Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 PHN I. T VN 1. Lí DO CHN TI. a. C s lớ lun. Dy toỏn l mt hot ng nghiờn cu v toỏn hc ca hc sinh v giỏo viờn bao gm day khỏi nim, dy nh lý, gii toỏn , trong ú gii toỏn l cụng vic quan trng. Bi gii toỏn l quỏ trỡnh suy lun nhm khỏm phỏ ra quan h lụgic gia cỏi ó cho v cỏi cha bit (gia gi thit v kt lun). Mi bi toỏn cú th cú nhiu cỏch gii, mi cỏch gii l mt nh hng suy lun riờng nờn khi ng trc mt bi toỏn hc sinh thng khụng bit bt u t õu? phi lm nh th no? Quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii nu bt u t bi toỏn khú, rt khú dy i vi thy v khú hc i vi trũ. Mt khỏc chỳng ta khụng th dy ht cho hc sinh tt c cỏc bi tp cng nh cỏc em khụng th lm ht cỏc bi tp ú. Vỡ vy to mi liờn h gia cỏc bi tp, khi hng dn cho hc sinh gii mt bi toỏn, giỏo viờn cn hng dn cho hc sinh bit khai thỏc, m rng kt qu nhng bi toỏn n gin v khai thỏc bi toỏn gc xõy dng cỏc bi toỏn mi liờn quan. iu ny giỳp hc sinh rốn luyn t duy lụgic úc, sỏng to, t tỡm tũi, suy ngh ra nhng bi toỏn mi v cú nhng cỏch gii hay. Ngoi ra cũn to iu kin cho giỏo viờn v hc sinh khụng nht thit phi mua nhiu ti liu bi trờn thc t cú rt nhiu u sỏch cú ni dung gn ging nhau. Mt khỏc mun hc gii toỏn thỡ yờu cu hc sinh cn nm chc kin thc v ng trc mt bi toỏn phi cú cỏch nhỡn,cỏch tip cn, ỏnh giỏ v gii quyt cỏc vn ca bi toỏn mt cỏch trit ch khụng n thun l gii cho xong. Bi vic tỡm ra li gii ca bi toỏn nhiu khi khụng phi l khú nht l nhng bi toỏn sỏch giỏo khoa. Vỡ th, i vi hc sinh nht l hc sinh khỏ gii thng mang tõm lý xem nh bi toỏn sỏch giỏo khoa, nhng thc ra ng sau mi bi toỏn cú bao nhiờu iu hp dn, lý thỳ. Quỏ trỡnh ny phi bt u t cỏc bi toỏn n gin n phc tp rốn luyn nng lc t duy cho hc sinh. Nh nh toỏn hc Cỏc ó núi: Mi vn m tụi gii quyt u s tr thnh vớ d mu mc dựng gii quyt vn khỏc. T ú giỳp cỏc em cú c s khoa hc khi phõn tớch, nh hng tỡm li gii cho cỏc bi toỏn khỏc v c bit l cng c cho cỏc em lũng tin vo kh nng gii toỏn ca mỡnh. rốn luyn k nng gii toỏn cho hc sinh, ngoi vic trang b tt h thng kin thc c bn v rốn luyn k nng gii bi tp,Nhim v ca ngi thy ngoi vic cung cp kin thc, rốn luyn k nng cho hc sinh cũn cú mt nhiờm v quan trng ú l rốn luyn nng lc t duy cho hc sinh trong quỏ trỡnh ging dy ca mỡnh. Nu ngi thy ch dng li khi gii xong bi toỏn thỡ khụng th khi dy hc sinh úc tũ mũ, tớnh sỏng v s tỡm tũi khỏm phỏ nhng iu lý thỳ n sau mi bi toỏn, nh th khụng th phỏt trin c nng lc t duy ca hc sinh v lm cho tit hc tr nờn nht nho v nhm chỏn. Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 1 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Nu sau mi bi toỏn, ngi thy hng dn hc sinh khai thỏc sõu cỏc kt qu. T ú tỡm ra c chui bi toỏn t d n khú thỡ khụng nhng rốn luyn c nng lc t duy sỏng to cho hc sinh m cũn gõy hng thỳ lm cho gi hc tr nờn hp dn hn, giỳp cho kin thc ca hc sinh cú tớnh h thng, c m rng v sõu hn. Trong quỏ trỡnh ging dy cng nh bi dng hc sinh gii, tụi nhn thy bin phỏp tt v rt hu hiu bi dng nng lc t duy theo nh hng i mi phng phỏp dy hc ca B Giỏo Dc v o to: "Phng phỏp giỏo dc ph thụng phi phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc, ch ng, sỏng to ca hc sinh, phự hp vi c im chung ca tng lp hc, mụn hc (Trớch Mt s vn i mi phng phỏp dy hc trng THCS"- B Giỏo dc v o to ). b. C s thc tin. Trong nhng nm hc gn õy, chỳng ta u thy rng vic i mi phng phỏp dy hc ó mang li c mt s hiu qu nht nh. Trong quỏ trỡnh ging dy, ngi giỏo viờn ó bit cỏch s dng cỏc phng phỏp dy hc mi nhm phỏt huy tớnh tớch cc ch ng, nng lc t duy, úc sỏng to cho hc sinh. Qua thc tin v nghiờn cu tụi nhn thy rng vic dy hc theo nh hng khai thỏc v phỏt trin bi toỏn l mt cỏch lm hay, phự hp vi xu th chung, gúp phn vo vic i mi phng phỏp dy hc, rốn luyn kin thc, k nng, úc sỏng to v bi dng nng lc t duy cho hc sinh v ngoi ra cũn gõy hng thỳ, ham thớch hc toỏn cho cỏc em. Tuy nhiờn, trong thc t ging dy ca cỏc giỏo viờn v trong cỏc ti ó cú trc õy, thng mi ch chỳ trng n vic khai thỏc v phỏt trin mt bi toỏn hỡnh hc m cha thc s quan tõm n i s núi chung v bt ng thc núi riờng. Trong chng trỡnh toỏn THCS, bt ng thc l mt ni dung khú v quan trng, nú thng cú mt trong cỏc thi tuyn sinh vo lp 10 THPT, thi hc sinh gii cỏc cp v trong c cỏc thi tuyn sinh H, C sau ny. Nhng tõm lớ chung ca cỏc hc sinh l u cú cm giỏc s v ngi va chm i vi dng toỏn ny. Thc cht ú l do: - Cỏc em cha nm chc c cỏc bt ng thc c bn, cỏc tớnh cht ca bt ng thc. - Cha bit kt ni, xõu chui cỏc bt ng thc vi nhau thnh mt h thng. - Cha cú k nng quy l v quen, a nng v nh, chuyn i cỏc bi toỏn phc tp cng knh thnh nhng bi toỏn n gin hn. Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 2 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 - Cha bit cỏch bin i t mt bi toỏn gc a ra cỏc bi toỏn mi, tng quỏt húa, c bit húa, - Cha thc s yờu thớch mụn hc. Vy nguyờn nhõn ch yu ca thc trng ú l gỡ? - Th nht, cỏc bi toỏn v bt ng thc quỏ a dng v phc tp v nú khụng cú mt phng phỏp chung no gii. - Th hai, mt s giỏo viờn cha thc s cú kin thc tng hp v bt ng thc v cha o sõu nghiờn cu k v ni dung ny. - Th ba, khi dy v i s núi chung v bt ng thc núi riờng, cỏc giỏo viờn thng mi ch dy theo cỏch phõn dng hoc dy cỏc bi tp mt cỏch ri rc, riờng l m cha bit khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn gc ri xõu chui to thnh mt h thng bi tp cú lụgớc cht ch vi nhau. - Th t, cha rốn cho hc sinh cỏc k nng cn thit nh quy l v quen, tng quỏt húa, c bit húa, - Th nm, trong quỏ trỡnh ging dy cha to c hng thỳ, yờu thớch hc toỏn cho hc sinh. gúp phn khc phc tỡnh trng trờn v phỏt huy c ti a nng lc t duy ca hc sinh, to nim say mờ, yờu thớch hc toỏn, nht l ni dung bt ng thc. Tụi xin c a ra ti: Kinh nghim phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn ng nghip tham kho, b sung v gúp ý. 2. MC CH NGHIấN CU. Nghiờn cu v xut mt s gii phỏp v kinh nghim phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn bt ng thc. 3. NHIM V NGHIấN CU. - Xỏc nh c s lớ lun v thc tin ca vn phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn. - Phõn tớch thc trng ca quỏ trỡnh dy hc nhm mc tiờu phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh THCS. - xut mt s gii phỏp thụng qua vic khai thỏc v phỏt trin mt bi toỏn bt ng thc nhm mc tiờu phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh THCS. Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 3 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 4. PHNG PHP NGHIấN CU. - Phng phỏp lớ lun: Cn c vo ch trng, chớnh sỏch ca ng v Nh nc, ca B Giỏo dc v o to v cụng tỏc i mi phng phỏp dy hc nhm mc tiờu phỏt trin nng lc t duy, tớnh tớch cc, t giỏc, tớnh ch ng sỏng to ca hc sinh, phự hp vi c im chung ca tng lp hc, mụn hc(Trớch Mt s vn i mi phng phỏp dy hc trng THCS"- B Giỏo dc v o to ). - Phng phỏp nghiờn cu thc tin: quan sỏt, iu tra, tng hp kinh nghim v vn Kinh nghim phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn 5. IM MI CA TI. - ti cp n mt ni dung quan trng nhng nhiu giỏo viờn cha thc khai thỏc v thc hin. - ti ó a ra gii phỏp cú tớnh h thng, logic, khoa hc dy hc nhm phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn. - Cỏc gii phỏp ti a ra ó c tri nghim qua thc t v c iu chnh phự hp theo i tng hc sinh tng nm hc nờn cú tớnh hp lớ, d dng thc hin. 6. CU TRC CA TI. Phn I: t vn 1. Lớ do chn ti 2. Mc ớch nghiờn cu 3. Nhim v nghiờn cu 4. Phng phỏp nghiờn cu 5. im mi ca ti Phn II: Ni dung Phn III: Kt lun 1. Hiu qu ca ti. 2. Nhn nh v ỏp dng sỏng kin kinh nghim v kh nng m rng ti. 3. Bi hc kinh nghim v xut. Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 4 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 PHN II: NI DUNG H thng cỏc bt ng thc rt phong phỳ v a dng, tuy nhiờn khụng phi mi bi toỏn t ra u cú ý ngha thc s, ta ch nờn quan tõm nhiu hn n cỏc bt ng thc s li cho nhng ý ngha nht nh. Chỳng ta cựng bt u t bi toỏn c bn trong chng trỡnh THCS nhng nú li l c s cho nhiu bi toỏn khú sau ny: Bi 1: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: 3 3 ( )a b ab a b+ + (*) ( thi HSG huyn ụ Lng- lp 8 nm hc 2011 2012) Hng dn: i vi bi toỏn ny, hc sinh cng s d dng thc hin theo nhiu cỏch. Cỏch chng minh bt ng thc quen thuc nht i vi hc sinh THCS l bin i tng ng: Cỏch 1: 3 3 ( )a b ab a b+ + 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) 0 ( )( 2 ) 0 ( )( ) 0 a b a ab b ab a b a b a ab b a b a b + + + + + + Bt ng thc ỳng vi mi a, b khụng õm. ng thc xy ra a = b. Cỏch 2: Ngoi cỏch lm trờn thỡ i vi hc sinh lp 8 ta cú th chng minh c bi toỏn bng cỏch s dng bt ng thc quen thuc: 2 2 2a b ab+ Ta cú: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 ( )( ) ( ) ( ) a b ab a ab b ab a b a ab b ab a b a b ab a b + + + + + + + ng thc xy ra a = b. Cỏch 3: Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 5 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Ta cú 2 2 ( )ab a b a b ab+ = + . xut hin hng t a 2 b v ab 2 v phi v ta thy bt ng thc trờn xy ra du bng khi a = b. Bi vy, ta cú th s dng bt ng thc Cauchy bng cỏch sau: p dng bt ng thc Cauchy ta cú: 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3( ) 3 ( ) ( ) a a b a b a b b ab a b ab a b a b ab a b + + + + + + + + ng thc xy ra a = b. Nhn xột: Nh vy bi toỏn trờn ta ó chng minh c 3 3 ( )a b ab a b+ + , vi suy ngh tớch cc giỏo viờn cú th t hng dn hc sinh t t ra cõu hi: Bi toỏn cú gỡ c bit? Liu bi toỏn cú th phỏt trin c na hay khụng? Cú th tng quỏt húa c bi toỏn ú hay khụng? T kt qu bi toỏn hc sinh cú th suy ngh tng quỏt húa bi toỏn theo cỏc nh hng l: tng quỏt húa theo hng tng bc hoc tng quỏt húa theo hng tng s s hng hay mnh hn na l tng quỏt húa c v nõng bc v s s hng. lm c iu ú, trc ht ta cn hng dn cho hc sinh cỏch mũ mm v d oỏn cú ch ớch: Hng th nht: Tng quỏt húa theo cỏch tng dn s m v gi nguyờn s s hng: Nhn xột 1: Ta ó cú: 3 3 ( )a b ab a b+ + , vn t ra l nu v trỏi l n n a b+ (n>2) thỡ liu ta s cú c kt qu nh th no? - Vi n = 3 ta ó cú kt qu trờn - Vi n = 4, lm tng t nh cỏch 3 bi toỏn 1 thỡ ta nhn thy: p dng bt ng thc Cauchy cho 4 s khụng õm, ta cú: 4 4 4 4 3 4 4 4 4 3 4 4 a a a b a b a b b b ab + + + + + + Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c: 4 4 2 2 4 4 2 2 4( ) 4 ( ) ( ) ( ) a b ab a b a b ab a b + + + + ng thc xy ra a = b. Vy ta cú bi toỏn: Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 6 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Bi 2: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: 4 4 2 2 ( )a b ab a b+ + - Vi n = 5, ta tip tc bin i theo nh hng nh trờn: p dng bt ng thc Cauchy cho 5 s khụng õm, ta cú: 5 5 5 5 5 3 2 5 5 5 5 5 2 3 5 5 a a a b b a b a a b b b a b + + + + + + + + Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c: 5 5 2 2 5 5 2 2 5( ) 5 ( ) ( ) a b a b a b a b a b a b + + + + ng thc xy ra a = b. Ta cú bi toỏn 3: Bi 3: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: 5 5 2 2 ( )a b a b a b+ + - Vi n = 6 p dng bt ng thc Cauchy cho 6 s khụng õm, ta cú: 6 6 6 6 6 6 4 2 6 6 6 6 6 6 2 4 6 6 a a a a b b a b a a b b b b a b + + + + + + + + + + Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c: 6 6 2 2 2 2 6 6 2 2 2 2 6( ) 6 ( ) ( ) a b a b a b a b a b a b + + + + ng thc xy ra a = b. Nờn ta cú bi toỏn 4 nh sau: Bi 4: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: 6 6 2 2 2 2 ( )a b a b a b+ + - Tng t, vi n = 7, n = 8, ta chng minh c cỏc bt ng thc sau: Bi 5: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: 7 7 3 3 ( )a b a b a b+ + Bi 6: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng: 8 8 3 3 2 2 ( )a b a b a b+ + Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 7 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm m«n To¸n – N¨m häc: 2013 - 2014 Từ các kết quả trên hướng chúng ta con đường đi đến các tổng quát thật sáng sủa. - Với n là một số chẵn, đặt n = 2k (k ∈ N, k>1), thì ta có: - Áp dụng bất đẳng thức Canchy cho 2k số hạng sau: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 . 2 . k k k k k k k sohang k sohang k k k k k k k sohang k sohang a a b b k a b a a b b k a b + − + − − + − + + + + + + ≥ + + + + + ≥ 1 442 4 43 1 4 2 4 3 1 442 4 43 1 4 2 4 3 Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta có: 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 .( ) 2 .( . . ) ( . . ) . ( ) k k k k k k k k k k k k k k k k k a b k a b a b a b a b a b a b a b a b + − − + + − − + − − + ≥ + ⇒ + ≥ + ⇒ + ≥ + Từ đó ta có tổng quát 1: Tổng quát 1: Bài 7: Với a, b là các số không âm, k là số tự nhiên. Chứng minh rằng: 2 2 1 1 2 2 . ( ) k k k k a b a b a b − − + ≥ + - Với n là một số lẻ, đặt n = 2k+1 (k ∈ N, k>1), thì ta có: 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 (2 1). (2 1). k k k k k k k sohang k sohang k k k k k k k sohang k so hang a a b b k a b a a b b k a b + + + + + + + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + ≥ + 1 4 42 4 43 1 4 42 4 43 1 4 42 4 43 1 4 42 4 43 Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta có: 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 (2 1).( ) (2 1).( . . ) ( . . ) . ( ) k k k k k k k k k k k k k k k k k a b k a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + + + + + + + + + ≥ + + ⇒ + ≥ + ⇒ + ≥ + Từ đó ta có tổng quát 2: Tổng quát 2: Bài 8: Với a, b là các số không âm, k là số tự nhiên. Chứng minh rằng: 2 1 2 1 . ( ) k k k k a b a b a b + + + ≥ + * Hướng thứ hai: Tổng quát hóa theo cách tăng số số hạng và tăng số mũ Sử dụng cách làm tương tự như trên, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm ta có: Kinh nghiÖm ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy, ãc s¸ng t¹o vµ t¹o høng thó häc to¸n cho häc sinh th«ng qua viÖc khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµi to¸n 8 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 4 4 4 4 2 4 4 4 4 2 4 4 4 4 2 4 4 4 a a b c a bc a b b c ab c a b c c abc + + + + + + + + + Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c: 4 4 4 4 4 4 4( ) 4 ( ) ( ) a b c abc a b c a b c abc a b c + + + + + + + + T ú ta cú bi toỏn mi sau: Bi 9: Cho a, b, c l cỏc s khụng õm. Chng minh rng: 4 4 4 ( )a b c abc a b c+ + + + Tng t ta cng d dng chng minh c bi toỏn sau: Bi 10: Cho a, b, c l cỏc s khụng õm. Chng minh rng: 5 5 5 5 ( )a b c d abcd a b c d+ + + + + + Nhn xột: Vi nh hng nh trờn li lm ta cú thờm ý tng mi ú l i tỡm bi toỏn tng quỏt ca cỏc bt ng thc ú: Vi cỏch lm tng t, ta thy: p dng bt ng thc Cauchy cho (n+1) s khụng õm ta cú: 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 ( 1) n n n n n n a a a a n a a a + + + + + + + + + 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n n n n a a a a n a a a a a a a n a a a + + + + + + + + + + + + + + + + + + Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta c: 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1 2 ( 1)( ) ( 1) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n a a a a n a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Vy t ú ta cú bi toỏn tng quỏt: Tng quỏt 3: Bi 11: Cho 1 2 , , , n a a a l cỏc s khụng õm. Chng minh rng: 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1 2 ( ) n n n n n n n a a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 9 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Nhn xột: bi toỏn tng quỏt 3, bc ca tng hng t ln hn s hng t l 1 n v. Vy tng quỏt hn nu cho bc ca tng hng t l n, s hng t l m (m, n N, n m) thỡ ta cú c bt ng thc nh th no? p dng bt ng thc cauchy, ta cú ( ) 1 1 1 2 3 1 2 1 . n n n n n n n m n n n m m n m a a a a a n a a a + + + + + + + 1 4 2 4 3 1 1 2 3 1 2 ( 1) . n n n n n m m m n m a a a a na a a + + + + + + Tng t: 1 1 2 3 1 2 3 ( 1) . n n n n n m m m a n m a a a na a a a + + + + + + 1 1 2 3 1 3 ( 1) . n n n n n m m m a a a n m a na a a + + + + + + Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú: 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) n n n n m n m n m m m m n a a a na a a a a a + + + + + + 1 2 1 2 1 2 ( ) n n n n m n m n m m m m a a a a a a a a a + + + + + + Vy t nhn xột trờn ta cú bi toỏn tng quỏt cho tt c cỏc trng hp trờn. Tng quỏt 4: Bi 12: Cho 1 2 , , , m a a a l cỏc s khụng õm, vi mi n m (m, n N). Chng minh rng: 1 2 3 1 2 1 2 ( ) n n n n n m n m n m m m n a a a a a a a a a a + + + + + + + Nhn xột: Nh vy ta ó tỡm c bi toỏn tng quỏt ca bi toỏn 1, nu thay mi giỏ tr ca n, m v phỏt trin thỡ ta cú th cú c nhiu bi toỏn hay v khú na. i vi hc sinh khỏ gii thỡ bi toỏn 1 khụng cú gỡ l quỏ khú, hc sinh cú th t lm m khụng cn n s gi ý ca giỏo viờn. Nhng cựng nhỡn li bi toỏn ú chỳng ta thy cũn thờm nhiu vn m cỏc em cú th khỏm phỏ. Bin i mt chỳt ta cú: Vi a, b l cỏc s dng . 3 3 3 2 3 2 2 ( ) ( ) a b ab a b a b a a b b a b a ab b + + + + + + Tng t, vi a, b, c dng thỡ: Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 10 [...]... Bi 16: Vi 3 s dng a, b, c v abc = k (k > 0) Chng minh rng: a 3 b3 c 3 k k k + + + + b c a a b c Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú 12 học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Nhn xột: Cng t bi toỏn 1, vi iu kin a, b > 0 ta cú th chia hai vca bt ng thc cho tớch a.b, ta c: a 3 + b3 ab(a... tng t vi 4 s dng a, b, c, d khụng cũn l khú khn na Bi 27: Vi 4 s dng a, b, c, d Chng minh 1 1 1 1 1 + 4 4 + 4 + 4 4 4 4 4 4 4 a + b + c + abcd b + c + d + abcd c + d + a + abcd d + a + b + abcd abcd 4 4 Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú 20 học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Chng... , y = b3 , z = c3 ta li cú bi toỏn mi: Bi 31: Cho x, y, z l cỏc s thc dng v xyz = 1 Chng minh rng: Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú 22 học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 1 1 1 + + 1 x + y +1 y + z +1 z + x +1 Nhn xột: õy l mt bi toỏn nhỡn rt gn gng v p, nhng li khụng cho ta ý... s dng ), nu giỏo viờn bit hng dn hc sinh nhỡn nhn khai thỏc bi toỏn c bn trờn thỡ ta li cú mt bi toỏn mi Bi 44: Cho a, b, c l ba s dng v abc = 1 Chng minh rng: ab bc ca + 5 5 + 5 1 5 a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca 5 Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú 29 học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: ... thc dng Chng minh rng a2 b2 c2 d 2 a b c d + + + + + + b2 c2 d 2 a2 b c d a Bi 48: Cho a 1, a 2,, an l cỏc s thc dng (n 3, n N) Chng minh rng Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú 30 học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 (a 1 n a + a + + a n 1 1 1 n a 2 + + a n a1 + a3 + + a n n n... PHN III KT LUN Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú 31 học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 1 HIU QU CA TI: Sau khi nghiờn cu v ỏp dng ti tụi nhn thy hc sinh t c nhng hiu qu rt ỏng khớch l : - Hc sinh cú ý thc hn, cn thn hn,trỡnh by li gii bi toỏn khoa hc cht ch hn - Hc sinh rt hng thỳ... dng bt ng thc cauchy cho hai s dng ca v phi bi 23 thỡ ta li cú: ( (a + b)3 2 ab ) 3 = 8ab ab (b + c)3 8bc bc (a + c)3 8ac ac S dng tớnh bc cu ta cú bt ng thc mi cht hn: Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú 18 học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 Bi 24: Cho a, b, c l cỏc s dng Chng... xột: T bi toỏn trờn chỳng ta nhn thy rng cú th s dng bt ng thc tng quỏt 3 ỏp dng cho 4 s dng a, b, c, d to ra bi toỏn mi khú hn bng cỏch lm tng t: Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú 13 học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 a 4 + b4 + c4 a+b+c a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) abc b4 + c... 2 2+ 2 2 2 2 a +b b +c c +a 2 T ú ta cú bi toỏn mi: Bi 32: Cho a, b, c l ba s dng Chng minh rng: a3 b3 c3 a +b+c + 2 2+ 2 2 2 2 a +b b +c c +a 2 Hng dn: Cỏch 1: Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú 23 học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 a 3 + b3 ab(a + b) a 3 + b3 a 2b + ab 2... +c c +a 2 3 P 2 Du bng xy ra khi a = b = c = 1 Vy giỏ tr nh nht ca P = 3 ti a = b = c = 1 2 Nhn xột: Vi a, b > 0, ta cú: Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú 25 học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014 a 3 + b3 ab(a + b) a 3 ab(a + b) b3 3a 3 2a3 + 2a 2b + 2ab2 a 2b ab 2 b3 3a 3 . hn. Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 2 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013. xut. Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 4 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013. 3: Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài toán 5 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013