BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH o0o HUỲNH THỊ HOÀNG DUNG KHẢO SÁT MỘT LỚP CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM – TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành: Toán Giải tích Mã số : 1. 01. 01 Thành Phố Hồ Chí Minh – 2004 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH o0o KHẢO SÁT MỘT LỚP CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM – TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành Toán Giải tích Mã số : 1. 01. 01 Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán – tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM Học viên: Huỳnh Thi Hoàng Dung Thành Phố Hồ Chí Minh – 2004 Luận văn được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn : TS. NGUYỄN THÀNH LONG Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, Khoa Toán –Tin học, Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Trần Minh Thuyết, Khoa Toán –Tin học, Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh. Học viên cao học : Huỳnh Thò Hoàng Dung Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Vào lúc …….giờ ……ngày… tháng … năm 2004. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc. Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – tin học, trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức cũng như các hỗ trợ khác về tinh thần và tư liệu cho tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc. Chân thành cảm ơn các Thầy, Cô trong ban chủ nhiệm Khoa Toán –tin học, các Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập. Chân thành cảm ơn các Thầy PGS.TS. Lê Hoàn Hoá, PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, TS. Đậu Thế Cấp, TS. Trần Minh Thuyết đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi. Chúng tôi cám ơn chân thành đến Ban Lãnh Đạo trường, Bộ môn Khoa học Cơ bản trường Đại học Kiến Trúc, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi mọi mặt để tôi yên tâm học tập và làm việc, đặc biệt là hai Thầy Ninh Quang Thăng và Thầy Bùi Tiến Dũng với lời biết ơn chân thành nhất. Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các Bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 12 đã luôn động viên và quan tâm giúp đỡ tôi trong thời gian học tâp và làm luận văn, tôi cũng không quên cám ơn người em Nguyễn Văn Hản đã giúp tôi rất nhiều trong công việc in ấn luận văn. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Thành Phố Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2004 Huỳnh Thò Hoàng Dung. Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 1 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN o0o Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm – tích phân sau: () () ),()( )())((,)( 11 )( 0 1111 xgdttfc xSfbxRfxaxf i m k n j xX jijk m k n j ijkjijk m k n j ijkjijki ijk ++ +Φ= ∑∑ ∫ ∑∑∑∑ == ==== ε (1.1) ,, ,1; nix =Ω∈∀ trong đó ],[ ba = Ω hoặc Ω là một khoảng không bò chận của ,IR ijkijkijk cba , , là các hằng số thực cho trước; ,: IRg i →Ω ,:,, Ω→Ω ijkijkijk XSR và IRIR → × Ω Φ : là các hàm số liên tục cho trước thỏa một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau. Các hàm IRf i → Ω : là các ẩn hàm, ε là một tham số bé. Trong [9], các tác giả C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu (1991) nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với ,2],,[ = = − = Ω nmbb 0 = ijk a và ijk S là các nhò thức bậc nhất. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++++++= ++++++= , , 22323223222222221211212 11313113121221211111111 xgcxbfacxbfacxbfaxf xgcxbfacxbfacxbfaxf (1.2) với mọi ],,[ bbx −=Ω∈ trong đó, các hằng số bcba ijijij ,,, cho trước thỏa các điều kiện: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ≥< ij ij ji ij b c bb 1 max,1 , , 1max 3 1 < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ =j ij i a . (1.3) Các hàm số 21 , gg liên tục cho trước và 21 , ff là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn đònh đối với các . i g Trong [4], Long, Danh, Khôi (2002) đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân tuyến tính Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 2 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung ),()())(()( 2 1 )( 0 2 1 xgdttfxSfaxf i j xX jij j ijjiji ij ∑ ∫ ∑ == ++= α (1.4) ,,2,1 IRxi ⊂Ω∈= trong đó Ω là một khoảng đóng bò chận hoặc khoảng không bò chận của .IR Các hàm Ω → Ω → Ω :,,: ijiji XSIRg là các hàm số liên tục cho trước, IRa ijij ∈ α , là các hằng số và 21 , ff là các ẩn hàm. Trong [2], Danh, Dung, Long (2003) đã khảo sát hệ (1.1) tương ứng với ,0≡Φ )(),( xXxS ijkijk là các nhò thức bậc nhất, mà cụ thể có dạng như sau () ),()()( 11 0 xgdttfcxbfaxf i m k n j x jijkijkijkjijki ijkijk + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ∑∑ ∫ == + γβ α (1.5) ].,[,, ,2,1 bbxni −=Ω∈= Với IRg i → Ω : là các hàm liên tục, nghiệm của hệ (1.5) được xấp xỉ bằng một dãy các đa thức hội tụ đều [2, 7], trong đó IRcba ijkijkijkijkijkijk ∈ γ β α ,,,,, là các hằng số thực cho trước thỏa các điều kiện: ( ) ,1max,1,1 11 1 <+<< ∑∑ == ≤≤ ijkijk m k n i nj ijkijk bab αβ bb b c ijk ijk mknji ijk ijk mknji ≤ − ≤ − ≤≤≤≤≤≤≤≤ β γ 1 max; 1 max 1,,11,,1 . Trong [8], Long (2004) đã nghiên cứu hệ phương trình hàm phi tuyến () ,)())(())(()( 1111 ∑∑∑∑ ==== ++Φ= m k i n j ijkjijk m k n j ijkjijki xgxSfbxRfaxf ε (1.6) ,,, ,2,1 Ω∈= xni trong đó Ω là một khoảng đóng bò chận hoặc khoảng không bò chận của .IR Các hàm Ω → Ω → Ω :,,: ijkijki SRIRg và IRIR →Φ: là các hàm số liên tục cho trước; IRba ijkijk ∈, là các hằng số. Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.6) theo một tham số bé ε cũng được xem xét trong bài báo [8]. Trong [3], các tác giả Nghóa, Khôi (2000) đã xét hệ phương trình hàm cụ thể để kiểm tra một thuật toán số. Trong [5], các tác giả Long, Nghóa, Khôi, Ruy (1998) đã nghiên cứu một trường hợp riêng của (1.1) với 1 = p và ],[ bb − = Ω hay Ω là khoảng không bò chận của .IR Bằng cách sử dụng đònh lí điểm bất động Banach, các tác giả trong [5] đã thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm . i g Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 3 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung Trong trường hợp 0 = ijk a và ijk S là các nhò thức bậc nhất, );( nr IRCg Ω∈ và ],[ bb−=Ω các tác giả trong [5] đã thu được một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp . r Hơn nữa, nếu i g là các đa thức bậc , r thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc . r Kế đó, nếu i g là các hàm liên tục, nghiệm f của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng trong [6] bởi các tác giả Long, Nghóa (2000) cho miền nhiều chiều p IR⊂ Ω và ijk S là các hàm affine. Hơn nữa, điều kiện đủ về hội tụ cấp hai của hệ phương trình hàm cũng được đề cập [6]. Một phần kết quả trong luận văn chúng tôi đã công bố trong [1, 2]. Luận văn này được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết quả đã có trước đó và một số nội dung trình bày trong các chương của luận văn. Trong chương 2, là phần giới thiệu về các kí hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn. Trong chương 3, dựa vào đònh lí điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1). Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm– tích phân (1.1) bò nhiễu bởi một tham số bé ε . Ở đây chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng nghiệm của hệ (1.1) có một khai triển tiệm cận đến cấp 1+N theo , ε với ε đủ nhỏ. Trong chương 6, nghiên cứu tính khả vi của nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi của các hàm .,,,, ijkijkijki XSRgΦ Chương kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 4 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung CHƯƠNG 2 CÁC KÍ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM o0o Trong chương 2, là phần giới thiệu về các kí hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn. 2.1. Các kí hiệu Ta kí hiệu ],[ ba=Ω hay Ω là khoảng không bò chặn trong .IR Với ],,[ ba=Ω ta kí hiệu );( n IRCX Ω= là không gian Banach của các hàm số ) ,,,( 21 n ffff = n IR→Ω: liên tục trên Ω đối với chuẩn .)(sup 1 ∑ = Ω∈ = n i i x X xff (2.1) Khi Ω là khoảng không bò chặn, ta kí hiệu );( n b IRCX Ω= là không gian Banach của các hàm số n IRf →Ω: liên tục, bò chặn trên Ω đối với chuẩn (2.1). Tương tự, với số nguyên không âm , r ta đặt { } .1,0),;(:);();( )( nirkIRCfIRCfIRC k i nnr ≤≤≤≤Ω∈Ω∈=Ω Với Ω là khoảng không bò chặn, ta kí hiệu { } .1,0),;(:);();( )( nirkIRCfIRCfIRC b k i n b nr b ≤≤≤≤Ω∈Ω∈=Ω );( nr IRC Ω và );( nr b IRC Ω cũng là các không gian Banach đối với chuẩn .)(supmax 1 )( 1 ∑ = Ω∈ ≤≤ = n i k i x rk r xff (2.2) Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong );( n IRCX Ω= ,gBfAff + += ε (2.3) trong đó ,) ,,( 1 n fff = ),)(, ,)(( 1 n fAfAfA = ),)(, ,)(( 1 n fBfBfB = Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 5 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung với () ,))((,)()( 11 ∑∑ == Φ= m k n j ijkjijki xRfxaxAf ,)1( ,)())(()()( 11 )( 0 11 nidttfcxSfbxBf m k n j xX jijk m k n j ijkjijki ijk ≤≤+= ∑∑ ∫ ∑∑ ==== .Ω∈∀x 2.2. Đònh lí điểm bất động Banach Đònh lí sau đây là một công cụ được sử dụng trong toàn bộ luận văn mang tên đònh lí điểm bất động Banach và được phát biểu dưới dạng: Đònh lí 2.1: Cho X là không gian Banach với chuẩn . , X K ⊂ là tập đóng và .: KKT → Giả sử tồn tại số thực )1,0[ ∈ σ sao cho ,gfTgTf −≤− σ với mọi ., Kgf ∈ Khi đó ta có (i) Tồn tại duy nhất Kf ∈ sao cho .Tff = (ii) Với mỗi ( ) , 0 Kf ∈ xét dãy }{ )( ν f cho bởi ( ) ( ) , 1− = vv fTf , 2,1 = ν ta có (j) () ,0lim =− ∞→ ff v v (jj) () () () , 1 00 σ σ − −≤− v v Tffff , 2,1 = ν (jjj) () () ( ) , 1 1− − − ≤− vvv ffff σ σ , 2,1 = ν Chứng minh đònh lí 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về nhập môn giải tích. Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm –tích phân phi tuyến Trang 6 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÍ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM o0o Trong chương này, dựa vào đònh lí điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (2.3). Đặt .max][ 11 1 ijk n i m k nj ijk bb ∑∑ == ≤≤ = Đầu tiên, ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.1. Giả sử 1][][ <+ ijkijk cbb và Ω → Ω :, ijkijk XS liên tục. Khi đó i) ( ) X ijkijk X fcbbBf ][][ +≤ .Xf ∈ ∀ (3.1) ii) Toán tử tuyến tính XXBI → − : là khả đảo và . ][][1 1 )( 1 ijkijk cbb BI −− ≤− − Chứng minh bổ đề 3.1. i) Với mọi ,Xf ∈ ta có ∑ = Ω∈ = n i i x X xBfBf 1 )()(sup () ( ) ∑∑∑ ∫ ∑∑ ===== Ω∈ += n i m k n j xX jijkijkj m k n j ijk x ijk dttfcxSfb 111 0 11 )()(sup () ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤ ∑∑∑ ∫ ∑∑∑ ====== Ω∈ n i m k n j xX jijk n i ijkj m k n j ijk x ijk dttfcxSfb 111 )( 0 111 )()(sup () ∑∑∑ = Ω∈ == ≤≤ ≤ n 1j11 1 )(supmax xSfb ijkj x n i m k ijk nj ∫ ∑∑∑ === Ω∈ ≤≤ + )( 0 111 1 )(supmax xX j n j n i m k x ijk nj ijk dttfc ( ) . ][][ X ijkijk fcbb +≤ ii) Trước hết, ta chứng minh toán tử [...]... (0) X < 1 (4.44) Vậy ta chọn f ( 0) = Z (η ) 0 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Trang 24 CHƯƠNG 5 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM o0o Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây bò nhiễu bởi một tham số bé ε f = ε Af + Bf + g trong X = C ( Ω; IR n ) (5.1) trong đó f = ( f 1 , , f n ) ,... nầy cho chúng ta một khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số ε Đònh lí 5.1 Giả sử rằng ( H 1 ) − ( H 6 ) là đúng Khi đó, tồn tại một hằng số ε 1 > 0, sao cho, với mỗi ε , với ε ≤ ε 1 , hệ (5.1) có duy nhất một nghiệm fε ∈ K M thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N + 1 như sau Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến N f ε − ∑ ε... 1, ta viết lại hệ (2.3) như sau: Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Trang 8 f = ( I − B ) −1 ( ε Af + g ) ≡ Tf (3.2) Ta thành lập các giả thiết sau: ( H 1 ) Rijk , S ijk , X ijk : Ω → Ω liên tục; ( H 2 ) g = ( g1 , , g n ) ∈ X ; [bijk ] + b [cijk ] < 1 ; (H 3 ) ( H 4 ) Φ : Ω × IR → IR thỏa điều kiện Lipschitz đòa phương theo biến... động Banach, ta có duy nhất một hàm f ∈ K M sao cho f = Tf Vậy đònh lí 3.1 được chứng minh Chú thích 3.1 Nhờ đònh lí điểm bất động Banach, nghiệm f của hệ (3.2) được xấp xỉ bởi thuật giải sau: f (ν ) = Tf (ν −1) ≡ ( I − B) −1 (ε Af (ν −1) + g ), (3.7) f (0) ∈ K M cho trước Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Trang 11 Khi đó f (ν... xỉ sau đây: Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Φ( x, f j(ν ) ) ≅ Φ ( x, f j(ν −1) ) + Trang 13 ∂Φ ( x, f j(ν −1) )( f j(ν ) − f j(ν −1) ), ∂y (4.5) trong đó f j(ν ) = f j(ν ) ( Rijk ( x)), ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1) Ta thu được giải thuật sau đây cho hệ (1.1) i) Cho trước f ( 0) = ( f1( 0) , , f n(0) ) ∈ X ii)... x) − ( Af ) i ( x) ≤ C1 ( M ) [aijk ] Luận văn thạc sỹ Toán học ~ f −f X Huỳnh Thò Hoàng Dung Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Trang 10 Bổ đề 3.2 được chứng minh Khi đó, ta có đònh lí sau đây Đònh lí 3.1 Giả sử ( H 1 ) - ( H 5 ) đúng Khi đó, với mỗi ε , với ε ≤ ε 0 , hệ (3.2) có một nghiệm duy nhất f ∈ K M ~ Chứng minh Hiển nhiên rằng Tf ∈ X , với mọi f ∈ X Xét f , f ∈... là các hằng số thực cho trước; g i : Ω → IR, Rijk , S ijk , X ijk : Ω → Ω, và Φ : Ω × IR → IR là các hàm số liên tục cho trước thỏa một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau Các hàm f i : Ω → IR là các ẩn hàm, ε là một tham số bé Trong phần này, với các giả thiết trên các hàm Φ, g , Rijk , S ijk , X ijk và các số thực ε 0 , M và với Φ ∈ C N (Ω × IR; IR) Khi đó chúng tôi sẽ chứng minh rằng nghiệm của hệ. .. hệ (5.1) có một khai triển tiệm cận đến cấp N + 1 theo ε , với ε đủ nhỏ theo nghóa N f ε = ∑ ε r f [ r ] + O(ε N +1 ) r =0 Chính xác hơn ta có N f ε − ∑ ε r f [r ] r =0 ≤C ε N +1 , X trong đó C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N , Φ, [aijk ] , [bijk ] , [cijk ] , f [r ] X , r = 0,1, , N Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Trang... r =0 [r ] (5.24) = fε − h thỏa hệ L v = ε [ A ( v + h ) − A ( h) ] + Eε , (5.25) trong đó N Eε = ε [ A ( f [0 ] + U ) − A ( f [0 ] ) ] − ∑ ε r P [ r ] (5.26) r =2 Khi đó, ta có kết quả sau Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Trang 29 ( Bổ đề 5.2 Giả sử ( H 1 ) − ( H 5 ) là đúng Khi đó, tồn tại một hằng số C N1) chỉ phụ thuộc... Toán học (0) X σν , ∀ν = 1,2, , 1−σ (3.9) < 1 Huỳnh Thò Hoàng Dung Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Trang 12 CHƯƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI o0o Trong đònh lí 3.1 cho ta một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.7), theo nguyên tắc ánh xạ co (chú thích 3.1), sự hội tụ của dãy lặp { f (ν ) } về nghiệm f của hệ (3.2) cũng là hội tụ cấp 1 Sự hội tụ nầy thể hiện qua đánh giá . được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm . i g Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Trang 3 Luận văn thạc sỹ Toán. Long, Danh, Khôi (2002) đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân tuyến tính Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Trang 2 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng. Khảo sát một lớp các hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến Trang 4 Luận văn thạc sỹ Toán học Huỳnh Thò Hoàng Dung CHƯƠNG 2 CÁC KÍ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM o0o