TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TẬP 2 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2009 Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 51 1. Đònh nghóa luỹ thừa Số mũ a Cơ số a Luỹ thừa a a * Nn Ỵ= a a Ỵ R n aaaaa a == (n thừa số a) 0 = a 0 ¹ a 1 0 == aa a )( * Nnn Ỵ-= a 0 ¹ a n n a aa 1 == - a ),( * NnZm n m ỴỴ= a 0 > a )( abbaaaa n n n m n m =Û=== a ),(lim * NnQrr nn ỴỴ= a 0 > a n r aa lim= a 2. Tính chất của luỹ thừa · Với mọi a > 0, b > 0 ta có: a a a aaabababa b a baba b a b a baabaaa a a aaa = ÷ ø ư ç è ỉ ==== -+ ;.)(;)(;;. . · a > 1 : aa >Û> ab ab ; 0 < a < 1 : aa >Û< ab ab · Với 0 < a < b ta có: 0 mm abm <Û> ; 0 mm abm >Û< Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3. Đònh nghóa và tính chất của căn thức · Căn bậc n của a là số b sao cho n ba = . · Với a, b ³ 0, m, n Ỵ N*, p, q Ỵ Z ta có: . nnn abab = ; (0) n n n aa b b b => ; ( ) (0) p n pn aaa => ; m nmn aa = (0) nm pq pq Nếuthìaaa nm ==> ; Đặc biệt mn nm aa = · Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì nn ab < . Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì nn ab < . Chú ý: + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a . + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau. 4. Công thức lãi kép Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì. Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: (1) N CAr =+ CHƯƠNG II HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT I. LUỸ THỪA Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng Trang 52 Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:: a) ( ) ( ) 32 3 727 1 7. 8714 A ỉưỉưỉư = ç÷ç÷ç÷ èøèøèø b) ( ) ( ) ( ) ( ) 26 4 64 2 3.15.8 9.5.6 B = c) 32 23 48 C =+ d) ( ) 2 3 5 2 32D - = e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 73 4 452 18.2.50 25.4.27 E = f) ( ) ( ) ( ) 33 6 4 2 3 125.16.2 255 F = éù - êú ëû g) ( ) ( ) ( ) 2 31342 03 322 2.25.50,01.10 10:100,25100,01 G - - +- = -+ h) ( ) ( ) 11111 33333 4102525 H=-++ i) 4 3 54 3 4.64.2 32 I ỉư ç÷ èø = k) 55 5 2 3 5 81.3.9.12 3.1827.6 K= ỉư ç÷ èø Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a) ( ) 4 2 3 ,0 xxx ³ b) ( ) 5 3 ,,0 ba ab ab ¹ c) 5 3 222 d) 3 3 232 323 e) 4 3 8 a f) 5 2 3 bb bb Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau: a) 1,51,5 0,50,5 0,5 0,50,5 0,50,5 2 ab ab b ab ab ab + - + + - + b) 0,50,50,5 0,50,5 221 . 1 21 aaa a aaa ỉư +-+ - ç÷ ç÷ - ++ èø c) 111131 222222 1111 2222 2 . xyxyxyy xyxy xyxyxyxy ỉư ç÷ -+ +- ç÷ +- ç÷ +- èø d) 111111 222222 2 11 22 33 . 2 xyxyxy xy xy ỉư ç÷ + + ç÷ - ç÷ ỉư ç÷ ç÷ - èø èø e) ( ) ( ) 122124 333333 abaabb -++ f) ( ) ( ) ( ) 111111 444422 ababab -++ g) ( ) ( ) ( ) 1 1 222 2 1 1 .1. 2 abc bca abc bc abc - - - - - ỉư ++ +- +++ ç÷ ç÷ -+ èø h) 111 222 11 22 22(1) . 1 21 aaa a aaa ỉư ç÷ +-+ - ç÷ - ç÷ ç÷ ++ èø Bài 4. Đơn giản các biểu thức sau: a) 33 66 ab ab - - b) 4 : ababb ab ab aab ỉư - - ç÷ - + èø c) 4 2 4 2 4 2 axxa axax axax ỉư + -++ ç÷ ç÷ + èø d) 33 22 3333 2222 3 6 66 2 axaxax axaaxx x ax +- + + - - Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 53 e) 3 44 33 44 11 11 xxx xx xx xx éù - êú ỉưỉư êú -+ ç÷ç÷ êú ç÷ç÷ -+ êú èøèø ëû f) 333 2222 33 3 33 3 2 3 2 : aaabababab a ab aab éù -+- êú + êú - - ëû g) ( ) 33 22 1 666 3333 2222 3 . 2 ababab aba aabbab - éù -+ êú + êú -+- ëû Bài 5. So sánh các cặp số sau: a) ( ) ( ) 2 2 0,01và10 b) 26 và 44 ỉưỉư ç÷ç÷ èøèø pp c) 2332 5và5 d) 300200 5và8 e) ( ) 0,3 3 0,001và100 - f) ( ) 2 2 4và0,125 - g) ( ) ( ) 35 22 và h) 45 45 54 và - ỉưỉư ç÷ç÷ èøèø i) 1011 0,0250 và - k) ( ) ( ) 12 42 3131và l) 22 32 và 52 ỉưỉư ç÷ç÷ èøèø m) 510 23 và 22 ỉưỉư ç÷ç÷ èøèø pp Bài 6. So sánh hai số m, n nếu: a) 3,23,2 mn < b) ( ) ( ) 22 mn > c) 11 99 mn ỉưỉư > ç÷ç÷ èøèø d) 33 22 mn ỉưỉư > ç÷ç÷ èøèø e) ( ) ( ) 5151 mn -<- f) ( ) ( ) 2121 mn -<- Bài 7. Có thể kết luận gì về số a nếu: a) ( ) ( ) 21 33 11 aa -<- b) ( ) ( ) 31 2121 aa +>+ c) 0,2 2 1 a a - ỉư < ç÷ èø d) ( ) ( ) 11 32 11 aa ->- e) ( ) ( ) 3 2 4 22 aa ->- f) 11 22 11 aa - ỉưỉư > ç÷ç÷ èøèø g) 37 aa < h) 11 178 aa < i) 0,253 aa < Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 5 41024 x = b) 1 528 25125 x+ ỉư = ç÷ èø c) 13 1 8 32 x- = d) ( ) 2 2 1 33 9 x x - ỉư = ç÷ èø e) 2827 . 92764 xx- ỉưỉư = ç÷ ç÷ èø èø f) 2 56 3 1 2 xx-+ ỉư = ç÷ èø g) 28 10,25 .32 0,125 8 x x - - ỉư = ç÷ èø h) 0,20,008 x = i) 3773 97 493 xx ỉưỉư = ç÷ ç÷ èø èø k) 5.20,001 xx = l) ( ) ( ) 1 12.3 6 xx = m) 11 1 7.4 28 xx = Bài 9. Giải các bất phương trình sau: a) 0,1100 x > b) 3 1 0,04 5 x ỉư > ç÷ èø c) 100 0,3 9 x > Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng Trang 54 d) 2 7.49343 x+ ³ e) 2 11 9 327 x+ ỉư < ç÷ èø f) 1 3 93 x < g) ( ) 1 3.3 27 x > h) 1 1 27.3 3 xx- < i) 3 1 .21 64 x ỉư > ç÷ èø Bài 10. Giải các phương trình sau: a) 2 2220 xx+ += b) 1 3312 xx+ += c) 1 5530 xx- += d) 11 44484 xxx-+ ++= e) 2 424.41280 xx -+= f) 121 4248 xx++ += g) 3.92.950 xx- -+= h) 2 56 31 xx-+ = i) 1 42240 xx+ +-= Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 55 1. Đònh nghóa · Với a > 0, a ¹ 1, b > 0 ta có: log a bab =Û= a a Chú ý: log a b có nghóa khi 0,1 0 aa b ì >¹ í > ỵ · Logarit thập phân: 10 lgloglog bbb == · Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnlog e bb = (với 1 lim12,718281 n e n ỉư =+» ç÷ èø ) 2. Tính chất · log10 a = ; log1 a a = ; log b a ab = ; log (0) a b abb => · Cho a > 0, a ¹ 1, b, c > 0. Khi đó: + Nếu a > 1 thì loglog aa bcbc >Û> + Nếu 0 < a < 1 thì loglog aa bcbc >Û< 3. Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a ¹ 1, b, c > 0, ta có: · log()loglog aaa bcbc =+ · logloglog aaa b bc c ỉư =- ç÷ èø · loglog aa bb = a a 4. Đổi cơ số Với a, b, c > 0 và a, b ¹ 1, ta có: · log log log a b a c c b = hay log.loglog aba bcc = · 1 log log a b b a = · 1 loglog(0) a a cc =¹ a a a Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: a) 21 4 log4.log2 b) 527 1 log.log9 25 c) 3 log a a d) 3 2 log2 log3 49+ e) 22 log8 f) 9 8 log2 log27 274+ g) 34 1/3 7 1 log.log log aa a aa a h) 386 log6.log9.log2 i) 381 2log2 4log5 9 + k) 99 3 log364log7 log5 81273 ++ l) 57 log6log8 2549+ m) 5 32log4 5 - n) 68 11 log3log2 94+ o) 9 2125 1log4 2log3log27 345 + - ++ p) 3 6 log3.log36 q) 000 lg(tan1)lg(tan2) lg(tan89) +++ r) 842234 loglog(log16).loglog(log64) éùéù ëûëû II. LOGARIT Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng Trang 56 Bài 2. Cho a > 0, a ¹ 1. Chứng minh: 1 log(1)log(2) aa aa + +>+ HD: Xét A = 111 11 log(2)loglog(2) log.log(2) log(1)2 aaa aa a aaa aa a +++ ++ +++ =+£ + = = 2 11 log(2)log(1) 1 22 aa aaa ++ ++ <= Bài 3. So sánh các cặp số sau: a) 34 1 log4 và log 3 b) 3 0,10,2 log2 và log0,34 c) 35 42 23 log và log 54 d) 11 32 11 loglog 80 152 và + e) 1317 log150log290 và f) 6 6 1 log log3 2 2 và 3 g) 711 log10log13 và h) 23 log3log4 và i) 910 log10log11 và HD: d) Chứng minh: 11 32 11 log4log 80 152 << + e) Chứng minh: 1317 log1502log290 << g) Xét A = 777 711 7 log10.log11log13 log10log13 log11 - -= = 777 7 110.11.71011 loglog.log log117.7.1377 ỉư + ç÷ èø > 0 h, i) Sử dụng bài 2. Bài 4. Tính giá trò của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho 2 log14 a = . Tính 49 log32 theo a. b) Cho 15 log3 a = . Tính 25 log15 theo a. c) Cho lg30,477 = . Tính lg9000 ; lg0,000027 ; 81 1 log100 . d) Cho 7 log2 a = . Tính 1 2 log28 theo a. Bài 5. Tính giá trò của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho 25 log7 a = ; 2 log5 b = . Tính 3 5 49 log 8 theo a, b. b) Cho 30 log3 a = ; 30 log5 b = . Tính 30 log1350 theo a, b. c) Cho 14 log7 a = ; 14 log5 b = . Tính 35 log28 theo a, b. d) Cho 2 log3 a = ; 3 log5 b = ; 7 log2 c = . Tính 140 log63 theo a, b, c. Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghóa): a) loglog aa cb bc= b) loglog log() 1log aa ax a bx bx x + = + c) log 1log log a a ab c b c =+ d) 1 log(loglog) 32 ccc ab ab + =+, với 22 7 abab += . e) 1 log(2)2log2(loglog) 2 aaaa xyxy +-=+, với 22 412 xyxy += . Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 57 f) loglog2log.log bccbcbcb aaaa +-+- += , với 222 abc += . g) 234 11111(1) logloglogloglog2log k aa aaaa kk xxxxxx + +++++= . h) log.log.log log.loglog.loglog.log log abc abbcca abc NNN NNNNNN N ++= . i) 1 1lg 10 z x - = , nếu 11 1lg1lg 1010 xy yvàz ==. k) 2320092009! 1111 loglogloglog NNNN +++= . l) logloglog logloglog aba bcc NNN NNN - = - , với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Só Tùng Trang 58 1. Khái niệm a) Hàm số luỹ thừa yx = a (a là hằng số) Số mũ a Hàm số yx = a Tập xác đònh D a = n (n nguyên dương) n yx = D = R a = n (n nguyên âm hoặc n = 0) n yx = D = R \ {0} a là số thực không nguyên yx = a D = (0; +¥) Chú ý: Hàm số 1 n yx = không đồng nhất với hàm số (*) n yxnN =Ỵ. b) Hàm số mũ x ya = (a > 0, a ¹ 1). · Tập xác đònh: D = R. · Tập giá trò: T = (0; +¥). · Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghòch biến. · Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. · Đồ thò: c) Hàm số logarit log a yx = (a > 0, a ¹ 1) · Tập xác đònh: D = (0; +¥). · Tập giá trò: T = R. · Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghòch biến. · Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. · Đồ thò: 0<a<1 y=log a x 1 x y O a>1 y=log a x 1 y x O 0<a<1 y=a x y x 1 a>1 y=a x y x 1 III. HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trang 59 2. Giới hạn đặc biệt · 1 0 1 lim(1)lim1 x x xx xe x ®®±¥ ỉư +=+= ç÷ èø · 0 ln(1) lim1 x x x ® + = · 0 1 lim1 x x e x ® - = 3. Đạo hàm · ( ) 1 (0) xxx - ¢ => aa a ; ( ) 1 . uuu - ¢ ¢ = aa a Chú ý: ( ) 1 1 0 0 n n n vớixnếunchẵn x vớixnếunlẻ nx - ¢ ỉư > = ç÷ < èø . ( ) 1 n n n u u nu - ¢ ¢ = · ( ) ln xx aaa ¢ = ; ( ) ln. uu aaau ¢ =¢ () xx ee ¢ = ; ( ) . uu eeu ¢ =¢ · ( ) 1 log ln a x xa ¢ = ; ( ) log ln a u u ua ¢ ¢ = () 1 ln x x ¢ = (x > 0); ( ) ln u u u ¢ ¢ = Bài 1. Tính các giới hạn sau: a) lim 1 x x x x ®+¥ ỉư ç÷ + èø b) 1 1 lim1 x x x x + ®+¥ ỉư + ç÷ èø c) 21 1 lim 2 x x x x - ®+¥ ỉư + ç÷ - èø d) 1 3 34 lim 32 x x x x + ®+¥ ỉư - ç÷ + èø e) 1 lim 21 x x x x ®+¥ ỉư + ç÷ - èø f) 21 lim 1 x x x x ®+¥ ỉư + ç÷ - èø g) ln1 lim xe x xe ® - - h) 2 0 1 lim 3 x x e x ® - i) 1 lim 1 x x ee x ® - - k) 0 lim sin xx x ee x - ® - l) sin2sin 0 lim xx x ee x ® - m) ( ) 1 lim1 x x xe ®+¥ - Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 3 2 1 yxx =++ b) 4 1 1 x y x + = - c) 2 5 2 2 1 xx y x +- = + d) 3 sin(21) yx =+ e) 3 2 cot1 yx =+ f) 3 3 12 12 x y x - = + g) 3 3 sin 4 x y + = h) 11 5 9 96 yx =+ i) 2 4 2 1 1 xx y xx ++ = -+ Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) ( ) 2 22 x yxxe =-+ b) ( ) 2 2 x yxxe - =+ c) 2 .sin x yex - = d) 2 2 xx ye + = e) 1 3 . xx yxe - = f) 2 2 xx xx ee y ee + = - g) cos 2. xx ye= h) 2 3 1 x y xx = -+ i) cos. cotx yxe = [...]... > 12 x 2 - 12 x+4 >0 x 3 - 2) £ 2 x -1 - 128 ³ 0 u) ( 22 x + 1 - 9 .2 x + 4 ) x 2 + 2 x - 3 ³ 0 Trang 70 Trần Só Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Bài 3 Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): a) 2 x x 2 13 >0 2 -3x 2 - 5 x + 2 + 2x > 3 x 2x... 1 d) 2 x + 3 x = 1 + 6 x g) x 2 3 x + 3x ( 12 - 7 x ) = - x 2 + 8 x 2 - 19 x + 12 h) x 2 3 x -1 + x (3 x - 2 x ) = 2( 2 x - 3x -1 ) f) 4 x 2 +x i) 4sin x - 21 +sin x cos( xy ) + 2 y = 0 k) 22 ( x Bài 8 Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): a) 2 x = cos x 4 , với x ³ 0 b) 3 x ỉ x3 - x ư d) 2. cos ç ÷ = 3 x + 3- x è 2 ø 2 e) p 2 -6 x +10 sin x 2 + 21 - x = 2 ( x +1) + 1 2 2 +x) 2 + 21 - x - 22 ( x... 3 .2 = 8 ỵ ì3 ï e) í ï3 ỵ ì 42( x 2 -1) - 4.4 x 2 -1 .2 y + 2 2 y = 1 ï f) í 2y x 2 -1 y 2 = 4 2 - 3.4 ỵ x +1 - 2 y = -4 x +1 - 2 y +1 = -1 ì( x 2 + y )2 y - x 2 = 1 ï h) í 2 x2 -y ï9( x + y ) = 6 ỵ ìcot 2 x = 3y ï g) í y ïcos x = 2 ỵ ì 32 x - 2 y = 77 ï i) í x y ï3 - 2 = 7 ỵ Bài 3 Giải các hệ phương trình sau: ì3 x = 2 y + 1 ï a) í y ï3 = 2 x + 1 ỵ 2 x - 2 y = y - x ï c) í 2 2 ï x + xy + y = 3 ỵ 2. .. 1)( M - N ) > 0 Bài 1 Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): ỉ1ư ³ç ÷ è3ø 2 x - 2x a) 3 x - x -1 c) 2 x + 2 - 2 x + 3 - 2 x e) 9 x 2 -3 x + 2 -6 x 2 -3 x + 2 x2 + 1 2 g) 4 x + x .2 +4 + 3 .2 ỉ1ư b) ç ÷ 2 > 5x + 1 - 5x + 2 x 2 x2 + 8 x + 12 x x 6 -2 x 3 +1 x -1 +3 2 x +3 1- x ỉ1ư log x 2 -1 ( x + 1) n) (4 x 2 - 16 x + 7).log3 ( x - 3) > 0 o) (4 x - 12. 2 x + 32) .log2 (2 x - 1) £ 0 Bài 3 Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) log2 x + 2 log x 4 - 3 £ 0 b) log5 (1 - 2 x ) < 1 + log c) 2 log 5 x - log x 125 < 1 d) log2 x 64 + log x 2 16 ³ 3 e) log x 2. log2 x 2. log 2 4 x > 1 f) log2 x + log 1 x 2 < 0 1 2 g) 2 log 4 x log 2 x + > 2. .. = -2 1 6 5 Bài 4 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 2 a) log5 - x ( x 2 - 2 x + 65) = 2 b) log x c) log x (5 x 2 - 8 x + 3) = 2 d) log x +1 (2 x 3 + 2 x 2 - 3 x + 1) = 3 e) log x f) log x ( x + 2) = 2 - 3 ( x - 1) = 2 - 1( x - 4 x + 5) = 1 g) log2 x ( x 2 - 5 x + 6) = 2 h) log x +3 ( x 2 - x ) = 1 i) log x (2 x 2 - 7 x + 12) = 2 k) log x (2 x 2 - 3 x - 4) = 2 l) log2 x ( x 2. .. 0 , 125 .8 d) 52 x - 7 x - 52 x 35 + 7 x 35 = 0 +1 -1 xf) 5 Trang 61 x2 +4 = 25 Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit ỉ1ư g) ç ÷ 2 x 2 -2 Trần Só Tùng ỉ1ư h) ç ÷ 2 = 2 4 -3 x 2x i) ( 3 - 2 2 ) = 3 + 2 1 -2 x ỉ1ư ç ÷ 2 =2 x -1 5 + 2) = ( k) ( 2 x +7 x -1 5 - 2 ) x +1 x+1 l) 3 2 = 72 m) 5x +1 + 6 5 x – 3 5 x -1 = 52 Bài 2 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): x a) 4 x + 2 x+1 - 8 = 0 b) 4 x +1 - 6.2 . c) 111131 22 222 2 1111 22 22 2 . xyxyxyy xyxy xyxyxyxy ỉư ç÷ -+ +- ç÷ +- ç÷ +- èø d) 111111 22 222 2 2 11 22 33 . 2 xyxyxy xy xy ỉư ç÷ + + ç÷ - ç÷ ỉư ç÷ ç÷ - èø èø e) ( ) ( ) 122 124 333333 . ) 1 2 2 4 2 22 11 + = + +-+ xxxx g) 22 2 .33 ( 127 )81 9 12 xx xxxxx +-=-+-+ h) 21 1 .3( 32) 2 (23 ) xxxxx xx +-=- i) sin1sin 42cos( )20 y xx xy + -+= k) 22 22 2( ) 12( )1 22 2 .21 0 xxxxxx+-+- + = Bài 8. Giải các phương. 1 22 .356 3 .23 87 xxy xxy + ++ ì ï += í += ï ỵ d) 22 22 1 321 7 2. 33 .28 xy xy ++ + ì ï += í += ï ỵ e) 1 11 324 321 xy xy + ++ ì ï -=- í -=- ï ỵ f) 22 2 2(1 ) 12 21 . 44.4 .22 1 23 .4 .24 xxyy yxy - ì ï -+= í -= ï ỵ g) 2 cot3 cos2 y y x x ì ï = í = ï ỵ