a. mở đầu 1. Lý do chọn đề tài - Hai yếu tố đã góp phần đổi mới phơng pháp giảng dạy nói chung và phơng pháp giảng dạy mon toán cấp THCS nói riêng, muốn thực hiện đợc điều đó thì vi trò của ngời thầy hết sức quan trọng. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phơng pháp giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống. - Trong chơng trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK đề cập đến rất ít nhng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm rất vững kiến thức SGK nhng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những ngời thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là dạng toán Tìm cực trị . Thật vậy trong chơng trình toán phổ thông dạng kiến thức về cực trị là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lai khá rộng rãi nó không những có mặt trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn hình học, nó không chỉ dừng ở chơng trình THCS mà còn là một phần quan trọng trong chơng trình THPT. Vì vậy dạng toán cực trị là phần gây cho HS ngay cả HS giỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê môn toán và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải t duy, tìm tòi sáng tạo. - Để giải đợc một bài toán cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững đợc các kiến thức cơ bản phổ thông phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thông qua các bài tập cực trị hHS có thể vận dụng linh hoạt vào các loại toán khác nh giải phơng trình, hệ phơng trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học Tóm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua những năm dạy toán ở trờng THCS , tôi đã rút ra đợc vài kinh nghiệm . tôi mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu tựa đề là: Một số ph ơng pháp tìm cực trị trong trờng phổ thông cấp THCS . 1 B- Nội dung phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số A . Yêu cầu 1 / với giáo viên : - Xây dựng cơ sở lí thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từng dạng toán . - phân loại các bài tập từ dễ đến khó . - Rèn luyên nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu . - Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra nhũng vớng mắc , sai sót mà HS haymắc phải khi làm bài tập . 2 / Với học sinh : - Hiểu đợc bản chất các loại toán . - Nhận dạng đợc từng loại bài tập , vận dụng phơng pháp hợp lý của từng dạng vào giải toán . - Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải toán , biết suy luận từ bài dễ đên bài khó với cách giải hay hơn . B . một số Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện sau đồng thời đợc thoả mãn 1 o . f(x) M với x D 2 o . Tồn tại x 0 D sao cho f(x 0 ) = M. kí hiệu là max f(x) = M b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 1 o . f(x) m với x D 2 o . Tồn tại x 0 D sao cho f(x 0 ) = m. 2. Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị - B ớc 1 : Chứng minh bất đẳng thức: f(x) m (hoặc f(x) M) với x D. 2 - B ớc 2: Chỉ ra giá trị x 0 D để: f(x 0 ) = m f(x 0 ) = M) - B ớc 3 Kết luận: Với giá trị x 0 D thì f(x) đạt: MxMaxf Dx o = )( mxM D x = 0 )inf( Chú ý : 1 / Nếu chỉ chứng minh đợc f (x) m hoặc f(x) M thì cha đủ để kết luận về GTLN hoặc GTLN Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1) 2 +(x-3) 2 Giải : Ta có (x-1) 2 0 x (1) ( x - 3 ) 2 0 (2) A 0 x nhng không thể kết luận đợc Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai BĐT (1) và (2). Ta có: f(x) = x 2 - 2x + 1 + x 2 -6x + 9 = 2 ( x 2 - 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 ) 2 + 2 2 Vậy Min A = 2 x - 2 = 0 x = 2 2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên C . Phơng pháp cơ bản và ví dụ Ph ơng pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức 1.1. Nội dung ph ơng pháp + Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh f(x) m (hoặc f(x) M) với x D + Chỉ ra sự tồn tại x 0 D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "=" xảy ra). 1.2. Kiến thức bổ sung a) Bất đẳng thức cô si + Với a,b > 0, a,b D thì ab ba + 2 Dấu = xảy ra khi a= b + Tổng quá: Với n số dơng a 1 , a 2 , , a n D 3 thì: n n n aaa n aaa 21 21 +++ Dấu bằng xảy ra khi a 1 = a 2 = = a n . b) Bất đẳng thức Bunhiacopski + Nếu a 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n là 2n số tuỳ ý thì: ( )( ) ( ) 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 nnnn babababbbaaa +++++++++ Dấu "=" xảy ra n n b a b a b a === 2 2 1 1 . (Quy ớc nếu a i = 0 thì b i = 0 i = 0, 1, 2, 3, n) c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối *. 0a a D dấu bằng xảy ra a = 0 * baba ++ với a,b D dấu bằng xảy ra a.b 0. Tổng quát : a 1 , a 2 , , a n D thì nn aaaaaa ++++++ 2121 Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu. *. baba dấu bằng xảy ra khi a.b 0 d) Với a b > 0 thì ba 11 dấu bằng xảy ra khi a = b. e) 2+ a b b a ( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b. 1.3. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x,y,z) = x 4 + y 4 + z 4 xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4} Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói với học sinh . Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x,y,z và y,z ,x ta có ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( xy + yz + zx ) 2 Từ đó ta suy ra nếu ( x, y, z ) D Thì ( x 2 + y 2 + z 2 ) 16 Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy số x 2 ,y 2 ,z 2 và 1,1 ,1 ta có 3 ( x 4 + y 4 +z 4 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (2) Từ (1) và (2) f(x,y,z) > 16/3 (x,.y,z) D 4 Mặt khác f ( 3 2 , 3 2 , 3 2 ) = 3 16 và ( 3 2 , 3 2 , 3 2 ) D Vậy Min f (x,y,z) = 16/3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = + x x 1 với x 1,y 2 , z 3 A = + x x 1 + y y 2 + z z 3 áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có: ( ) 22 11 1.1 xx x = + Tơng tự : 22 2 22 . 2 1 2 2 1 2 yy yy = + = 32 2 33 . 3 1 3 3 1 3 zz zz = + = A z z y y x x 3222 2 ++ A 32 1 22 1 2 1 ++ Dấu "=" xảy ra = = = 6 4 2 z y x Max A = 32 1 22 1 2 1 ++ = = = 6 4 2 z y x Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) D = 12 + xx b) Cho x 1 , x 2 , , x 2004 thoả mãn 2005 200421 =+++ xxx Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 1 11 200421 +++ xxx Giải: a) áp dụng bất đẳng thức baba ++ dấu "=" xảy ra khi a.b 0 Ta có D = 11212 =++ xxxx Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x) 0 1 x 2 5 Vậy Min D = 1 khi 1 x 2 b) Vận dụng bất đẳng thức baba Dấu "=" xảy ra khi ab 0. Ta có: 11 11 xx 11 22 xx 11 20042004 xx Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc: E = 1 11 200421 +++ xxx 200421 xxx +++ - 12004 1 11 só +++ = 2005 - 2004 = 1 Vậy E 1 Dấu "=" xảy ra khi x 1 , x 2 , x 2004 0 và 200421 xxx +++ = 2005 Những sai lầm th ờng gặp của dạng toán này Sai lầm thờng gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là : - Điều kiện tồn tại BĐT - Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm đợc Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = t xzy z txy y xzt x tzy xzy t txy z xzt y tzy x ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ Học sinh có thể ngộ nhận và vận dụng ngay BĐT 2+ a b b a ( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b Để ra ngay kết quả A 8 Min A = 8 0==== ++= ++= ++= ++= tzyx zyxt yxtz xtzy tzyx Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0 Đây là những sai lầm thờng gặp mà nhiệm vụ của ngời thầy là phải chỉ ra đợc những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị 1.4. Bài tập vận dụng 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 A = )11(2)11(2 ++++++ xxxx 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền D = { } 1,0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxxyx 3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số : f(x,y,z) = ( 1+ x 1 ) ( 1+ y 1 ) ( 1+ z 1 ) Xét trên miền. D = { } 1;0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxzyx Ph ơng pháp 2 Tìm cực trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc chẵn 2.1. Nội dung ph ơng pháp */ A 2 0 x ( x là biến của biểu thức A ) A 2k 0 x */ - B 2 0 x (x là biến của biểu thức B ) - B 2k 0 x Nhiệm vụ của ngời thầy phải chỉ ra đợc : */ A 2k +m m m là GTNN A = 0 */ -B 2k + M M M là GTLN B = 0 2.2. Kiến thức bổ sung: Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đa về dạng A 2k +m m và -B 2k + M M bằng các phép biến đổi đại số 2.3 : các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x 2 + 6x - 5 Giải: Ta có A = 3 ( x 2 + 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 ) 2 - 8 - 8 Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = - 1 Vậy Min A = - 8 x = - 1 Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x 2 - 4x + 1 Giải : A = -5 ( x 2 + 4/5 x ) + 1 = -5 ( x 2 + 4/5x + 4/25 ) + 9/5 ( x 2 + 2/5 ) 2 +9/5 9/5 Dấu = xảy ra x + 2 /5 = 0 x = - 2/5 * Chú ý : f(x) = ax 2 + bx + c * Có giá trị nhỏ nhất a > 0. * Có giá trị lớn nhất a < 0. 7 Không dừng lại ở đây ta có thể đa ra một số ví dụ sau : Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: )( 1 12 683 2 2 + + = x xx xx C Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải . Tuy nhiên có thể gọi phơng pháp giải là tìm cách đa về dạng ax 2 + bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thể cách làm nh sau : C = 22 2 )1( 1 1 2 3 )1( 1)1(2)12(3 + = ++ xxx xxx Đặt y = 1 1 x (y 0 ) C = 3 - 2y + y 2 đến đây C đã đa về dạng cơ bản việc giải không còn gì khó khăn nữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy rằng việc đổi biến số trong toán cực trị là rất quan trọng trong nhiều bài toán và việc đổi biến số giúp chúng ta giải đợc bài toán nhanh hơn, gọn hơn. Ta còn có thể mở rộng dạng toán này. Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f(x,y ) = 4x 2 + 4y 2 - 4xy - 3x = 4y 2 - 4xy + x 2 + 3( x 2 -x ) = ( 2y - x ) 2 + 3( x- 2 1 ) 2 - 4 3 - 4 3 Đẳng thức xảy ra x = 2 1 và y = 2 x = 4 1 min f(x,y) = - 4 3 = = 4 1 2 1 y x Sai lầm thờng gặp ở dạng toán này là:. Nh ví dụ 4 các em có thể làm nh sau: f(x,y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x 2 - 4x + 2 + x 2 + x -2 = ( x - 2y ) 2 + 2 ( x -1 ) 2 + x 2 + x - 2 x 2 + x - 2 x (1) Vì g(x) = x 2 + x - 2 = ( x + 2 1 ) 2 - 4 9 - 4 9 8 Đẳng thức xảy ra x = - 2 1 min f(x,y) = - 4 9 = = 4 1 2 1 y x Các em không thấy đợc rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi = = 1 2 x yx = = 1 2 1 x y còn dấu đẳng thức xảy ra ở (2) khi x = - 2 1 thì 2 dấu đẳng thức xảy ra không đồng thời nên GTNN của g(x) không phải là GTNN của f(x,y). Hoặc với bài: Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của: M = x + x M = x + x = ( x + x + 4 1 ) - 4 1 = ( x + 2 1 ) 2 - 4 1 - 4 1 Vậy min M = - 4 1 . Sai lầm ở chỗ M - 4 1 học sinh cha chỉ ra khi nào dấu đẳng thức xảy ra: M = - 4 1 x = - 2 1 là vô lí Vậy việc tìm ra điều kiện dấu đẳng thức xảy ra là rất quan trọng trong việc tìm cực trị của biểu thức đại số. 3.3 . Bài tập vận dụng. 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của : C = x 2 - 2xy + 2y 2 + 2x - 10y + 17 E = x (x+ 1) (x + 2) (x + 3 ) 2) Tìm giá trị lớn nhất của: A = - 5x 2 - 2xy - 2y 2 + 14x + 10y - 1. 3) Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của : A = 2 2 95 x xx ++ B = 2 2 )1( 952 + + x xx Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp miền giá trị hàm số 3.1 . Nội dung ph ơng pháp. 9 Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x D gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho. Điều đó có nghĩa hệ phơng trình sau đây với ẩn x có nghiệm. = Dx yxf 0 )( Tuỳ dạng bài mà có điều kiện nghiệm thích hợp. Trong nhiều trờng hợp điều kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn) sẽ đa về dạng. m y 0 M vì y 0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ đó ta có: Min f(x) = m và Max f(x) = M. x D x D Nh vậy để tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của một hàm số nếu dùng phơng pháp này , ta qui về việc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm. 2.2. Kiến thức bổ sung: Công thức nghiệm và công thức nghiêm thu gọn của phơng trình bậc hai 3.2 . Các bài toán Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. f(x) = 123 3102 2 2 ++ ++ xx xx với x R. Giải Gọi y 0 là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phơng trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm. 123 3102 2 2 ++ ++ xx xx = y 0 (1) Do 3x 2 +2x + 1 > 0 x R (1) 2x 2 + 10x + 3 = 3x 2 y 0 + 2xy 0 + y 0 ( 3y 0 - 2 ) x 2 + 2x ( y 0 - 5 ) + y 0 - 3 = 0 (2) Xét 2 khả năng sau : * Nếu 3y 0 - 2 = 0 y 0 = 3 2 (2) có nghiệm Tức f(x) = 3 2 x R 10 [...]... cơ bản 1 Cực trị trong hình học là gì? Một số bài toán hình học mà trong đó các hình đợc nêu ra có cùng một tính chất và đòi hỏi ta tìm đợc hình sao cho có một đại lợng nào đó (số đo góc, độ dài đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích ) đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hay ghi là (max) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay là ghi (min) đợc gọi là bài toán cực trị hình học 1) Lời giải của bài toán cực trị thờng... bài toán cực trị ta thờng biến đỏi tơng đơng điều kiện của đại lợng này thành điều kiện cực trị của đại lợng khác 2/ Nhiều bài toán cực trị có liên đến bài toán tìm tập hợp điểm , trong hợp hình có chung một tính chất khi ta cố định một số yếu tố không đỏi của hình , các điểm còn lại của hình có thể chuyển động trên một đờng nhất định , theo dõi vị trí của chúng ta tìm đợc cực trị của bài toán *)... các bạn một số phơng pháp tìm cực trị, kết quả thu đợc rõ ràng đã có thể vận trong nhiều dạng toán, và ứng dụng của các bài toán này không phải là ít Nếu nh rèn luyện cho học sinh dạng toán này thì chúng ta đã trang bị cho các em lợng kiến thức không phải là nhỏ Trong chơng trình toán phổ thông của chúng ta còn rất nhiều phơng pháp nữa trên đây tôi chỉ trình bày một số phơng pháp thông dụng trong chơng... tính chủ động tích cực và sáng tạo của học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao quát,toàn diện và định hớng giải toán đúng đắn Làm đợc nh vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lợng giáo dục trong nhà trờng giáo án tiết dạy chuyên đề Bài soạn: Một phơng pháp tìm cực trị của một biểu thức đại số I/ Mục tiêu - Học sinh biết sử dụng các bất đẳng thức đại số để giải các bài toán cực trị trong hình học Muốn... hằng đẳng thức bình phơng một tổng hoặc một hiệu - Thông qua các bài tập vừa làm ta thấy có một số bài toán tìm cực trị trong đại số các em thơng gặp phaỉ sai lầm đó là tìm điều kiện xảy ra dấu đẳng thức của bài toán vì vậy khi giải dạng toán này các em cần phải lu ý điều này - Khi trình bày lời giải phải rõ ràng rành mạch - Với bài toán cần tìm điều kiện tồn tại các em phải tìm trớc khi trình bày lời... phơng pháp này ta giải một số bài toán vừa nhanh , vừa khoa học Tuy nhiên để phát hiện tìm ra phơng pháp hợp lí thì không phải học sinh nào cũng có thể làm đợc Vì vậy yêu cầu ngời thầy phải rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh , trớc hết là bằng cách cho học sinh làm nhiều dạng tơng tự để dần học sinh làm quen và tìm ra đợc phơng pháp giải hợp lí phần!! Bài toán cực trị Phần hình học I một số kiến... sinh phải biết đa yếu tố đại số vào bài toán hình học, từ đó để giải toán cực trị trong hình học ta đi giải toán cực trị trong đại số (đã biết cách làm) - Học sinh có kỹ năng đặt một đại lợng hình học nào đó làm ẩn, vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập - Thông qua việc giải toán phát triển t duy sáng tạo cho học sinh II/ Chuẩn bị GV: chọn lựa các bài tập phổ biến trong chơng trình ôn thi lớp... trình bày theo hai cách: Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lợng cần tìm cực trị lớn hơn đại lợng tơng ứng của mọi hình khác (nếu bài toán tìm GTLN) và nhỏ hơn đại lợng tơng ứng của hình khác (nếu bài toán tìm GTNN) Cách 2: Thay đại lợng cần tìm cực thành một đại lợng khác tơng đơng (nếu đợc) rồi từ đó tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN của A (A là một đại lợng nào đó nh góc, đoạn thẳng,... nhiên bài toán này ta có thể vận dụng bất đẳng thức để giải Nhng với phơng pháp này chúng ta có thể vận dụng để giải đợc nhiều bài và học sinh có thể máy móc nhớ đợc phơng pháp giải Phơng pháp 4 Phơng pháp đồ thị và hình học 4.1 Nội dung phơng pháp - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) x D - Xét các điểm cực đại hoặc cực tiểu trên D từ đó suy ra cực trị của biểu thức: Max f(x) = ycực đại Min f(x) = ycực tiểu... hơn mọi đờng xiên kẻ từ M xuống d - Trong các tam giác cùng nội tiếp một đờng tròn thì tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất Nếu nh một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bằng một phép biến đổi nào đó có thể qui về sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phơng pháp đồ thị hình học để giải chúng Dĩ nhiên là phơng pháp này chỉ thích hợp cho các bài toán trong nội dung của nó đã tiềm ẩn . = 1 khi 1 x 2 b) Vận dụng bất đẳng thức baba Dấu "=" xảy ra khi ab 0. Ta có: 11 11 xx 11 22 xx 11 20042004 xx Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc: E = 1 11 2004 21 +++. không âm 1 và x - 1 ta có: ( ) 22 11 1. 1 xx x = + Tơng tự : 22 2 22 . 2 1 2 2 1 2 yy yy = + = 32 2 33 . 3 1 3 3 1 3 zz zz = + = A z z y y x x 3222 2 ++ A 32 1 22 1 2 1 ++ Dấu. S NPC S ABC . Hay từ (1) ta có x (1 - y) + y( 1 - z) + z( 1 - x ) 1 Nh vậy ta có : f(x,y,z) 1 (x,y,z) D Và f(0;0 ;1) = 1 và do (0;0 ;1) D Max f(x,y,z) = 1 Bằng phơng pháp này