) − − ∫ 4 3 1 50 3x 5x + 7x 8 F = dx x + 2 . Đặt ( ) 4 3 4 P x 3x 5x 7x 8= − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 4 4 4 4 4 4 4 P 2 P 2 P 2 P 2 P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1! 2! 3! 4! ′ ′′ − − − − ⇔ = − + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 4 P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2⇔ = − + + + − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 50 50 49 48 47 46 49 48 47 46 45 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 F dx x 2 66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx 66 149 48 29 3 c 49 x 2 48 x 2 47 x 2 46 x 2 45 x 2 − − − − − − + + + − + + + ⇒ = +   = + − + + + − + + +   − = + − + − + + + + + + ∫ ∫ VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO 1. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ( ) ( ) 99 99 98 99 99 99 1 3 5 3 1 3 5 5 3 5 3 5 3 5   + − = = = −   +   + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 100 dx G = 3x + 5x dx x x dx x d x dx x x x x x x ( ) 99 99 99 99 99 1 dx 1 d 3x 5 1 1 1 x ln x ln 3x 5 c ln c 5 x 99 5 99 495 3x 5 3x 5   +   = − = − + + = +       + +   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 50 50 49 2 2 50 50 50 50 50 49 49 49 2 50 2 50 50 50 50 50 1 2x 7 2x 1 dx 2x dx dx 7 7 x 2x 7 x 2x 7 2x 7 1 1 2x 7 2x 2x dx 1 dx 2x dx 1 2x dx dx 7 7 49 x 7 2x 7 x 2x 7 2x 7 2x 7 1 dx 1 d 2x 7 49 x 50 2x 7 •   + − = = −   +   + +       + − = − = − −     +   +   + +     + = −  +  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 50 dx G = x 2x + 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 50 2 50 50 50 50 50 50 1 d 2x 7 350 2x 7 1 1 1 1 x 1 ln x ln 2x 7 ln c 49 49.50 49.50 2x 7 350 2x 7 350 2x 7 + −   + = − + + = + + + + + ∫ 22 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n k k 1 k n n n 1 ax b ax 1 dx 1 d ax b dx b b nb x ax b x ax b ax b − • + − + = = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 3 k n dx G = x ax + b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 k 2 2 k 1 k n n n 1 dx 1 d ax b 1 d ax b nb b nb x ax b ax b ax b − − + + = − − = ××× + + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k k 1 k k 1 n n n k n k 1 k 1 n n 1 1 1 1 1 ln x ln ax b c n b b b ax b b k 1 ax b 1 x 1 1 1 ln c n nb ax b b ax b b k 1 ax b − − − −   = + + ×××+ − + +   + − +     = + + ×××+ +   + + − +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2000 2000 1999 2000 2000 2000 1000 2000 2000 2000 1 x 2x dx 2x dx dx x x 1 x 1 x dx 1 d 1 x 1 x ln x ln 1 x c ln c x 1000 1000 1 x 1 x • − + − = = − + + + = − = − + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2000 4 2000 1 x dx G = x 1+ x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 9 10 10 10 10 2 2 2 10 10 10 10 10 10 10 2 10 10 1 .10 1 1 3 3 3 10 10 10 3 3 3 1 3 3 1 3 3 ln 3 10 10 3 10 3 3 • + − = = + + + +   + + = − = + + +   + +   +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 19 5 2 10 x dx G = = 3 + x x x dx x d x x d x x x x d x d x x c x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 50 49 50 50 7 7 50 50 50 50 6 7 5 6 50 50 50 50 50 50 6 6 50 50 x .x dx 1 2x 3 3 d 2x 3 200 2x 3 2x 3 1 d 2x 3 d 2x 3 1 1 1 3 c 200 200 2x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 3 1 2 2x 3 5 1 4x c c 200 10 2x 3 2000 2x 3 • − + = = − − − −   − − −   = + = + +       − − − −     − − + − = × + = + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 99 6 7 50 x dx G = 2x 3 • ( ) ( ) n n 1 k n x x dx ax b − = + ∫ ∫ 2n-1 7 k n x dx G = ax + b ( ) ( ) ( ) n n 2 k n 1 ax b b d ax b na ax b + − = + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 k 1 k 2 k 2 k 1 n n n n 1 d ax b d ax b 1 1 b b c na na ax b ax b k 2 ax b k 1 ax b − − −   + + −   = − = + +       + + − + − +     ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 k 1 k 1 n 2 n 1 b k 2 k 1 ax b kax b c c na k 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b − − − − − + − − = × + = + − − + − − + 23 Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 5 **** 1 2 3 4 5 8 8 8 8 8 xdx x x dx xdx dx G ; G dx ; G ; G ; G x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 − = = = = = − + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC • ( ) ( ) ( ) 10 2 3x 5 dx x 2 x 2 − −   =  ÷ +   + ∫ ∫ 10 1 12 3x 5 H = dx x + 2 10 11 1 3x 5 3x 5 1 3x 5 d c 11 x 2 x 2 121 x 2 − − −       = = +  ÷  ÷  ÷ + + +       ∫ • ( ) ( ) ( ) 99 99 2 7x 1 dx 1 7x 1 7x 1 d 2x 1 9 2x 1 2x 1 2x 1 − − − −       = =  ÷  ÷  ÷ + + +       + ∫ ∫ ∫ 99 2 101 7x 1 H = dx 2x + 1 100 100 1 1 7x 1 1 7x 1 c c 9 100 2x 1 900 2x 1 − −     = × + = +  ÷  ÷ + +     • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 6 2 8 dx 1 1 dx x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = = × × + + + + + + + ∫ ∫ ∫ 3 5 3 dx H = x + 3 x + 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 7 5 7 5 1 1 x 3 x 5 1 1 x 3 d u 1 du x 5 x 5 2 2 u x 3 x 5   + − + + = × = × −   + +   + + ∫ ∫ 6 5 4 3 2 7 5 7 2 3 4 5 2 7 2 3 4 1 u 6u 15u 20u 15u 6u 1 du 2 u 1 15 20 15 6 1 u 6 du u 2 u u u u 1 u 20 15 2 1 6u 15ln u c u 2 2 2u u 4u − + − + − + =   = − + − + − +  ÷     = − + + − + − +  ÷   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 2 3 4 7 1 1 x 3 x 3 x 3 6 15ln x 5 x 5 2 x 5 2 1 x 5 15 x 5 x 5 x 5 1 20 2 c x 3 2 x 3 x 3 4 x 3 2   + + + = − + +   + + +     + + + + + − + − +   + + + +   Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: • ( ) ( ) − ∫ 1 7 3 dx H = 3x 2 3x + 4 ; ( ) ( ) 1 − ∫ 2 3 4 dx H = 2x 3x - 1 ; ( ) ( ) ∫ 3 5 4 dx H = 3x + 2 4x - 1 24 . Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA. + = + = + +  ÷  ÷ + +   ∫ ∫ ∫ ∫ 2 11 4 x dx C = x + 1 18 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ ( ) 4 2 2 4 2 x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1 dx x arctg ln c 2 x 1 2 x. 1 u 1 u u 1 = = = = − − − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ 3 4 6 x dx E = x 1 20 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ ( ) 2 4 2 2 2 4 2 1 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg c ln arctg